福建省福州一中自主招生考试数学试卷说课讲解

第6题图ABCDE第7题图图②图①120°1234120°第10题图图1图22中学自主招生数学试卷一、选择题(3分×10=30分) 1. 下列各数中,是5的相反数的是( )A ． -5B ． 5C ．0.5D ． 0.22.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY ,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY 放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km .那么这个数的原数是( ) A .143 344 937 km B . 1 433 449 370 km C . 14 334 493 700 km D . 1.43344937 km4.下列计算正确的是( )A ．2a -3a =-1B ．(a 2b 3)3=a 5b 6C ．a 2 ·a 3=a 6D ．a 2+3a 2=4a 2 5. 已知关于x 的分式方程mx +1x=2有解,则m 的取值范围是（ ） A .m ≤1且m ≠0 B . m ≤1 C . m ≥-1 D . m ≥-1 且m ≠0 6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 如图所示,在Rt △ABC 中∠A =25°,∠ACB =90°,以点C 为圆心,BC 为半径的圆交AB 于一点D ,交AC 于点E ,则∠DCE 的度数为（ ） A . 30° B . 25° C . 40° D . 50°8. 不等式组101103x x +>⎧⎪⎨->⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示 数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对 应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）A ．12B ．29C ． 79D ．3410. 如图1所示,小明(点P )在操场上跑步,B CD E 123第12题图A E B C D第14题图A EFM A 'B C D 第15题图A 弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点) 出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x , 小明到右侧半圆形弯道的圆心O 的距离PO 为y ,可绘制出如图2所示函数图象,那么a -b 的值应为( ) A ．4 B ．52π-1 C ．D ．π二、填空题(3分×5=15分)11. (-3)0= .12. 如图所示,直线ABCD 被BC 所截,若AB ∥CD ,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .13.二次函数y =x 2-2mx +1在x ≤1时y 随x 增大而减小,则m 的取值范围是 .14. 如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD =2,AB =4,∠A =30°,以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E . 连接CE ,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)15.如图所示,正方形ABCD 中,AB =8,BE =DF =1,M 是射线AD 上的动点,点A 关于直线EM 的对称点为A ，，当△A ，FC 为以FC 为直角边的直角三角形时,对应的MA 的长为 .三、解答题(本大题共8小题，满分75分)16. (8分)先化简22442x x x x -+-÷(x -4x),然后从xx的值代入求值.17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： ⑴陈老师一共调查了多少名同学？ ⑵将条形统计图补充完整；⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A 类学生中随机选取一位同学，再从D 类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．D18.(9分)如图所示,⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆,AB =AC ,延长BC 至点D ,使CD =AC ,连接AD 交⊙O 于点E ,连接BE 、CE ,BE 交AC 于点F .⑴求证：CE =AE ⑵填空： ①当∠ABC = 时,四边形AOCE 是菱形；②若AE,AB =则DE 的长为 .19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长 为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与 底座构成的∠BAD =60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C 到桌面的 高度CE 的长？（结果精确到0.1cm 1.732）20.(9分)如图所示,直线y =ax +1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,与双曲线y =kx(x >0)相交于点P ,PC ⊥x 轴于点C ,且PC =2,点A 的坐标为(-2,0). ⑴求双曲线的解析式；⑵若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点,且QH ⊥x 轴 于H ,当以点Q 、C 、H 为顶点的三角与△AOB 相似 时,求点Q 的坐标.21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其G F E B C DA 图1图2图3AD CBE F G GF E B CD A中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同. ⑴求m 的值⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a (50<a <70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.22.(10分)等腰直角三角形ABC 中,AC =BC E 为AC 中点,以CE 为斜边作如图所示等腰直角三角形CED .(1)观察猜想: 如图1所示,过D 作DF ⊥AE 于F ,交AB 于G ,线段CD 与BG 的关系为 ；(2)探究证明:如图2所示，将△CDE 绕点C 顺时针旋转到如图所示位置，过D 作DF ⊥AE 于F ，过B 作DE 的平行线与直线FD 交于点G ,(1)中结论是否成立?请说明理由； (3)拓展延伸: 如图3所示,当E 、D 、G 共线时,直接写出DG 的长度.23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B (4,0)、C (8,0)， D (8,8).抛物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标,并求出抛物线的解析式；(2动点P 从点A 出发,沿线段AB 向终点B 运动,同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t 秒.①如图1所示,过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ,过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ,点G 关于抛物线对称轴的对称点为H ,求当t 为何值时,△HAC 的面积为16；②如图2所示,连接EQ ,过Q 作QM ⊥AC 于M ,在点P 、Q 运动的过程中，是否存在某个t ,使得∠QEM =2∠QCE ,若存在请直接写出相应的t参考答案一、选择题(3分×10=30分) 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D二、填空题(3分×5=15分)11.-2 12.80° 13.m ≥1 14.3-3π 15. 三、解答题(本大题共8小题，满分75分)16.解：224442x x x x x x-+÷--（）= ()22(24)2x x x x x --÷-= ()()222x x x x x -⨯+-= 12x + 当x =1时，原式=1132x =+ （名），又AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴∠CED =∠ACB ，又∠AEB 和∠ACB 都为AB 所对的圆周角，∴∠AEB =∠ACB ，∴∠CED =∠AEB ，∵AB =AC ，CD =AC ，∴AB =CD ，在△ABE 和△CDE 中，BAEDCE AEB CED ABCD∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE ≌△CDE （AAS ） (2)①60当△QCH ∽△BA中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 2的算术平方根是（ ）A. B.C.D. 22. 下列运算正确的是（ ）A.B. C. D.3.近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A. B. C. D.5.在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：关于这组数据，下列说法正确的是（）A. 中位数是2B. 众数是17C. 平均数是2D. 方差是26.某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A. B. C. D.7.如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（）A.B.C.D.8.如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.-5的相反数是______．10.分解因式：4a2-4a+1=______．11.若在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．12.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=______度．13.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．14.同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y=x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为______℃．15.如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC=______cm．16.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．三、计算题（本大题共3小题，共20分）17.计算|-6|+（-2）3+（）018.化简：19.小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去兴化李中水上森林游玩．（1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为______；（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．四、解答题（本大题共8小题，共82分）20.解不等式组21.某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题（1）该调查的样本容量为______，a=______%，b=______%，“常常”对应扇形的圆心角为______°（2）请你补全条形统计图；（3）若该校共有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？22.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．23.某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为______元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？