福建省福州一中自主招生考试数学试卷说课讲解

第6题图ABCDE第7题图图②图①120°1234120°第10题图图1图22中学自主招生数学试卷一、选择题(3分×10=30分) 1. 下列各数中,是5的相反数的是( )A ． -5B ． 5C ．0.5D ． 0.22.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY ,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY 放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km .那么这个数的原数是( ) A .143 344 937 km B . 1 433 449 370 km C . 14 334 493 700 km D . 1.43344937 km4.下列计算正确的是( )A ．2a -3a =-1B ．(a 2b 3)3=a 5b 6C ．a 2 ·a 3=a 6D ．a 2+3a 2=4a 2 5. 已知关于x 的分式方程mx +1x=2有解,则m 的取值范围是（ ） A .m ≤1且m ≠0 B . m ≤1 C . m ≥-1 D . m ≥-1 且m ≠0 6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 如图所示,在Rt △ABC 中∠A =25°,∠ACB =90°,以点C 为圆心,BC 为半径的圆交AB 于一点D ,交AC 于点E ,则∠DCE 的度数为（ ） A . 30° B . 25° C . 40° D . 50°8. 不等式组101103x x +>⎧⎪⎨->⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示 数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对 应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）A ．12B ．29C ． 79D ．3410. 如图1所示,小明(点P )在操场上跑步,B CD E 123第12题图A E B C D第14题图A EFM A 'B C D 第15题图A 弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点) 出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x , 小明到右侧半圆形弯道的圆心O 的距离PO 为y ,可绘制出如图2所示函数图象,那么a -b 的值应为( ) A ．4 B ．52π-1 C ．D ．π二、填空题(3分×5=15分)11. (-3)0= .12. 如图所示,直线ABCD 被BC 所截,若AB ∥CD ,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .13.二次函数y =x 2-2mx +1在x ≤1时y 随x 增大而减小,则m 的取值范围是 .14. 如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD =2,AB =4,∠A =30°,以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E . 连接CE ,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)15.如图所示,正方形ABCD 中,AB =8,BE =DF =1,M 是射线AD 上的动点,点A 关于直线EM 的对称点为A ，，当△A ，FC 为以FC 为直角边的直角三角形时,对应的MA 的长为 .三、解答题(本大题共8小题，满分75分)16. (8分)先化简22442x x x x -+-÷(x -4x),然后从xx的值代入求值.17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： ⑴陈老师一共调查了多少名同学？ ⑵将条形统计图补充完整；⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A 类学生中随机选取一位同学，再从D 类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．D18.(9分)如图所示,⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆,AB =AC ,延长BC 至点D ,使CD =AC ,连接AD 交⊙O 于点E ,连接BE 、CE ,BE 交AC 于点F .⑴求证：CE =AE ⑵填空： ①当∠ABC = 时,四边形AOCE 是菱形；②若AE,AB =则DE 的长为 .19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长 为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与 底座构成的∠BAD =60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C 到桌面的 高度CE 的长？（结果精确到0.1cm 1.732）20.(9分)如图所示,直线y =ax +1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,与双曲线y =kx(x >0)相交于点P ,PC ⊥x 轴于点C ,且PC =2,点A 的坐标为(-2,0). ⑴求双曲线的解析式；⑵若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点,且QH ⊥x 轴 于H ,当以点Q 、C 、H 为顶点的三角与△AOB 相似 时,求点Q 的坐标.21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其G F E B C DA 图1图2图3AD CBE F G GF E B CD A中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同. ⑴求m 的值⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a (50<a <70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.22.(10分)等腰直角三角形ABC 中,AC =BC E 为AC 中点,以CE 为斜边作如图所示等腰直角三角形CED .(1)观察猜想: 如图1所示,过D 作DF ⊥AE 于F ,交AB 于G ,线段CD 与BG 的关系为 ；(2)探究证明:如图2所示，将△CDE 绕点C 顺时针旋转到如图所示位置，过D 作DF ⊥AE 于F ，过B 作DE 的平行线与直线FD 交于点G ,(1)中结论是否成立?请说明理由； (3)拓展延伸: 如图3所示,当E 、D 、G 共线时,直接写出DG 的长度.23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B (4,0)、C (8,0)， D (8,8).抛物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标,并求出抛物线的解析式；(2动点P 从点A 出发,沿线段AB 向终点B 运动,同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t 秒.①如图1所示,过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ,过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ,点G 关于抛物线对称轴的对称点为H ,求当t 为何值时,△HAC 的面积为16；②如图2所示,连接EQ ,过Q 作QM ⊥AC 于M ,在点P 、Q 运动的过程中，是否存在某个t ,使得∠QEM =2∠QCE ,若存在请直接写出相应的t参考答案一、选择题(3分×10=30分) 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D二、填空题(3分×5=15分)11.-2 12.80° 13.m ≥1 14.3-3π 15. 三、解答题(本大题共8小题，满分75分)16.解：224442x x x x x x-+÷--（）= ()22(24)2x x x x x --÷-= ()()222x x x x x -⨯+-= 12x + 当x =1时，原式=1132x =+ （名），又AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴∠CED =∠ACB ，又∠AEB 和∠ACB 都为AB 所对的圆周角，∴∠AEB =∠ACB ，∴∠CED =∠AEB ，∵AB =AC ，CD =AC ，∴AB =CD ，在△ABE 和△CDE 中，BAEDCE AEB CED ABCD∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE ≌△CDE （AAS ） (2)①60当△QCH ∽△BA中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 2的算术平方根是（ ）A. B.C.D. 22. 下列运算正确的是（ ）A.B. C. D.3.近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A. B. C. D.5.在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：关于这组数据，下列说法正确的是（）A. 中位数是2B. 众数是17C. 平均数是2D. 方差是26.某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A. B. C. D.7.如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（）A.B.C.D.8.如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.-5的相反数是______．10.分解因式：4a2-4a+1=______．11.若在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．12.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=______度．13.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．14.同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y=x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为______℃．15.如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC=______cm．16.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．三、计算题（本大题共3小题，共20分）17.计算|-6|+（-2）3+（）018.化简：19.小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去兴化李中水上森林游玩．（1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为______；（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．四、解答题（本大题共8小题，共82分）20.解不等式组21.某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题（1）该调查的样本容量为______，a=______%，b=______%，“常常”对应扇形的圆心角为______°（2）请你补全条形统计图；（3）若该校共有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？22.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．23.某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为______元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？24.如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时BC=10cm，箱底端点E与墙角G的距离为65cm，∠DCG=60°．（1）箱盖绕点A转过的角度为______，点B到墙面的距离为______cm；（2）求箱子的宽EF（结果保留整数，可用科学计算器）．（参考数据：=1.41，=1.73）25.如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，-），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．27.正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°（1）当OM经过点A时，①请直接填空：ON______（可能，不可能）过D点：（图1仅供分析）②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形；③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON上取点E（E点在正方形ABCD外部），过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，若四边形EFCH为正方形，那么OE与OA是否相等？请说明理由；（2）当点O在射线BC上且OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=2．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=S△OBG，连接GP，则当BO 为何值时，四边形PKBG的面积最大？最大面积为多少？答案和解析1.【答案】B【解析】解：2的算术平方根是，故选：B．根据算术平方根的定义直接解答即可．本题考查的是算术平方根的定义，即一个数正的平方根叫这个数的算术平方根．2.【答案】C【解析】解：A、a3•a3=a6，故此选项错误；B、a3+a3=2a3，故此选项错误；C、（a3）2=a6，正确；D、a6•a2=a8，故此选项错误．故选：C．分别利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算、合并同类项法则判断得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项等知识，正确掌握运算法则是解题关键．3.【答案】D【解析】解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】A【解析】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．故选：A．左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．5.【答案】A【解析】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=；∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是3；∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，∴这组数据的中位数为2，故选：A．先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．6.【答案】C【解析】解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，由题意可得：2（1+x）2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意舍去），答：该店销售额平均每月的增长率为50%；故选：C．设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．本题需注意根据题意分别列出二、三月份销售额的代数式．7.【答案】D【解析】解：过点P作PE⊥y轴于点E∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD又∵BD⊥x轴∴ABDO为矩形∴AB=DO=6∴S矩形ABDO=S▱ABCD∵P为对角线交点，PE⊥y轴∴四边形PDOE为矩形面积为3即DO•EO=3∴设P点坐标为（x，y）k=xy=-3故选：D．由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：连接AC、BD、OE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AM=CM，BM=DM，∵⊙O与边AB、AD都相切，∴点O在AC上，设AM=x，BM=y，∵∠BAD＜90°，∴x＞y，由勾股定理得，x2+y2=25，∵菱形ABCD的面积为20，∴xy=5，，解得，x=2，y=，∵⊙O与边AB相切，∴∠OEA=90°，∵∠OEA=∠BMA，∠OAE=∠BAM，∴△AOE∽△ABM，∴=，即=，解得，OE=，故选：D．连接AC、BD、OE，根据菱形的性质、勾股定理分别求出AM、BM，根据切线的性质得到∠OEA=90°，证明△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是切线的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9.【答案】5【解析】解：-5的相反数是5．故答案为：5．根据相反数的定义直接求得结果．本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．10.【答案】（2a-1）2【解析】解：4a2-4a+1=（2a-1）2．故答案为：（2a-1）2．根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．11.【答案】x≥2【解析】解：由题意得：x-2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0，再解即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．12.【答案】30【解析】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，∴∠BOD=45°，∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=45°-15°=30°．故答案为：30．根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD-∠AOB计算即可得解．本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的概念，需熟记．13.【答案】【解析】解：∵∠BOC=2∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA=3，∴的长度==π，∴圆锥底面圆的半径=，故答案为：．根据平角的定义得到∠AOC=60°，推出△AOC是等边三角形，得到OA=3，根据弧长的规定得到的长度==π，于是得到结论．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.【答案】-40【解析】解：根据题意得x+32=x，解得x=-40．故答案是：-40．根据题意得x+32=x，解方程即可求得x的值．本题考查了函数的关系式，根据摄氏度数值与华氏度数值恰好相等转化为解方程问题是关键．15.【答案】（2+2）【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，∵DP⊥BC，∴∠BPD=90°，∵PB=4cm，∴BD=8cm，PD=4cm，∵把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，∴AD=PD=4cm，∠DPE=∠A=60°，∴AB=（8+4）cm，∴BC=（8+4）cm，∴PC=BC-BP=（4+4）cm，∵∠EPC=180°-90°-60°=30°，∴∠PEC=90°，∴CE=PC=（2+2）cm，故答案为：2+2．根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，根据直角三角形的性质得到BD=8cm，PD=4cm，根据折叠的性质得到AD=PD=4cm，∠DPE=∠A=60°，解直角三角形即可得到结论．本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．16.【答案】【解析】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC•sin∠ACN=，∴AM=，∴DE=，故答案为：．延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．17.【答案】解：原式=6-8+1=-1．【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：==a．【解析】根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．19.【答案】【解析】解：（1）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数为1，所以小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率=；故答案为（2）画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中他们三人在同一个半天去游玩的结果数为2，所以他们三人在同一个半天去游玩的概率=．（1）画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20.【答案】解：解不等式2x＞1-x，得：x＞，解不等式4x+2＜x+4，得：x＜，则不等式组的解集为＜x＜．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】200 12 36 108【解析】解：（1）∵44÷22%=200（名）∴该调查的样本容量为200；a=24÷200=12%，b=72÷200=36%，“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%=108°．（2）200×30%=60（名）．（3）∵3200×36%=1152（名）∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1152名．故答案为：200、12、36、108．（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；最后根据“常常”对应的人数的百分比是30%，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可．（2）求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可．（3）用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．22.【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．由翻折的性质可知：∠EAB=∠BAC，∠DCF=∠DCA．∴∠EAB=∠DCF．∠∠在△ABE和△CDF中，∠∠∴△ABE≌△CDF（ASA），∴DF=BE．∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∠BAE=∠CAE=30°，∵∠B=90°，∴∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，∴EA=EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．【解析】（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；（2）由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．23.【答案】240【解析】解：（1）观察图象可知：当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为240元．故答案为240．（2）∵3600÷240=15，3600÷150=24，∴收费标准在BC段，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴y=-6x+300，由题意（-6x+300）x=3600，解得x=20或30（舍弃）答：参加这次旅游的人数是20人．（1）观察图象即可解决问题；（2）首先判断收费标准在BC段，求出直线BC的解析式，列出方程即可解决问题．本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．24.【答案】150° 5【解析】解：（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．∵∠DCG=60°，∴∠CDN=30°．又∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，∴∠MAD=∠CDN=30°（同角的余角相等），∴箱盖绕点A转过的角度为：360°-90°-30°-90°=150°．在直角△BCH中，∠BCH=30°，BC=10cm，则BH=BC=5cm．故答案是：150°；5；（2）在直角△AMD中，AD=BC=10cm，∠MAD=30°，则MD=AD•sin30°=×10=5（cm）．∵∠DCN=30°，∴cos∠DCN=cos30°==，即=，解得EF=32.4．即箱子的宽EF是32.4cm．（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．利用矩形的性质、直角三角形的性质以及等角的余角相等得到∠MAD=30°，根据周角的定义易求箱盖绕点A转过的角度；通过解直角△BHC来求BH的长度；（2）通过解直角△AMD得到线段MD的长度，则DN=65-EF-DM，利用解直角△DCN来求CD的长度，即EF的长度即可．本题考查了解直角三角形的应用．主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．25.【答案】解：（1）∵点A（，0）与点B（0，-），∴OA=，OB=，∴AB==2，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴⊙M的半径为：；（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，∴∠ABO=90°-∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB•tan30°=×=，∴AC=OA-OC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE=AC=，∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA-AF=，∴点E的坐标为：（，）．【解析】（1）由点A（，0）与点B（0，-），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易得△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．26.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），∴，得，∴y=x2-x-=，∴二次函数的表达式是y=x2-x-，顶点坐标是（，）；（2）①点M的坐标为（，），（，-）或（，-），理由：当AM1⊥AB时，如右图1所示，∵点A（-1，0），点B（0，-），∴OA=1，OB=，∴tan∠BAO==，∴∠BAO=60°，∴∠OAM1=30°，∴tan∠OAM1=，解得，DM1=，∴M1的坐标为（，）；当BM3⊥AB时，同理可得，，解得，DM3=，∴M3的坐标为（，-）；当点M2到线段AB的中点的距离等于线段AB的一半时，∵点A（-1，0），点B（0，-），∴线段AB中点的坐标为（-，），线段AB的长度是2，设点M2的坐标为（，m），则=1，解得，m=，即点M2的坐标为（，-）；由上可得，点M的坐标为（，），（，-）或（，-）；②如图2所示，作AB的垂直平分线，于y轴交于点F，由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，∴以F为圆心，AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点，则∠AMB=∠AM′B=∠AFB=60°，∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1，∴∠FAO=30°，AF==FM=FM′，OF=，过点F作FG⊥MM′于点G，∵FG=，∴MG=M′G=，又∵G（，-），∴M（，），M′（，），∴≤t≤．【解析】（1）根据二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；（2）①根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标；②根据题意，构造一个圆，然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范围．本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用分类讨论和数形结合的思想解答．27.【答案】不可能【解析】解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，∴ON不可能过D点，故答案为：不可能；②如图2中，∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，∴四边形EFCH为矩形，∵∠MON=90°，∴∠EOF=90°-∠AOB，在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB，∴∠EOF=∠BAO，在△OFE和△ABO中，，∴△OFE≌△ABO（AAS），∴EF=OB，OF=AB，又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，∴CF=EF，∴四边形EFCH为正方形；③结论：OA=OE．理由：如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．。

