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第4章 机械振动4.1基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点4.2基本概念1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。
3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T ν=5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22Tπωπν==6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能222p 11cos ()22E kx kA t ωϕ==+ 动能[]22222k 111sin()sin ()222E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v弹簧振子系统的机械能为222k p 1122E E E m A kA ω=+==8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。
周期性外力称为驱动力。
10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
4.3基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。
第4章 机械振动基础4-1 图示两个弹簧的刚性系数分别为k 1 = 5 kN/m ，k 2 = 3 kN/m 。
物块重量m = 4 kg 。
求物体自由振动的周期。
解：根据单自由度系统自由振动的固有频率公式 mk =n ω 解出周期 nπ2ω=T图（a ）为两弹簧串联，其等效刚度 2121eq k k k k k +=所以 )(2121n k k m k k +=ω2121n)(π2π2k k k k m T +==ω代入数据得s 290.0300050003000)4(5000π2=⨯+=T图（b ）为两弹簧串联（情况同a ） 所以 T = 0.290 s图（c ）为两弹簧并联。
等效刚度 k eq = k 1 + k 2 所以 mk k 21n +=ω21nπ2π2k k mT +==ω代入数据得 T = 0.140 s图（d ）为两弹簧并联（情况实质上同（c ））。
所以 T = 0.140 s4-3 如图所示，质量m = 200 kg 的重物在吊索上以等速度v = 5 m/s 下降。
当下降时，由于吊索嵌入滑轮的夹子内，吊索的上端突然被夹住，吊索的刚度系数k = 400 kN/m 。
如不计吊索的重量，求此后重物振动时吊索中的最大张力。
解：依题意，吊索夹住后，重物作单自由度自由振动，设振幅为A ，刚夹住时，吊索处于平衡位置，以平衡位置为零势能点，当重物达到最低点时其速度v = 0。
根据机械能守恒，系统在平衡位置的动能与最低点的势能相等。
即 T max = V max 其中 2max 2v m T = ， 2max 21kA V =v km A =吊索中的最大张力 mk v mg kA mg F +=+=max 代入数据得 kN 7.461040020058.92003max =⋅⋅+⋅=F4-5 质量为m 的小车在斜面上自高度h 处滑下，而与缓冲器相碰，如图所示。
缓冲弹簧的刚性系数为k ，斜面倾角为θ。
第4章 机械振动基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点基本概念1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。
3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T ν=5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22Tπωπν== 6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能222p 11cos ()22E kx kA t ωϕ==+ 动能[]22222k 111sin()sin ()222E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v弹簧振子系统的机械能为222k p 1122E E E m A kA ω=+== 8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。
周期性外力称为驱动力。
10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。
- 81 - 第二篇振动与波振动和波动是物质的基本运动形式。
在力学中有机械振动和机械波 在电学中有电磁振荡和电磁波 声是一种机械波 光则是电磁波量子力学又叫波动力学。
第四章 机械振动教学时数：6学时 本章教学目标了解简谐振动的动力学特征，掌握描述简谐振动的重要参量，理解简谐振动的运动学方程，知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律；了解简谐振动的合成，掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程，了解同方向不同频率简谐振动的合成，了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。