24.如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时BC=10cm，箱底端点E与墙角G的距离为65cm，∠DCG=60°．（1）箱盖绕点A转过的角度为______，点B到墙面的距离为______cm；（2）求箱子的宽EF（结果保留整数，可用科学计算器）．（参考数据：=1.41，=1.73）25.如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，-），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．27.正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°（1）当OM经过点A时，①请直接填空：ON______（可能，不可能）过D点：（图1仅供分析）②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形；③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON上取点E（E点在正方形ABCD外部），过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，若四边形EFCH为正方形，那么OE与OA是否相等？请说明理由；（2）当点O在射线BC上且OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=2．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=S△OBG，连接GP，则当BO 为何值时，四边形PKBG的面积最大？最大面积为多少？答案和解析1.【答案】B【解析】解：2的算术平方根是，故选：B．根据算术平方根的定义直接解答即可．本题考查的是算术平方根的定义，即一个数正的平方根叫这个数的算术平方根．2.【答案】C【解析】解：A、a3•a3=a6，故此选项错误；B、a3+a3=2a3，故此选项错误；C、（a3）2=a6，正确；D、a6•a2=a8，故此选项错误．故选：C．分别利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算、合并同类项法则判断得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项等知识，正确掌握运算法则是解题关键．3.【答案】D【解析】解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】A【解析】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．故选：A．左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．5.【答案】A【解析】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=；∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是3；∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，∴这组数据的中位数为2，故选：A．先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．6.【答案】C【解析】解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，由题意可得：2（1+x）2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意舍去），答：该店销售额平均每月的增长率为50%；故选：C．设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．本题需注意根据题意分别列出二、三月份销售额的代数式．7.【答案】D【解析】解：过点P作PE⊥y轴于点E∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD又∵BD⊥x轴∴ABDO为矩形∴AB=DO=6∴S矩形ABDO=S▱ABCD∵P为对角线交点，PE⊥y轴∴四边形PDOE为矩形面积为3即DO•EO=3∴设P点坐标为（x，y）k=xy=-3故选：D．由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：连接AC、BD、OE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AM=CM，BM=DM，∵⊙O与边AB、AD都相切，∴点O在AC上，设AM=x，BM=y，∵∠BAD＜90°，∴x＞y，由勾股定理得，x2+y2=25，∵菱形ABCD的面积为20，∴xy=5，，解得，x=2，y=，∵⊙O与边AB相切，∴∠OEA=90°，∵∠OEA=∠BMA，∠OAE=∠BAM，∴△AOE∽△ABM，∴=，即=，解得，OE=，故选：D．连接AC、BD、OE，根据菱形的性质、勾股定理分别求出AM、BM，根据切线的性质得到∠OEA=90°，证明△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是切线的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9.【答案】5【解析】解：-5的相反数是5．故答案为：5．根据相反数的定义直接求得结果．本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．10.【答案】（2a-1）2【解析】解：4a2-4a+1=（2a-1）2．故答案为：（2a-1）2．根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．11.【答案】x≥2【解析】解：由题意得：x-2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0，再解即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．12.【答案】30【解析】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，∴∠BOD=45°，∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=45°-15°=30°．故答案为：30．根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD-∠AOB计算即可得解．本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的概念，需熟记．13.【答案】【解析】解：∵∠BOC=2∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA=3，∴的长度==π，∴圆锥底面圆的半径=，故答案为：．根据平角的定义得到∠AOC=60°，推出△AOC是等边三角形，得到OA=3，根据弧长的规定得到的长度==π，于是得到结论．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.【答案】-40【解析】解：根据题意得x+32=x，解得x=-40．故答案是：-40．根据题意得x+32=x，解方程即可求得x的值．本题考查了函数的关系式，根据摄氏度数值与华氏度数值恰好相等转化为解方程问题是关键．15.【答案】（2+2）【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，∵DP⊥BC，∴∠BPD=90°，∵PB=4cm，∴BD=8cm，PD=4cm，∵把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，∴AD=PD=4cm，∠DPE=∠A=60°，∴AB=（8+4）cm，∴BC=（8+4）cm，∴PC=BC-BP=（4+4）cm，∵∠EPC=180°-90°-60°=30°，∴∠PEC=90°，∴CE=PC=（2+2）cm，故答案为：2+2．根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，根据直角三角形的性质得到BD=8cm，PD=4cm，根据折叠的性质得到AD=PD=4cm，∠DPE=∠A=60°，解直角三角形即可得到结论．本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．16.【答案】【解析】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC•sin∠ACN=，∴AM=，∴DE=，故答案为：．延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．17.【答案】解：原式=6-8+1=-1．【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：==a．【解析】根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．19.【答案】【解析】解：（1）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数为1，所以小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率=；故答案为（2）画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中他们三人在同一个半天去游玩的结果数为2，所以他们三人在同一个半天去游玩的概率=．（1）画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20.【答案】解：解不等式2x＞1-x，得：x＞，解不等式4x+2＜x+4，得：x＜，则不等式组的解集为＜x＜．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】200 12 36 108【解析】解：（1）∵44÷22%=200（名）∴该调查的样本容量为200；a=24÷200=12%，b=72÷200=36%，“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%=108°．（2）200×30%=60（名）．（3）∵3200×36%=1152（名）∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1152名．故答案为：200、12、36、108．（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；最后根据“常常”对应的人数的百分比是30%，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可．（2）求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可．（3）用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．22.【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．由翻折的性质可知：∠EAB=∠BAC，∠DCF=∠DCA．∴∠EAB=∠DCF．∠∠在△ABE和△CDF中，∠∠∴△ABE≌△CDF（ASA），∴DF=BE．∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∠BAE=∠CAE=30°，∵∠B=90°，∴∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，∴EA=EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．【解析】（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；（2）由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．23.【答案】240【解析】解：（1）观察图象可知：当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为240元．故答案为240．