复合函数的极限运算法则PPT讲稿
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无穷小与无穷大、极限的四则运算与复合函数的极限.ppt
1 1 3 2 2 3 4 3 2 x 3 x 4 3 2 2x 3x 4 ①lim 3 ; x x 但又 x 5x 6x 7 3 1 1 5x 6x 7 56 2 3 x x 1 而 lim n 0 ( n 1 , 2 , 3 ) x x 运用极限的和、商运算 法则，立即可得： 1 1 2 3 4 3 3 2 2x 3x 4 2 x x lim lim 3 x 5 x 6 x 7 x 1 1 5 56 2 3 2019/3/21 x x
n n 1 ②设 P ( x ) a x a x a xa ，则： n n n 1 1 0 x x 0
lim P ( x ) P ( x ) 。 ( 其中 n Z ,a 为常数 ) n n 0 n
解①：
lim x x 0
x x 0 x x 0
证明：①由极限的四则 运算法则，立得； ②设 lim ( x ) 0 , f ( x ) 是有界量，即：
x x0
M 0 , x | f ( x ) | M ; 0 , 1 0 , 使得：当 则： 对于正数 0 | x x 0 | 1时，| ( x ) |
2019/3/21
x 1
机动
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结束
运用四则运算求极限的例子（续2） 例5： 求极限：③ lim (x 1 x ) 。
x
解③： 原式
lim
x
lim lim
x
x
x 1 x ( x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 1 1 x
M
极限四则运算法则和两个重要极限 PPT
设函数y f [g(x)]由函数y f (u), u g(x)复合而成，
0
y
f [g(x)]在U (x0, ) 有定义，且
lim
x x0
g
(x)
u0，又
lim f (u) A, 则有
u u0
lim f [g(x) ] lim f (u) A
x x0
u u0
注:变量代换,令u=g(x), 则 f [g(x)]=f (u),
lim x 1 lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1 x1
x 1
x1
2
二、两个重要极限
× (1) lim sin x 1 x xx0
注: 当 lim (x) 0时，lim sin(x) 1.
x x0
xx0 (x)
1
(2) lim(1 x) x e
(或 lim(1 1 )x e)
f
( x0
0)
A
右
右极限 : 如果当x x0,有 f (x) A,则称A为函数 f (x)
当x→x0 时得右极限, 记作
lim
x x0
f
(x)
A
或
f
( x0
0)
A
定理 、lim f (x) A
xx0
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
例3、 给定函
数
x 1, x 0
f
(x)
1
,
x0
1 x , x 0
y
1 O
y x 1
x
y 1 x
讨论 x 0 时 f (x) 得极限就是否存在 、
解: 利用前述定理 、因为
第7讲函数极限的四则运算及复合函数的极限PPT课件
u u 0
当 0 |u u 0 |时 ,|f(u )a|.
又 x l x i0m (x ) u 0,故对 上 0 ,1 面 0 , 的
当 0 |x x 0 |1 时 ,|u u 0 | |( x ) u 0 | .
设 U ˆ ( x 0 ,2 ) 在 中 ( x ) u 0 ,取 m 1 ,2 } i 则 n ,
分子分母同 时--有理化
lim(2x4)(2x2) x 2( 52x3)2 (x4)
lim2x2lx i2(m 2x2) 2. x 2 52x3 li(m 52x3) 3
x 2
13
例3
求 lim x 1 (x 2 x ). ( ( )) x
解 lim x 1 (x 2 x ) x
lim x 1 (x 2 x )( x 2 x )
x x 0
u u 0
该定理可以推广到其它几种极限过程中去.
10
例设f(x) 1 q,
xp, q
p与q互,质 (即x为有)理
0, x为无.理数
g(u)
1, u0, 0, u0.
l x 0 i f ( x ) m 0 , l u 0 g i ( u ) m 1 ,( x 0 0 u 0 , 0.
f( x ) a a a a a b a,( b 0 ) . g ( x )b bb bbb ( b )
由此你能不能写出极限四则运算公式？ 4
和的极限等于极限的和.
? 乘积的极限等于极限的乘积.
商的极限等于极限的商(分母不为零).
差一点 ! 结论成立的条件.
5
设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则
当 0 |u u 0 |时 ,|f(u )a|.
又 x l x i0m (x ) u 0,故对 上 0 ,1 面 0 , 的
当 0 |x x 0 |1 时 ,|u u 0 | |( x ) u 0 | .
