复合函数极限条件

复合函数洛必达法则复合函数洛必达法则是微积分中的一种重要工具，用于求解一些特殊类型的极限。

在本文中，我们将深入探讨复合函数洛必达法则的原理和应用，并从简单的例子开始逐步展开，帮助读者全面理解这一概念。

一、复合函数洛必达法则的原理复合函数是由多个函数组合而成的新函数，而极限是在一个趋近某一点的过程中，函数值的趋近情况。

当我们遇到计算复合函数的极限时，常常会遇到无穷大除无穷大、零除零等形式，此时可以运用洛必达法则解决这些难题。

洛必达法则基于导数的性质，特别是导函数的极限性质。

其原理可以概括为以下几点：1. 当两个函数的极限都存在或都趋于无穷大（包括正无穷大和负无穷大）时，如果两个函数的导函数的极限存在或趋于无穷大，那么原函数的极限也存在或趋于相同的值。

2. 当两个函数的极限都是无穷小时，如果两个函数的导函数的极限存在或趋于一个非零常数，那么原函数的极限也存在或趋于相同的值。

3. 当两个函数的极限都是无穷小时，如果两个函数的导函数的极限不存在或趋于零，那么原函数的极限可能不存在或无法确定。

二、复合函数洛必达法则的应用举例为了更好地理解复合函数洛必达法则，我们将从简单的例子开始逐步展开。

例1：计算极限lim(x->0) [(sinx)/x]这是一个非常经典的极限问题，可以利用洛必达法则来解决。

我们对函数f(x) = sinx和g(x) = x分别求导得到f'(x) = cosx和g'(x) = 1。

然后计算f'(x)/g'(x)即可得到原函数的极限：lim(x->0) [(sinx)/x] = lim(x->0) [cosx/1] = cos0 = 1例2：计算极限lim(x->∞) [x^2/e^x]对于这个例子，我们同样可以利用洛必达法则来解决。

对函数f(x) = x^2和g(x) = e^x分别求导得到f'(x) = 2x和g'(x) = e^x。

复合函数极限是微积分中的重要概念，它在解决一些复杂的函数极限问题中起着关键作用。

在研究复合函数极限时，我们经常遇到一个重要定理：若函数f(x)和g(x)在某点a的邻域内有定义，且limx→a g(x) = uo，limx→uo f(x)=L存在，则有limx→a f(g(x))=L。

