高等数学 极限的运算法则与性质

x x0
f [ ( x )] 当 x x 0 时的极限也存在，且
u a
lim f [ ( x )] lim f ( u ) A .
意义：
x x0
lim f [ ( x )]
令 u ( x)
a lim ( x )
x x0
lim f ( u )
u a
11
x 0
o
x
10
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定理（复合函数的极限
运算法则）设函数
x x0
u (x)
当 x x 0 时的极限存在且等于 但在点 x 0 的某去心邻域内
a ，即 lim ( x ) a ，
( x ) a ，又 lim f ( u ) A ，
u a
则复合函数
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例6
求 lim ln sin x .
x

2
解
令 u sin x
因为 lim sin x ＝1
x

2
故原式
lim ln u
u 1
＝ ln 1
0．
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12
求极限类型小结
1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极
2
x
x x1
4
;
( 5 ) lim
( x h) x h
2
h 0
;
1 1 1 . ( 6 ) lim n 1 2 2 3 n n 1
20
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4、 算 列 限 计 下 极 ：
x
( 1 ) lim
x 0
x x0
存在常数
0 , 使得当 0 x x 0 时，有
f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ).
15
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问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限，那么 f ( x ) g ( x ) 是否有极限？为 什么？
2

n n
2
) lim
1 2 n n
2
n
n(n 1) n
2
lim 2
n
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lim
1 2
n
(1
1 n
)
1 2
.
9
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1 x, 例5 设 f ( x ) 2 x 1,
x 0 x 0
, 求 lim f ( x ).
使得当 0 x x 0 时， 有 f ( x ) M .
2. 函数极限的唯一性
定理
14
若 lim f ( x ) 存在, 则极限唯一.
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3. 函数极限的局部保号性
如果 lim f ( x ) A , 且 A 0 ( 或 A 0 ), 那么
22
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lim
a0 x
m n
a1 x
m 1 n 1
am bn
x
b 0 x b1 x
8
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例4
求 lim (
n
1 n
2

2 n
2

n n
2
).
．
解
n 时 , 是无限多个无穷小之和
先变形再求极限.
lim (
n
1 n
2

1
2 n
3x 4x
2 2
5 1
x
lim
x

2 7
.
7
3
7
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小结:当 a 0 0 , b 0 0 , m 和 n 为非负整数时有
a0 ,当 n m , b 0 0,当 n m , ,当 n m ,
x x0
n
n
a1 x
n1
a n , 则有
n1
lim
f ( x ) a 0 ( lim x ) a 1 ( lim x )
n x x0
an
a0 x0
a1 x0
n1
a n f ( x 0 ).
2. 设 f ( x )
P(x) Q(x)
限;
b.消去零因子法求极限;
c.同除最大者法求极限;
d.利用左右极限求分段函数极限. e.利用无穷小运算性质求极限;
3、复合函数的极限运算法则
13
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三、极限的性质-P36
1. 函数极限的局部有界性
如果 lim f ( x ) A , 那么存在常数
x x0
M 0和 0,
n n
3
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二、求极限方法举例
例1 求 lim 解
lim ( x
x 2
x x
2
3
1
x 2
3x 5
.
2
2
3 x 5 ) lim x
x 2 2
lim 3 x lim 5
x 2 x 2
( lim x ) 3 lim x lim 5
x 2 x 2 x 2
2 2 3 2 5 3 0,
lim
x x
2
3
1
lim ( x 1 )
3
x 2
3x 5
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x 2
lim ( x 3 x 5 )
2 x 2

2 1
3

7 3
.
3
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4
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小结:
x x0
1. 设 f ( x ) a 0 x
x 0
解
lim
x 0

x 0 是函数的分段点
f ( x ) lim ( 1 x ) 1 ,
x 0

, 两个单侧极限为
y
y 1 x
lim
x 0

f ( x ) lim ( x
x 0

2
1 ) 1,
1
y x 1
2
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x ) 1 .
e
1
x 1;
(2)
lim arcsin x ;
x 1 2
2
( 3 ) lim e
n
n
2
;
( 4 ) lim ln cos x ;
x

4
( 5 ) lim
x1 x1
3 x
x1
; ( 6 ) lim
x a
x
a
xa
.
21
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课后练习 P49. 1、2、5.
, 且 Q ( x 0 ) 0,
则有
x x0
lim
f (x)
x x0
lim P ( x )

P ( x0 ) Q( x0 )
x x0
lim Q ( x )
f ( x 0 ).
若 Q ( x 0 ) 0,
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则商的法则不能应用
.
5
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例2 求 lim
解
x x
2
2
第一章
第三节
函数与极限
极限的运算法则与性质
主要内容：
一、极限的运算法则
二、极限的性质
1
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一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) ( 2) ( 3) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; lim[ f ( x ) g ( x )] A B; lim f ( x) g( x ) A B , 其中B 0.
1
x1
2x 3
.
.
x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零
(
0 0
型)
先约去零因子
lim x x
2 2
x 1后再求极限
( x 1 )( x 1 ) ( x 3 )( x 1 )
.
1
x1
2x 3
lim
x1
lim
x 1 x 3
x1

1 2
.
(消去零因子法)
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例3 求 lim
解
2x 7x
3 3
3x 4x
2 2
5 1
x
.
.(
x 时 , 分子 , 分母的极限都是无穷大

型)
先用 x 去除分子分母
2x 7x
3 3
3
, 再求极限 .
2 3 x 4 x 5 x 1 x
3
lim
1、极限的四则运算法则；
2、复合函数的极限运算法则。
二、极限的性质
1、唯一性；
2、局部有界性；
3、局部保号性。
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习题演练
1、 设 f ( x ) [ x ], 求 f ( 1 ) 和 f ( 1 )。

2 、求函数
f (x)
x x
, g( x)
x x
当 x 0 时的左右极限，
2
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推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
并说明它们在
x 0 时的极限是否存在。
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3、 下 极 ： 求 列 限
x 2x 2
2
( 1 ) lim
x 1
x 1
2
;
( 2 ) lim
x 2x 1
2
x1
x 1
2
;
( 3 ) lim
x 1
2
x
2x x
2 2
;
( 4 ) lim
x x
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思考题解答
没有极限．
假设 f ( x ) g ( x ) 有极限， f ( x ) 有极限，
由极限运算法则可知：
g( x)
f (x)
g ( x ) f ( x )
必有极限，
与已知矛盾，
故假设错误．
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内容小结
一、极限的运算法则