（2）∵3600÷240=15，3600÷150=24，∴收费标准在BC段，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴y=-6x+300，由题意（-6x+300）x=3600，解得x=20或30（舍弃）答：参加这次旅游的人数是20人．（1）观察图象即可解决问题；（2）首先判断收费标准在BC段，求出直线BC的解析式，列出方程即可解决问题．本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．24.【答案】150° 5【解析】解：（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．∵∠DCG=60°，∴∠CDN=30°．又∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，∴∠MAD=∠CDN=30°（同角的余角相等），∴箱盖绕点A转过的角度为：360°-90°-30°-90°=150°．在直角△BCH中，∠BCH=30°，BC=10cm，则BH=BC=5cm．故答案是：150°；5；（2）在直角△AMD中，AD=BC=10cm，∠MAD=30°，则MD=AD•sin30°=×10=5（cm）．∵∠DCN=30°，∴cos∠DCN=cos30°==，即=，解得EF=32.4．即箱子的宽EF是32.4cm．（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．利用矩形的性质、直角三角形的性质以及等角的余角相等得到∠MAD=30°，根据周角的定义易求箱盖绕点A转过的角度；通过解直角△BHC来求BH的长度；（2）通过解直角△AMD得到线段MD的长度，则DN=65-EF-DM，利用解直角△DCN来求CD的长度，即EF的长度即可．本题考查了解直角三角形的应用．主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．25.【答案】解：（1）∵点A（，0）与点B（0，-），∴OA=，OB=，∴AB==2，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴⊙M的半径为：；（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，∴∠ABO=90°-∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB•tan30°=×=，∴AC=OA-OC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE=AC=，∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA-AF=，∴点E的坐标为：（，）．【解析】（1）由点A（，0）与点B（0，-），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易得△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．26.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），∴，得，∴y=x2-x-=，∴二次函数的表达式是y=x2-x-，顶点坐标是（，）；（2）①点M的坐标为（，），（，-）或（，-），理由：当AM1⊥AB时，如右图1所示，∵点A（-1，0），点B（0，-），∴OA=1，OB=，∴tan∠BAO==，∴∠BAO=60°，∴∠OAM1=30°，∴tan∠OAM1=，解得，DM1=，∴M1的坐标为（，）；当BM3⊥AB时，同理可得，，解得，DM3=，∴M3的坐标为（，-）；当点M2到线段AB的中点的距离等于线段AB的一半时，∵点A（-1，0），点B（0，-），∴线段AB中点的坐标为（-，），线段AB的长度是2，设点M2的坐标为（，m），则=1，解得，m=，即点M2的坐标为（，-）；由上可得，点M的坐标为（，），（，-）或（，-）；②如图2所示，作AB的垂直平分线，于y轴交于点F，由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，∴以F为圆心，AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点，则∠AMB=∠AM′B=∠AFB=60°，∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1，∴∠FAO=30°，AF==FM=FM′，OF=，过点F作FG⊥MM′于点G，∵FG=，∴MG=M′G=，又∵G（，-），∴M（，），M′（，），∴≤t≤．【解析】（1）根据二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；（2）①根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标；②根据题意，构造一个圆，然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范围．本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用分类讨论和数形结合的思想解答．27.【答案】不可能【解析】解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，∴ON不可能过D点，故答案为：不可能；②如图2中，∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，∴四边形EFCH为矩形，∵∠MON=90°，∴∠EOF=90°-∠AOB，在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB，∴∠EOF=∠BAO，在△OFE和△ABO中，，∴△OFE≌△ABO（AAS），∴EF=OB，OF=AB，又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，∴CF=EF，∴四边形EFCH为正方形；③结论：OA=OE．理由：如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．。

福州一中2014年高中招生（面向福州以外地区）综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）1． 下列等式：①22532b a ab ab =+； ②326(5)25a a -=；③y x y x +=+； ④10112()( 3.14)|32|433π-+----=+ .其中正确的等式有（★★★）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示：则这些队员年龄的众数和中位数分别是(★★★) A ．31, 152 B ．3115, 2 C ．15, 15 D ．3131, 223．右图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为等边三角形，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（★★★） A ．2732B ．123C ．24D ．2423+34年龄人数年龄人数4．若关于x 的方程22x c x c +=+的解是1x c =，22x c=，则关于x 的方程2211x a x a +=+++的解12 x x ，的值是（★★★） A ．2,a aB ．21, 1a a ++C . 2, 1a a +D ．1, 1a a a -+5．如图，边长为2的菱形纸片ABCD 中，60A ∠=，将该纸片折叠，EF为折痕，点A D 、分别落在'A 、'D 处.若''A D 经过点B ，且'D F CD ⊥，则DF 的长为（★★★） A．2B．4- C．32- D6．有一个数阵排列如下：1 2 4 7 11 16 22 3 5 8 12 17 23 6 9 13 18 2410 14 19 2515 20 2621 2728则第20行从左至右第10个数为（★★★）A ．425B ．426C ．427D ．428二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．计算：22222132(1)211a a a a aa a a a a +-+⋅-÷=----+★★★.8．如图，BD CE 、分别是ABC ∆的AC AB 、边上的中线，且BD CE ⊥.若4BD =，6CE =，则ABC ∆的面积等于★★★.E DCBAD 'A 'FE DCBA9．从2,1,1,2--这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y kx b =+的系数k b 、，则一次函数y kx b =+的图象不经过第三象限的概率是★★★. 10. 有一列数a ，b ，c ，d ，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差．若第一个数a 等于2，则第2014个数等于★★★. 11．如图，已知直线y kx =与双曲线ky x=相交于A B 、两点，过点A 作AC 垂直于x 轴，垂足为C ，且12AOCS ∆=.过原点O 作AB 的垂线交AC 的延长线于点D ，则ABD ∆的内切圆半径长等于★★★.12．规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =， {}2 4.2-=-；②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-. 若实数x 满足{}[]4 2=-x x ,则实数x 的取值范围是★★★．三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．（本小题满分12分）如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，AC BC =，D 为⊙O 中劣弧AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =． (1) 求证：ACE BCD ∠=∠；(2) 若60ACB ∠=，试探究CD 与AD BD +长度的大小关系，并证明你的结论．E如图，小明站在看台上的A 处，测得旗杆顶端D 的仰角为15，当旗杆顶端D 的影子刚好落在看台底部B 处时，太阳光与地面成60角.已知60ABC ∠=，4AB =米，求旗杆的高度. （点A 与旗杆DE 及其影子在同一平面内，CB E 、、三点共线且旗杆与地面垂直，不考虑小明的身高）如图，在平面直角坐标系中，A B 、为x 轴上两点（点A 在点B 的左边），C D 、为y 轴上两点，经过A C B 、、的抛物线的一部分1C 与经过A D B 、、的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点D 的坐标为(0 , 2)-，抛物线1C 的解析式为223 (0)y mx mx m m =--<.(1) 求A B 、两点的坐标；(2) 若四边形ACBD 是梯形，求m 的值；(3) 若点D 关于x 轴的对称点为1D ，试判断直线1AD 与该蛋线的公共点的个数，并证福州一中2014年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7． 1- 8．16 9．1310．211．2 12．23x ≤<三、解答题（本大题共3小题，满分40分） 13．(1)证明： ABC ∆中，AC BC = CAB CBA ∴∠=1802ACB CBA ∴∠=-∠同理CED ∆中，1802ECD CDA ∠=-∠……2分O 中，AC AC =CBA CDA ∴∠=∠…………………………………3分ACB ECD ∴∠=∠…………………………………4分 ACB ACD ECD ACD ∴∠-∠=∠-∠即 ACE BCD ∠=∠.……………………………5分(2)解：,CD AD BD =+证明如下：……………………6分在ACE ∆和BCD ∆中，AC BC ACE BCDCE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACE ∴∆≌()BCD SAS ∆…………………………8分AE BD ∴=………………………………………9分若60ACB ∠=，则60ECD ∠=、又∵CE CD =ECD ∴∆是等边三角形DE DC ∴=………………………………………10分DE AD AE =+EAE BD =∴DE AD BD =+又∵DE DC =∴CD AD BD =+.………………………………12分 14．