然而，在对复合函数极限进行探究时，有时我们会遇到g(x)≠uo时的反例。

即使在g(x)的极限值为uo时，f(g(x))的极限值也不一定存在，这种情况通常发生在某些特殊性质的函数中。

下面我们来具体分析一下为什么会出现g(x)≠uo的情况。

1. 函数间断点的影响对于复合函数f(g(x))，如果g(x)在某点a处不连续，那么f(g(x))的极限也可能不存在。

考虑函数g(x)=1/x和f(x)=sin(1/x)，当x→0时，g(x)的极限为0，但f(g(x))并没有极限，因为sin(1/x)在x=0处震荡不定。

2. 非线性变换的影响在一些非线性变换中，即使g(x)的极限为uo，f(g(x))的极限也可能不存在。

考虑函数g(x)=x^2和f(x)=1/x，在x→0时，g(x)的极限为0，但f(g(x))并没有极限，因为1/x在x=0处趋于无穷大。

3. 函数间的相互作用有些函数具有复杂的性质，当它们进行复合运算时，极限的存在性就很难确定。

考虑函数g(x)=sin(1/x)和f(x)=x，虽然g(x)在x=0处极限存在，但f(g(x))在x→0时的极限并没有定义。

复合函数极限中g(x)≠uo的反例可能出现在函数间断点、非线性变换以及函数间的相互作用等情况下。

在实际问题中，我们需要对复合函数的性质有一个清晰的认识，充分考虑函数间的关系和变换规律，才能准确求出复合函数的极限值。

读者也应该充分理解这些反例的存在，不仅能够加深对复合函数极限的理解，还能够为解决类似问题提供更多的思路和方法。

在实际问题中，对于复合函数的极限问题，我们需要更深入地探讨函数间的相互作用与性质。

收稿日期：2020-01-02作者简介：吴世玕，江西吉水人，江西理工大学理学院副教授（江西赣州341000）.2021年第6期第42卷总第315期学报关于复合函数极限运算法则及泰勒公式的一个注记吴世玕摘要：用极限定义及实例解释了复合函数极限运算法则中，为什么要有g (x )≠u 0这个限制性条件.用极限运算推导出泰勒公式的系数，给出了用极限方法计算泰勒公式系数的公式.关键词：复合函数；泰勒公式；极限；误差；高阶无穷小中图分类号：O17文献标志码：A文章编号：1008-7974（2021）06-0032-04DOI ：10.13877/22-1284.2021.06.006无论是数学分析还是高等数学，都介绍了复合函数极限运算法则及泰勒公式.复合函数极限运算法则一般陈述如下：设函数y =f [g (x )]是由函数u =g (x )与函数y =f (u )复合而成，f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义，若lim x →xg (x )=u 0，lim u →uf (u )=A ，且存在δ0>0，当x ∈U O(x 0,δ0)时，有g (x )≠u 0，则lim x →x 0f [g (x )]=lim u →uf (u )=A .［1-2］法则中提出限制性条件：“存在δ0>0，当x ∈U O(x 0,δ0)时，有g (x )≠u 0”，为何要有这个限制性条件，文献［3-5］用具体实例说明，如果没有上述条件，法则的结论就有可能不成立，或者说，没有这个条件，法则就更不容易证明.但这些文献，并没有从理论上分析，为什么要在法则中提出这个限制性条件.文献［2］中，提出用n 次多项式p n (x )近似一般的复杂函数f (x )，类似于微分概念，要求误差为O ()()x -x 0n，(x →x 0).紧接着又提出要求，f (k )(x 0)=p (k )n (x 0),k =0,1,2,⋯,n .从而推导出f (x )的n 阶泰勒公式.初学者会有这样的疑惑：教材上提的要求有点太多，或者说，这两个要求是否矛盾.当然，教材上证明了它们不会产生矛盾，这两个要求是相容的.作为教师，要站在学生的角度，从探求的角度去发现结论，而不是先给出结论，再来证明结论.可以从第一个要求出发，去发现f (x )的n 阶泰勒公式的系数，这样更贴近初学者的认识规律.吴世玕：关于复合函数极限运算法则及泰勒公式的一个注记1复合函数极限运算法则中限制性条件g (x )≠u 0的理解1.1用极限定义解释函数极限运算法则中的限制性条件g (x )≠u 0由函数极限定义，lim u →uf (u )=A 时，函数y =f (u )可能在u =u 0点处无定义，即使y =f (u )在u =u 0点处有定义，也可能f (u 0)≠A .若函数y =f (u )在u =u 0点处无定义，而在讨论极限lim x →xf [g (x )]时，极限定义中要求f [g (x )]在x 0点的某个去心邻域U O(x 0,δ0)内有定义，因此，就要求在U O(x 0,δ0)内，g (x )≠u 0.