福州一中2014年高中招生（面向福州以外地区）综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）1． 下列等式：①22532b a ab ab =+； ②326(5)25a a -=；③y x y x +=+； ④10112()( 3.14)|32|433π-+----=+ .其中正确的等式有（★★★）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示：则这些队员年龄的众数和中位数分别是(★★★) A ．31, 152 B ．3115, 2 C ．15, 15 D ．3131, 223．右图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为等边三角形，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（★★★） A ．2732B ．123C ．24D ．2423+34年龄人数年龄人数4．若关于x 的方程22x c x c +=+的解是1x c =，22x c=，则关于x 的方程2211x a x a +=+++的解12 x x ，的值是（★★★） A ．2,a aB ．21, 1a a ++C . 2, 1a a +D ．1, 1a a a -+5．如图，边长为2的菱形纸片ABCD 中，60A ∠=，将该纸片折叠，EF为折痕，点A D 、分别落在'A 、'D 处.若''A D 经过点B ，且'D F CD ⊥，则DF 的长为（★★★） A．2B．4- C．32- D6．有一个数阵排列如下：1 2 4 7 11 16 22 3 5 8 12 17 23 6 9 13 18 2410 14 19 2515 20 2621 2728则第20行从左至右第10个数为（★★★）A ．425B ．426C ．427D ．428二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．计算：22222132(1)211a a a a aa a a a a +-+⋅-÷=----+★★★.8．如图，BD CE 、分别是ABC ∆的AC AB 、边上的中线，且BD CE ⊥.若4BD =，6CE =，则ABC ∆的面积等于★★★.E DCBAD 'A 'FE DCBA9．从2,1,1,2--这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y kx b =+的系数k b 、，则一次函数y kx b =+的图象不经过第三象限的概率是★★★. 10. 有一列数a ，b ，c ，d ，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差．若第一个数a 等于2，则第2014个数等于★★★. 11．如图，已知直线y kx =与双曲线ky x=相交于A B 、两点，过点A 作AC 垂直于x 轴，垂足为C ，且12AOCS ∆=.过原点O 作AB 的垂线交AC 的延长线于点D ，则ABD ∆的内切圆半径长等于★★★.12．规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =， {}2 4.2-=-；②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-. 若实数x 满足{}[]4 2=-x x ,则实数x 的取值范围是★★★．三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．（本小题满分12分）如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，AC BC =，D 为⊙O 中劣弧AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =． (1) 求证：ACE BCD ∠=∠；(2) 若60ACB ∠=，试探究CD 与AD BD +长度的大小关系，并证明你的结论．E如图，小明站在看台上的A 处，测得旗杆顶端D 的仰角为15，当旗杆顶端D 的影子刚好落在看台底部B 处时，太阳光与地面成60角.已知60ABC ∠=，4AB =米，求旗杆的高度. （点A 与旗杆DE 及其影子在同一平面内，CB E 、、三点共线且旗杆与地面垂直，不考虑小明的身高）如图，在平面直角坐标系中，A B 、为x 轴上两点（点A 在点B 的左边），C D 、为y 轴上两点，经过A C B 、、的抛物线的一部分1C 与经过A D B 、、的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点D 的坐标为(0 , 2)-，抛物线1C 的解析式为223 (0)y mx mx m m =--<.(1) 求A B 、两点的坐标；(2) 若四边形ACBD 是梯形，求m 的值；(3) 若点D 关于x 轴的对称点为1D ，试判断直线1AD 与该蛋线的公共点的个数，并证福州一中2014年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7． 1- 8．16 9．1310．211．2 12．23x ≤<三、解答题（本大题共3小题，满分40分） 13．(1)证明： ABC ∆中，AC BC = CAB CBA ∴∠=1802ACB CBA ∴∠=-∠同理CED ∆中，1802ECD CDA ∠=-∠……2分O 中，AC AC =CBA CDA ∴∠=∠…………………………………3分ACB ECD ∴∠=∠…………………………………4分 ACB ACD ECD ACD ∴∠-∠=∠-∠即 ACE BCD ∠=∠.……………………………5分(2)解：,CD AD BD =+证明如下：……………………6分在ACE ∆和BCD ∆中，AC BC ACE BCDCE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACE ∴∆≌()BCD SAS ∆…………………………8分AE BD ∴=………………………………………9分若60ACB ∠=，则60ECD ∠=、又∵CE CD =ECD ∴∆是等边三角形DE DC ∴=………………………………………10分DE AD AE =+EAE BD =∴DE AD BD =+又∵DE DC =∴CD AD BD =+.………………………………12分 14．解：过点A 作AFBD ⊥于点F ，……………………1分由题意知，15,60.DAH DBE ∠=∠= 点,,C B E 在一条直线上18060ABD ABC DBE ∴∠=-∠-∠=………2分ABF ∆中，90,4AFB AB ∠==∴cos 4cos 602,BF AB ABD =⋅∠=⋅=sin 4sin 6023AF AB ABD=⋅∠=⋅=6分AH ∥BE60HAB ABC ∴∠=∠=75BAD HAB DAH ∴∠=∠+∠=DAB ∆中，18045ADB ABD DAB ∠=-∠-∠=Rt DAF ∴∆中，tan DFAF ADB =⋅∠=2BD BF FD ∴=+=+……………………10分在Rt BDE ∆中，60DBE ∠=(sin 23DE BD DBE ∴=⋅∠=+=+∴旗杆的高度为(3+米.………………………12分15．解：(1) 在函数223y mx mx m =--中，令0y =，则 2230mx mx m --= ∵0m <∴2230x x --=解得 123, 1x x ==-∴ (1,0), (3,0)A B -……………………………2分 (2) ∵(1,0), (3,0), (0,2)A B D --∴1, 3, 2AO BO DO ===.在函数223 (0)y mx mx m m =--<中，令0x =，则3y m =-∴(0,3)C m -则3OC m =-……………………………………3分①若AC ∥BD则AOC ∆∽BOD ∆ ∴AO BOCO DO = ∴1332m =- 解得29m =-此时AC BD ≠，四边形ACBD 是梯形.……6分 ②若BC ∥AD则AOD ∆∽BOC ∆ ∴AO BODO CO = ∴1323m=- 解得2m =-此时AD BC ≠，四边形ACBD 是梯形.综上所述，229m =--或.………………………………………………9分 (3) ∵点1D 与点D 关于x 轴对称∴1(0,2)D则直线1AD 的方程为：22y x =+………………………………………11分 易知直线1AD 与抛物线2C 只有一个公共点A ，下面只要考虑直线1AD 与抛物线1C 的公共点个数. 联立直线1AD 和抛物线1C 的方程22223y x y mx mx m =+⎧⎨=--⎩得2(22)320mx m x m -+--= 解得123x m=+，21x =-…………………………………………………13分 ∵0m < ∴233m+< ①当231m +>-，即12m <-时， 直线1AD 与该蛋线有两个公共点； ②当23m +≤1-，即12-≤0m <时， 直线1AD 与该蛋线只有一个公共点A .综上所述，当12m <-时，直线1AD 与该蛋线有两个公共点； 当12-≤0m <时，直线1AD 与该蛋线有一个公共点.…………16分。

2011年福州一中自主招生一、选择题1．右图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误．．的是（★★★） A ．a c < B ．b c < C ．2224a b c += D ．222a b c +=2．下列计算：①42=±；②236236a a a =；③20111||2sin 45(1)012-+-=-；④b c ba c a +=+．其中正确的个数有（★★★）A ．0B ．1C ．2D ．33．某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款．其中8人捐款统计如下表：捐款数（万元） 5 10 20 50人数（人）1 2 32设这8人捐款数的众数为a ，中位数为b ，平均数为c ，则下列各式正确的是（★★★） A ．a b c =< B ．a b c << C ．a b c => D ．a b c == 4．如右图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C 、、，则该 圆弧所在圆的圆心坐标为（★★★）A ．(2,0)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．无法确定 5．如右图，在ABC ∆中，5,4,3AB AC BC ===，经过点C 且 与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（★★★） A ．2 B ．125C ．52 D ．226．定义：直线1l 与2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线1l 、2l 的距离分别为p 、q ，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是（★★★）A ．1B ．2C ．3D ． 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．化简22221621()393x x x x x x x x --+++÷+-+的结果为 ★★★．8．如图，在两面墙之间有一根底端在A 点的竹竿，当它靠在一1yxOBAC1AC EDBAP侧墙上时，竹竿的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，竹竿 的顶端在D 点．已知60BAC ∠=，45DAE ∠=，2AC =米， 则DE 的高度为★★★米．（墙面垂直地面）9．若实数a b ，满足21a b +=，则224a b +10．如图，△ABC 的三边长分别为3、5、6，BD 是△ABC •的外角平分线，M 、N 是直线BC 且AM BD ⊥于D ，AN CE ⊥于E ，则DE 的长等于★★★．11．下面为杨辉三角系数表，它的作用之一是指导读者按规律写出形如()na b +（其中n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出6()a b +展开式中所缺的系数．则 12．三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是410x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222459459a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是★★★ ．三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，连接AE 、DE ． △DCE 沿DE 翻折后，点C 恰好落在AE 上，记为点F ．（Ⅰ）求证： ADF ∆≌EAB ∆； （Ⅱ）若10AD =，1tan 3EDF ∠=,求矩形ABCD 的面积．14．（本小题满分14分）如图，双曲线ky x =与直线:(0,0)l y kx b k b =-+>>有且只有 1()a b a b +=+ 222()2a b a ab b +=++ 33223()33a b a a b ab b +=+++66542()615a b a a b a b +=+++★★★332456156a b a b ab b +++．4432234()464a b a a b a b ab b +=++++CE FDAB．．． ．．．一个公共点A ，AC x ⊥轴于C ，直线l 交x 轴于点B ．（Ⅰ）求点A 的横坐标；（Ⅱ） 已知ABC ∆的面积等于1，若有一动点从原点开始移动， 假定其每次只能向上或向右移动1个单位长度（向上和向右的 可能性相同）．求3次移动后，该点在直线l 上的概率．15．（本小题满分14分）已知二次函数22y ax ax c =-+的图像与x 轴交于(1,0)A -、B 两点，其顶点为M ．（Ⅰ）根据图像，解不等式220ax ax c -+>；（Ⅱ）若点(3,6)D -在二次函数的图像上，试问：线段OB 上 是否存在N 点，使得ADB BMN ∠=∠？若存在，求出N 点坐 标；若不存在，说明理由．福州一中2011年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号 1 2 3 4 56 答案CBABBD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7．1x 8．2 2 9．1 10．7 11． 20 12．918x y =⎧⎨=⎩ 三、解答题（本大题共3小题，满分40分） 13．(Ⅰ)证明：DCE ∆沿DE 翻折得到DFE ∆，DCE ∆∴≌DFE ∆，∴,90DC DF DFE C =∠=∠=，…………2分CE FDAB又矩形ABCD 中//AD BC ,AB CD =,90B ∠=。