设 U ˆ ( x 0 ,2 ) 在 中 ( x ) u 0 ,取 m 1 ,2 } i 则 n ,
分子分母同 时--有理化
lim(2x4)(2x2) x 2( 52x3)2 (x4)
lim2x2lx i2(m 2x2) 2. x 2 52x3 li(m 52x3) 3
x 2
13
例3
求 lim x 1 (x 2 x ). ( ( )) x
解 lim x 1 (x 2 x ) x
lim x 1 (x 2 x )( x 2 x )
x x 0
u u 0
该定理可以推广到其它几种极限过程中去.
10
例设f(x) 1 q,
xp, q
p与q互,质 (即x为有)理
0, x为无.理数
g(u)
1, u0, 0, u0.
l x 0 i f ( x ) m 0 , l u 0 g i ( u ) m 1 ,( x 0 0 u 0 , 0.
f( x ) a a a a a b a,( b 0 ) . g ( x )b bb bbb ( b )
由此你能不能写出极限四则运算公式？ 4
和的极限等于极限的和.
? 乘积的极限等于极限的乘积.
商的极限等于极限的商(分母不为零).
差一点 ! 结论成立的条件.
5
设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则
复合函数求极限运算定理
复合函数求极限运算定理
复合函数求极限运算定理是指，在一定条件下，复合函数的极限等于它所组成的两个函数的极限的乘积。
具体表达式如下：设函数f(x)在x0点的一个去心邻域内有定义，g(x)在y0点的一个去心邻域内有定义，且f(x)在x0处的极限为y0，即lim f(x) = y0(x→x0)；g(x)在y0处的极限存在，即lim g(x) = L(x→y0)。
则当x趋于x0时，有：
lim g[f(x)] = L ，其中y0≠±∞
x→x0
若y0=±∞，则当x趋于x0时，有：
lim g[f(x)] = L 或lim g[f(x)] = -L
x→x0 x→x0
其中，L为有限实数或正无穷大、负无穷大。
这里g[f(x)]表示的是复合函数。
在符合定理条件的前提下，可以利用此定理来计算复合函数的极限，简化极限的求解过程。
- 1 -。
高数复合函数极限运算法则
高数复合函数极限运算法则
高数复合函数极限运算法则是指在求解某些复合函数极限时，可以将
复杂的复合函数拆分为更简单的函数的极限的一种运算法则。
这一法
则的核心思想是：将复合函数按照层次划分，从“外层”往“内层”
逐步解析，最终将复杂的复合函数拆分成若干简单函数极限，最后将
复杂复合函数的极限解析为简单函数极限的乘积即可。
比如，设f(x)=g(h(x))，g(x)和h(x)均有极限，则f(x)的极限为
lim_{x→a}f(x)=lim_{x→a}g(h(x))=g(lim_{x→a}h(x))。
需要强调的是，复合函数极限运算法则的前提是：其他函数的极限均
已经求出。
因此，只要我们能够先求解出其余函数的极限，就可以运
用复合函数极限运算法则将复杂的复合函数拆解成若干简单函数极限，从而简化极限计算。
《高数教学课件》第二节之四4.极限运算法则
第二节之四 4.极限运算法则
目
CONTENCT
录
• 极限运算法则概述 • 极限运算法则的分类 • 极限运算法则的应用 • 极限运算法则的注意事项
01
极限运算法则概述
极限运算法则的定义
极限运算法则定义
极限运算法则是微积分中的基本概念，它涉及到函数在某点的极 限值以及极限的运算性质。极限运算法则规定了函数在某点的极 限值可以通过函数的四则运算、复合函数、反函数的极限来求得 。
幂级数的展开式
如果函数f(z)在z=0处可展开为 幂级数∑an*z^n，那么 f'(z)=∑nan*z^(n-1)。
03
极限运算法则的应用
在函数分析中的应用
确定函数的有界性
通过计算函数的极限，可以判断 函数在某点的有界性，进而分析 函数的整体性质。
研究函数的连续性
极限运算法则可以用于判断函数 在某点的连续性，以及研究函数 在某点的可导性和可微性。
02
极限运算法则的分类
极限的四则运算法则
01
02
03
04
加法法则
减法法则
乘法法则
除法法则
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) + g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
极限的复合运算法则
极限的复合函数
如果lim(x→a) u = u₀，且y=f(u)，那么lim(u→u₀) f(u)=f[lim(u→u₀)]。
目
CONTENCT
录
• 极限运算法则概述 • 极限运算法则的分类 • 极限运算法则的应用 • 极限运算法则的注意事项
01
极限运算法则概述
极限运算法则的定义
极限运算法则定义
极限运算法则是微积分中的基本概念，它涉及到函数在某点的极 限值以及极限的运算性质。极限运算法则规定了函数在某点的极 限值可以通过函数的四则运算、复合函数、反函数的极限来求得 。
幂级数的展开式
如果函数f(z)在z=0处可展开为 幂级数∑an*z^n，那么 f'(z)=∑nan*z^(n-1)。
03
极限运算法则的应用
在函数分析中的应用
确定函数的有界性
通过计算函数的极限，可以判断 函数在某点的有界性，进而分析 函数的整体性质。
研究函数的连续性
极限运算法则可以用于判断函数 在某点的连续性，以及研究函数 在某点的可导性和可微性。
02
极限运算法则的分类
极限的四则运算法则
01
02
03
04
加法法则
减法法则
乘法法则
除法法则
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) + g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
极限的复合运算法则
极限的复合函数
如果lim(x→a) u = u₀，且y=f(u)，那么lim(u→u₀) f(u)=f[lim(u→u₀)]。
05第一章第5节极限运算法则07537
解 li(m x22x3) 0, 商的法则不能用 x 1 又 li(m 4x1)30, x 1
limx2
2x3
0
0.