解：过点A 作AFBD ⊥于点F ，……………………1分由题意知，15,60.DAH DBE ∠=∠= 点,,C B E 在一条直线上18060ABD ABC DBE ∴∠=-∠-∠=………2分ABF ∆中，90,4AFB AB ∠==∴cos 4cos 602,BF AB ABD =⋅∠=⋅=sin 4sin 6023AF AB ABD=⋅∠=⋅=6分AH ∥BE60HAB ABC ∴∠=∠=75BAD HAB DAH ∴∠=∠+∠=DAB ∆中，18045ADB ABD DAB ∠=-∠-∠=Rt DAF ∴∆中，tan DFAF ADB =⋅∠=2BD BF FD ∴=+=+……………………10分在Rt BDE ∆中，60DBE ∠=(sin 23DE BD DBE ∴=⋅∠=+=+∴旗杆的高度为(3+米.………………………12分15．解：(1) 在函数223y mx mx m =--中，令0y =，则 2230mx mx m --= ∵0m <∴2230x x --=解得 123, 1x x ==-∴ (1,0), (3,0)A B -……………………………2分 (2) ∵(1,0), (3,0), (0,2)A B D --∴1, 3, 2AO BO DO ===.在函数223 (0)y mx mx m m =--<中，令0x =，则3y m =-∴(0,3)C m -则3OC m =-……………………………………3分①若AC ∥BD则AOC ∆∽BOD ∆ ∴AO BOCO DO = ∴1332m =- 解得29m =-此时AC BD ≠，四边形ACBD 是梯形.……6分 ②若BC ∥AD则AOD ∆∽BOC ∆ ∴AO BODO CO = ∴1323m=- 解得2m =-此时AD BC ≠，四边形ACBD 是梯形.综上所述，229m =--或.………………………………………………9分 (3) ∵点1D 与点D 关于x 轴对称∴1(0,2)D则直线1AD 的方程为：22y x =+………………………………………11分 易知直线1AD 与抛物线2C 只有一个公共点A ，下面只要考虑直线1AD 与抛物线1C 的公共点个数. 联立直线1AD 和抛物线1C 的方程22223y x y mx mx m =+⎧⎨=--⎩得2(22)320mx m x m -+--= 解得123x m=+，21x =-…………………………………………………13分 ∵0m < ∴233m+< ①当231m +>-，即12m <-时， 直线1AD 与该蛋线有两个公共点； ②当23m +≤1-，即12-≤0m <时， 直线1AD 与该蛋线只有一个公共点A .综上所述，当12m <-时，直线1AD 与该蛋线有两个公共点； 当12-≤0m <时，直线1AD 与该蛋线有一个公共点.…………16分。

2011年福州一中自主招生一、选择题1．右图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误．．的是（★★★） A ．a c < B ．b c < C ．2224a b c += D ．222a b c +=2．下列计算：①42=±；②236236a a a =；③20111||2sin 45(1)012-+-=-；④b c ba c a +=+．其中正确的个数有（★★★）A ．0B ．1C ．2D ．33．某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款．其中8人捐款统计如下表：捐款数（万元） 5 10 20 50人数（人）1 2 32设这8人捐款数的众数为a ，中位数为b ，平均数为c ，则下列各式正确的是（★★★） A ．a b c =< B ．a b c << C ．a b c => D ．a b c == 4．如右图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C 、、，则该 圆弧所在圆的圆心坐标为（★★★）A ．(2,0)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．无法确定 5．如右图，在ABC ∆中，5,4,3AB AC BC ===，经过点C 且 与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（★★★） A ．2 B ．125C ．52 D ．226．定义：直线1l 与2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线1l 、2l 的距离分别为p 、q ，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是（★★★）A ．1B ．2C ．3D ． 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．化简22221621()393x x x x x x x x --+++÷+-+的结果为 ★★★．8．如图，在两面墙之间有一根底端在A 点的竹竿，当它靠在一1yxOBAC1AC EDBAP侧墙上时，竹竿的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，竹竿 的顶端在D 点．已知60BAC ∠=，45DAE ∠=，2AC =米， 则DE 的高度为★★★米．（墙面垂直地面）9．若实数a b ，满足21a b +=，则224a b +10．如图，△ABC 的三边长分别为3、5、6，BD 是△ABC •的外角平分线，M 、N 是直线BC 且AM BD ⊥于D ，AN CE ⊥于E ，则DE 的长等于★★★．11．下面为杨辉三角系数表，它的作用之一是指导读者按规律写出形如()na b +（其中n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出6()a b +展开式中所缺的系数．则 12．三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是410x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222459459a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是★★★ ．三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，连接AE 、DE ． △DCE 沿DE 翻折后，点C 恰好落在AE 上，记为点F ．（Ⅰ）求证： ADF ∆≌EAB ∆； （Ⅱ）若10AD =，1tan 3EDF ∠=,求矩形ABCD 的面积．14．（本小题满分14分）如图，双曲线ky x =与直线:(0,0)l y kx b k b =-+>>有且只有 1()a b a b +=+ 222()2a b a ab b +=++ 33223()33a b a a b ab b +=+++66542()615a b a a b a b +=+++★★★332456156a b a b ab b +++．4432234()464a b a a b a b ab b +=++++CE FDAB．．． ．．．一个公共点A ，AC x ⊥轴于C ，直线l 交x 轴于点B ．（Ⅰ）求点A 的横坐标；（Ⅱ） 已知ABC ∆的面积等于1，若有一动点从原点开始移动， 假定其每次只能向上或向右移动1个单位长度（向上和向右的 可能性相同）．求3次移动后，该点在直线l 上的概率．15．（本小题满分14分）已知二次函数22y ax ax c =-+的图像与x 轴交于(1,0)A -、B 两点，其顶点为M ．（Ⅰ）根据图像，解不等式220ax ax c -+>；（Ⅱ）若点(3,6)D -在二次函数的图像上，试问：线段OB 上 是否存在N 点，使得ADB BMN ∠=∠？若存在，求出N 点坐 标；若不存在，说明理由．福州一中2011年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号 1 2 3 4 56 答案CBABBD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7．1x 8．2 2 9．1 10．7 11． 20 12．918x y =⎧⎨=⎩ 三、解答题（本大题共3小题，满分40分） 13．(Ⅰ)证明：DCE ∆沿DE 翻折得到DFE ∆，DCE ∆∴≌DFE ∆，∴,90DC DF DFE C =∠=∠=，…………2分CE FDAB又矩形ABCD 中//AD BC ,AB CD =,90B ∠=。

2015年福建省福州自主招生考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠32．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a|的结果为（）A．﹣2a+b B．﹣b C．﹣2a﹣b D．b3．如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A． B． C．D．4．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）A．B．C．D．5．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄13 14 15 16 17 18人数 4 5 6 6 7 2则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，166．如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE 的值是（）A．B．1 C．2 D．39．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C． D．10．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A．1场B．2场C．3场D．4场二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= ．12．罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是．13．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x 个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为．14．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是．15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm2（结果精确到0.1，≈1.73）．三、解答题：本大题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（1）计算： +（）﹣2﹣20150﹣2cos30°+|﹣|（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x=﹣6．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E 为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的长．19．如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=﹣b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根之差的绝对值为，求a的值；（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）求△BMN的面积的最大值．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x 轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．22．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4．①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；②通过进一步的研究发现N（n，5）=n2﹣n，N（n，6）=2n2﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．2015年福建省福州一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≥0且x﹣3≠0，解得：x≥﹣1且x≠3．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a|的结果为（）A．﹣2a+b B．﹣b C．﹣2a﹣b D．b【考点】实数与数轴．