2015年福建省福州自主招生考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠32．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a|的结果为（）A．﹣2a+b B．﹣b C．﹣2a﹣b D．b3．如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A． B． C．D．4．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）A．B．C．D．5．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄13 14 15 16 17 18人数 4 5 6 6 7 2则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，166．如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE 的值是（）A．B．1 C．2 D．39．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C． D．10．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A．1场B．2场C．3场D．4场二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= ．12．罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是．13．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x 个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为．14．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是．15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm2（结果精确到0.1，≈1.73）．三、解答题：本大题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（1）计算： +（）﹣2﹣20150﹣2cos30°+|﹣|（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x=﹣6．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E 为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的长．19．如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=﹣b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根之差的绝对值为，求a的值；（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）求△BMN的面积的最大值．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x 轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．22．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4．①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；②通过进一步的研究发现N（n，5）=n2﹣n，N（n，6）=2n2﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．2015年福建省福州一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≥0且x﹣3≠0，解得：x≥﹣1且x≠3．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a|的结果为（）A．﹣2a+b B．﹣b C．﹣2a﹣b D．b【考点】实数与数轴．【分析】根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据整式的运算，可得答案．【解答】解：由题意，得原式=b﹣a﹣（﹣a）=b﹣a+a=b，故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴，利用绝对值的意义化简绝对值是解题关键．3．如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A． B． C．D．【考点】生活中的平移现象．【分析】根据平移的性质，结合图形求得平移后的图形，采用排除法判定正确选项．【解答】解：观察可知，平移后的图形，上下火柴棒方向不变，位置改变；左右火柴棒，往中间移动，方向不变，位置改变．只有B符合．故选B．【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、C、D．4．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】理解洗衣机的四个过程中的含水量与图象的关系是关键．【解答】解：因为进水时水量增加，函数图象的走势向上，所以可以排除B，清洗时水量大致不变，函数图象与x轴平行，排水时水量减少，函数图象的走势向下，排除A，对于C、D，因为题目中明确说明了一开始时洗衣机内无水．故选D．【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．5．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄13 14 15 16 17 18人数 4 5 6 6 7 2则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，16【考点】众数；中位数．【专题】图表型．【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．【解答】解：17出现的次数最多，17是众数．第15和第16个数分别是15、16，所以中位数为15.5．故选：A．【点评】本题考查了众数及中位数的知识，掌握各部分的概念是解题关键．6．如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】相切两圆的性质；切线的性质．【分析】如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M．设⊙O半径为R，在RT△AOM中利用勾股定理即可解决．【解答】解：如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M．设⊙O半径为R．∵AC⊥CE，DO⊥CE，BE⊥CE，∴AC∥OD∥BE，∵AC=BE=1，∴四边形ACEB是平行四边形，∵∠ACD=∠ODC=∠BEC=90°，∴四边形ACEB是矩形，∴DM=AC=1，∵AB∥CE，OD⊥CE，∴OD⊥AB∵OA=OB，∴AM=BM=AB=4，在RT△AOM中，∵OA2=OM2+AM2，∴（R+1）2=42+（R﹣1）2，∴R=4故选B．【点评】本题考查相切两个圆的性质、切线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设参数，构建方程解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据对称轴x=﹣=1即可确定2a+b的取值范围，根据b=﹣2a，a＜0可以确定a+b＞0是否成立．【解答】解：∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴x=1=﹣，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②错误．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b=0，故③正确；∵b=﹣2a，∴a+b=a﹣2a=﹣a，∴a＜0，∴﹣a＞0，∴a+b＞0，故④正确；故选B．【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE 的值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先过点E作EH⊥BC于点H，由矩形的性质，可得EH=AB=2，由折叠的性质，可得BE=DE，设AE=x，由勾股定理即可求得方程：22+x2=（6﹣x）2，解此方程即可求得BH的长，易得△BEF是等腰三角形，又由等腰三角形的性质，可求得BF的长，继而求得答案．【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴EH=AB=2，∠A=90°，设AE=x，则DE=AD﹣AE=6﹣x，由折叠的性质可得：BE=DE=6﹣x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，∴BH=AE=，DE=，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∵∠DEF=∠BEF，∴∠BEF=∠BFE，∴BF=DE=，∴FH=BF﹣BH=，∴tan∠BFE===3．故选D．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．9．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C． D．【考点】几何体的展开图．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符．故选B．【点评】解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．10．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A．1场B．2场C．3场D．4场【考点】推理与论证．【分析】根据甲参赛了5场，则甲和每人参赛了一场，所以根据戊已经赛了1场，戊只和甲比赛了一场；再根据乙已经赛了4场，则乙和甲、丙、丁、小强各参赛了一场．根据丁已经赛了2场，则丁只和甲、乙进行了比赛；再根据丙已经赛了3场，则丙和甲、乙、小强各比赛了一场．所以小强比赛了3场．【解答】解：由于每两人比赛一场，因此每个人最多比5场．甲已经赛了5场，则说明甲和其他5人都比了一场；由此可知：甲与小强比了一场，戊只和甲赛了一场；乙赛了4场，除去和甲赛的一场外，还和其他三人各赛一场，因此这三人必为：丙、丁和小强；丁赛了2场，由上面两个人的比赛情况可知：丁只与甲、乙进行了比赛；丙赛了3场，除去和甲、丁的两场比赛，还剩下一场，而丁和戊都没有和丙比赛，因此丙剩下的一场比赛必为和小强的比赛．因此小强赛了三场，且对手为甲、乙、丙．故选C．【点评】本题要首尾结合进行逐步推理．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= 32 ．【考点】二次根式的化简求值．【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程，求解即可．【解答】解：∵a*b=﹣a，∴2*x=﹣2，∴方程2*x=6可化为﹣2=6，解得x=32，故答案为：32【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键．12．罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是52 ．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型．【分析】根据上述数字的表示方法，可以发现：如果较小的数字在较大的数字前面，则表示的数是较大的数表示的数字减去较小的数字；如果较小的数字写在较大的数字的后面，则表示的数的较大的数字加上较小的数字．则LII=50+1+1=52．【解答】解：LII=50+1+1=52．【点评】能够根据具体例子发现规则，然后进行计算．解题的关键是要知道如果较小的数字在较大的数字前面，则表示的数是较大的数表示的数字减去较小的数字；如果较小的数字写在较大的数字的后面，则表示的数的较大的数字加上较小的数字．13．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x 个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为y=3x+5 ．【考点】概率公式．【分析】根据白球的概率公式：得到相应的方程： =，根据方程求解即可．【解答】解：∵取出一个白球的概率P=，∴=，∴12+4x=7+x+y，∴y与x的函数关系式为：y=3x+5．故答案为：y=3x+5．【点评】此题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是14＜a＜16 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组只有四个整数解，求出实数a的取值范围．【解答】解：解①得x＞2，解②得x＜a，∴2＜x，∵不等式组有且只有四个整数解，即3，4，5，6；∴7＜a＜8，即14＜a＜16．故答案为14＜a＜16．【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是20.3 cm2（结果精确到0.1，≈1.73）．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，根据AC=8，就可求出GF的长，从而求解．【解答】解：设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，设FC=x，则GF=FC=x，∵旋转角为60°，即可得∠FAG=60°，∴AF=GFcot∠FAG=x．所以x+x=8，则x=12﹣4．所以S△AGC=×8×（12﹣4）≈20.3cm2．故答案为：20.3．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三、解答题：本大题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（1）计算： +（）﹣2﹣20150﹣2cos30°+|﹣|（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x=﹣6．【考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；分式．【分析】（1）原式利用算术平方根，零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=5+9﹣1﹣+=13；（2）原式=﹣÷=•=，当x=﹣6时，原式===．【点评】此题考查了实数的运算，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E 为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，根据已知的三角函数值和线段OA的长求出AD与OD的长，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式；（2）把点B的横坐标代入反比例函数解析式中得到B的坐标，然后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中，求出k与b的值即可得到一次函数解析式，从而求出点C的坐标，得到OC的长，最后利用三角形的面积公式求出△AOC与△BOC的面积，相加即可得到△AOB的面积．【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，∵tan∠AOE==，设AD=4x，OD=3x，∵OA=5，在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，∴A（3，4），把A（3，4）代入反比例函数y=中，解得：m=12，则反比例函数的解析式为y=；（2）把点B的坐标为（﹣6，n）代入y=中，解得n=﹣2，则B的坐标为（﹣6，﹣2），把A（3，4）和B（﹣6，﹣2）分别代入一次函数y=kx+b（k≠0）得，解得，则一次函数的解析式为y=x+2，∵点C在x轴上，令y=0，得x=﹣3即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，三角形函数值，以及三角形的面积公式的运用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的长．【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．【分析】（1）只要证明两角对应相等即可证明．（2）作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，连接ME，先证明△OMR≌△ONQ，得到OR=OQ，MK=FN，由题意S=4S△PNQ，推出PR=4PQ，即2+a=4a，求出a，然后利用勾股定理求出QN、利用面积法求出FN，△PMR再利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵NQ、RM是⊙O切线，∴NQ⊥MN，MR⊥MN，∴NQ∥MR，∴∠Q=∠R，∵MN是直径，∴∠MPN=∠MNQ=90°，∴∠MNP+∠NMP=90°，∠MNP+∠PNQ=90°，∴∠QNP=∠NMP，∵OM=OP，∴∠OPM=∠OMP，∴∠QNP=∠RPM，∴△NPQ∽△PMR．（2）解：作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，连接ME，在△OMR和△ONQ中，，∴△OMR≌△ONQ，∴OR=OQ，MK=FN（全等三角形对应边上高相等）∵OE=OP，∴RE=PQ，时PQ=RE=a，由题意S△PMR=4S△PNQ，∴PR=4PQ，即2+a=4a，∴a=．在RT△ONQ中，∵∠ONQ=90°，ON=，OQ=，∴NQ==，∵•OQ•FN=•ON•QN，∴FN=，在RT△OFN中，∵∠OFN=90°，ON=，FN=，∴OF==，在RT△PNF中，∵∠PFN=90°，PF=，FN=，∴PN==2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，面积法求高等知识，解题的关键是添加辅助线，学会灵活运用勾股定理、面积法，属于中考常考题型．19．如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=﹣b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根之差的绝对值为，求a的值；（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由韦达定理可得x1+x2=a+1，x1x2=a2+1，根据|x1﹣x2|=即（x1+x2）2﹣4x1•x2=5，代入解关于a的方程可得；（2）根据韦达定理知x1+x2=﹣p，x1x2=q，设新方程两个分别为y1、y2，由y1=、y2=，可知y1+y2、y1y2，继而可得新方程．【解答】解：（1）设方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2=a+1，x1x2=a2+1，∵|x1﹣x2|=，∴（x1﹣x2）2=5，即（x1+x2）2﹣4x1•x2=5，∴（a+1）2﹣4（a2+1）=5，解得：a=4；（2）方程x2+px+q=0（q≠0）中x1+x2=﹣p，x1x2=q，设新方程两个分别为y1、y2，则y1=、y2=，∴y1+y2===﹣，y1y2==，故新方程为y2+y+=0．【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）求△BMN的面积的最大值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）连接BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△CDN≌△BDM，得到答案；（2）根据割补法求面积的思想解答；（3）当正三角形DMN的边DN与BC垂直时，边DN最短．△DMN的面积会随着DN的变化而变化，且当DN最短时，正三角形DMN的面积会最小，又根据S△BMN=S四边形DMBNF﹣S△DMN，则△BMN的面积就会最大．【解答】（1）证明：连接AC，如图2，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠CDN+∠BDN=60°，∵∠BDM+∠BDN=60°，∴∠CDN=∠BDM，∵∠ADC=120°，∴△ABD和△CBD为等边三角形，∴∠ABD=60°，DC=DB，在△CDN和△BDM中，，∴△CDN≌△BDM（ASA），∴BM=CN；（2）解：四边形AECF的面积不变．理由：由（1）得△CDN≌△BDM，则S△CDN=S△BDM，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作DH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形DMBN=S△DBC=BC•DH=BC•=4；（3）由“垂线段最短”可知：当正三角形DMN的边DN与BC垂直时，边DN最短．故△BMN的面积会随着DN的变化而变化，且当DN最短时，正三角形DMN的面积会最小，又S△BMN=S四边形DMBN﹣S△DMN，则此时△BMN的面积就会最大．∴S△BMN=S四边形DM BN﹣S△DMN=4﹣×2×=，∴△BMN的面积的最大值为．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△CDN≌△BDM 是解题的关键，有一定难度．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x 轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）令y=0，则x﹣=0，解得x=2，x=﹣8时，y=×（﹣8）﹣=﹣，∴点A（2，0），B（﹣8，﹣），把点A、B代入抛物线得，解得，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣x+；（2）∵点P在抛物线上，点D在直线上，∴P点坐标为（x，﹣ x2﹣x+），D点坐标为（x， x﹣），∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点∴PD=﹣x2﹣x+﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，∵PE⊥AB，∴∠DPE+∠PDE=90°，又∵PD⊥x轴，∴∠BAO+∠PDE=90°，∴∠DPE=∠BAO，∵D在直线AB上，∴=，∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，∴PE=PDcos∠DPE=PD，DE=PDsin∠DPE=PD，∴△PDE的周长为l=PD+PD+PD=PD=（﹣x2﹣x+4﹣）=﹣x2﹣x+，即l=﹣x2﹣x+；∵l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，∴当x=﹣3时，l最大值为15．【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的应用，（2）利用锐角三角函数用PD表示出三角形是周长是解题的关键．22．（14分）（2015•福州校级自主招生）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为36 ；（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4．①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；②通过进一步的研究发现N（n，5）=n2﹣n，N（n，6）=2n2﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2，求出能同时满足两个式子的数，即可得出结果；（2）通过因式分解，将k（k+1）（k+2）（k+3）+1化解为完全平方数，即为正方形数；（3）①由图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2，即可得出结果；②由N（n，3）=，N（n，4）=，N（n，5）=，N（n，6）=，可推断N（n，k）=（k≥3），将N（10，24）代入即可得出结果．【解答】（1）解：∵正方形数点的个数是为n2，∴除1外，分别为4，9，16，25，36，49，64，…，∵图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即三角形数点的个数是为，∵4=无正整数解，∴4不是三角形数，∵9=无正整数解，∴9不是三角形数，∵16=无正整数解，∴16不是三角形数，∵25=无正整数解，∴25不是三角形数，∵36=，解得n=8，所以36是三角形数，∴除1外，最小的既是三角形数又是正方形数的是36，故答案为36；（2）证明：∵k（k+1）（k+2）（k+3）+1=k（k+3）（k+1）（k+2）+1=（k2+3k）（k2+3k+2）+1=（k2+3k）2+2（k2+3k）+1=（k2+3k+1）2∴k（k+1）（k+2）（k+3）+1是完全平方数，即为正方形数；（3）解：①由（1）知：N（n，3）=，N（n，4）=n2；②∵N（n，3）===，N（n，4）=n2==，N（n，5）=n2﹣n==，N（n，6）=2n2﹣n==，∴由此变化规律可推断N（n，k）=（k≥3）；∴N（10，24）==1000．【点评】本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．。

