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抛物线的定义及其标准方程 ppt课件

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【2024版】】抛物线的定义及标准方程PPT课件

【2024版】】抛物线的定义及标准方程PPT课件
y
ox
﹒y o x
焦点
准线
标准方程
想一想:
1.椭圆，双曲线，抛物线各有几条准线？ 2.根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对应 关系，如何判断抛物线的焦点位置，开
口方向？
3.第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴 （或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称 轴上。！ 第二：一次的系数决定了开口方向
解（直接法）：设 M(x，y)，则由已知，得
|MF|+1=|x+5|
l
y .M
即 (x 4)2 y2 1 x 5 化简得 y2 16x 即为点 M的轨迹方程 .
.
o
Fx
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：
课题： 抛物线及 其标准方程（一）
复习：
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹.
(1)当0<e<1时,是椭圆;
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(3)当e=1时，它的轨迹是什么？

M
N
··F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
一、定义
定点F与定直线l的位置关系是 怎样的？
(3) (4)
（0, 021，4 -2）
准线方程
x=-5
y= -
1
—8
y 1 24
y=2
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
． 解：当抛物线的焦点在y轴
y
的正半轴上时，把A（-3，2） A

抛物线及其标准方程 课件

抛物线及其标准方程 课件
抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在 x-2y-4=0 上.
思路分析:求抛物线标准方程时要先确定焦点位置,能确定焦点位
置的可设相应的标准方程,否则要分情况讨论.
解:(1)∵(-3,2)在第二象限,
∴抛物线开口向左或向上.
设所求抛物线的方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p'y(p'>0),
综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y.
抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指
确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正
半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据
题目中的条件求出方程中参数 p 的值,从而得到抛物线的标准方程.
轴为对称轴,求抛物线的标准方程.
解:由题意知圆心为(-2,-4).
(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设方程为 y2=ax(a≠0),
由 16=-2a,得 a=-8.
∴标准方程为 y2=-8x.
(2)当抛物线焦点在 y 轴上时,设方程为 x2=ay(a≠0),
由 4=-4a,得 a=-1.
∴标准方程为 x2=-y.
于利用其定义解题.
1
2
1
,0
2
的距离比它到 y 轴的距
离大 .
(1)求点 M 的轨迹方程.
(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
1
2
思路分析:动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M
1
2
到 F 的距离与它到直线 x=- 的距离相等,由抛物线定义可求得动点 M

抛物线及其标准方程ppt课件

抛物线及其标准方程ppt课件

l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24

抛物线的定义与标准方程.ppt

抛物线的定义与标准方程.ppt

y2=2px(p>0)
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标 准方程。其中p为正常数,表示焦点在x轴 正半轴上.
焦点坐标是( p , 0) 准线: x p
2
2
P的几何意义是:
焦点到准线的距离
y
想一想? y
K
0
x
y2=2px（P>0）
方程是 什么?
x 0
x2 2 py( p 0)
例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －ax2， 求它的焦点坐标和准线方程；
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。
例2 求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且过
点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解 (1)当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
K 0F
x
L 1.建立坐标系 2.设动点坐标
3.列方程
4.化简,整理
以过F且垂直于L的直线为x
轴,垂足为K.以F,K的中点为
坐标原点建立直角坐标系.
设M(x,y), |FK|=P,则F ( p , 0)
准线L:
p x .
2
则
2
(x p )2 y2 | x p |
2
2
两边平方,整理得
抛
物
线
的
定莆
义 与
田 二 中
标 准
蔡 海 涛
方
程
思考：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是 常数e的点的轨迹是 椭圆? 双曲线?
(1) o<e<1,是椭圆 (2) e>1, 是双曲线

3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)

3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.( × )
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，