若函数y =f (u )在u =u 0点处有定义，但f (u 0)≠A .且要求结论lim x →x 0f [g (x )]=lim u →uf (u )=A 成立，则对任何ε∈()0,||f (u 0)-A ，存在δ>0，当x ∈U O(x 0,δ0)时，||f (g (x ))-A <ε<||f ()u 0-A ，因此，对任何x ∈U O(x 0,δ0)，都有g (x )≠u 0.那么，何时可以去掉限制性条件“存在δ0>0，当x ∈U O(x 0,δ0)时，有g (x )≠u 0”？由以上分析可知，若函数y =f (u )在u =u 0点处有定义，且lim u →uf (u )=A =f (u 0)，则可以去掉这个条件.也就是说，当函数y =f (u )在点u 0处连续时，可以去掉这个限制性条件.1.2用实例解释复合函数极限运算法则中的限制性条件例1设u =g (x )={x ,x 为有理数0,x 为无理数，y =f (u )={1,u ≠00,u =0，试问：lim x →0f (g (x ))=lim u →0f ()u 是否成立？解虽然lim x →0g (x )=0，lim u →0f (u )=1.但是，f ()g (x )={1,x 为有理数,且x ≠00,x 为无理数,或x =0，lim x →0f (g (x ))不存在，lim x →0f (g (x ))=lim u →0f ()u 不成立.究其原因，就在于，在x =0的任何去心邻域内，都有使得g (x )=0的点.不满足复合函数极限定理的限制性条件.任取一列使得g (x n )=0的点{}x n ，都有f (g (x n ))=f (0)=0，从而lim n →∞f ()g ()x n =0≠1.从理论上讲，lim x →0f ()g (x )=1要成立，要求在x =0的去心邻域内，u =g (x )要属于u =0的去心邻域.但这是不可能的.因为x =0的任何去心邻域内，都有无穷多无理数，使得u =g (x )=0.在利用无穷小等价替换求极限时，复合函数极限运算法则起到很重要的作用，比如x →0时，sin x~x ,tan x~x ,ln(1+x )~x ,arcsin x~x ,⋯.利用复合函数极限运算法则，只要在x 的某无限变化过程中，φ()x →0,φ()x ≠0，就有sin φ(x )~φ(x ),tan φ(x )~φ(x ),ln(1+φ(x ))~φ(x ),arcsin φ(x )~φ(x ),⋯,其中要求φ()x ≠0，就是复合函数极限法则中的限制性条件［6］.2泰勒公式的系数泰勒公式的系数是用导数计算的，但有时，高阶导数比较难求，或高阶导数公式很麻烦，可以通过其他方法求泰勒公式的系数.特别是求复合函数的泰勒公式的系数，可以尝试通过极限方法求出.2021年第6期学报2.1用极限方法推导泰勒公式的系数设f (x )在x 0处具有n 阶导数，且f (x )=a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+⋯+a n (x -x 0)n+R n (x )，其中：R n (x )=o ()()x -x 0n，()x →x 0.则lim x →x 0f (x )=lim x →x[]a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+⋯+a n (x -x 0)n +R n (x ),∴a 0=lim x →xf (x 0)=f (x 0).lim x →xf (x )-a 0x -x 0=lim x →x 0a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+⋯+a n (x -x 0)n +R n (x )x -x 0,∴a 1=lim x →xf (x )-a 0x -x 0=f '(x 0).lim x →xf (x )-a 0-a 1(x -x 0)(x -x 0)2=limx →x 0a 2(x -x 0)2+⋯+a n (x -x 0)n +R n (x )(x -x 0)2,∴a 2=lim x →xf (x )-a 0-a 1(x -x 0)(x -x 0)2=12f ″(x 0).