福州一中拔尖创新计划数学小学组考试1．()11193310.760.22 1.6610.220.7610.220.76502550⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．222222222222257940491212312341232024++++=++++++++++ ．2．@A B AB A B =++，则1991@9@9@9@9@91+ 次运算结果中0的个数为．3．有5数：a 、2b 、23c 、234d 、2345e ，它们的平均数为9387，则d =．4．甲、乙、丙皆正方形，甲一个顶点在乙中心，乙一个顶点在丙中心，甲边长25cm ，丙面积264cm ，此3图形面积为2973cm ，则乙边长为cm．5．康正午看时钟，发现时针与分针重合，下次这样重合时刻是．6．检票口检票前有945人等待检票，每分钟有固定人数来检票，4口15分，8口7分，照此速，3分放完需口．7．45猴摘桃，孙不在，小1时11kg ，大1时15kg ；孙在，大小都多12kg ，一日，共摘8时，孙在2时，共摘5680kg ，共有小猴只．8．5对兄弟10人，分5组，一组2人，不和亲兄弟组，方式．9．0A B C ≠≠≠（自然数）11111611616A B C C-=+++，问：()B A C -⨯=．10．正方形ABCD ，12BE BC =，3CF DF =，AF 、DE 相交于点O ，O 为圆心，OD 、OA 为半径，大面积:小面积=．11．8箱8钥，1箱放1钥，破①②箱，取钥可开其箱，按此方打开8箱为“妙”法，“妙”法种．12．4人黄白花黑，4狗黄白花黑，1人养1狗，人都不养名字相同之狗，且①白不养花，②花不养花狗主人名相同之狗，③黄不养黑狗主人名相同之狗，④黑不养白狗主人名相同之狗．问：花养．13．甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？，把这些数分为289组，每组7数，其中每组7 14．共2023个数：1,2,3,,2021,2022,2023数按从小到大排列，居中的数叫作“中位数”．问：289个中位数之和的最大值、最小值各为多少？1．83502023675【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，数字类的规律探索，对于第一空分别计算出每个括号内的结果，再计算乘法，最后计算减法即可；对于第二空先得到规律()()22221211236n n n n ++++++=，进而得到2222211161231n n n n +⎛⎫=- ⎪+++++⎝⎭，据此规律把所求式子裂项求解即可．【详解】解：()11193310.760.22 1.6610.220.7610.220.76502550⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113811193349334911115050502550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⨯++-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9966914950252550=⨯-⨯653444591250-=8350=；()()222212211256⨯+⨯⨯++==，()()222331*********⨯+⨯⨯+++==，()()22224412411234306⨯+⨯⨯++++==，……，以此类推可知，()()22221211236n n n n ++++++=，∴()222221611612311n n n n n n +⎛⎫==- ⎪++++++⎝⎭∴222222222222257940491212312341232024++++++++++++++ 1111116233420242025⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭ 11622025⎛⎫=- ⎪⎝⎭2023675=．故答案为：8350；2023675．2．199【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，新定义，根据新定义计算出第三次的运算的结果可得规律21011@9@9@9@9@9n n =⨯- 次运算，据此规律可得19919199921011211@9@9@9@9@091=⨯-+=⨯+ 次运算，据此可得答案．【详解】解：∵@A B AB A B =++，∴1@9191920119=⨯++=-=，∴1@9@91991992001199=⨯++=-=，∴1@9@9@919991999200011999=⨯++=-=，以此类推可知21011@9@9@9@9@9n n =⨯- 次运算，∴19919199921011211@9@9@9@9@091=⨯-+=⨯+ 次运算，∴1991@9@9@9@9@91+ 次运算结果中0的个数为199个，故答案为：199．3．4【分析】本题主要考查平均数，根据平均数乘以个数等于总数，结合个位数得和与总数相等逐位向前求解，直至求解到d 即可．【详解】解：根据题意得5个数的和为9387546935⨯=，则2345a ++++的和个位数为5，即1a =，且向十位数进1，2341b ++++的和个位数为3，即3b =，且向百位数进1，231c +++的和个位数为9，即3c =，且未向千位进数，2d +的和个位数为6，即4d =，故答案为：4．4．20【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据正方形的对称性可知，甲与乙重合的部分的面积为乙面积的四分之一，乙与丙重合部分的面积为丙面积的四分之一，求出甲的面积为22525625cm ⨯=，再根据总面积为2973cm 建立方程求解即可．【详解】解：根据正方形的对称性可知，甲与乙重合的部分的面积为乙面积的四分之一，乙与丙重合部分的面积为丙面积的四分之一，∵甲边长25cm ，∴甲的面积为22525625cm ⨯=，∵此3图形面积为2973cm ，∴1197344S S S S S -++-=乙乙甲丙丙，∵丙面积264cm ，∴362564169734S ++-=乙，∴2400cm S =乙，∴乙边长为20cm ，故答案为：20．5．1时6011分钟【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，解题时经常用到分针每分钟转过的角度为6度，时针每分钟转过的角度为12度．首先我们可以推算出分针和时针下次相遇的时间为1点钟以后的时间，也就是说此时时针与分针的差距实际是360︒，那么可设经过x 分钟再次重合，根据速度、时间和路程的关系可得：162x -360x =，由此即可解决问题．【详解】解：设经过x 分钟再次重合，根据题干可得：163602x x -=，112360x =，72011x =．72011分1=时6011分钟；故答案为：1时6011分钟．6．18【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个窗口，每分钟可以通行的旅客为x 人，每分钟固定来检票的人数为y 人，根据4口15分，8口7分列出方程组求出x 、y 的值即可得到答案．【详解】解：设每个窗口，每分钟可以通行的旅客为x 人，每分钟固定来检票的人数为y 人，由题意得，41515945877945x y x y ⨯-=⎧⎨⨯-=⎩，解得189x y =⎧⎨=⎩，∴9453918183+⨯=⨯，∴3分放完需18口，故答案为：18．7．25【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设小猴有x 只，则大猴有()45x -只，分别计算出小猴和大猴摘桃的数量，然后根据一共摘5680kg 列出方程求解即可．【详解】解：设小猴有x 只，则大猴有()45x -只，由题意得，()()()()()()82118215452111221512455680x x x x -⨯+-⨯-+⨯++⨯+-=，解得25x =，∴小猴有25只，故答案为：25．8．544【分析】设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，k a 与k b 都不同组的组合数，分为五组，则有五组互相交换，四组互相交换，一组交换，三组互相交换，两组互相交换，共三种情况，分别讨论求出对应的结果数，然后求和即可得到答案．【详解】解：设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，ka 与kb 都不同组的组合数，∵分为五组，∴有如下几种交换方式：1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，第一组和第二组换，第二组剩下的和第三组换，第三组剩下的和第四组换，第四则剩下的和第五组换，第五组剩下的和第一组剩下的换，此时一共有43212222384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种（第一组确定，那么第二组有4种可能，第三组有3种可能，第二组有2种可能，第一组有1种可能，在每一组中又要从2个中选择1个进行交换）；1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，选择四组互相交换，则剩下一组没有交换，不符合题意；1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，选择三组互相交换，剩下两组互相交换，则此时有541221221602⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种（从五组里面选择两组互相交换，共有542⨯种，在选出的两组里面，一组选取1个，另一组有2种选择方式，剩下的三组中，确定一组中的一个，那么剩下的两组每一组中有2种选择，其中这两组的排列方式也有2种选择），综上所述，一共有384160544+=种不同的方式，故答案为：544．【点睛】本题主要考查了排列与组合问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．9．24【分析】本题主要考查了分数的四则运算，先把原式变形为1111981122A B C C+++=，再根据题意可得11C C +和111B C C++一定是一个真分数，根据13711191111A B C C++=++可得1A =，13711911B C C=++，同理求出B 、C 的值即可得到答案．【详解】解：∵11111611616A B C C-=+++，∴37111116116A B C C-=+++，∴6311617111A B C C-=+++，∴1112278131A B C C-=+++，∴1111981122A B C C+++=，∵0A B C ≠≠≠（自然数），∴1C 是一个真分数，∴11C C+一定是一个真分数，∴111B C C++一定是一个真分数，∵13711191111A B C C++=++，∴1A =，13711911B C C =++，∴11165137B C C=+++，∴165137B C C==+，，∴111166C C=++，∴6C =，∴()()51624B A C -⨯=-⨯=，故答案为：24．10．494【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，扇形面积，延长DE 、AB 交于M ，根据正方形的性质和12BE BC =，3CF DF =，可得18OD DF OM AM ==，最后根据22S OE S OD =大小求解即可．【详解】解：延长DE 、AB 交于M ，∵正方形ABCD ，∴AB BC CD ==，AB CD ∥，∴M MDC ∠=∠，MBE C ∠=∠，∴AOM DOF ∽，∴OD DFOM AM=，设4AB BC CD x ===，∵12BE BC =，3CF DF =，∴122BE EC BC x ===，DF x =，∴DEC MEB ≌，∴4BM CD x ==，EM DE =∴8AM AB BM x =+=，∴188OD DF x OM AM x ===，∴8OM OD =，∴()119222DE DM OD OM OD ==+=，∴72OE DE OD OD =-=，∵2360AOE OE S π∠⋅=︒大，2360DOF OD S π∠⋅=︒小，DOF AOE ∠=∠，∴222274924OD S OE S OD OD ⎛⎫ ⎪⎝⎭===大小，故答案为：494．11．1348688【分析】设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，k a 与k b 都不同组的组合数，分别求出()()()()1234f f f f ，，，的值，进而得到规律求出()()()()5678f f f f ，，，的值，根据题意可得这8个箱子里面的钥匙编号与其箱子的编号都不同或者编号为③④⑤⑥⑦⑧的箱子中的钥匙的编号与箱子编号不相同，①和②号箱子中有1个箱子的编号与其内的钥匙编号相同，据此求解即可．【详解】解：设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，ka 与kb 都不同组的组合数，当1n =时，()10f =，当2n =时，1122a b a b ，这两组只能交换如下：1212a a b b ，和1212a b b a ，，则()22f =，当3n =时，112233a b a b a b ，，这三组中，只有三组循环交换时才能满足题意（两组互相交换，那么剩下一组没有交换），则此时有2228⨯⨯=种，∴()()()()()12333332312211218f f f C C C =⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-=种，当4n =时，只存在四组循环交换或者两两互相交换这两种情况（两两中有一半的情况与四组循环交换重复），则此时有43321222222602⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯÷=（种），∴()()()()()()()()123444444241231231221132160f f f f C C C C =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=种，……，以此类推可知，()()()()()12345555555975314321544f f f f f C C C C C =⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，()()()()()()12345666666661197531543216040f f f f f f C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，()()()()()()()1234567777777771311975316543217900f f f f f f f C C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，∴()()()()()()()12345678888888815131197531765432f f f f f f f C C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-2027025632064169120304644200448561=-------1190672=，∵破①②箱，取钥可开其箱，∴编号为①②的箱子中不能同时拥有与其编号相同的钥匙，∴这8个箱子里面的钥匙编号与其箱子的编号都不同或者编号为③④⑤⑥⑦⑧的箱子中的钥匙的编号与箱子编号不相同，①和②号箱子中有1个箱子的编号与其内的钥匙编号相同，∴“妙”法共有()()82711906722790081348688f f +⨯=+⨯=种，故答案为；1348688．【点睛】本题主要考查了排列与组合问题，通过求出()()()()1234f f f f ，，，的值，进而得到规律求出()()()()5678f f f f ，，，的值是解题的关键．12．白【分析】本题主要考查了逻辑推理，根据题意可知白白养的狗只能叫黄黄或黑黑，分别假设花花养的狗叫黑黑和黄黄，则白白养的狗叫黄黄和黑黑，再假设出黄黄养的狗，得到黑黑养的狗，看推出的结果是否与题干矛盾即可得到答案．【详解】解：由题意得，白白养的狗不能叫白白，也不能叫花花，则白白养的狗只能叫黄黄或黑黑；花花养的狗不能叫花花，假设花花养的狗叫黑黑，则白白养的狗叫黄黄，则黄黄和黑黑养的狗是花花，白白，假设黄黄养的狗叫白白，则黑黑养的狗叫花花，这与②矛盾，不符合题意；假设黄黄养的狗叫花花，则黑黑养的狗叫白白，这与③矛盾，不符合题意；假设花花养的狗叫黄黄，则白白养的狗叫黑黑，则黄黄和黑黑养的狗是花花，白白，假设黄黄养的狗叫白白，则黑黑养的狗叫花花，这与②矛盾，不符合题意；假设黄黄养的狗叫花花，则黑黑养的狗叫白白，这与③矛盾，不符合题意；∴可知花花养的狗只能是白白，故答案为：白．13．摩托车走完全程要216分钟．【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A 、B 两地的距离为S ，按照原速同时出发时，t 分钟甲乙两人相遇，则2V t V t S V t V t S +=⎧⎨+=⎩甲乙乙丙，据此可得2V V V =+乙甲丙，再根据如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A 路上碰到他们推出()13023V t V t S V t V t S ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩甲乙甲丙，可得90t =；再根据如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B 得到()()130262V t V t S V t S ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩甲乙丙，则2V V =甲乙，进而可得25V V V V =+=乙乙甲丙，270S V t V t V =+=乙乙甲，据此求出摩托车需要的时间即可．【详解】解：设A 、B 两地的距离为S ，按照原速同时出发时，t 分钟甲乙两人相遇，由题意得，2V t V t S V t V t S+=⎧⎨+=⎩甲乙乙丙，∴2V V V =+乙甲丙；∵如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A 路上碰到他们，∴()13023V t t S V t V t S ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩甲乙甲丙，∴()33302V t V t V t V t +-=+甲乙甲丙，∴()333022V t V t V t V t V t +-=++甲乙甲乙甲，∴90t =；∵如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B ，∴()()130262V t t S V t S ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩甲乙丙，∴()()()23026V t V t V V t ++=++甲乙乙甲，∴180********V V V V +=+乙乙甲甲，∴2V V =甲乙，∴25V V V V =+=乙乙甲丙，∴270S V t V t V =+=乙乙甲，∴270545S V V V ==乙乙丙，∴454216⨯=分钟答：摩托车走完全程要216分钟．14．289个中位数之和的最大值、最小值各为417316，167620．【分析】本题考查中位数的求法：给定n 个数据，按从小到大排序，如果n 为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n 为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．根据题意要求和的最大值，则按从大到小的顺序排列后，将2023，2022，2021，2020排在一起，2020作为中位数，依次得到其他的中位数，相加即可，根据题意要求和的最小值，则按从小到大的顺序排列后，将1，2，3，4排在一起，4作为中位数，依次得到其他的中位数，相加即可．【详解】解：根据题意得：满足和的最大值的中位数分别为：2020，2016，2012，2008，2004，2000，L ，876，872，868，所以这289个中位数的和的最大值是：289(2020868)2020201620128788728684173162⨯+++++++== ，满足和的最小值的中位数分别为：4，8，12，L ，1148，1152，1156，所以这289个中位数的和的最小值是：289(41156)48121148115211561676202⨯+++++++== ，289个中位数之和的最大值、最小值各为417316，167620．。