《数学抛物线》PPT课件

《数学抛物线》PPT课件

物理学中的抛体运动轨迹
01
02
03
抛体运动的定义
物体以一定的初速度抛出 后，在仅受重力的作用下 所做的运动称为抛体运动。
抛体运动的轨迹
在忽略空气阻力的情况下， 抛体运动的轨迹是一条抛 物线。
抛体运动的应用
利用抛体运动的规律，可 以研究炮弹的射程、运动 员的跳远距离等问题。
工程技术中的最优化问题
01
04 两边成比例且夹角相等， 则两个三角形相似
解析几何中直线与圆锥曲线关系
直线与抛物线的位置关系
相切、相交、相离
直线与抛物线的交点个数及判定方法
通过联立直线和抛物线方程求解，根据判别式判断交点个数
切线性质
切线与抛物线在切点处的切线斜率相等，且切线过抛物线焦点
微积分在抛物线研究中的应用
定积分在求抛物线面积中的应用
03 抛物线在生活中 的应用举例
建筑设计中的抛物线元素
1 2
抛物线型拱门和桥梁 利用抛物线的形状和结构特性，设计出具有优美 曲线和良好承重性能的拱门和桥梁。
抛物线型屋顶 抛物线型屋顶具有良好的排水性能和独特的视觉 效果，被广泛应用于现代建筑设计。
3
抛物线型幕墙 在建筑外立面上采用抛物线型幕墙，可以增加建 筑的层次感和立体感，提高建筑的美观性。
焦点、准线及离心率
抛物线的焦点
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其焦点坐标为（p/2，0）；对于 x^2=2py（p>0）的抛物线，其
焦点坐标为（0，p/2）。
抛物线的准线
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其准线方程为x=-p/2；对于
x^2=2py（p>0）的抛物线，其 准线方程为y=-p/2。

抛物线及其标准方程 课件

抛物线及其标准方程 课件

【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点 间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程 图 形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】