【分析】根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据整式的运算，可得答案．【解答】解：由题意，得原式=b﹣a﹣（﹣a）=b﹣a+a=b，故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴，利用绝对值的意义化简绝对值是解题关键．3．如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A． B． C．D．【考点】生活中的平移现象．【分析】根据平移的性质，结合图形求得平移后的图形，采用排除法判定正确选项．【解答】解：观察可知，平移后的图形，上下火柴棒方向不变，位置改变；左右火柴棒，往中间移动，方向不变，位置改变．只有B符合．故选B．【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、C、D．4．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】理解洗衣机的四个过程中的含水量与图象的关系是关键．【解答】解：因为进水时水量增加，函数图象的走势向上，所以可以排除B，清洗时水量大致不变，函数图象与x轴平行，排水时水量减少，函数图象的走势向下，排除A，对于C、D，因为题目中明确说明了一开始时洗衣机内无水．故选D．【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．5．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄13 14 15 16 17 18人数 4 5 6 6 7 2则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，16【考点】众数；中位数．【专题】图表型．【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．【解答】解：17出现的次数最多，17是众数．第15和第16个数分别是15、16，所以中位数为15.5．故选：A．【点评】本题考查了众数及中位数的知识，掌握各部分的概念是解题关键．6．如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】相切两圆的性质；切线的性质．【分析】如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M．设⊙O半径为R，在RT△AOM中利用勾股定理即可解决．【解答】解：如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M．设⊙O半径为R．∵AC⊥CE，DO⊥CE，BE⊥CE，∴AC∥OD∥BE，∵AC=BE=1，∴四边形ACEB是平行四边形，∵∠ACD=∠ODC=∠BEC=90°，∴四边形ACEB是矩形，∴DM=AC=1，∵AB∥CE，OD⊥CE，∴OD⊥AB∵OA=OB，∴AM=BM=AB=4，在RT△AOM中，∵OA2=OM2+AM2，∴（R+1）2=42+（R﹣1）2，∴R=4故选B．【点评】本题考查相切两个圆的性质、切线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设参数，构建方程解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据对称轴x=﹣=1即可确定2a+b的取值范围，根据b=﹣2a，a＜0可以确定a+b＞0是否成立．【解答】解：∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴x=1=﹣，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②错误．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b=0，故③正确；∵b=﹣2a，∴a+b=a﹣2a=﹣a，∴a＜0，∴﹣a＞0，∴a+b＞0，故④正确；故选B．【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE 的值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先过点E作EH⊥BC于点H，由矩形的性质，可得EH=AB=2，由折叠的性质，可得BE=DE，设AE=x，由勾股定理即可求得方程：22+x2=（6﹣x）2，解此方程即可求得BH的长，易得△BEF是等腰三角形，又由等腰三角形的性质，可求得BF的长，继而求得答案．【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴EH=AB=2，∠A=90°，设AE=x，则DE=AD﹣AE=6﹣x，由折叠的性质可得：BE=DE=6﹣x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，∴BH=AE=，DE=，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∵∠DEF=∠BEF，∴∠BEF=∠BFE，∴BF=DE=，∴FH=BF﹣BH=，∴tan∠BFE===3．故选D．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．9．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C． D．【考点】几何体的展开图．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符．故选B．【点评】解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．10．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A．1场B．2场C．3场D．4场【考点】推理与论证．【分析】根据甲参赛了5场，则甲和每人参赛了一场，所以根据戊已经赛了1场，戊只和甲比赛了一场；再根据乙已经赛了4场，则乙和甲、丙、丁、小强各参赛了一场．根据丁已经赛了2场，则丁只和甲、乙进行了比赛；再根据丙已经赛了3场，则丙和甲、乙、小强各比赛了一场．所以小强比赛了3场．【解答】解：由于每两人比赛一场，因此每个人最多比5场．甲已经赛了5场，则说明甲和其他5人都比了一场；由此可知：甲与小强比了一场，戊只和甲赛了一场；乙赛了4场，除去和甲赛的一场外，还和其他三人各赛一场，因此这三人必为：丙、丁和小强；丁赛了2场，由上面两个人的比赛情况可知：丁只与甲、乙进行了比赛；丙赛了3场，除去和甲、丁的两场比赛，还剩下一场，而丁和戊都没有和丙比赛，因此丙剩下的一场比赛必为和小强的比赛．因此小强赛了三场，且对手为甲、乙、丙．故选C．【点评】本题要首尾结合进行逐步推理．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= 32 ．【考点】二次根式的化简求值．【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程，求解即可．【解答】解：∵a*b=﹣a，∴2*x=﹣2，∴方程2*x=6可化为﹣2=6，解得x=32，故答案为：32【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键．12．罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是52 ．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型．【分析】根据上述数字的表示方法，可以发现：如果较小的数字在较大的数字前面，则表示的数是较大的数表示的数字减去较小的数字；如果较小的数字写在较大的数字的后面，则表示的数的较大的数字加上较小的数字．则LII=50+1+1=52．【解答】解：LII=50+1+1=52．【点评】能够根据具体例子发现规则，然后进行计算．解题的关键是要知道如果较小的数字在较大的数字前面，则表示的数是较大的数表示的数字减去较小的数字；如果较小的数字写在较大的数字的后面，则表示的数的较大的数字加上较小的数字．13．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x 个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为y=3x+5 ．【考点】概率公式．【分析】根据白球的概率公式：得到相应的方程： =，根据方程求解即可．【解答】解：∵取出一个白球的概率P=，∴=，∴12+4x=7+x+y，∴y与x的函数关系式为：y=3x+5．故答案为：y=3x+5．【点评】此题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是14＜a＜16 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组只有四个整数解，求出实数a的取值范围．【解答】解：解①得x＞2，解②得x＜a，∴2＜x，∵不等式组有且只有四个整数解，即3，4，5，6；∴7＜a＜8，即14＜a＜16．故答案为14＜a＜16．【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是20.3 cm2（结果精确到0.1，≈1.73）．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，根据AC=8，就可求出GF的长，从而求解．【解答】解：设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，设FC=x，则GF=FC=x，∵旋转角为60°，即可得∠FAG=60°，∴AF=GFcot∠FAG=x．所以x+x=8，则x=12﹣4．所以S△AGC=×8×（12﹣4）≈20.3cm2．故答案为：20.3．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三、解答题：本大题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（1）计算： +（）﹣2﹣20150﹣2cos30°+|﹣|（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x=﹣6．【考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；分式．【分析】（1）原式利用算术平方根，零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=5+9﹣1﹣+=13；（2）原式=﹣÷=•=，当x=﹣6时，原式===．【点评】此题考查了实数的运算，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E 为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，根据已知的三角函数值和线段OA的长求出AD与OD的长，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式；（2）把点B的横坐标代入反比例函数解析式中得到B的坐标，然后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中，求出k与b的值即可得到一次函数解析式，从而求出点C的坐标，得到OC的长，最后利用三角形的面积公式求出△AOC与△BOC的面积，相加即可得到△AOB的面积．【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，∵tan∠AOE==，设AD=4x，OD=3x，∵OA=5，在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，∴A（3，4），把A（3，4）代入反比例函数y=中，解得：m=12，则反比例函数的解析式为y=；（2）把点B的坐标为（﹣6，n）代入y=中，解得n=﹣2，则B的坐标为（﹣6，﹣2），把A（3，4）和B（﹣6，﹣2）分别代入一次函数y=kx+b（k≠0）得，解得，则一次函数的解析式为y=x+2，∵点C在x轴上，令y=0，得x=﹣3即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，三角形函数值，以及三角形的面积公式的运用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的长．【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．【分析】（1）只要证明两角对应相等即可证明．