福州一中自主招生试卷福州一中自主招生考试_——数学试卷福州一中自主招生试卷 2011福州一中自主招生考试_——数学试卷福州一中2011年高中招生综合素质测试数学试卷(满分100分，考试时间60分钟)学校姓名准考证号注意:请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡的相应位置上(一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分(在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的() 1(右图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误的是( ) ((A(4a,b c D(a,b c b c C(a c B(22;?2a3a 6a;?|2136222222|～2sin45 ,(～1)2011 0;b,cb(其中正确的个数有( ) a,caA(0 B(1 C(2D(33(某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款(其中8人捐款统计如下表: 设这8人捐款数的众数为a，中位数为b，平均数为c，则下列各式正确的是( ) A(a b c B(a b c C(a b cD(a b c4(如右图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，则该圆弧所在圆的圆心坐标为( )2A((2,0) B((2,1) C((1,2)D(无法确定5(如右图，在 ABC中，AB 5,AC 4,BC 3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( )125A(2 B( C( D(25A6(定义:直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M 到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序非负实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”(根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( ) A(1 B(2 C(3D( 4二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分()BD1x2～x～6x2,2x,1,) 7(化简(2的结果为。

x,3xx2～9x,38(如图，在两面墙之间有一根底端在A点的竹竿，当它3靠在一侧墙上时，竹竿的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时，竹竿的顶端在D点(已知BAC 60 ， DAE 45 ，(墙面垂直地面) AC 2米，则DE的高度为米(9(若实数a，b满足a,b 1，则a,4b的最小值是。

第一套：满分150分2020-2021年福建福州第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

＝— — － － Ｉ — — ＝１ ． ４ ＋２ ４ ＋２ ×４
（ ３ ） 证 明： 若ｏ ． ［ ０ ， １ ］ ， 则对 所有 的
， 并 相
在 上式 中 ， 令 ： ， …， ： 加 即知
５ ＝ ．
ｎ ＞２， ／ 都有 ｎ ＜ｒ 上 ＋ １ ． （ ２ ０ ０ ８ ， 中 国 科 学 技 术 大 学 自主 招 生 考
＝
（ 一 ）
一
＝ ｌ一 ０ｎ ＋ １＝ Ⅱｌ ０２ … ０ｎ
＝ １一 ｎｎ＝ｎｌ 口２ …０
Ｉ
ｌ 一口 ＋ ｌ ＝０ （ １一 口 ） ｊ 口 ＋ ｌ ＝１ ＋ｎ （ ｎ 一１ ） ．
由 ＋ ：
０１ ｏ２ ０ｌ ０２
证明和式 ｌ ＋ １＋ 了 １＋ …＋ 发散
３ 递 推数 列 问题
．
由式①得 口 ＋ ＝ １ 一 （ １ 一 ｏ ） ｏ ∈（ ０ ， １ ） ．
注 意到 ，
等＝
１
：
有错位相减 、 裂项相消、 倒序相加等．
例 ２ 定义在 Ｒ上 的函数 ） ・
｛ ｂ ｎ ｝ 是公 比为 的等 比数列．
Ⅱ
（ ２ ） 解
数列 ｛ ６ ｝ 中所 有 不 同两 项 的乘
￣ Ｅ Ｓ ｏ ＝
（ １ ）求 Ｓ ；
） ＋ ． ． ・
数 列作 为 高 中数学 的重 要 内容 之 一 ， 是
积 之和为 ∑ ６ ６ ， ．
初等数学与高等数学的重要衔接点 ， 是考查 学生逻辑思维能力和推理能力的好素材． 因 而， 数列一直是高中数学竞赛和大学 自主招
生考试命题 的热 门内容． ＿ ｌ 本文以 自主招生
考试中有关的数列 问题 为主， 例析解题思路

2006年福州一中招生综合素质测试数学题目及详细答案1. 如果在数轴上表示 a, b 两个实数的点的位置如图所示，那么| a – b| + | a + b | 化简的结果为 A. 2a B. –2a C. 0 D. 2bC. D. 3. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果sinA=53, 那么 tanB 的值等于 A.53B. 45C. 43D. 344. 以下五个图形中，是中心对称的图形共有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 5. 已知△ABC 中，AB = 3，BC = 4, AC = 5, 则△ABC 的外心在A. △ABC 内B. △ABC 外C. BC 边中点D. AC 边中点 6．某校为了了解学生的身体素质情况，对初三（2）班的50名学生进行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10分。

如图，是将该学生所得的三项成绩（成绩均为整数）之和进行整理后，分成5组画出的频率分布直方图，已知从左至右前4个小组的频率分别为0.02，0.1，0.12，0.46. 下列说法：① 学生的成绩≥27分的共有15人；②学生成绩的众数在第四小组(22.5~26.5)内；③学生成绩的中位数在第四小组(22.5~26.5)范围内。

其中正确的说法有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知3)()(33243=-÷ba b a ，那么39b a 等于A ．9- B. 9 C. 27 D. 27-8. 用圆心角为60°,半径为24cm 的扇形做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥底面的半径是A. 4πcmB. 8πcmC. 4cmD. 8cm9. 当 x = 1 时，代数式 px 3 + qx + 1的值是2006，则当 x = –1 时，代数式 px 3 + qx + 1的值是A. – 2004B. – 2005C. – 2006D. 2006 10. 以下给出三个结论①若1– 21( x – 1 ) = x , 则 2 – x – 1 = 2x ；②若21-+x x = 222-+x x , 则21-x =22-x ；③若x – 11-x = x-11, 则 x – 1 = –1。

福州一中自主招生试卷 2011福州一中自主招生考试_——数学试卷福州一中2011年高中招生综合素质测试数学试卷(满分100分，考试时间60分钟)学校姓名准考证号注意:请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡的相应位置上(一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分(在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的() 1(右图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误的是( ) ((A(4a,b c D(a,b c b c C(a c B(22;?2a3a 6a;?|2136222222|～2sin45 ,(～1)2011 0;?b,cb(其中正确的个数有( ) a,caA(0 B(1 C(2D(33(某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款(其中8人捐款统计如下表: 设这8人捐款数的众数为a，中位数为b，平均数为c，则下列各式正确的是( ) A(a b c B(a b c C(a b cD(a b c4(如右图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，则该圆弧所在圆的圆心坐标为( )2A((2,0) B((2,1) C((1,2)D(无法确定5(如右图，在 ABC中，AB 5,AC 4,BC 3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( )125A(2 B( C( D(25A6(定义:直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”(根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( )A(1 B(2 C(3D( 4二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分()BD1x2～x～6x2,2x,1,) 7(化简(2的结果为。

x,3xx2～9x,38(如图，在两面墙之间有一根底端在A点的竹竿，当它3靠在一侧墙上时，竹竿的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时，竹竿的顶端在D点(已知BAC 60 ， DAE 45 ，(墙面垂直地面) AC 2米，则DE的高度为米(9(若实数a，b满足a,b 1，则a,4b的最小值是。