抛物线的定义及其标准方程(PPT)4-1

抛物线的定义及其标准方程(PPT)4-1
农家肥为主，化肥为辅。结合春耕施足基肥，按照测土配方施肥方法，根据地力水平和目标产量确定施肥量。高肥力地块，计划每7平方米产量千克，需施有 机肥千克、氮8千克、磷千克。中肥力地块，计划每7平方米产量为千克，需施有机肥千克左右、氮千克、磷.千克。低肥力块，程中，始终 有|MF|=|MH|，即点M与定点F和定直线L的距离相等。
(一) 定义 平面内与一个定点F和一条定直线L（L不经过点F）
距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦 点，直线L叫做抛物线的准线。
学习目标
1.抛物线的定义. 2.抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线.
学习重点
1.抛物线的定义及焦点与准线. 2.抛物线的四种标准方程形式，以及p的意义.
抛物线的四种图形,标准方程的推导及焦点坐标与 准线方程.
短（7-8天），植株更矮，子粒灌浆速度快，千粒重克左右。 华北早熟生态型：这一生态类型的品种生育期天左右，春季（月初前后）播种，夏季（7月中、 下旬）收获。幼苗直立或半直立，分蘖力中等，植株较矮，小穗和小花较少，千粒重-克。较抗寒、抗旱、抗倒伏。早熟和中晚熟品种较多。 北方丘陵旱地中、 晚熟生态型：该生态型； 翡翠鉴定 翡翠鉴定 ；品种生育期较长（-天），夏季（月中、下旬）播种，秋季（8月底至月上旬）收获。幼苗多为 半匍匐或匍匐，生长发育缓慢，分蘖力强。进入雨季（7月）植株迅速拔节，发育较快，植株高大，茎秆软，叶片狭长下垂。子粒较大，千粒重-克。中晚熟 和晚熟品种居多。 北方滩川地中熟生态型：这一生态类型品种的生育期为8-天，一般夏初（月上、中旬）播种，秋季（8月）收获。植株高大，茎秆坚韧， 抗倒伏。 西南平坝生态区：主要分布在中国西南地区的高原平坝，生育期-天，秋季（月中、下旬）播种，翌年夏季（月下旬至月上旬）收获。幼苗生长发育 缓慢，匍匐期较西南高山生态型稍短，抗寒性较强。叶片宽大，植株高大，茎秆较硬。子粒灌浆期略长，千粒重7克左右。 西南高山生态型：这一生态类型 主要分布在中国西南地区的海拔-米高山地带。生育期-天，秋季（月中、下旬）播种，翌年夏季（月中旬至7月初）收获。幼苗匍匐期很长，分蘖力很强，叶 片细长，抗寒性强。植株高大，茎秆软，不抗倒伏。子粒较小，千粒重克左右，有些品种不足克。 [7] 繁殖方法 选地：燕麦喜凉、喜湿、喜阳光、不耐高温， 光照不足会造成发育不良，适宜在山区冷凉旱地的川地、坪地、梁地、缓坡地种植。生产基地要远离工矿企业及城镇“三废”污染源，土壤环境质量要符合 无公害农产品产地环境要求。 轮作倒茬：燕麦忌连作，轮作周期-年，燕麦不适合连作，连作容易引发大面积黑穗病，前茬以豆类、马铃薯或绿肥作物最好。 整地：大秋作物收获后机械深耕，深度-厘米，耕后及时耙耱。春季根据墒情适度耕整地，如土壤干旱要适当深耕，深度厘米左右，土壤墒情较好要适当浅耕， 深度厘米左右，耕后耙地保墒。如雨水多，地温低，要采取耕翻放墒，以提高地温。 施肥：燕麦根系比较发达，吸收能力较强，以施基肥为主，追肥为辅。
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解:因为焦点在y轴的负半轴上,并且
p 2
=2,p=4,
所以所求抛物线的标准方程是2 x = 8y
11
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
．y A
代入x2 =2py，得p= 9 4
当焦点在x轴的负半轴上时，
O
x
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
，0），l：x = -
p 2
一条抛物线，由于它在坐标平面内 的位置不同，方程也不同，所以抛物线 的标准方程还有其它形式，
8
﹒ 图 形 y
ox
﹒y ﹒o x
y
ox
﹒y o x
焦点
准线
标准方程
9
问题：
1.如果定点恰好在定直线上,点M的轨迹 还是抛物线吗?
不是,它是一条过定点垂直于定直线的直线
2. 根据抛物线标准方程的形式如何判 断抛物线的焦点位置和开口方向？
课题：
抛物线及其标准方程与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹，当0＜e ＜1时，是椭圆
当e＞1时，是双曲线
当e=1时，它又是什么曲线 ？
l M
l
l
M
·M
·F
F·
·F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
2
一、定义
l
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 N
p 2
设点M的坐标为（x，y），
由定义可知，
(xp)2y2xp
2
2
y
l
· N M ·x
Ko F
化简得 y2 = 2px（p＞0）
6
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离 简称焦准距
7
上面的方程表示抛物线的焦点在X轴的正半轴上
p 则F（ 2
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
=
9
2
y或y2 =
4
x。
3
12
练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是x = 1 4
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
13
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的 对应关系以及判断方法 2、抛物线的焦点坐标和准线方程
3、注重数型结合的思想。
15
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x （3）2y2 +5x =0
（2）x2= 1 y 2
（4）x2 +8y =0
焦点坐标
准线方程
（1） （5，0）
（2） （0，—18 ） （3） （- —58 ，0） （4） （0，-2）
x= -5
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
14
小结：
第一：一次项的变量如为X（或Y）,则X轴（或Y轴） 为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。 第二：一次的系数决定了开口方向
10
例1
（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；
解准线:因方为程p＝是3x,=所－以23焦点坐标是﹝23 , 0﹞,
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。
定点F叫做抛物线的焦点.
定直线l 叫做抛物线的准线.
M· ·F
即: 若︳︳M MNF︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
3
二、标准方程
想 一 想 ？ ？
如何建立直角 坐标系？
l
· N M ·F
4
y y=ax2
y=ax2+y=c ax2+bx+c
o
x
5
二、标准方程
设︱KF︱= p
p 则F（ 2
，0），l：x = -