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抛物线定义及标准方程ppt课件

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抛物线的定义及标准方程PPT课件-2024鲜版

抛物线的定义及标准方程PPT课件-2024鲜版
性质
抛物线具有对称性，其对称轴是 过焦点且垂直于准线的直线；抛 物线上任一点到焦点的距离等于 到准线的距离。
4
抛物线的焦点和准线
焦点
抛物线上所有点到焦点的距离相等的 点，用F表示。
准线
焦点和准线的位置关系
对于开口向上的抛物线，焦点在准线 的上方；对于开口向下的抛物线，焦 点在准线的下方。
抛物线上所有点到准线的距离相等的 直线，用l表示。
18
05
抛物线与相关曲线的联系与区别
2024/3/28
19
与直线的交点问题
抛物线与直线交点的 求解方法
交点在抛物线对称轴 上的特殊情况
2024/3/28
交点个数的判断及位 置关系
20
与圆的切线问题
抛物线与圆的切线求解方法
切线个数的判断及位置关系
切点在抛物线顶点处的特殊情况
2024/3/28
21
无限延伸
抛物线在两端无限延伸，且越来越 接近其对称轴。
12
抛物线的顶点、焦点和准线的性质
顶点
抛物线的顶点是抛物线上距离对 称轴最近的点，也是抛物线的最
高点或最低点。
焦点
抛物线的焦点位于对称轴上，且 距离顶点的距离等于焦距。所有 从焦点出发的光线经过抛物线反
射后平行于对称 轴且距离顶点等于焦距的直线。 所有从焦点出发的光线经过抛物
线反射后，都会与准线相交。
2024/3/28
13
抛物线的对称性和平移性质
对称性
抛物线关于其对称轴对称，即如果点P(x,y)在抛物线上，那么点P'(-x,y)也在抛物线上。
平移性质
抛物线可以通过平移变换得到新的抛物线。如果抛物线沿x轴平移a个单位，沿y轴平移b个单位，那么新的抛物线 的方程可以通过在原方程中替换x为x-a，y为y-b得到。这种平移变换不会改变抛物线的形状和开口方向，只会改 变其位置和顶点坐标。

高中抛物线通用课件

高中抛物线通用课件

02 抛物线的焦点和准线是相互垂直的，且距离为 $|p|$。
抛物线的开口方向与大小
抛物线的开口方向由焦点的位置 决定，焦点在 $x$ 轴正半轴上 时，开口向右；焦点在 $x$ 轴
负半轴上时，开口向左。
抛物线的开口大小由焦距 $p$ 的绝对值决定，$|p|$ 值越大， 开口越大；$|p|$ 值越小，开口
04
抛物线的作图与计算
抛物线的作图方法
直接作图法
通过抛物线的定义，利用 直尺、圆规等工具直接画 出抛物线。
参数法
引入参数方程，通过参数 的变化来绘制抛物线。
坐标法
利用抛物线的标准方程， 通过坐标变换和函数图像 绘制抛物线。
抛物线的计算方法
标准方程法
利用抛物线的标准方程， 求出焦点、准线等几何量 。
越小。
当 $p = 0$ 时，抛物线退化为 一条直线，即 $y = 0$。
03
抛物线的应用
抛物线在几何图形中的应用
抛物线与椭圆、双曲线的比较
通过比较抛物线与椭圆、双曲线的定义和性质，理解抛 物线的几何特性。
抛物线与直线的位置关系
研究抛物线与直线相交、平行和垂直的条件，以及这些 条件下的几何意义。
抛物线在实际问题中的应用
01
抛物线与物理学
理解抛物线在物理学中的应用，如斜抛运动、光 线的反射和折射等。
02
抛物线与经济学的关系
探讨抛物线在经济学中的运用，如需求曲线、成 本曲线等。
抛物线与其他数学知识的综合应用
抛物线与三角函数
结合三角函数的知识，研究抛物线的周期性和对 称性。
抛物线与导数
利用导数研究抛物线的极值点和切线斜率，解决 实际问题中的最优化问题。
当 $p > 0$ 时，抛物线开口向右；当 $p < 0$ 时 02 ，抛物线开口向左。