福州一中2023-2024学年第二学期开学初三数学适应性训练（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）1. 实数的相反数是（）A. B. C. D. 7答案：B解析：解：实数的相反数是，故选：B．2. 2022年11月5日，习近平在《湿地公约》第十四届缔约方大会开幕式上致辞，发言中指出，中国湿地保护取得了历史性成就，湿地面积达到56350000公顷，构建了保护制度体系，出台了《湿地保护法》。

用科学记数法表示，正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解：，故选：B．3. 如图所示，正三棱柱的俯视图是( )A B. C. D.答案：B解析：该几何体为水平放置的三棱柱，故俯视图的外部轮廓应为矩形，还有一条可以看到的水平棱（实线），故选：B．4. 下列运算正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解：A. ，原式计算错误，故选项不符合题意；B. ，原式计算正确，故选项符合题意；C. ，原式计算错误，故选项不符合题意；D. ，原式计算错误，故选项不符合题意；故选：B．5. 已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（ ）A. B.C. D.答案：B解析：解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，∴，∵，∴经过第二、三、四象限，故选项B符合题意．故选：B．6. 下列命题错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线相等且互相平分C. 菱形的对角线相等且互相平分D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分答案：C解析：A．平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；B．矩形的对角线相等且互相平分，正确，不符合题意；C．菱形的对角线互相垂直且平分，而非相等，错误，符合题意；D．正方形的对角线相等且互相垂直平分，正确，不符合题意；故选：C．7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. 且 D. 且答案：D解析：解：∵为一元二次方程，∴，∵该一元二次方程有两个实数根，∴，解得，∴且，故选：D．8. 如图，四边形内接于，，平分交于点E，若．则的大小为（ ）A. B. C. D.答案：D解析：解：∵四边形内接于，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．9. 如图，的顶点坐标分别为，线段交x轴于点P，如果将绕点P按顺时针方向旋转，得到，那么点的对应点的坐标是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：∵、，设直线的解析式为，则，解得，∴，当时，，解得，∴，如图所示，过点B作于点D，过点作轴于点E，∵将绕点P按顺时针方向旋转，得到，∴，，又∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，即，故选：C．10. 直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：①抛物线的对称轴是直线②抛物线与x轴一定有两个交点③关于x的方程有两个根，④若，当或时，其中正确的结论是（）A. ①②③④B. ①②③C. ②③D. ①④答案：B解析：解：①直线经过点，，，抛物线的对称轴为直线，故①正确；②，由①得，，，，抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；③当时，，抛物线也过，由得方程，方程的一个根为，抛物线，，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，，解得：，抛物线与轴的另一个交点为，关于x的方程有两个根，，故③正确；④当，当时，，故④错误；故选：B．二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）11. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______.答案：x≠-2．解析：∵分式在实数范围内有意义，∴x+2≠0，解得：x≠-2，则x的取值范围是：x≠-2．12. 已知圆锥的底面半径为3，母线为8，则圆锥的侧面积等于_______．答案：24π.解析：试题分析：直接根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解：圆锥的侧面积=2π×3×8÷2=24π.考点：圆锥的计算．13. 不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在，则绿球的个数约是________．答案：35解析：解：设绿球个数有x个，根据题意，得：，解得：，经检验：是分式方程的解，∴绿球的个数约有35个．故答案为：35．14. 如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为______．答案：解析：解：∵四边形是菱形，∴，，，∴中：，∵面积，∴，故答案为：15. 如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .答案：15.解析：连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°，∴∠AOB=60°-36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为15.16. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_________.答案：6解析：解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，∵，∴，∵轴于点，∴，∴，∴，∴，∴，∵，的面积是，∴，∴，∴，则，即，解得，故答案为：6三、解答题（共9小题，共86分）17.答案：解析：解：原式．18. 先化简，再求值：，其中．答案：，．解析：解：原式，当时，原式．19. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD= CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：DE=DF．答案：见解析解析：证明：，，DE⊥AB，DF⊥AC，，在与中，，20. 端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元?（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子?答案：（1）每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元（2）至少购进600个粽子小问1解析：设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，则：．解得．答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；小问2解析：设购进个粽子，根据题意，得．解得．因为是正整数，所以最小值取600．答：至少购进600个粽子．21. 某校开展“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，林老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分竞赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表．组别成绩x （分）频数A6B14CmDnE p请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）如表中的______，______；（2）为参加上级部门组织的党史知识竞赛活动，现要从E组随机抽取两名学生组成代表队．E组中的小经和小武是黄金搭档，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到这对黄金搭档的概率．答案：（1）18，8（2）小问1解析：抽取的学生人数为：（人，，由题意得：，，故答案为：18，8；小问2解析：将“小经”和“小武”分别记为：、，另两个同学分别记为：、，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小经和小武的结果有2种，恰好抽到小经和小武概率为：．22. 如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，连接．（1）求作的切线，交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：，答案：（1）见解析；（2）见解析．小问1解析：解：如图：即为所求；作射线，以点P为圆心，任意长为半径画弧交射线于M，N，以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点E，作直线，交于点Q，则直线即为所求；小问2解析：证明：连接，如图，为直径，∴，，，，，∵为的切线，∴，，，，∴，是的中位线，∴．23. 下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．项目主题：测量河流的宽度．项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：题目测量河流宽度目标示意图测量数据请你参与这个项目学习，并完成下列任务（1）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；（2）任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识______（定出一条即可）；（3）任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明一下。

2020年福州一中自主招生数学试卷（样卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．（5分）设，则代数式x（x+1）（x+2）（x+3）的值为（）A．0B．1C．﹣1D．22．（5分）对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）3．（5分）已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（）A．B．C．1D．4．（5分）设S＝+++……+，则4S的整数部分等于（）A．4B．5C．6D．75．（5分）方程x2+2xy+3y2＝34的整数解（x，y）的组数为（）A．3B．4C．5D．66．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A．B．C．D．7．（5分）已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（）A．B．0C．1D．8．（5分）若方程x2+2px﹣3p﹣2＝0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所有可能的值之和为（）A．0B．C．﹣1D．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）9．（5分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t＝．10．（5分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为．11．（5分）在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．12．（5分）已知实数a、b、c满足abc＝﹣1，a+b+c＝4，++＝，则a2+b2+c2＝．13．（5分）两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为．14．（5分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是．15．（5分）如图，双曲线（x＞0）与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F，且AF＝BF，连接EF，则△OEF的面积为．16．（5分）设四位数满足a3+b3+c3+d3+1＝10c+d，则这样的四位数的个数为．三、解答题（共4题，17、18每题15分，19、20每题20分，共70分）17．（15分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC．点P在△ABC内，且P A＝，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．18．（15分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B （x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，P A是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．19．（20分）如图，P A为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，证明：AD2＝BD•CD．20．（20分）若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有一个整数是素数，求n的最大值．。

2020年福州一中高中招生测试理科素养测试（测试时间120分钟满分120分）学校姓名准考证号数学试卷（满分80分）注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置．一．选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1.下列计算一定正确的是（）A.24833a a a ⋅= B.2416(2)16a a = C.824a a a ÷= D.248()a a --=2.为了解新冠肺炎疫情防控期间，学生居家进行“线上学习”情况，某班进行了某学科单元基础知识“线上测试”，其中抽查的10名学生的成绩如图所示，关于这10名学生的成绩的结论：①中位数是95分；②众数是90分；③平均数是91分；④方差是15.其中说法正确的是（）A.①②B ．①③C ．②③D ．②④3.斐波那契螺旋线，又称“黄金螺旋线”.如图，长为13的长方形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分.则在矩形ABCD 内的这段斐波那契螺旋线的长为（）A.192πB.10πC.19πD.20π4.直线32-=x y 与直线2)1(2-++=k x k y （k 为任意实数）的交点不可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.如图，O ⊙内的点A 在弦MN 上，点B 在O ⊙上，AB OA ⊥，若4=AN ，10=AM ，则AB 的长等于（）A.10 B.27C.7 D.66.把棱长为4的正方体分割成43个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为1的小正方体有（）A.38个 B.39个 C.40个 D.41个二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）7.设225a a +=，225b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b +的值是_________.8.已知实数0x 既是方程072=--kx x 的解又是方程0162=---k x x 的解，则实数=k _________.9.如图，矩形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点P 在矩形ABCD 内．若4=AB ，6=BC ，3==CG AE ，4==DH BF ，四边形AEPH 的面积为6，则四边形PFCG 的面积是_________.10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,21,1x xx x y ，若直线y x b =-+与已知函数的图象有且只有一个公共点，则实数b 的取值范围是.三．解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11.(1)若关于x 的不等式组13325x x a x x+⎧>-⎪-⎨⎪+≥-⎩有且只有三个整数解，求实数a 的取值范围；（2）求方程22(2)(324)5x x x x +--=-的所有实数解.12.如图，在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)证明：2222cos a b c ab C +-=；(2)若点D 是BC 的中点，且4a =，23b =22c =，求中线AD 的长.13.如图，圆内接五边形ABCDE 满足AB CD =，BE 与AD的交点为Q ，CQ ∥ED ，设AD 与CE 的交点为P .（1）求证：ECAC ED QD =；（2）求证：22CQ AC ED CE =.14.已知抛物线342+-=x x y 与x 轴交于点A 、B (A 在B 的左侧)，一次函数b kx y +=的图象经过点A ，并与抛物线交于另一点M .（1）当0>k 时，若一次函数的图象上存在点N ，满足BN BM ⊥且BN BM 2=，求一次函数的解析式；（2）将一次函数的图象向上平移2个单位，平移后的图象与已知抛物线交于P 、Q 两点，求APQ ∆的面积的最小值.。