⋯⋯lim x →xf (x )-éëùûa 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+⋯+a n -1()x -x 0n -1(x -x 0)n =lim x →xa n (x -x 0)n +R n (x )(x -x 0)n，∴a n =lim x →xf (x )-éëùûa 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+⋯+a n -1()x -x 0n -1(x -x 0)n =f (n )(x 0)n !.反之，记p n (x )=f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0)+12!f ″(x 0)(x -x 0)2+⋯+1n !f (n )(x 0)(x -x 0)n ，则可证明，f (x )=p n (x )+R n (x ),其中R n (x )=O ()()x -x 0n，()x →x 0.且f (k )(x 0)=p (k )n (x 0),k =0,1,2,⋯,n .（文献［2］有证明过程）.这里提供了求泰勒公式系数的一种新方法，通过极限求泰勒公式的系数.a 0=lim x →xf (x )，a 1=lim x →xf (x )-a 0x -x 0，a 2=lim x →xf (x )-a 0-a 1(x -x 0)(x -x 0)2，⋯⋯a k =lim x →xf (x )-a 0-a 1(x -x 0)-a 2(x -x 0)2-⋯-a k -1(x -x 0)k -1(x -x 0)k,k =1,2,⋯,n .求极限过程中，除了用洛必达法则外，无穷小等价替换、极限四则运算方法、复合函数极限运算换元法［7-10］，都是常用方法.求a k 时，不一定要求出f (k )()x .当f (k )(x )表达式较难求出时，用极限方法，有时也能求出系数a k .2.2用极限方法求泰勒公式的系数举例例2求e 2x -x 2包含x 3项的带有佩亚诺余项的Taylor 公式.解a 0=lim x →0e 2x -x 2=1，a 1=lim x →0e 2x -x 2-a 0x =lim x →0e 2x -x 2-1x=lim x →0(2x -x 2)x=2，a 2=lim x →0e 2x -x 2-a 0-a 1x x 2=lim x →0e 2x -x 2-1-2xx 2=lim x →0e 2x -x 2(2-2x )-22x=lim x →0-2xe 2x -x 22x +2lim x →0e 2x -x 2-12x=-1+2=1，吴世玕：关于复合函数极限运算法则及泰勒公式的一个注记a 3=lim x →0e 2x -x 2-a 0-a 1x -a 2x 2x 3=limx →0e 2x -x 2-1-2x -x 2x 3=lim x →0e 2x -x 2(2-2x )-2-2x3x 2=lim x →0e2x -x 2(2-8x +4x 2)-26x=lim x →02()e2x -x 2-16x+lim x →0e 2x -x2()4x 2-8x 6x=23-43=-23，所以，e 2x -x2=1+2x +x 2-23x 3+o ()x 3.3结语学习高等数学，不仅要知晓各概念、定理、公式的定义、使用条件、使用方法，更要知晓定理中为何会有一些限制性条件.作为高等数学教师，在讲解比较难的定理时，不妨先从实例出发，引出要讲解的定理结论.更重要的是，不仅要教学生如何证明定理结论，更要从理论上，让学生多想一想，定理中为什么要有这些条件.最好是从理论及实例两方面加以解释，这样，可让学生对定理有个更加清晰的认识.教学，不能强迫学生接受教师讲的结论，要从多方面讲清楚知识要点.要培养学生创新意识，不要拘泥于教材上的知识，要大胆地创新探索，要有自己的想法.参考文献：［1］毛羽辉，韩士安，吴畏.数学分析学习指导书（上册）［M ］.第4版.北京：高等教育出版社，2011：40-47.［2］同济大学数学系.高等数学（上册）［M ］.第7版.北京：高等教育出版社，2014：20-40.［3］李卫峰.复合函数极限法则的一个注记［J ］.大学数学，2014，30（6）：87-88.［4］王海蒙.关于数学分析教学的几点注记［J ］.江苏第二师范学院学报，2015，31（6）：21-23.［5］马知恩，王绵森.高等数学疑难问题选讲［M ］.北京：高等教育出版社，2014：62-69.［6］何少芳，周丽.复合函数在一元函数微积分教学中的妙用［J 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极限的定义与极限运算法则极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点或无穷远处趋向于某个特定值的行为。