3-3-1抛物线及其标准方程课件(人教版)

3-3-1抛物线及其标准方程课件(人教版)

D．12
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，则抛物线
的方程是( C )
A．y2＝－8x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝4x
4．已知抛物线过点(－11，13)，则抛物线的标准方程是( C )
A．y2＝12629x
B．y2＝－11619x
C．y2＝－11619x 或 x2＝11231y D．x2＝－11231y
【解析】 ∵y2＝4x，∴F(1，0)，准线是 x＝－1. ∵|PM|＝5，∴xP＝4，∴|yP|＝4. ∴S△MPF＝12×5×4＝10.
探究 2 解决轨迹为抛物线问题的方法： 轨迹为抛物线的问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先 将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足 动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的 条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义 的条件．
探究 3 一般方程标准化是基本的解题方法． 思考题 3 (1)抛物线 y＝－16x2 的焦点坐标是________，准
线方程是________．
(2)已知抛物线的方程为 y2＝ax(a≠0)，求它的焦点坐标和准 线方程．
【思路分析】 由题设参数 a≠0，有两种情况 a＞0 或 a＜0， 需分别求解．
例 1 根据下列条件，求出抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在 x 轴上，且抛物线上一点 A(3，m)到焦点的距离为 5.
【解析】 (1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2px 或 x2＝2py(p>0)． ∵抛物线过点(－3，2)， ∴4＝－2p×(－3)或 9＝2p×2. ∴p＝23或 p＝94. ∴所求抛物线方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y. (2)由题意，可设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)． ∵A(3，m)到焦点距离为 5，∴p2＋3＝5，即 p＝4. ∴所求抛物线方程为 y2＝8x.

【2024版】】抛物线的定义及标准方程PPT课件

【2024版】】抛物线的定义及标准方程PPT课件
y
ox
﹒y o x
焦点
准线
标准方程
想一想:
1.椭圆，双曲线，抛物线各有几条准线？ 2.根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对应 关系，如何判断抛物线的焦点位置，开
口方向？
3.第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴 （或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称 轴上。！ 第二：一次的系数决定了开口方向
解（直接法）：设 M(x，y)，则由已知，得
|MF|+1=|x+5|
l
y .M
即 (x 4)2 y2 1 x 5 化简得 y2 16x 即为点 M的轨迹方程 .
.
o
Fx
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：
课题： 抛物线及 其标准方程（一）
复习：
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹.
(1)当0<e<1时,是椭圆;
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(3)当e=1时，它的轨迹是什么？

M
N
··F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
一、定义
定点F与定直线l的位置关系是 怎样的？
(3) (4)
（0, 021，4 -2）
准线方程
x=-5
y= -
1
—8
y 1 24
y=2
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
． 解：当抛物线的焦点在y轴
y
的正半轴上时，把A（-3，2） A

《抛物线及其标准方程一》(课件)

《抛物线及其标准方程一》(课件)
几何意义
抛物线的形状像一条平滑的曲线 ，它是由所有与焦点和准线等距 的点组成的。
焦点与准线
焦点
抛物线上的一个固定点，通常用大写 字母F表示。所有抛物线上的点到焦 点的距离都等于到准线的距离。
准线
抛物线所在平面内的一条定直线，通 常用小写字母l表示。准线与抛物线的 对称轴平行，且到焦点的距离等于焦 距。
抛物线与对称轴的交点，也称为抛物线的最高点或最低点。顶点的坐标可以通过 抛物线的标准方程求出。
对称轴
抛物线的一条直线，它经过顶点且与抛物线交于两点。对称轴与x轴平行或重合 ，且所有关于对称轴对称的点都在抛物线上。对称轴的方程可以通过抛物线的标 准方程求出。
02
标准方程推导与形式
标准方程推导过程
引入抛物线的定义
顶点位置
抛物线的顶点位置可以由 标准方程直接得出。
借助计算机软件进行可视化展示
使用数学软件
结合动态演示
如Mathematica、MATLAB等数学软 件，可以直接输入抛物线的标准方程， 进行可视化展示。
通过计算机软件，还可以实现抛物线 的动态演示，更直观地展示抛物线的 性质。
使用绘图工具
如GeoGebra、Desmos等在线绘图 工具，也可以方便地绘制出抛物线的 图像。
为：$d=|x+p|$。
对于开口向上或向下的抛物线， 焦点到直线上任意点的距离公式
为：$d=|y+p|$。
注意：这里的距离公式是在标准 方程下的特殊情况，对于一般的 抛物线方程，需要根据具体情况
进行推导。
03
抛物线图像绘制方法
利用描点法绘制图像
01
02
03
确定抛物线的顶点
根据抛物线的标准方程， 可以确定抛物线的顶点坐 标。