2021-2022学年福建省福州一中九年级（上）开门考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）﹣2021的绝对值是（）A．2021B．﹣2021C．D．2．（4分）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（）A．218×106B．21.8×107C．2.18×108D．0.218×109 4．（4分）下列运算正确的是（）A．2a﹣a＝2B．（a﹣1）2＝a2﹣1C．a6÷a3＝a2D．（2a3）2＝4a65．（4分）某校举办“喜迎建党100周年”校园朗诵大赛，小丽同学根据比赛中七位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）中位数众数平均数方差9.39.49.29.5A．中位数B．众数C．平均数D．方差6．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2x+9C．D．3（x﹣2）＝2（x+9）7．（4分）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元8．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝80°，将△BMN沿MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为（）A．75°B．85°C．95°D．100°9．（4分）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．410．（4分）抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝2x﹣1（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．5B．7C．10D．14二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分；请将答案填在答题卷上）11．（4分）因式分解：2x2﹣8＝．12．（4分）不等式组的解集为．13．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转120°，得到△ADE．这时点D、E、B恰好在同一直线上，则∠ABC的度数为．14．（4分）关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是．15．（4分）已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于．16．（4分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为．三、解答题（本题共9小题，满分86分）17．（6分）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣+（﹣）﹣1．18．（6分）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．19．（8分）在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：抽取的学生视力情况统计表类别检查结果人数A正常88B轻度近视▲C中度近视59D重度近视▲（1）求所抽取的学生总人数；（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议．20．（8分）已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若AD＝4，求△BED的面积．23．（12分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）填空：A、B两原料的单价分别为元、元，每盒产品的成本元（成本＝原料费+其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数且是整数），直接写出每天的最大利润．24．（13分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．25．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a为常数，a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（Ⅰ）求点C的坐标和抛物线的解析式；（Ⅱ）P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，当PD取得最大值时，求点P的坐标；（Ⅲ）M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN 的边MN时，求点N的坐标．2021-2022学年福建省福州一中九年级（上）开门考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．【分析】根据绝对值的定义直接求得．【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，故选：A．【点评】本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义及性质是解题的关键．2．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案和利用旋转设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将218000000用科学记数法表示为2.18×108．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A.2a﹣a＝a，故本选项不合题意；B．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项不合题意；C．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；D．（2a3）2＝4a6，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．5．【分析】根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数，故选：A．【点评】此题主要考查了中位数，关键是掌握中位数定义．6．【分析】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设车x辆，根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．【分析】应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费．【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）．故选：D．【点评】此题考查列代数式，掌握收费的分段以及总费用的求法是解决问题的关键．8．【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，进而求出∠B的度数即可得出∠D的度数．【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝110°，∠C＝80°，∴∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，∴∠F＝∠B＝180°﹣55°﹣40°＝85°，∴∠D＝360°﹣110°﹣80°﹣85°＝85°，故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝∠MNB是解题关键．9．【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．【解答】解：依题意得：，解得，∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3＝0，解得a＝3．故选：C．【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．10．【分析】由点A坐标可得到b、c的关系式，再由对称轴的范围可求得b的范围，代入可求得c的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），∴6＝4+2b+c，即c＝2﹣2b，∵对称轴为x＝﹣，且抛物线的对称轴与线段y＝2x﹣1（1≤x≤3）有交点，∴1≤﹣≤3，解得2≤﹣b≤6，∴4≤﹣2b≤12，∴6≤2﹣2b≤14，即6≤c≤14，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，由对称轴与x轴的交点求得b的取值范围是解题的关键．二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分；请将答案填在答题卷上）11．【分析】观察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案．【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．12．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x﹣3＜4，得：x＜7，解不等式3x+2＞5，得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x＜7，故答案为：1＜x＜7．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13．【分析】由旋转性质知∠EAC＝∠DAB＝120°，∠ABC＝∠ADE，AB＝AD，再等腰△DAB中得∠ADE＝∠DBA＝＝30°，据此可得答案．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，∴∠EAC＝∠DAB＝120°，∠ABC＝∠ADE，AB＝AD，∴在△DAB中，∠ADE＝∠DBA＝＝30°，则∠ADE＝∠ABC＝30°，故答案为：30°．【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．14．【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1有实数根，∴，解得：a≥﹣1且a≠0．故答案为：a≥﹣1且a≠0．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．15．【分析】根据分式的基本性质，得＝＝1+．欲求，需求．由y＝，可求．【解答】解：∵y＝，∴．∴．∴＝＝1+＝1+3×1＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的基本性质以及分式的运算是解决本题的关键．16．【分析】由翻折得出AD＝DF，∠A＝∠DFE，再根据FD平分∠EFB，得出∠DFH＝∠A，然后借助相似列出方程即可．【解答】解：如图，过点D作DH⊥BC于H，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝5．∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，∴AD＝DF，∠A＝∠DFE，∵FD平分∠EFB，∴∠DFE＝∠DFH，∴∠DFH＝∠A，设DH＝3x，在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sin A＝，∴DF＝5x，∴BD＝5﹣5x，∵△BDH∽△BAC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴AD＝5x＝．故答案是：．【点评】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．三、解答题（本题共9小题，满分86分）17．【分析】根据有理数混合运算的运算顺序，先算乘方和开方，负整数指数幂等，再算乘除，最后算加减即可．【解答】解：4×（﹣3）+|﹣8|﹣+（﹣）﹣1＝﹣12+8﹣3﹣7＝﹣14．【点评】本题主要考查实数的混合运算，本题是中考必考题，题目比较简单，属基础题．掌握实数混合运算顺序及平方根与立方根的定义是本题解题基础．18．【分析】欲证AE＝DF，可证△ABE≌DCF．由AB∥CD，得∠B＝∠C．又因为∠A＝∠D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C．在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（AAS）．∴AE＝DF．【点评】本题主要考查平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．19．【分析】（1）从所取样本中根据正常的人数和所占比例求出样本总数；（2））由扇形统计图可直接求近视程度为中度和重度的总人数；（3）根据数据提出一条建议即可．【解答】解：（1）抽取的学生总人数是：88÷44%＝200（人），答：所抽取的学生总人数为200人；（2）由扇形统计图可得，近视程度为中度和重度的总人数为：1800×（1﹣11%﹣44%）＝1800×45%＝810（人）．答：在该校1800人学生中，估计近视程度为中度和重度的总人数是810人；（3）答案不唯一，例如：该校学生近视程度为中度及以上占45%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．【点评】本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．20．【分析】（1）根据题意设y+3＝kx，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x的解析式；（2）把x＝﹣1代入（1）确定出的解析式中求出y的值即可．【解答】解：（1）根据题意设y+3＝kx，把x＝2，y＝7代入得：10＝2k，解得：k＝5，则y+3＝5x，即y＝5x﹣3；（2）把x＝﹣1代入得：y＝﹣5﹣3＝﹣8．【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）想办法证明EB＝EF，∠BEF＝60°，可得结论．【解答】（1）解：如图，图形如图所示．（2）证明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，∴BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等边三角形．【点评】本题考查作图﹣基本作图，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是证明EB＝EF，∠BEF＝60°．22．【分析】（1）根据已知条件证得DE是∠BDC的平分线，得到∠EDB＝∠EDC，进而证得∠ABD＝∠EDB，得到AB∥DE，根据平行四边形的判定证得四边形ABED是平行四边形，再证得AB＝AD，可得四边形ABED是菱形；（2）根据平行线的性质证得∠ADC＝90°，进而推出∠EDC＝30°，由三角函数的定义求出CD，根据三角形的面积公式即可求出△BED的面积．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∴EC⊥DC，∵EF⊥BD，EF＝EC，∴DE是∠BDC的平分线，∴∠EDB＝∠EDC，∵∠ADB＝∠BDC，∴∠ADB＝∠EDB，∵∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠EDB，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形，∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴四边形ABED是菱形；（2）解：由（1）知，四边形ABED是菱形，∴DE＝BE＝AD＝4，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，∴∠EDC＝30°，∴CD＝DE•cos30°＝4×＝2，＝BE•CD＝×4×2＝4．∴S△BED【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的判定，由角平分线的性质结合已知条件推出∠ABD＝∠EDB是解决问题的关键．23．【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；（2）根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；（3）根据（2）中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，根据题意，得﹣＝100，解得m＝3，经检验m＝3是方程的解，∴1.5m＝4.5，即A、B两原料的单价分别为4.5元，3元，∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），故答案为：4.5、3，30；（2）根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，∵60＜a＜70，当x＝a时，有最大值，∵a是大于60的常数且为整数，∵a＝69时，∴w＝15990元．最大值【点评】本题主要考查二次函数的性质和分式方程，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．24．【分析】（1）连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）如图3，连接CG、BE，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：如图2，连接AC、BD，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：如图1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，连接CG、BE，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∵∠AME＝∠BMN，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．【点评】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．25．【分析】（Ⅰ）当x＝0时，y＝6，可求点C坐标，利用待定系数法可求解析式；（Ⅱ）先求出直线AC的解析式，再设D（t，﹣t+6）（0＜t＜6），知P（t，﹣t2+5t+6），从而得PD＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，据此可得答案；（Ⅲ）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，当x＝0时，y＝6，∴点C（0，6）；（Ⅱ）如图（1），∵A（6，0），C（0，6），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，设D（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），∴PD＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，当t＝3时，PD最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，∴P（3，12）；（Ⅲ）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，∵l∥y轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，∴NF∥x轴，由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，当x＝时，y＝，∴F（，），∴点N的纵坐标为，设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），∴﹣m2+5m+6＝，∴m＝或m＝，∴点N的坐标为（，）或（，）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD＝PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．。

C选项，奇函数的图象关于原点对称，在 轴两侧单调性相同，
所以若 在 上为增函数，则 在 上为增函数，C选项错误.
D选项， 时， ，
当 时， ，
所以 ，D选项正确.
故选：ABD
11.已知关于 的不等式 ，下列结论正确的是（）
A.当 时，不等式 的解集为
B.当 时，不等式 的解集可以为 的形式
C.不等式 的解集恰好为 ，那么 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的运算直接求解.
【详解】 ，所以 ，
故选:B.
2.命题“ ， ”的否定是（）
A. B. ，
C. D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”
【详解】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，
故命题“ ， ”的否定是“ ”.
故选：C
9.已知 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用对数的运算性质和基本等式求解即可.
【详解】由 得 ，所以 ，B正确；
，
由于 ，所以等号不成立，即 ，A正确；
，C错误；
，
D正确，
故选:ABD.
10.函数 是定义在 上的奇函数，下列说法正确的是（）
A.
B.若 在 上有最大值1，则 在 上有最小值
3.已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域求法，即可求其定义域.
【详解】设 ，则 ，
因为函数 的定义域为 ，所以当 时， 有意义，所以 ，故当且仅当 时，函数 有意义，所以函数 的定义域为 ，由函数 有意义可得 ，所以 ，

