一元函数微分学的应用

（3，4）内
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二、拉格朗日中值定理 定理 如果f(x)满足: （1）在闭区间[a,b]上连续。 （2）在开区间（a,b）内可导。 则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得
f ( ) f (b) f (a)
ba
注：若拉格朗日中值定理满足f(a)=f(b),即为罗尔定理 几何意义：在每点都有切线的一段曲线上至少存在一点P （ξ，f(ξ)） 使曲线在该点的切线平行于两端点的连线。
第三章 一元函数微分学的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用
本章简介:
本章将在建立了导数概念和解决了导数计算的基础上 学习微分中值定理,并由此引出计算未定型极限的方 法—洛必塔法则,并以导数为工具,讨论函数及其图形的 性态,解决一些实际问题.
本章重点: 微分中值定理;洛必塔法则;函数的极值、最值及 其求法
本章难点: 微分中值定理;函数的最值及其应用;函数的凹凸 区间及拐点求法
例2 证明:当 x>0时, x ln(1 x) x 1 x
证:设f(x)=ln(1+x) 显然f(x)在[0,x]
上满足拉格朗日定理,因而有
f(x) f (0) f ( )(x 0) (0< <x)
Q f(0)=0 f (x)= 1 ln(1+x)= x
1+x
1+
注：三个中值定理的关系： 柯西中值定理F(x)x拉格朗日定理 罗尔定理。 f (a) f (b)
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第一节
本节内容提要:
中值定理
一、罗尔定理
二、拉格朗日中值定理
三、柯西中值定理
本节重点 罗尔定理、 拉格朗日中值定理的条件和结论 、几何意 义及应用 本节难点 罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用 教学方法 启发式 教学手段 多媒体课件和面授讲解相结合 教学课时 2课时
一、罗尔定理
定理：如果函数f（x）满足： （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间（a,b）内可导。 （3）f(a)=f(b)。 则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得 f ( ) 0 几何意义：在每点都有切线的一段曲线上，若两端点的高度 相同，则在该曲线上存在一条水平切线. 注:（1）ξ点不一定唯一。
x


2
2
证:(1)设f (x) arcsin x arccos x,则在开区间
(-1,1)内 恒有f(x)=0,由推论1知
在(-1,1)内 f(x) c,
因为f(0)= ,所以c= 又f(-1)=f(1)=
2
2
2
所以在[-1,1]上恒有arcsinx+arccosx=
即f(x1) f (x2 ) 由x1,x2的任意性知, f(x)在(a,b)内是一个常数
推论2 设函数f(x)和g(x)在（a,b）内可导，且 f (x) g(x),
则f(x)和g(x)相差一个常数c,即 f (x) g(x) c 例3：证明（1）在[-1,1]上恒有 arcsin x arccos （2）对任何实数恒有 arctan x arc cot x
（2）定理的条件是充分的，但非必要的
例1：不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明 方程 f (x) 0 有几个实根，并指出它们所在的区间。
解：f(x)是一个边续可导函数，且f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0
f(x)在[1，2]，[2，3]，[3，4]上都满足罗尔定理的条件。
2
(2) 同理可证
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三﹑柯西中值定理 定理 如果函数f(x)与 F(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续 在开区间(a,b)内可导 F ( x)在(a,b）内的每一点处均不为零。
则在（a,b）内至少存在一点 ,使得
f ( ) f (b) f (a) F( ) F (b) F(a)
Q 0< <x
x x x
1+x 1
即
x 1+x
<ln(1+x)<x
推论1 设函数f(x)在（a,b）内可导，且 f (x) 0, 则 f(x)在区间（a,b）内是一个常数 证: 任取x1,x2 (a,b),不妨设x1<x2,
在[x1 ,x2 ]上应用拉格朗日定理有
f(x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) Q f ( ) 0 f(x2 ) f (x1) 0
存在 1（1，2）， 2 （2，3），3 （3，4）， 使
f (1 ) f (2 ) f (3 ) 0 即 f (x) 0 至少有三个实根 （i I=1,2,3）
又 f (x) 0是三次方程，它至多有三个不同的实根，综上所
述 f (x) 0 有三个实根，分别位于 区间（1，2）（2，3）