3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)

3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
7
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p

p

,m ，
2



因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6

m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p

3
p
p


( )2 m2 6

2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是

抛物线及其标准方程ppt课件


l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24

3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)(1)


(变量+系数正负)
✓ 看对称轴(变量)
✓ 看开口方向(系数正负)
求焦点坐标(1/4系数)
求准线方程(相反数)
【巩固1】抛物线的标准方程
练习1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 P133-2
(1) y 20 x
F (5,0), 准线 : x 5
1
( 2) x y
2
1
1
F (0, ), 准线 : y
a
2
2
法三:抛物线的焦点弦
2

x1 x2 p (焦点在x轴)
AB

y1 y2 p (焦点在y轴)
法四:圆的弦长 AB 2 r 2 d 2
FIGHTING
＋2 2＝8＋2 2，当且仅当 M′，M，N 三点共线时等
号成立．
【巩固3】抛物线的焦点弦
[引例1]已知过抛物线y 2 6 x的焦点F的直线l与抛物线交于A, B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
若B(3,2), 求 PB PF 的最小值及此时点P的坐标;
Q
Q'
P
B
析 : 过P作准线的垂线, 垂足为Q.
| PB | | PF || PB | | PQ |
| Q' B | (当BQ与准线垂直时等号成立)
3 1 4
将P( x,2)代入方程得4 4 x, x 1. P(1,2)
p
p
设M ( x, y), FK p, 则焦点F ( ,0), 准线l : x .

抛物线的定义与标准方程.ppt


y2=2px(p>0)
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标 准方程。其中p为正常数,表示焦点在x轴 正半轴上.
焦点坐标是( p , 0) 准线: x p
2
2
P的几何意义是:
焦点到准线的距离
y
想一想? y
K
0
x
y2=2px（P>0）
方程是 什么?
x 0
x2 2 py( p 0)
例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －ax2， 求它的焦点坐标和准线方程；
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。
例2 求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且过
点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解 (1)当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
K 0F
x
L 1.建立坐标系 2.设动点坐标
3.列方程
4.化简,整理
以过F且垂直于L的直线为x
轴,垂足为K.以F,K的中点为
坐标原点建立直角坐标系.
设M(x,y), |FK|=P,则F ( p , 0)
准线L:
p x .
2
则
2
(x p )2 y2 | x p |
2
2
两边平方,整理得
抛
物
线
的
定莆
义 与
田 二 中
标 准
蔡 海 涛
方
程
思考：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是 常数e的点的轨迹是 椭圆? 双曲线?
(1) o<e<1,是椭圆 (2) e>1, 是双曲线

3.3.1抛物线及其标准方程 课件(可编辑图片版)(共35张PPT)