教学方法：讲授法、讨论法等教学重点：掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动，它是物体一种普遍的运动形式。
例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。
广义地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。
例如交流电路中的电流、电压，振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间- 82 -作周期性的变化，因此都可以称为振动。
§4—1 简谐振动的动力学特征简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式，任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。
定义：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化，即 x = A cos(ωt + φ0)则这种振动称之为简谐振动。
研究表明，作简谐振动的物体(或系统)，尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别，但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。
一、弹簧振子模型将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定，另一端与质量为m 的物体相连，若该系统在振动过程中，弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律)，那么，这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。
如图所示，将弹簧振子水平放置，使振子在水平光滑支撑面上振动。
以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点，当振子偏离平衡位置的位移为x 时，其受到的弹力作用为F= - kx式中k 为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。
即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置，且力的大小与振子偏离平衡位置的位移成正比，这种力就称之为线性回复力。
如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力，在空气中运动时受到的介质阻力及其2=-xd m kx- 83 -它能量损耗)，则振子的运动微分方程为此式就是描述简谐振动的运动微分方程 能满足上式的系统，又可称为谐振子系统。
二、单摆如图所示，细线长为l ，一端固定在A 点，另一端系一质量为m 的小球，不计细线的质量和伸长。
细线在铅直位置时，小球在O 点。
此时作用在小球上的合外力为零，故位置。
即为平衡位置。
将小球稍微移离平衡位置O ，小球在重力作用下就会在位置。
附近来回往复的运动。
这一振动系统称为单摆。
把单摆在某一时刻离开平衡位置的角位移θ作为位置变量，并规定小球在平衡位置右方时，θ为正；在左方时，θ为负。
重力对A 点的力矩为mglsinθ拉力T 对该点的力矩为零，所以单摆是在重力矩作用下而振动。
根据转动定律。
得I β = M = - mg l sin θ式中负号表示重力矩的符号总是和sin θ的符号（即和角位移θ的符号）相反，I= m l 2表示小球对A 轴的转动惯量， 表示小球的角加速度。
当角位移θ很小时(θ﹤5º)，θ的正弦函数可用θ的弧度代替，所以22dtd θβ=θθβgd -==2- 84 -式中摆长和重力加速度都是常量，而且均为正值。
简谐振动的微分方程，可以归结为如下形式，即例：一质量为m 的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动。
证 如图所示，以平衡位置A 为原点，向下为x 轴正向，设某一瞬时振子的坐标为x ，则物体在振动过程中的运动方程为式中l 是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mg = k l ，所以上式为lg x dtx d ==+22220ωω对于单摆，mg l x k dtxd m ++-=)(22).(0)(222222m k x dtx d l x k dt xd m ==++-=ωω式中即为- 85 -于是该系统作简谐振动。
§4—2简谐振动的运动学一、简谐振动的运动学方程如前所述，微分方程 的解可写作 x = A cos(ωt + φ0)式中A 和φ0是由初始条件确定的两个积分常数，称为简谐振动的运动学方程。
可见简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示本教材对机械振动统一用余弦函数表示二、描述简谐振动的三个重要参量 1.振幅A物体偏离平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值叫做振幅。