（2）作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，连接ME，先证明△OMR≌△ONQ，得到OR=OQ，MK=FN，由题意S=4S△PNQ，推出PR=4PQ，即2+a=4a，求出a，然后利用勾股定理求出QN、利用面积法求出FN，△PMR再利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵NQ、RM是⊙O切线，∴NQ⊥MN，MR⊥MN，∴NQ∥MR，∴∠Q=∠R，∵MN是直径，∴∠MPN=∠MNQ=90°，∴∠MNP+∠NMP=90°，∠MNP+∠PNQ=90°，∴∠QNP=∠NMP，∵OM=OP，∴∠OPM=∠OMP，∴∠QNP=∠RPM，∴△NPQ∽△PMR．（2）解：作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，连接ME，在△OMR和△ONQ中，，∴△OMR≌△ONQ，∴OR=OQ，MK=FN（全等三角形对应边上高相等）∵OE=OP，∴RE=PQ，时PQ=RE=a，由题意S△PMR=4S△PNQ，∴PR=4PQ，即2+a=4a，∴a=．在RT△ONQ中，∵∠ONQ=90°，ON=，OQ=，∴NQ==，∵•OQ•FN=•ON•QN，∴FN=，在RT△OFN中，∵∠OFN=90°，ON=，FN=，∴OF==，在RT△PNF中，∵∠PFN=90°，PF=，FN=，∴PN==2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，面积法求高等知识，解题的关键是添加辅助线，学会灵活运用勾股定理、面积法，属于中考常考题型．19．如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=﹣b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根之差的绝对值为，求a的值；（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由韦达定理可得x1+x2=a+1，x1x2=a2+1，根据|x1﹣x2|=即（x1+x2）2﹣4x1•x2=5，代入解关于a的方程可得；（2）根据韦达定理知x1+x2=﹣p，x1x2=q，设新方程两个分别为y1、y2，由y1=、y2=，可知y1+y2、y1y2，继而可得新方程．【解答】解：（1）设方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2=a+1，x1x2=a2+1，∵|x1﹣x2|=，∴（x1﹣x2）2=5，即（x1+x2）2﹣4x1•x2=5，∴（a+1）2﹣4（a2+1）=5，解得：a=4；（2）方程x2+px+q=0（q≠0）中x1+x2=﹣p，x1x2=q，设新方程两个分别为y1、y2，则y1=、y2=，∴y1+y2===﹣，y1y2==，故新方程为y2+y+=0．【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）求△BMN的面积的最大值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）连接BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△CDN≌△BDM，得到答案；（2）根据割补法求面积的思想解答；（3）当正三角形DMN的边DN与BC垂直时，边DN最短．△DMN的面积会随着DN的变化而变化，且当DN最短时，正三角形DMN的面积会最小，又根据S△BMN=S四边形DMBNF﹣S△DMN，则△BMN的面积就会最大．【解答】（1）证明：连接AC，如图2，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠CDN+∠BDN=60°，∵∠BDM+∠BDN=60°，∴∠CDN=∠BDM，∵∠ADC=120°，∴△ABD和△CBD为等边三角形，∴∠ABD=60°，DC=DB，在△CDN和△BDM中，，∴△CDN≌△BDM（ASA），∴BM=CN；（2）解：四边形AECF的面积不变．理由：由（1）得△CDN≌△BDM，则S△CDN=S△BDM，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作DH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形DMBN=S△DBC=BC•DH=BC•=4；（3）由“垂线段最短”可知：当正三角形DMN的边DN与BC垂直时，边DN最短．故△BMN的面积会随着DN的变化而变化，且当DN最短时，正三角形DMN的面积会最小，又S△BMN=S四边形DMBN﹣S△DMN，则此时△BMN的面积就会最大．∴S△BMN=S四边形DM BN﹣S△DMN=4﹣×2×=，∴△BMN的面积的最大值为．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△CDN≌△BDM 是解题的关键，有一定难度．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x 轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）令y=0，则x﹣=0，解得x=2，x=﹣8时，y=×（﹣8）﹣=﹣，∴点A（2，0），B（﹣8，﹣），把点A、B代入抛物线得，解得，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣x+；（2）∵点P在抛物线上，点D在直线上，∴P点坐标为（x，﹣ x2﹣x+），D点坐标为（x， x﹣），∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点∴PD=﹣x2﹣x+﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，∵PE⊥AB，∴∠DPE+∠PDE=90°，又∵PD⊥x轴，∴∠BAO+∠PDE=90°，∴∠DPE=∠BAO，∵D在直线AB上，∴=，∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，∴PE=PDcos∠DPE=PD，DE=PDsin∠DPE=PD，∴△PDE的周长为l=PD+PD+PD=PD=（﹣x2﹣x+4﹣）=﹣x2﹣x+，即l=﹣x2﹣x+；∵l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，∴当x=﹣3时，l最大值为15．【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的应用，（2）利用锐角三角函数用PD表示出三角形是周长是解题的关键．22．（14分）（2015•福州校级自主招生）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为36 ；（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4．①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；②通过进一步的研究发现N（n，5）=n2﹣n，N（n，6）=2n2﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2，求出能同时满足两个式子的数，即可得出结果；（2）通过因式分解，将k（k+1）（k+2）（k+3）+1化解为完全平方数，即为正方形数；（3）①由图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2，即可得出结果；②由N（n，3）=，N（n，4）=，N（n，5）=，N（n，6）=，可推断N（n，k）=（k≥3），将N（10，24）代入即可得出结果．【解答】（1）解：∵正方形数点的个数是为n2，∴除1外，分别为4，9，16，25，36，49，64，…，∵图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即三角形数点的个数是为，∵4=无正整数解，∴4不是三角形数，∵9=无正整数解，∴9不是三角形数，∵16=无正整数解，∴16不是三角形数，∵25=无正整数解，∴25不是三角形数，∵36=，解得n=8，所以36是三角形数，∴除1外，最小的既是三角形数又是正方形数的是36，故答案为36；（2）证明：∵k（k+1）（k+2）（k+3）+1=k（k+3）（k+1）（k+2）+1=（k2+3k）（k2+3k+2）+1=（k2+3k）2+2（k2+3k）+1=（k2+3k+1）2∴k（k+1）（k+2）（k+3）+1是完全平方数，即为正方形数；（3）解：①由（1）知：N（n，3）=，N（n，4）=n2；②∵N（n，3）===，N（n，4）=n2==，N（n，5）=n2﹣n==，N（n，6）=2n2﹣n==，∴由此变化规律可推断N（n，k）=（k≥3）；∴N（10，24）==1000．【点评】本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．。

福州一中拔尖创新计划数学小学组考试1．()11193310.760.22 1.6610.220.7610.220.76502550⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．222222222222257940491212312341232024++++=++++++++++ ．2．@A B AB A B =++，则1991@9@9@9@9@91+ 次运算结果中0的个数为．3．有5数：a 、2b 、23c 、234d 、2345e ，它们的平均数为9387，则d =．4．甲、乙、丙皆正方形，甲一个顶点在乙中心，乙一个顶点在丙中心，甲边长25cm ，丙面积264cm ，此3图形面积为2973cm ，则乙边长为cm．5．康正午看时钟，发现时针与分针重合，下次这样重合时刻是．6．检票口检票前有945人等待检票，每分钟有固定人数来检票，4口15分，8口7分，照此速，3分放完需口．7．45猴摘桃，孙不在，小1时11kg ，大1时15kg ；孙在，大小都多12kg ，一日，共摘8时，孙在2时，共摘5680kg ，共有小猴只．8．5对兄弟10人，分5组，一组2人，不和亲兄弟组，方式．9．0A B C ≠≠≠（自然数）11111611616A B C C-=+++，问：()B A C -⨯=．10．正方形ABCD ，12BE BC =，3CF DF =，AF 、DE 相交于点O ，O 为圆心，OD 、OA 为半径，大面积:小面积=．11．8箱8钥，1箱放1钥，破①②箱，取钥可开其箱，按此方打开8箱为“妙”法，“妙”法种．12．4人黄白花黑，4狗黄白花黑，1人养1狗，人都不养名字相同之狗，且①白不养花，②花不养花狗主人名相同之狗，③黄不养黑狗主人名相同之狗，④黑不养白狗主人名相同之狗．问：花养．13．甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？，把这些数分为289组，每组7数，其中每组7 14．共2023个数：1,2,3,,2021,2022,2023数按从小到大排列，居中的数叫作“中位数”．问：289个中位数之和的最大值、最小值各为多少？1．83502023675【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，数字类的规律探索，对于第一空分别计算出每个括号内的结果，再计算乘法，最后计算减法即可；对于第二空先得到规律()()22221211236n n n n ++++++=，进而得到2222211161231n n n n +⎛⎫=- ⎪+++++⎝⎭，据此规律把所求式子裂项求解即可．【详解】解：()11193310.760.22 1.6610.220.7610.220.76502550⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113811193349334911115050502550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⨯++-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9966914950252550=⨯-⨯653444591250-=8350=；()()222212211256⨯+⨯⨯++==，()()222331*********⨯+⨯⨯+++==，()()22224412411234306⨯+⨯⨯++++==，……，以此类推可知，()()22221211236n n n n ++++++=，∴()222221611612311n n n n n n +⎛⎫==- ⎪++++++⎝⎭∴222222222222257940491212312341232024++++++++++++++ 1111116233420242025⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭ 11622025⎛⎫=- ⎪⎝⎭2023675=．