极限与连续性、导数等概念密切相关，对于数学分析和实际问题求解都具有重要意义。

本文将围绕极限的定义和极限运算法则展开讨论，以便更深入地理解这一概念。

一、极限的定义从数学的角度来看，极限可以用更加精确的定义来描述。

假设函数f(x)在某一点a的某一邻域内定义，并且对于任意给定的ε > 0，存在相应的δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，其中L为实数。

如果这一性质成立，我们就说函数f(x)在x趋向于a的过程中极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。

这个定义表明，极限L是函数f(x)在x趋向于a时f(x)的“极限”，即函数在逼近某一数值时的稳定性。

二、极限运算法则运用极限来分析函数的性质和求解问题时，需要借助一些基本的极限运算法则。

以下列举了几个常用的极限运算法则：1. 基本极限法则- 常数极限法则：lim(x→a) c = c，其中c为常数。

- 自变量极限法则：lim(x→a) x = a。

- 乘积极限法则：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)，即两个函数的极限的乘积等于各自极限的乘积。

- 商极限法则：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = [lim(x→a) f(x)] / [lim(x→a)g(x)]，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0。

2. 复合函数的极限法则- 复合函数极限法则：lim(x→a) f[g(x)] = lim(y→L) f(y)，其中lim(x→a) g(x) = L。

3. 无穷极限法则- 无穷极限法则：lim(x→∞) f(x) = L，其中L为实数。

通过运用极限运算法则，我们可以更加方便地求解复杂函数的极限。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２８复合函数在一点的极限与连续性的解析复合函数在一点的极限与连续性的解析Һ吕胜利１㊀李静铂２∗㊀（１．燕山大学理学院，河北㊀秦皇岛㊀０６６００４；２．河北科技师范学院数信学院，河北㊀秦皇岛㊀０６６００４）㊀㊀ʌ摘要ɔ复合函数在一点的极限与连续性与构成复合函数的内层函数及外层函数在同一点的属性有直接的关系，本文举例分析由两个函数所构成的复合函数在一点的极限与连续性与这两个函数各自在同一点的极限与连续性的关系．ʌ关键词ɔ复合函数；函数的连续性；函数在一点的极限ʌ基金项目ɔ河北省省级专业学位教学案例立项建设项目（编号：ＫＣＪＳＺ２０１９０２１）；燕山大学概率论与数理统计课程线上线下混合式教学改革项目（编号：６１０００４１３２）．１㊀引言函数极限与连续性是高等数学的基本概念，函数的极限运算也是中学数学要求掌握的一种基本的运算能力，而连续性的意义对于中学生也是直观显见的．本文从高等数学的基本理论出发，分析复合函数在一点的极限与连续性的不同情况．根据函数在一点连续的定义，一个函数在一点有极限是函数在该点连续的必要但非充分条件，而如果一个函数在一点连续，则这个函数在这一点的极限等于该点的函数值．对于复合函数，根据内层函数与外层函数连续性的不同情况，复合函数在一点是否有极限㊁极限的计算以及是否连续也有各种不同的情况．本文对这些情况给出具体的举例分析，希望对中学数学及大学数学的教学提供一些直观的素材．下面给出函数在一点的极限及函数的连续性的基本概念与相关定理．２㊀基本概念与定理定义１［１－３］㊀函数在一点极限的定义：设点ｘ０的某一去心邻域在函数ｆ（ｘ）的定义域内，若有常数Ａ，对于任意的ε＞０，总有δ＞０，使得０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ成立时，必有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε，则Ａ称为ｆ（ｘ）当ｘңｘ０时的极限，记作ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ．定义２［２－４］㊀函数在一点连续的定义：设函数ｆ（ｘ）在点ｘ０的某一去心邻域内有定义，如果ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），那么就称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处连续．定义３［２－４］㊀复合函数的定义：设Ｄｆ为函数ｙ＝ｆ（ｕ）的定义域，Ｄｇ为函数ｕ＝ｇ（ｘ）的定义域，且ｇ（ｘ）的值域Ｒｇ⊂Ｄｆ，则函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］，ｘɪＤｇ叫做ｙ＝ｆ（ｕ）与ｕ＝ｇ（ｘ）的复合函数，定义域为Ｄｇ，ｕ是中间变量，函数ｇ为内层函数，函数ｆ为外层函数．定理１［１，３，４］㊀设ｆ［ｇ（ｘ）］是函数ｕ＝ｇ（ｘ）与ｙ＝ｆ（ｕ）的复合函数，点ｘ０的某去心邻域在ｆ［ｇ（ｘ）］的定义域内，若ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）＝ｕ０，ｌｉｍｕңｕ０ｆ（ｕ）＝Ａ，且存在δ０＞０，当ｘɪＵʎ（ｘ０，δ０）时，有ｇ（ｘ）ʂｕ０，则ｌｉｍｘңｘ０ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｌｉｍｕңｕ０ｆ（ｕ）＝Ａ．定理２［３－５］㊀设函数ｆ［ｇ（ｘ）］由函数ｕ＝ｇ（ｘ）与函数ｙ＝ｆ（ｕ）复合而成，Ｕʎ（ｘ０）⊂Ｄｆ㊂ｇ，若ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）＝ｕ０，而函数ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ＝ｕ０处连续，则ｌｉｍｘңｘ０ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）］＝ｆ（ｕ０）．㊀定理３［３－５］㊀设函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］由函数ｕ＝ｇ（ｘ）与函数ｙ＝ｆ（ｕ）复合而成，Ｕ（ｘ０）⊂Ｄｆ㊂ｇ，若函数ｕ＝ｇ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处连续，且ｇ（ｘ０）＝ｕ０，而函数ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ＝ｕ０处连续，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ＝ｘ０处也连续，即㊀㊀㊀㊀ｌｉｍｘңｘ０ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｇ（ｌｉｍｘңｘ０ｘ）］＝ｆ［ｇ（ｘ０）］＝ｆ（ｕ０）．以上三个定理的条件逐一增强，因此，定理１具有一般性，定理２是定理１的特殊情形，定理３是定理２的特殊情形．３㊀复合函数在一点的极限不同情形的举例分析３．