x1 4x1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
lx i1m x24x2x13.
8
例3 求lxim 1x2x22x13. 解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0是 型 )零
0
先约去不为因 零 x子 的 1后无 再穷 求 . 小 极
x 0
x 0
左右极限存在且相等,
故 lim f(x)1. x 0
y
y1x
1
o
yx2 1 x
14
例8 求limx( x21x) x
解法 1 :
原式= lim x 解法 2 :
x
lim
x2 1 x x
1
1
1
1 x2
1
2
令t
1 x
,
则t 0
原式= lim1
t t0
1 t2
11 t
lim t0
1t2 1 t2
解 n时,是无穷小之先和变．形再求极限.
l n i(n 1 m 2 n 2 2 n n 2 ) l n i1 m 2 n 2 n
1
n(n 1)
lim 2 n
n2
11 lim (1 )
n2 n
1. 2
12
例6 求limsinx. x x
解 当x时,1为无穷 , 小
x
而sinx是有界函 . 数
lim(x2 3x5)
23 1 3
7. 3
x2
6
一般：
设f(x)Q P((x x)),且 Q(x0)0, 则有
复合函数求极限
复合函数求极限
复合函数是由两个或两个以上的函数组合而成的函数。
求复合函数的极限可以使用极限的性质和复合函数的定义进行求解。
假设函数f(x)和g(x)在点a附近有定义，且limx→a f(x) = L, limx→a g(x) = M。
则复合函数h(x) = f(g(x))在x = a处的极限为limx→a f(g(x)) = L。
具体地说，我们可以将h(x)表示为h(x) = f(g(x))，然后使用极限的性质，将g(x)作为自变量带入f(x)中，即可得到limx→a f(g(x)) = limx→a f(M) = L。
需要注意的是，在求解复合函数的极限时，必须保证g(x)在x = a附近有定义，且limx→a g(x)存在。
此外，还需要注意复合函数的定义域和值域，以确保其在求解过程中不出现不合法的情况。
综上所述，求解复合函数的极限需要使用极限的性质和复合函数的定义，同时需要注意函数的定义域和值域，以确保求解过程准确无误。
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复合函数的极限运算法则课件
一、 极限的四则运算法则
定理 2.5 若 lim f ( x) A, lim g( x) B , 则
x x0
x x0
(1) lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x) A B
x x0
x x0
x x0
(2) lim [ f ( x)g( x)] lim f ( x) lim g( x) AB
x2
x2
x2 x2
幂的极限 等于极限
的幂
2( lim x)2 2 5
x2
2 22 3 5
结论：
lim
x x0
(a0
xn
a1 xn1
an
)
a0 x0n a1 x0n1 an
例2
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim ( x2 3 x 5) lim x2 lim 3x lim 5
取 min{1, 2 } , 则
f (x) M
当 0 x x0 时, 有
其中C maxM , B .
f ( x)g( x) AB f ( x) g( x) B B f ( x) A
MM 2C
BB
2C?C
2C
C
2C
,
因此
AB
(3)
由需于 证： lim f ( x) A x x0 g( x) B
(B 0)
由 lim g( x) B 及 定理2.2 知，
x x0
0, 0及 M 0,
由(2), 需证当B≠0时
使得当 0 x x0 时, 有
g(x) B B 及 1 M,
M
g( x)
所以
1 1
g(x) B
1 M B
BM
因此
从而(3)式成立.