故答案为：8350；2023675．2．199【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，新定义，根据新定义计算出第三次的运算的结果可得规律21011@9@9@9@9@9n n =⨯- 次运算，据此规律可得19919199921011211@9@9@9@9@091=⨯-+=⨯+ 次运算，据此可得答案．【详解】解：∵@A B AB A B =++，∴1@9191920119=⨯++=-=，∴1@9@91991992001199=⨯++=-=，∴1@9@9@919991999200011999=⨯++=-=，以此类推可知21011@9@9@9@9@9n n =⨯- 次运算，∴19919199921011211@9@9@9@9@091=⨯-+=⨯+ 次运算，∴1991@9@9@9@9@91+ 次运算结果中0的个数为199个，故答案为：199．3．4【分析】本题主要考查平均数，根据平均数乘以个数等于总数，结合个位数得和与总数相等逐位向前求解，直至求解到d 即可．【详解】解：根据题意得5个数的和为9387546935⨯=，则2345a ++++的和个位数为5，即1a =，且向十位数进1，2341b ++++的和个位数为3，即3b =，且向百位数进1，231c +++的和个位数为9，即3c =，且未向千位进数，2d +的和个位数为6，即4d =，故答案为：4．4．20【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据正方形的对称性可知，甲与乙重合的部分的面积为乙面积的四分之一，乙与丙重合部分的面积为丙面积的四分之一，求出甲的面积为22525625cm ⨯=，再根据总面积为2973cm 建立方程求解即可．【详解】解：根据正方形的对称性可知，甲与乙重合的部分的面积为乙面积的四分之一，乙与丙重合部分的面积为丙面积的四分之一，∵甲边长25cm ，∴甲的面积为22525625cm ⨯=，∵此3图形面积为2973cm ，∴1197344S S S S S -++-=乙乙甲丙丙，∵丙面积264cm ，∴362564169734S ++-=乙，∴2400cm S =乙，∴乙边长为20cm ，故答案为：20．5．1时6011分钟【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，解题时经常用到分针每分钟转过的角度为6度，时针每分钟转过的角度为12度．首先我们可以推算出分针和时针下次相遇的时间为1点钟以后的时间，也就是说此时时针与分针的差距实际是360︒，那么可设经过x 分钟再次重合，根据速度、时间和路程的关系可得：162x -360x =，由此即可解决问题．【详解】解：设经过x 分钟再次重合，根据题干可得：163602x x -=，112360x =，72011x =．72011分1=时6011分钟；故答案为：1时6011分钟．6．18【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个窗口，每分钟可以通行的旅客为x 人，每分钟固定来检票的人数为y 人，根据4口15分，8口7分列出方程组求出x 、y 的值即可得到答案．【详解】解：设每个窗口，每分钟可以通行的旅客为x 人，每分钟固定来检票的人数为y 人，由题意得，41515945877945x y x y ⨯-=⎧⎨⨯-=⎩，解得189x y =⎧⎨=⎩，∴9453918183+⨯=⨯，∴3分放完需18口，故答案为：18．7．25【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设小猴有x 只，则大猴有()45x -只，分别计算出小猴和大猴摘桃的数量，然后根据一共摘5680kg 列出方程求解即可．【详解】解：设小猴有x 只，则大猴有()45x -只，由题意得，()()()()()()82118215452111221512455680x x x x -⨯+-⨯-+⨯++⨯+-=，解得25x =，∴小猴有25只，故答案为：25．8．544【分析】设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，k a 与k b 都不同组的组合数，分为五组，则有五组互相交换，四组互相交换，一组交换，三组互相交换，两组互相交换，共三种情况，分别讨论求出对应的结果数，然后求和即可得到答案．【详解】解：设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，ka 与kb 都不同组的组合数，∵分为五组，∴有如下几种交换方式：1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，第一组和第二组换，第二组剩下的和第三组换，第三组剩下的和第四组换，第四则剩下的和第五组换，第五组剩下的和第一组剩下的换，此时一共有43212222384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种（第一组确定，那么第二组有4种可能，第三组有3种可能，第二组有2种可能，第一组有1种可能，在每一组中又要从2个中选择1个进行交换）；1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，选择四组互相交换，则剩下一组没有交换，不符合题意；1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，选择三组互相交换，剩下两组互相交换，则此时有541221221602⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种（从五组里面选择两组互相交换，共有542⨯种，在选出的两组里面，一组选取1个，另一组有2种选择方式，剩下的三组中，确定一组中的一个，那么剩下的两组每一组中有2种选择，其中这两组的排列方式也有2种选择），综上所述，一共有384160544+=种不同的方式，故答案为：544．【点睛】本题主要考查了排列与组合问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．9．24【分析】本题主要考查了分数的四则运算，先把原式变形为1111981122A B C C+++=，再根据题意可得11C C +和111B C C++一定是一个真分数，根据13711191111A B C C++=++可得1A =，13711911B C C=++，同理求出B 、C 的值即可得到答案．【详解】解：∵11111611616A B C C-=+++，∴37111116116A B C C-=+++，∴6311617111A B C C-=+++，∴1112278131A B C C-=+++，∴1111981122A B C C+++=，∵0A B C ≠≠≠（自然数），∴1C 是一个真分数，∴11C C+一定是一个真分数，∴111B C C++一定是一个真分数，∵13711191111A B C C++=++，∴1A =，13711911B C C =++，∴11165137B C C=+++，∴165137B C C==+，，∴111166C C=++，∴6C =，∴()()51624B A C -⨯=-⨯=，故答案为：24．10．494【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，扇形面积，延长DE 、AB 交于M ，根据正方形的性质和12BE BC =，3CF DF =，可得18OD DF OM AM ==，最后根据22S OE S OD =大小求解即可．【详解】解：延长DE 、AB 交于M ，∵正方形ABCD ，∴AB BC CD ==，AB CD ∥，∴M MDC ∠=∠，MBE C ∠=∠，∴AOM DOF ∽，∴OD DFOM AM=，设4AB BC CD x ===，∵12BE BC =，3CF DF =，∴122BE EC BC x ===，DF x =，∴DEC MEB ≌，∴4BM CD x ==，EM DE =∴8AM AB BM x =+=，∴188OD DF x OM AM x ===，∴8OM OD =，∴()119222DE DM OD OM OD ==+=，∴72OE DE OD OD =-=，∵2360AOE OE S π∠⋅=︒大，2360DOF OD S π∠⋅=︒小，DOF AOE ∠=∠，∴222274924OD S OE S OD OD ⎛⎫ ⎪⎝⎭===大小，故答案为：494．11．1348688【分析】设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，k a 与k b 都不同组的组合数，分别求出()()()()1234f f f f ，，，的值，进而得到规律求出()()()()5678f f f f ，，，的值，根据题意可得这8个箱子里面的钥匙编号与其箱子的编号都不同或者编号为③④⑤⑥⑦⑧的箱子中的钥匙的编号与箱子编号不相同，①和②号箱子中有1个箱子的编号与其内的钥匙编号相同，据此求解即可．【详解】解：设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，ka 与kb 都不同组的组合数，当1n =时，()10f =，当2n =时，1122a b a b ，这两组只能交换如下：1212a a b b ，和1212a b b a ，，则()22f =，当3n =时，112233a b a b a b ，，这三组中，只有三组循环交换时才能满足题意（两组互相交换，那么剩下一组没有交换），则此时有2228⨯⨯=种，∴()()()()()12333332312211218f f f C C C =⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-=种，当4n =时，只存在四组循环交换或者两两互相交换这两种情况（两两中有一半的情况与四组循环交换重复），则此时有43321222222602⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯÷=（种），∴()()()()()()()()123444444241231231221132160f f f f C C C C =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=种，……，以此类推可知，()()()()()12345555555975314321544f f f f f C C C C C =⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，()()()()()()12345666666661197531543216040f f f f f f C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，()()()()()()()1234567777777771311975316543217900f f f f f f f C C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，∴()()()()()()()12345678888888815131197531765432f f f f f f f C C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-2027025632064169120304644200448561=-------1190672=，∵破①②箱，取钥可开其箱，∴编号为①②的箱子中不能同时拥有与其编号相同的钥匙，∴这8个箱子里面的钥匙编号与其箱子的编号都不同或者编号为③④⑤⑥⑦⑧的箱子中的钥匙的编号与箱子编号不相同，①和②号箱子中有1个箱子的编号与其内的钥匙编号相同，∴“妙”法共有()()82711906722790081348688f f +⨯=+⨯=种，故答案为；1348688．【点睛】本题主要考查了排列与组合问题，通过求出()()()()1234f f f f ，，，的值，进而得到规律求出()()()()5678f f f f ，，，的值是解题的关键．12．白【分析】本题主要考查了逻辑推理，根据题意可知白白养的狗只能叫黄黄或黑黑，分别假设花花养的狗叫黑黑和黄黄，则白白养的狗叫黄黄和黑黑，再假设出黄黄养的狗，得到黑黑养的狗，看推出的结果是否与题干矛盾即可得到答案．