１㊀外层函数不连续且内层函数不连续例１㊀设函数ｆ（ｕ）及ｇ（ｘ）在实数集Ｒ上有定义且ｆ（ｕ）＝ｕ，ｕʂ１，２，ｕ＝１，{㊀㊀㊀㊀ｕ＝ｇ（ｘ）＝ｘ，ｘʂ１，３，ｘ＝１，{可以看出函数ｆ（ｕ）在ｕ０＝１处不连续，函数ｇ（ｘ）在ｘ０＝１处不连续，将ｆ（ｕ）与ｇ（ｘ）复合得：ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ，ｘʂ１，３，ｘ＝１，{. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２８则函数ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续，属于定理１的情形，不同形式的极限有以下关系：ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝２，ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝３，即ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］ʂｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］ʂｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］，而ｆ（１）＝２，ｇ（１）＝３，ｆ［ｇ（１）］＝３，ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｌｉｍｕң１ｆ（ｕ）＝１ʂｆ［ｇ（１）］，故ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续．３．２㊀外层函数不连续而内层函数连续例２㊀设函数ｆ（ｕ）及ｇ（ｘ）在实数集Ｒ上有定义且ｆ（ｕ）＝ｕ，ｕʂ１，２，ｕ＝１，{ｕ＝ｇ（ｘ）＝ｘ，ｘɪＲ，可以看出函数ｆ（ｕ）在ｕ０＝１处不连续，函数ｇ（ｘ）在ｘ０＝１处连续，将ｆ（ｕ）与ｇ（ｘ）复合得：ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ，ｘʂ１，２，ｘ＝１，{则函数ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续，属于定理１的情形，不同形式的极限有以下关系：ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝２，ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝２，即ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］ʂｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］，而ｆ（１）＝２，ｇ（１）＝１，ｆ［ｇ（１）］＝２，ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｌｉｍｕң１ｆ（ｕ）＝１ʂｆ［ｇ（１）］，故ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续．３．３㊀外层函数连续而内层函数不连续例３㊀设函数ｆ（ｕ）及ｇ（ｘ）在实数集Ｒ上有定义且ｆ（ｕ）＝ｕ，ｕɪＲ，ｕ＝ｇ（ｘ）＝ｘ，ｘʂ１，２，ｘ＝１，{可以看出函数ｆ（ｕ）在ｕ０＝１处连续，函数ｇ（ｘ）在ｘ０＝１处不连续，将ｆ（ｕ）与ｇ（ｘ）复合得：ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ，ｘʂ１，２，ｘ＝１，{则函数ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续，属于定理２的情形，不同形式的极限有以下关系：ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝２，即ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］ʂｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］，而ｆ（１）＝１，ｇ（１）＝２，ｆ［ｇ（１）］＝２，ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝１＝ｆ（１）ʂｆ［ｇ（１）］，故ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续．３．４㊀外层函数连续且内层函数连续例４㊀设函数ｆ（ｕ）及ｇ（ｘ）在实数集Ｒ上有定义且ｆ（ｕ）＝ｕ，ｕɪＲ，ｕ＝ｇ（ｘ）＝ｘ，ｘɪＲ，可以看出函数ｆ（ｕ）在ｕ０＝１处连续，函数ｇ（ｘ）在ｘ０＝１处连续，将ｆ（ｕ）与ｇ（ｘ）复合得：ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ，ｘɪＲ，则函数ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处连续，属于定理３的情形，不同形式的极限有以下关系：ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝１，即ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝１，而ｆ（１）＝１，ｇ（１）＝１，ｆ［ｇ（１）］＝１，㊀㊀㊀ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝１＝ｆ（１）＝ｆ［ｇ（１）］，故ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处连续．４㊀结语根据以上分析可以看到，复合函数在一点的极限值与内层函数及外层函数的连续性有直接关系．我们可以给出以下结论：对于复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］，有Ｕʎ（ｘ０）⊂Ｄｆ㊂ｇ，且ｇ（ｘ０）＝ｕ０，若复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ＝ｘ０处不连续，则函数ｕ＝ｇ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处不连续或函数ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ＝ｕ０处不连续．这一结论可以看作定理３的逆否命题．另外，从不同情况的分析可以看到，若函数在一点连续，在求函数在该点的极限时，极限符号与函数符号可以交换．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）：第四版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］同济大学数学系．高等数学（上册）：第七版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［３］杨传翔．如何理解极限的定义［Ｊ］．中国科教创新导刊，２０１０（２）：１０２－１０３．［４］李卫峰．复合函数极限法则的一个注记［Ｊ］．大学数学，２０１４（６）：８７－８８．［５］马建清，向彩容，喻敏．关于求极限的几种方法［Ｊ］．高等函授学报（自然科学版），２００６（６）：３５－３６．. All Rights Reserved.。