注 对于数列极限
及 x→∞时函数极限的四则
x2
x2
ห้องสมุดไป่ตู้x2
x2
( lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2 x2
22 3 2 5 3 0,
商的极限等于极 限的商
lim
x2
x3 1 x2 3x
5
lim ( x3 1)
x2
lim ( x2 3x
5)
23 1 3
7. 3
x2
一般地， 设有分式函数
R( x) P( x) , Q( x)
3
.
（0 型） 0
解 lim ( x2 2 x 3) 0, 商的极限法则不能直接用
x1
又 lim ( x 1) 0
x1
称
lim
x1
x
2
x
1 2x
3
为
0 型极限 . 0
由极限定义x→1， x≠1,
lim
x1
x
2
x
1 2x
3
lim x 1 x1( x 3)( x 1)
lim
x1
推论
(极限运算的线性性质)
若 lim f ( x) A, lim g( x) B , 和μ是常数， 则
x x0
x x0
以上运算法则对有限个函数成立.
于是有
—— 幂的极限等于极限的幂
例1
求 lim (2x2 x 5).
x2
极限运算的 线性性质
解 lim (2x2 x 5) 2 lim ( x2 ) lim x lim 5
x x0
x x0
x x0
(3) 若 B≠0 , 则有
lim f ( x) x x0 g( x)
lim
x x0
f (x)
A
lim g( x) B
x x0
证
(1)由 lim f ( x) A, lim g( x) B ,可知
x x0
x x0
0, 1 0, 2 0,使得当 0 x x0 1 时,有
x3
) )
2 lim
x 7
2. 7
3
x 4
x
5
x3 1
x3
“ 抓大头”
结论：
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 am b1 xn1 bn
为非负常数 )
消去无穷大因子法: 以分母中自变量的最高次幂 除分子, 分母, 以消去无穷大 因子, 然后再求极限.
例5
求
lim x 2
其中 P( x), Q( x) 都是多项式 ,
若 Q( x0 ) 0，则
lim P( x)
结论：lim Rlim( x)R(
x x0x x0
xxli)mx0
x x0
RQ((xx0))
( Q( x0 )R0( x) 0 )
注若 请看下例:
不能直接用商的运算法则 .
例3
求
lim
x 1
x2
x
1 2x
f (x) A ,
2
当0
x
x0
时,有
2
g(x) B .
2
取 min1, 2 ,则当 0 x x0 , 时,有
[ f ( x) g( x)] [ A B] [ f ( x) A] [g( x) B]
f ( x ) A g( x ) B ,
22
因此
(2) 需证： lim [ f ( x)g( x)] AB
当0 x x0 1 时，有 f ( x) A
及 f (x) M
又由 lim g( x) B 知, 对于上述 > 0,
x x0
2 0,
使得当
0 x x0 2 时，有 g( x) B / 2C
ε 0, 1 0 当0 x x0 1 时， 有 f ( x) A / 2C
x x0
f ( x)g( x) AB
f ( x)g( x) Bf ( x) Bf ( x) AB
f (x) g(x) B B f (x) A
由 lim f ( x) A 及 定理2.2 知，
x x0
ε 0, 1 0 及 M 0, 使得
f ( x)在某
U ( x0 )上有界
x
1
2
12 x3
. 8
( 型 )
分析 型，先通分，再用极限法则.
解
原式
x( x2 222xx84)
lliimm
xx22
x3 x83 8
12
(
0 0
x
1
3
1. 4
约去无穷小因子法
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
( 型)
分析 x 时,分子,分母的极限都是无穷大.
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限.
解
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim (2
x
lim (7
x
3 x 4 x
5
x3 1
运算法则 , 有相应的结论 .
例如, 对于数列极限,
有以下结论:
若
lim xn
n
A, lim yn
n
B,
则有
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
(3) 当 B 0时, lim xn A n yn B
数列是一种 特殊的函数, 故此结论可 由定理2.5 直 接得出 .