将简谐振动的运动学方程和它对时间的一阶导数，将初始条件t = 0, x = x 0,v = v 0代入，得.0222=+x dtx d ω)sin(2)2sin()cos(000ϕωπϕϕπϕωϕω'+=+='++=+t A x t t 亦可写成令由于⎭⎬⎫+-=+=)sin()cos(00ϕωωϕωt A v t A x ⎪⎭⎪⎬⎫=-=0000sin cos ϕωϕA v A x- 86 -取二式平方和，即求出振幅2.周期、频率、圆频率物体作简谐振动时，周而复始完成一次全振动所需的时间叫做简谐振动的周期，用T 表示。
由周期函数的性质，有频率：单位时间内系统所完成的完全振动的次数，用v 表示在国际单位制中，v 的单位是“赫兹”(符号是Hz)。
圆频率(又称角频率)表示系统在2π秒内完成的完全振动的次数由上节讨论可知，简谐振动的圆频率是由系统的力学性质决定的，故又称之为 固有(本征)圆频率。
由此确定的振动周期称之为固有（本征）周期。
例如：220)(ωv x A +=ωππϕωϕωϕω2)2cos(])(cos[)cos(000=++=++=+T t A T t A t A 由此可知πω21==T v v Tππω22==Imgh l gmk===ωωω复摆单摆弹簧振子g l T km T ππ22==单摆弹簧振子- 87 -3.位相和初位相我们把能确定系统任意时刻振动状态的物理量叫做简谐振动的位相(或称相位，周相)。
两振动位相之差△φ = φ2 - φ1，称为位相差。
若位相差等于零或2п的整数倍，则称两振动同步，如果两振动的振幅和频率也相同，则表明此时它们的振动状态相同。
因此，对于一个以某个振幅和频率振动的系统，若它们的运动状态相同，则它们所对应的位相差必定为2п或2nп的整数倍。
t = 0时的位相叫初位相φ0可见，初位相也是由初始条件确定。
例：轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为m 的物体设弹簧的劲度系数为k ，滑轮的转动惯量为I ，半径为R 若物体m 在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放(1)试证明物体m 的运动是谐振动；(2)求此振动系统的振动周期；(3)写出振动方程。
解 (1)若物体m 离开初始位置的距离为b 时，受力平衡，则此时0tan x vωϕ-=- 88 -以此平衡位置为O 坐标原点，竖直向下为x 轴正向，当物体m 在坐标x 处时，由牛顿运动定律和定轴转动定律有 联立以上5式解得所以，此振动系统的运动是谐振动。
（2）由上面的表达式知，此振动系统的圆频率故振动周期为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='='=+=='-'=-22112211)(T T T T R a b x k T I R T R T ma T mg 及ββkmg b kb mg ==即0)(0)(222222=++=++x R I m k dt x d kx dt xd R I m 即)(2R I m k+=ωkR I m T )(222+==πωπ- 89 -（3）依题意知t = 0时，x 0=-b ，v 0=0，可求出振动系统的振动方程为例 已知如图（p126 图4-7）所示的谐振动曲线，试写出振动方程。
解 设谐振动方程为 x = A cos(ωt + φ0)。
从图中易知A = 4cm ，下面只要求出φ0和ω即可。
从图中分析知，t=0时，x 0=-2cm ，且（由曲线的斜率决定），代入振动方程，有-2 = 4cosφ0。
故 ，又由v 0=-ωA sinφ0<0，得sinφ0>0，因此只能取 。
再从图中分析，t=1s 时，x=2cm ，v>0，代入振动方程有同时因要满足故应取 所以振动方程为πωϕω=--===+=)arctan(002220x v kmg b v x A ])(cos[)cos(20πϕω++=+=t R I m k k mg t A x πϕ320=00<=dtdx v πϕ320±=）（应注意这里不能取或所以即337353221)32cos()32cos(4)cos(420ππππωπωπωϕω±=+=++=+=,032sin(,0)32sin(<+>+-=πωπωω即v ,,3532πωππω==+即cmt x )32cos(4ππ+=- 90 -用旋转矢量法也可以简单地求出谐振动的φ0和ω。
如图4-8所示，在x-t 曲线的左侧作O x 轴与位移坐标轴平行，由振动曲线可知，a ，b 两点对应于t=0s ，1s 时刻的振动状态，可确定这两个时刻旋转矢量的位置分别为和 。
下面作详细说明：由a 向O x 轴作垂线，其交点就是t=0时刻旋转矢量端点的投影点。
已知该处x 0=-2，且此刻v 0<0，故旋转矢量应在O x 轴左侧，它与O x轴正向的夹角 ，就是t=0时刻的振动位相，即初相；又由x-t 曲线中b 点向O x 轴作垂线，其交点就是t=1s 时刻旋转矢量端点的投影点，该处x=2cm 且v>0，故此时刻旋转矢量应在O x 轴的右侧，它与O x 轴的夹角 就是该时刻的振动位相，即，解得ω=π§4—3简谐振动的能量以弹簧振子为例来说明谐振动的能量。
设振子质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，在某一时刻的位移为x ，速度为u ，即 x=A cos(ωt+φ0) v=-ωA sin(ωt+φ0)于是振子所具有的振动动能和振动势能分别为πϕ320=πϕ35=ππω3532=+t )(cos 2121)(sin 21)(sin 2121022202202222ϕωϕωϕωω+===+=+==t kA kx E t kA t A m mv E p k- 91 -这说明弹簧振子的动能和势能是按余弦或正弦函数的平方随时间变化的。
动能、势能和总能量随时间变化的曲线如图。