2023-2024学年福建省福州一中八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）两年前日本近海发生9.0级强震．该次地震导致地球当天自转快了0.0000016秒．这里的0.0000016用科学记数法表示为（）A．16×10﹣5B．1.6×10﹣5C．1.6×10﹣7D．1.6×10﹣6 3．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣5B．x≤﹣5C．x＞﹣5D．x≠﹣54．（4分）若＝3.5﹣x，则x的值不能是（）A．4B．3C．2D．15．（4分）下列分式中，最简分式是（）A．B．C．D．6．（4分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（3a3）2＝6a6C．（xy2）3＝xy6D．a6÷a2＝a4 7．（4分）某单位招考技术人员，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试成绩按6：4计入总成绩，若小李笔试成绩为70分，面试成绩为90分，则他的总成绩（百分制）为（）A．78分B．79分C．80分D．81分8．（4分）要使▱ABCD成为菱形，则可添加一个条件是（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AD＝BC D．AC＝BD 9．（4分）若x2﹣12x+（k﹣1）2是完全平方式，则k的值是（）A．﹣1或﹣3B．7或﹣3C．﹣5或﹣1D．7或﹣510．（4分）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于＝4cm2，S▱ABCD＝64cm2，则阴影部分的面点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD积为（）cm2．A．24B．27C．28D．30二、填空题；本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算（3﹣π）0＝．12．（4分）已知Rt△ABC的两直角边长分别为BC＝12，AC＝9，则斜边AB长为．13．（4分）如图，等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，AE＝2cm，则△ABC的周长为cm．14．（4分）若关于x的分式方程无解，则m＝．15．（4分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点．AB＝10，BC＝8，DE＝4.6，则△DEF的周长是．16．（4分）如图，在一张矩形纸片ABCD中BC＝9，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．若S△HGE：S四边形CEHF：S矩形ABCD＝1：5：9，则HC＝．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（1）计算：；（2）解方程：．18．（8分）因式分解：（1）a2﹣；（2）a2b﹣2ab+b．19．（8分）如图，在矩形BECD中，A在EB延长线上，且AD＝DE，求证：四边形ABCD 是平行四边形．20．（8分）先化简，再求值：，然后从0，1，2三个数中选择一个合适的数，代入求值．21．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在网格中画出△ABC关于直线m对称△A1B1C1；（2）在直线m上作一点P，使得AP+CP的值最小；（3）求△ABC的面积．22．（10分）打靶练习中，甲、乙两名选手在5次训练中的成绩（单位：环）依次为甲：7，7，5，7，9：乙：3，8，7，9，8．教练根据他们的成绩绘制了如下的统计表：成绩/分平均数众数中位数甲7b7乙a8c根据以上信息，解答下面的问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）计算甲同学成绩的方差；（3）已知乙同学的成绩的方差是4.4，请问谁的成绩更稳定？23．（10分）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2400元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；（2）该中学决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？24．（12分）阅读理解并作答；若a，b＞0，定义为a，b的算术平均值，为a，b的几何平均值，关于它们有著名的均值不等式．请你采用下面的方法来探究这一问题：（1）已知D为线段AB上的一点，AD＝a，DB＝b，CD⊥AB于点D，且，连接AC、BC．①尺规作图：作△ABC的边AB上的中线CO；②判断并证明△ABC的形状，再利用①中作出的图形证明．（2）应用该不等式解决问题：已知矩形ABCD周长为12，求其面积的最大值．25．（14分）已知，如图，∠ABM＝60°，BA＝2，G为射线BM上的一动点，AP为∠BAG 的角平分线且交BM于点P，以AP为边在∠ABM内部作菱形APCD，使得∠APC=60°，DP交AG于点E，连接CE并延长交AB于点F．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与BM的位置关系并证明；（3）若△AEF的周长为3，求菱形APCD的周长．2023-2024学年福建省福州一中八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项C的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项A、B、D的图形能找到一条（或多条）直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000016＝1.6×10﹣6；故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：要使分式有意义，则x+5≠0，解得x≠﹣5．故选：D．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．4．【分析】根据算术平方根是非负数得出3.5﹣x≥0，即可求出x的取值范围，从而进行判断．【解答】解：若＝3.5﹣x，则3.5﹣x≥0，解得x≤3.5，∴x的值不能是4，故选：A．【点评】本题考查了算术平方根，熟知一个非负数的算术平方根为非负数是解题的关键．5．【分析】利用约分和最简分式的定义对各选项进行判断．【解答】解：A．＝，所以A选项不符合题意；B．为最简分式，所以B选项符合题意；C．＝＝，所以C选项不符合题意；D．＝＝，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．6．【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a3•a2＝a5，故A不符合题意；B、（3a3）2＝9a6，故B不符合题意；C、（xy2）3＝x3y6，故C不符合题意；D、a6÷a2＝a4，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．7．【分析】根据加权平均数公式计算即可．【解答】解：小李的总成绩为：＝78（分），故选：A．【点评】此题考查了加权平均数，熟练运用加权平均数公式计算是解题的关键．8．【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、由AB＝AD，能判定▱ABCD为菱形，故选项A符合题意；B、由AB⊥AD，能判定▱ABCD为矩形，不能判定▱ABCD为菱形，故选项B不符合题意；C、由AD＝BC，不能判定▱ABCD为菱形，故选项C不符合题意；D、由AC＝BD，能判定▱ABCD为矩形，不能判定▱ABCD为菱形，故选项D不符合题意；故选：A．【点评】此题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键．9．【分析】先根据已知条件和完全平方式的特点，列出关于k的方程，解方程求出答案即可．【解答】解：∵x2﹣12x+（k﹣1）2是完全平方式，∴（k﹣1）2＝36，k﹣1＝±6，∴k＝7或﹣5．故选：D．【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方式的结构特点．10．【分析】先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△BEQ∽△FCQ，所以＝，则利用BQ＝CQ得到BE＝CF，所以AE＝DF，同样方法证明PE＝PD，利＝S△APD＝4cm2，然后利用平行四边形的面积公式得到S△F AB 用三角形面积公式得到S△APE＝32cm2，从而可求得阴影部分的面积．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵BE∥CF，∴△BEQ∽△FCQ，∴＝，∵Q是BF中点，∴BQ＝CQ，∴BE＝CF，∴AE＝DF，∵AE∥DF，∴△APE∽△FPD，∴＝＝1，∴PE＝PD，＝S△APD＝4cm2，∴S△APE∵S▱ABCD＝64cm2，＝×64＝32（cm2），∴S△F AB∴阴影部分的面积＝32﹣4＝28（cm2）．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．二、填空题；本题共6小题，每小题4分，共24分．11．【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0）求解可得．【解答】解：（3﹣π）0＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查零指数幂，解题的关键是掌握零指数幂：a0＝1（a≠0）．12．【分析】直接由勾股定理列式计算即可．【解答】解：由勾股定理得：斜边AB长＝＝＝15，故答案为：15．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．13．【分析】根据垂直定义可得∠AED＝90°，再利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC，∠A＝60°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ADE＝30°，然后在Rt△ADE 中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AD＝4cm，再利用线段的中点定义可得AB ＝8cm，从而可得AB＝AC＝BC＝8cm，最后进行计算即可解答．【解答】解：∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，∵AE＝2cm，∴AD＝2AE＝4（cm），∵D是AB的中点，∴AB＝2AD＝8（cm），∴AB＝AC＝BC＝8cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝8+8+8＝24（cm），故答案为：24．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及等边三角形的性质是解题的关键．14．【分析】根据分式方程的解法以及分式方程增根的定义即可求出m的值．【解答】解：将分式方程的两边都乘以x﹣2，得2x+m+1＝x﹣2，解得x＝﹣m﹣3，由于分式方程无解，即分式方程有增根x＝2，所以﹣m﹣3＝2，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程解的定义，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．15．【分析】根据三角形中位线定理求出EF，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵E，F分别为AC，BC的中点∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝×10＝5，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，F为BC的中点，BC＝8，则DF＝BC＝×8＝4，∴△DEF 的周长＝DE +EF +DF ＝4.6+5+4＝13.6，故答案为：13.6．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．16．【分析】由矩形的性质得AD ＝BC ＝9，AD ∥BC ，∠D ＝90°，则CD ⊥AD ，∠HEF ＝∠CFE ，由折叠得点H 与点C 关于直线EF 对称，△HGE ≌△CDE ，∠HEF ＝∠CEF ，所以EF 垂直平分CH ，∠CFE ＝∠CEF ，S △HGE ＝S △CDE ，则HE ＝CE ，HF ＝CF ，CE ＝CF ，所以HE ＝CF ，则S 四边形CEHF ＝HE •CD ，由S △CDE ：S 四边形CEHF ：S 矩形ABCD ＝1：5：9，得＝，＝，求得DE ＝AD ＝2，HE ＝AD ＝5，所以CE ＝HE＝5，DH ＝7，则CD 2＝CE 2﹣DE 2＝21，即可求得HC ＝＝，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝9，AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴CD ⊥AD ，∠HEF ＝∠CFE ，∵将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的点H 处，∴点H 与点C 关于直线EF 对称，△HGE ≌△CDE ，∠HEF ＝∠CEF ，∴EF 垂直平分CH ，∠CFE ＝∠CEF ，S △HGE ＝S △CDE ，∴HE ＝CE ，HF ＝CF ，CE ＝CF ，∴HE ＝CF ，∴S 四边形CEHF ＝HE •CD +CF •CD ＝HE •CD ，∵S △HGE ：S 四边形CEHF ：S 矩形ABCD ＝1：5：9，∴S △CDE ：S 四边形CEHF ：S 矩形ABCD ＝1：5：9，∴＝，＝，∵DE ＝AD ＝×9＝2，HE ＝AD ＝×9＝5，∴CE ＝HE ＝5，DH ＝DE +EH ＝2+5＝7，∴CD 2＝CE 2﹣DE 2＝52﹣22＝21，∴HC＝＝＝，故答案为：．【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定＝S△CDE及HE＝CF是解题的关键．理、三角形的面积公式等知识，证明S△HGE三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】（1）先根据负整数指数幂的意义和平方差公式计算，然后把化简后合并即可；（2）先把方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得到整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（1）原式＝9﹣（5﹣3）+2＝9﹣2+2＝7+2；（2）去分母得2x+x﹣1＝2（x+1），解得x＝3，检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠0，则x＝3为原方程的解，所以原方程的解为x＝3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．也考查了解分式方程．18．【分析】（1）利用平方差公式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式．【解答】解：（1）原式＝（a+）（a﹣）；（2）原式＝b（a2﹣2a+1）＝b（a﹣1）2．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．19．【分析】由矩形的性质得BE∥CD，BE＝CD，∠DBE＝90°，再由等腰三角形的性质得AB＝BE，则AB＝CD，且AB∥CD，然后由平行四边形的判定即可得出结论．【解答】证明：∵四边形BECD是矩形，∴BE∥CD，BE＝CD，∠DBE＝90°，∴DB⊥AE，∵AD＝DE，∴AB＝BE，∴AB＝CD，且AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的判定、矩形的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和矩形的性质是解题的关键．20．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x＝3代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝•＝x﹣2，∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，∴x≠1，x≠2，∴当x＝0时，原式＝0﹣2＝﹣2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）连接AC1，交直线m于点P，则点P即为所求．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，连接AC1，交直线m于点P，连接CP，此时AP+CP＝AP+C1P＝AC1，为最小值，则点P即为所求．（3）△ABC的面积为＝10﹣3﹣＝．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．22．【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义解答即可；（2）根据方差的计算公式计算即可；（3）与甲的方差比较，方差越小，成绩越稳定．【解答】解：（1）甲：5，7，7，7，9，∵7出现的次数最多为3次，∴甲的众数为7，即b＝7，乙：3，7，8，8，9，∴a＝＝7，∵排序后处于中间的数为8，∴c＝8．故答案为：7，7，8；（2）甲的方差：×[（5﹣7）2+3×（7﹣7）2+（9﹣7）2]＝1.6；（3）∵1.6＜4.4，∴甲的方差小于乙的方差，∴甲的成绩更稳定．【点评】本题考查了平均数、中位数、众数以及方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是解题的关键．23．【分析】（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，由题意：购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2400元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，由题意：A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，列出不等式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．【解答】解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，依题意得：＝2×，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴x+30＝80（元）．答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，解得：m≤20．答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24．【分析】（1）①作线段AB的垂直平分线MN，交AB于O，连接CO，线段CO即为所求；②由CD⊥AB，知∠ADC＝∠BDC＝90°，可得AC2+BC2＝a2+ab+b2+ab＝a2+2ab+b2，而AB2＝（AD+DB）2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故AC2+BC2＝AB2，从而知△ABC是直角三角形；即得CO＝＝，由垂线段最短得≥；（2）设矩形的长为x，宽为y，可得x+y＝6，而≥，即得xy≤9；故矩形面积的最大值为9．【解答】解：（1）①作线段AB的垂直平分线MN，交AB于O，连接CO，如图：线段CO即为所求；②△ABC是直角三角形，证明如下：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵AD＝a，DB＝b，，∴AC2＝AD2+CD2＝a2+ab，BC2＝DB2+CD2＝b2+ab，∴AC2+BC2＝a2+ab+b2+ab＝a2+2ab+b2，∵AB2＝（AD+DB）2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；∵CO为斜边AB上的中线，∴CO＝＝，由垂线段最短可知，CO≥CD，∴≥；（2）设矩形的长为x，宽为y，则矩形的面积为xy，∵矩形ABCD周长为12，∴x+y＝12÷2＝6，∵≥，∴≥，∴xy≤9；∴矩形面积的最大值为9．【点评】本题考查四边形综合应用，涉及勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，算术平均值和几何平均值，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理及逆定理的应用．25．【分析】（1）根据菱形的性质得PA＝PC，∠APD＝∠CPD，据此可依据“SAS”判定△AEP和△CEP全等；（2）先由∠ABM＝60°得∠BAP+∠BPA＝120°，再由∠APC＝60°得∠CPM+∠BPA＝120°，则∠BAP＝∠CPM，由（1）的结论得∠PAE＝∠PCE，然后根据AP为∠BAG的角平分线得∠PAE＝∠BAP，据此可得∠PCE＝∠CPM，据此可判定CF与BM的位置关系；（3）在PM上截取PN＝BA＝2，连接CN，过C作CH∥BA交BM于H，连接PF，先证△BAP和△CPN全等得BP＝CN，∠B＝∠CNP＝60°，进而得△AHN为等边三角形，则CN＝CH＝HN＝BP，再证四边形BHCF为平行四边形得BH＝CF，CH＝BF，由此可得PN＝BH＝CF＝2，然后由△AEF的周长为3，得AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝3，据此得AF＝1，则BF＝AF＝BP＝1，则△BPF为等边三角形，进而可证∠BPA＝90°，最后在Rt△BPA中求出PA即可得出菱形APCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形APCD为菱形，∴PA＝PC，∠APD＝∠CPD，在△AEP和△CEP中；，∴△AEP≌△CEP（SAS）；（2）解：CF与BM的位置关系是：CF∥BM，证明如下：∵∠ABM＝60°，∴∠BAP+∠BPA＝180°﹣∠ABM＝120°，∵∠APC＝60°，∴∠CPM+∠BPA＝180°﹣∠APC＝120°，∴∠BAP＝∠CPM，由（1）可知：△AEP≌△CEP，∴∠PAE＝∠PCE，∵AP为∠BAG的角平分线，∴∠PAE＝∠BAP，∴∠PCE＝∠CPM，∴CF∥BM；（3）解：在PM上截取PN＝BA＝2，连接CN，过C作CH∥BA交BM于H，连接PF，如图所示：由（2）可知：∠BAP＝∠CPN，在△BAP和△CPN中，，∴△BAP≌△CPN（SAS），∴BP＝CN，∠B＝∠CNP＝60°，∵CH∥BA，∵∠AHN＝∠B＝60°，∴△AHN为等边三角形，∴CN＝CH＝HN＝BP，由（2）可知：CF∥BM，∴四边形BHCF为平行四边形，∴BH＝CF，CH＝BF，∴CN＝CH＝BF＝BP，∵PN＝PH+HN，HN＝BP，∴PN＝PH+BP＝BH＝CF＝2，由（1）可知：△AEP≌△CEP，∴AE＝CE，∵△AEF的周长为3，∴AE+EF+AF＝3，即CE+EF+AF＝3，∴CF+AF＝3，∵CF＝2，∴AF＝1，∵BA＝2，∴BF＝BA﹣AF＝1，∴BF＝AF＝BP＝1，∴△BPF为等边三角形，∴BF＝BP＝PF＝AF＝1，∴∠BFP＝∠BPF＝60°，∠FAP＝∠FPA，∵∠BFP＝∠FAP+∠FPA，∴∠FAP＝∠FPA＝30°，∴∠BPA＝∠BPF+∠FPA＝90°，在Rt△BPA中，AB＝2，BP＝1，由勾股定理得：PA＝＝，∴菱形APCD的周长＝4PA＝．【点评】此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点。