一、 极限的四则运算法则
定理 2.5 若 lim f ( x) A, lim g( x) B , 则
x x0
x x0
(1) lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x) A B
x x0
x x0
x x0
(2) lim [ f ( x)g( x)] lim f ( x) lim g( x) AB
x2
x2
x2 x2
幂的极限 等于极限
的幂
2( lim x)2 2 5
x2
2 22 3 5
结论：
lim
x x0
(a0
xn
a1 xn1
an
)
a0 x0n a1 x0n1 an
例2
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim ( x2 3 x 5) lim x2 lim 3x lim 5
取 min{1, 2 } , 则
f (x) M
当 0 x x0 时, 有
其中C maxM , B .
f ( x)g( x) AB f ( x) g( x) B B f ( x) A
MM 2C
BB
2C?C
2C
C
2C
,
因此
AB
(3)
由需于 证： lim f ( x) A x x0 g( x) B
(B 0)
由 lim g( x) B 及 定理2.2 知，
x x0
0, 0及 M 0,
由(2), 需证当B≠0时
使得当 0 x x0 时, 有
g(x) B B 及 1 M,
M
g( x)
所以
1 1
g(x) B
1 M B
BM
因此
从而(3)式成立.
注 对于数列极限
及 x→∞时函数极限的四则
x2
x2
ห้องสมุดไป่ตู้x2
x2
( lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2 x2
22 3 2 5 3 0,
商的极限等于极 限的商
lim
x2
x3 1 x2 3x
5
lim ( x3 1)
x2
lim ( x2 3x
5)
23 1 3
7. 3
x2
一般地， 设有分式函数
R( x) P( x) , Q( x)
3
.
（0 型） 0
解 lim ( x2 2 x 3) 0, 商的极限法则不能直接用
x1
又 lim ( x 1) 0
x1
称
lim
x1
x
2
x
1 2x
3
为
0 型极限 . 0
由极限定义x→1， x≠1,
lim
x1
x
2
x
1 2x
3
lim x 1 x1( x 3)( x 1)
lim
x1
推论
(极限运算的线性性质)
若 lim f ( x) A, lim g( x) B , 和μ是常数， 则
x x0
x x0
以上运算法则对有限个函数成立.
于是有
—— 幂的极限等于极限的幂
例1
求 lim (2x2 x 5).
x2
极限运算的 线性性质
解 lim (2x2 x 5) 2 lim ( x2 ) lim x lim 5
x x0
x x0
x x0
(3) 若 B≠0 , 则有
lim f ( x) x x0 g( x)
lim
x x0
f (x)
A
lim g( x) B
x x0
证
(1)由 lim f ( x) A, lim g( x) B ,可知
x x0
x x0
0, 1 0, 2 0,使得当 0 x x0 1 时,有
x3
) )
2 lim
x 7
2. 7
3
x 4
x
5
x3 1
x3
“ 抓大头”
结论：
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 am b1 xn1 bn
为非负常数 )
消去无穷大因子法: 以分母中自变量的最高次幂 除分子, 分母, 以消去无穷大 因子, 然后再求极限.
例5
求
lim x 2
其中 P( x), Q( x) 都是多项式 ,
若 Q( x0 ) 0，则
lim P( x)
结论：lim Rlim( x)R(
x x0x x0
xxli)mx0
x x0
RQ((xx0))
( Q( x0 )R0( x) 0 )
注若 请看下例:
不能直接用商的运算法则 .
例3
求
lim
x 1
x2
x
1 2x
f (x) A ,
2
当0
x
x0
时,有
2
g(x) B .
2
取 min1, 2 ,则当 0 x x0 , 时,有
[ f ( x) g( x)] [ A B] [ f ( x) A] [g( x) B]
f ( x ) A g( x ) B ,
22
因此
(2) 需证： lim [ f ( x)g( x)] AB
当0 x x0 1 时，有 f ( x) A
及 f (x) M
又由 lim g( x) B 知, 对于上述 > 0,
x x0
2 0,
使得当
0 x x0 2 时，有 g( x) B / 2C
ε 0, 1 0 当0 x x0 1 时， 有 f ( x) A / 2C
x x0
f ( x)g( x) AB
f ( x)g( x) Bf ( x) Bf ( x) AB
f (x) g(x) B B f (x) A
由 lim f ( x) A 及 定理2.2 知，
x x0
ε 0, 1 0 及 M 0, 使得
f ( x)在某
U ( x0 )上有界
x
1
2
12 x3
. 8
( 型 )
分析 型，先通分，再用极限法则.
解
原式
x( x2 222xx84)
lliimm
xx22
x3 x83 8
12
(
0 0
x
1
3
1. 4
约去无穷小因子法
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
( 型)
分析 x 时,分子,分母的极限都是无穷大.
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限.
解
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim (2
x
lim (7
x
3 x 4 x
5
x3 1
运算法则 , 有相应的结论 .
例如, 对于数列极限,
有以下结论:
若
lim xn
n
A, lim yn
n
B,
则有
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
(3) 当 B 0时, lim xn A n yn B
数列是一种 特殊的函数, 故此结论可 由定理2.5 直 接得出 .