【详解】解：由题意得，白白养的狗不能叫白白，也不能叫花花，则白白养的狗只能叫黄黄或黑黑；花花养的狗不能叫花花，假设花花养的狗叫黑黑，则白白养的狗叫黄黄，则黄黄和黑黑养的狗是花花，白白，假设黄黄养的狗叫白白，则黑黑养的狗叫花花，这与②矛盾，不符合题意；假设黄黄养的狗叫花花，则黑黑养的狗叫白白，这与③矛盾，不符合题意；假设花花养的狗叫黄黄，则白白养的狗叫黑黑，则黄黄和黑黑养的狗是花花，白白，假设黄黄养的狗叫白白，则黑黑养的狗叫花花，这与②矛盾，不符合题意；假设黄黄养的狗叫花花，则黑黑养的狗叫白白，这与③矛盾，不符合题意；∴可知花花养的狗只能是白白，故答案为：白．13．摩托车走完全程要216分钟．【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A 、B 两地的距离为S ，按照原速同时出发时，t 分钟甲乙两人相遇，则2V t V t S V t V t S +=⎧⎨+=⎩甲乙乙丙，据此可得2V V V =+乙甲丙，再根据如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A 路上碰到他们推出()13023V t V t S V t V t S ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩甲乙甲丙，可得90t =；再根据如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B 得到()()130262V t V t S V t S ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩甲乙丙，则2V V =甲乙，进而可得25V V V V =+=乙乙甲丙，270S V t V t V =+=乙乙甲，据此求出摩托车需要的时间即可．【详解】解：设A 、B 两地的距离为S ，按照原速同时出发时，t 分钟甲乙两人相遇，由题意得，2V t V t S V t V t S+=⎧⎨+=⎩甲乙乙丙，∴2V V V =+乙甲丙；∵如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A 路上碰到他们，∴()13023V t t S V t V t S ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩甲乙甲丙，∴()33302V t V t V t V t +-=+甲乙甲丙，∴()333022V t V t V t V t V t +-=++甲乙甲乙甲，∴90t =；∵如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B ，∴()()130262V t t S V t S ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩甲乙丙，∴()()()23026V t V t V V t ++=++甲乙乙甲，∴180********V V V V +=+乙乙甲甲，∴2V V =甲乙，∴25V V V V =+=乙乙甲丙，∴270S V t V t V =+=乙乙甲，∴270545S V V V ==乙乙丙，∴454216⨯=分钟答：摩托车走完全程要216分钟．14．289个中位数之和的最大值、最小值各为417316，167620．【分析】本题考查中位数的求法：给定n 个数据，按从小到大排序，如果n 为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n 为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．根据题意要求和的最大值，则按从大到小的顺序排列后，将2023，2022，2021，2020排在一起，2020作为中位数，依次得到其他的中位数，相加即可，根据题意要求和的最小值，则按从小到大的顺序排列后，将1，2，3，4排在一起，4作为中位数，依次得到其他的中位数，相加即可．【详解】解：根据题意得：满足和的最大值的中位数分别为：2020，2016，2012，2008，2004，2000，L ，876，872，868，所以这289个中位数的和的最大值是：289(2020868)2020201620128788728684173162⨯+++++++== ，满足和的最小值的中位数分别为：4，8，12，L ，1148，1152，1156，所以这289个中位数的和的最小值是：289(41156)48121148115211561676202⨯+++++++== ，289个中位数之和的最大值、最小值各为417316，167620．。

福州一中自主招生试卷福州一中自主招生考试_——数学试卷福州一中自主招生试卷 2011福州一中自主招生考试_——数学试卷福州一中2011年高中招生综合素质测试数学试卷(满分100分，考试时间60分钟)学校姓名准考证号注意:请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡的相应位置上(一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分(在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的() 1(右图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误的是( ) ((A(4a,b c D(a,b c b c C(a c B(22;?2a3a 6a;?|2136222222|～2sin45 ,(～1)2011 0;b,cb(其中正确的个数有( ) a,caA(0 B(1 C(2D(33(某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款(其中8人捐款统计如下表: 设这8人捐款数的众数为a，中位数为b，平均数为c，则下列各式正确的是( ) A(a b c B(a b c C(a b cD(a b c4(如右图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，则该圆弧所在圆的圆心坐标为( )2A((2,0) B((2,1) C((1,2)D(无法确定5(如右图，在 ABC中，AB 5,AC 4,BC 3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( )125A(2 B( C( D(25A6(定义:直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M 到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序非负实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”(根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( ) A(1 B(2 C(3D( 4二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分()BD1x2～x～6x2,2x,1,) 7(化简(2的结果为。

x,3xx2～9x,38(如图，在两面墙之间有一根底端在A点的竹竿，当它3靠在一侧墙上时，竹竿的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时，竹竿的顶端在D点(已知BAC 60 ， DAE 45 ，(墙面垂直地面) AC 2米，则DE的高度为米(9(若实数a，b满足a,b 1，则a,4b的最小值是。

第一套：满分150分2020-2021年福建福州第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

2006年福州一中招生综合素质测试数学题目及详细答案1. 如果在数轴上表示 a, b 两个实数的点的位置如图所示，那么| a – b| + | a + b | 化简的结果为 A. 2a B. –2a C. 0 D. 2bC. D. 3. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果sinA=53, 那么 tanB 的值等于 A.53B. 45C. 43D. 344. 以下五个图形中，是中心对称的图形共有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 5. 已知△ABC 中，AB = 3，BC = 4, AC = 5, 则△ABC 的外心在A. △ABC 内B. △ABC 外C. BC 边中点D. AC 边中点 6．某校为了了解学生的身体素质情况，对初三（2）班的50名学生进行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10分。

如图，是将该学生所得的三项成绩（成绩均为整数）之和进行整理后，分成5组画出的频率分布直方图，已知从左至右前4个小组的频率分别为0.02，0.1，0.12，0.46. 下列说法：① 学生的成绩≥27分的共有15人；②学生成绩的众数在第四小组(22.5~26.5)内；③学生成绩的中位数在第四小组(22.5~26.5)范围内。

其中正确的说法有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知3)()(33243=-÷ba b a ，那么39b a 等于A ．9- B. 9 C. 27 D. 27-8. 用圆心角为60°,半径为24cm 的扇形做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥底面的半径是A. 4πcmB. 8πcmC. 4cmD. 8cm9. 当 x = 1 时，代数式 px 3 + qx + 1的值是2006，则当 x = –1 时，代数式 px 3 + qx + 1的值是A. – 2004B. – 2005C. – 2006D. 2006 10. 以下给出三个结论①若1– 21( x – 1 ) = x , 则 2 – x – 1 = 2x ；②若21-+x x = 222-+x x , 则21-x =22-x ；③若x – 11-x = x-11, 则 x – 1 = –1。

福州一中自主招生试卷 2011福州一中自主招生考试_——数学试卷福州一中2011年高中招生综合素质测试数学试卷(满分100分，考试时间60分钟)学校姓名准考证号注意:请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡的相应位置上(一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分(在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的() 1(右图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误的是( ) ((A(4a,b c D(a,b c b c C(a c B(22;?2a3a 6a;?|2136222222|～2sin45 ,(～1)2011 0;?b,cb(其中正确的个数有( ) a,caA(0 B(1 C(2D(33(某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款(其中8人捐款统计如下表: 设这8人捐款数的众数为a，中位数为b，平均数为c，则下列各式正确的是( ) A(a b c B(a b c C(a b cD(a b c4(如右图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，则该圆弧所在圆的圆心坐标为( )2A((2,0) B((2,1) C((1,2)D(无法确定5(如右图，在 ABC中，AB 5,AC 4,BC 3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( )125A(2 B( C( D(25A6(定义:直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”(根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( )A(1 B(2 C(3D( 4二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分()BD1x2～x～6x2,2x,1,) 7(化简(2的结果为。

x,3xx2～9x,38(如图，在两面墙之间有一根底端在A点的竹竿，当它3靠在一侧墙上时，竹竿的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时，竹竿的顶端在D点(已知BAC 60 ， DAE 45 ，(墙面垂直地面) AC 2米，则DE的高度为米(9(若实数a，b满足a,b 1，则a,4b的最小值是。