4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的 点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有
2＋
p 2
＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝
16.∴m＝±4.
答案：±4
题型一 求抛物线的标准方程 探究 1 直接法求抛物线方程 例 1 (1)顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离 等于 3 的抛物线的标准方程是( ) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y
3.3.1抛物线及其标准方程
[知识要点]
要点一 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的 点的轨迹叫做__抛__物__线__．点 F 叫做抛物线的__焦__点____，直线 l 叫做 抛物线的_准__线___．
【方法技巧】(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一 个动点，设为 M；一个定点 F 叫做抛物线的焦点；一条定直线 l 叫 做抛物线的准线；一个定值，即点 M 到点 F 的距离和它到直线 l 的距离之比等于 1.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距 离．( √ ) (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是 抛物线．( × ) (3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物 线才具有标准形式．( √ ) (4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写 成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．( √ )
受二次函数的影响，误以为 y 根据抛物线方程求准线方程时，应
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l
y
x2 y2 x p ,
· N M
化简得 y2 2 px p2 ( p 0).
· K
Fx
10
解法三：取过点Ｆ且垂直于l 的直线为x轴，x轴
与l交于Ｋ，以线段ＫＦ的垂直平分线为y轴建立直角
坐标系，
则点Ｆ（
p 2
,０），l的方程为x
p 2
.
l
设动点Ｍ（x,y),由抛物线定义得 N
y
M·
(x p )2 y2 x p ,
解析法
几何关系式
代数关系式
6
2.抛物线的标准方程
建系
求曲线方程
的基本步骤
是怎样的？
设点
l
· N M ·F
列式
化简 证明
7
2-1.抛物线的标准方程的推导
设一个定点F到一条定直线l的距离为常数p (p>0)，
如何建立直角坐标系,求出抛物线的方程呢？
l
· N M
· K
F
8
解法一：以l为y轴，过点Ｆ且垂直于l的直线为x轴
2
赵州桥
3
4
抛物线的画法 数学这门学科不仅需要观察，还需要实验。（欧拉语）
5
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线
l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做 l
抛物线.
N
定点 F 叫做抛物线的焦点,
定直线 l 叫做抛物线的准线.
M· ·F
即: 若 MF 1, 则点M的轨迹是抛物线. MN
抛物线及其标准方程（一）
吉水县第二中学
刘建华
1
知识回顾
我们在哪些地方见过或研究过抛物线？ 1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线； 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛
物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹； 3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、
喷泉的纵截面都是抛物线。
y
· N M · K o F x
一般地，我们把顶点在原点、焦点F 在坐标轴 上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程.
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位 置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还 有其它形式.
13
2-3.抛物线标准方程的其他形式
l
· N M
y
· N M
·F
· K o F x
· · · ·
2
2
· K o F x
化简得y2 2 px( p 0).
11
2-2.抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程.
y
· 其中 p 为正常数，它的几何 N M · 意义是:焦点到准线的距离. K o F x
12
对“标准”的理解 y2 = 2px（p＞0）
l
· N M ·F
向下
x2 2 py F (0, p )
( p 0)
2
y p 2
15
３、例题讲解： 例1 根据下列条件求抛物线的标准方程：
（1） 已知抛物线的焦点坐标是 F(2, 0) （2）已知抛物线的准线方程是 x 3
2标为(
p 2
,
0)根据题意有
注意：求抛物线的焦点坐标一定要 先把抛物线的方程化为标准形式.
17
练习
2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）； y2 =12x
（2）准线方程 是x = 1 ；
4
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2.
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y或 x2 = -4y.
18
p 2
2故
p
4
因此，标准方程为 y2 8x
(2)设抛物线的标准方程为 y2 2 px(x 0)
其标准方程为 x 3 由题意有 p 3故 p 3
2
22
因此标准方程为 y2 6x
16
练习
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=－2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 －y =0
建立直角坐标系，则点Ｆ（p ,０）．
设动点Ｍ（x,y),由抛物线定义得
(x p)2 y2 x , 化简得y2 2 px p2 ( p 0).
y
· N M
· o
Fx
9
解法二：以定点Ｆ为原点，过点Ｆ且垂直于l的直 线为x轴建立直角坐标系.
则点Ｆ（0 ,０）, l 的方程为x= - p ．
设动点Ｍ（x,y),由抛物线定义得
小结与作业:
1、抛物线的定义和标准方程的推导；
2、抛物线的四种标准方程及相应的焦点坐标、准 线方程；
3、数形结合的思想。
形（曲线位置特征）
数（方程形式特征）
定位分析
定量分析
作业：课本 P37： 1，2，3 19
20
F
M
lN
y
F
M
o lN
x
14
﹒图象 开口方向 y o x 向右
标准方程 y2 2 px ( p 0)
焦点
F ( p , 0) 2
y
﹒o x 向左 ﹒y
向上 ox
y2 2 px
p
F ( , 0)
( p 0)
2
x2 2 py
p
F (0, )
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