第4章 机械振动 湘潭大学 大学物理 期末复习

T 2
如：比较位移、速度、加速度的位相。
x A cos( t 0 )
v A sin( t 0 ) vm cos( t 0 ) 2

a A2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
故速度比位移超前位相π/2， 加速度比位移超前π或落后 π ，加速度比速度超前 π/2或落后3π/2
三、简谐振动的旋转矢量表示法 为了直观形象的领会简谐振动表达式中
A, , 0
三个物理量的意义，并为后面讨论简 谐振动的合成提供简洁的方法，引入 简谐振动的旋转矢量表示法。 旋转矢量A的末端在x轴的投影点 P点做简谐振动：
x A cos( t 0 )
x x
t 0
2、用旋转矢量法表示位移、速度、加速度：
可见在一个周期内不同的位相表示不同的振动状态，不同周期内凡位 移和速度都相同的振动状态，它们对应的位相必然相差 2π的整数倍. 由此可见，相位反映了振动的周期性特征。
为了比较两个相同或不同物理量振动步调上的差异，引入相位差。 位相差：两振动位相之差： 2 1
讨论：1、同相（in phase） 2k
mg kl 0
当m有位移x时
k
T k ( l x )R J
联立得
mg T ma
T
a R
F2
m
m
o
d2x k x0 2 2 dt m J R
J kx m 2 a R
a
mg
T


x
k m J R2
2


周期：
m J R2 T 2 k
如：机械波和电磁波： y( x, t ) Ae
x i ( t ) u
( Et pr ) 物质波： (r , t ) 0 e
i

机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动；
线性振动：能用线性微分方程描述的运动；
如：忽略空气阻力的情况下，弹簧振子、单摆、复摆的小幅度振动；
1 2 1 2 dv dx d 2x k m v kx E m v kx 0 2 x0 2 2 dt dt m dt
通过能量守恒得到动力学方程，有时会使我们的计算得到简化。
例1：在横截面积为S的U形管中有适量液体，液体 总长度为l，质量为m，密度为ρ，求液面上下起伏 的振动频率。（忽略液体与管壁间的摩擦）
m
O
x X
x A cos(t 0 )
k g 9.8 10rad / s m l 0.098 由初始条件得
A x0 2 ( v0

)2 0.098m
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为： x=9.810-2cos(10t+) m
v0 0 arctg ( ) 0, x0
(2)按题意
t=0 时 x0=0，v0>0 m O
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
dE p dx ) x 0 0
x3为高阶无穷小，略去，得：
2 1 d Ep E p ( x) E p (0) ( 2 ) x 0 x 2 2 dx d 2Ep F ( 2 ) x 0 x kx dx
4）振动过程中机械能守恒，从力学观点看，为保守系统。由 能量守恒可导出运动学方程：
1）动能和势能都随时间作周期性变化 （周期减半），总机械能不变，如图。 2）动能和势能在一个周期内的平均值 相等，等于总能量的一半；
1 T 1 T1 2 2 Ek Ek (t )dt kA sin (t 0 )dt T 0 T 0 2 1 1T 1 2 1 kA2 kA E 2 T 2 4 2
1 2 1 同样： E p kA E 4 2
3）判断实际系统是否作简谐振动，只需证明其是否满足简谐振 动的动力学特征，即所受力是否为线性回复力。 如：系统沿x轴振动，势能函数为Ep(x) 如果势能曲线存在一个极小值，则该位置就是系统平衡位置。 证明：取该位置为x=0, 将势能在x=0附近用级数展开： 2 dEp 1 d Ep 2 E p ( x) E p (0) ( ) x 0 x ( ) x x 0 2 dx 2 dx 若系统作微振动，有 (
A, 0
为积分常数，由初始条件决定，若初始条件：
t0
x0 A cos0
2 v0
v0 A sin 0
1
A x
2 0
2
v0 0 tan ( ) （代回原式决定取舍） x0
二、描述简谐振动的三个重要参量 1、振幅（Amplitude）： 作简谐振动的物体偏离平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。 给出了振动物体的运动范围，即
如：弹簧振子
t 0 0
t 0 t 0 2 t 0 3 2
x A, v 0, a A 2
x A, v 0, a A 2 x 0, v A, a 0 x 0, v A, a 0
x A cos( t 0 )
v vm cos(t 0

2
)
a am cos( t 0 )
例1:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时, x0=-9.8cm,v0=0,1）取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；2）若取x0=0，v0>0为计时零点，写 出振动方程,并计算振动频率。 ⑴ 确定平衡位置取为原点：k=mg/ l 令向下有位移x, 则：f=mg-k(l +x)=-kx 作谐振动 设振动方程为：
ml 2 3 2l T 2 2 mgl 2 3g
例1：一质量为m的平底船，其平均水平界面积为S，吃水深度为h，如 不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期（水的密度为 ρ）
f (h y) Sg mg Sgy k Sg
k Sg m m g h T 2 h g
k 0,1,2,
两振动同时达到位移的最大值，同时通过平衡位 置且向同方向运动，它们的振动步调完全一致。
2、反相 (2k 1)
k 0,1,2,
振动步调完全相反。
3、其他 0 振动2超前振动1位相Δψ 或振动1落后振动2位相Δψ
其时间差为： t
如位移，电流，电场，磁场，温度等
如：机械波：机械振动在连续介质中的传播； 电磁波：电磁振动在真空或介质中的传播； 物质波：和实物粒子相联系的波。
2、从物理学角度看，振动和波动是唯一一个横跨物理学所有学科，既 与经典物理紧密联系，又与现代物理融为一体的概念。
3、振动和波动在各分支学科中，具体内容不同、本质不同，但描述形 式却具有相似性，，并且都具有干涉、衍射等波动特征。
非线性振动：不能用线性微分方程描述的运动。
原因： a)内部：出现非线性回复力； b)外部：存在非线性影响，如非线性阻尼力。
地震仪
§4-1 简谐振动的动力学特征
简谐振动是自然界中最简单最基本的振动形式 . 任何一个复杂的振动都可以看成若干个或无限多个简谐振动的合成， 任何一个复杂的振动都可以分解为若干个或无限多个简谐振动。
运动学特征和动力学特征可以作为判断一个物体是否做简谐振动的根据。
二、两类简谐振动：单摆、复摆
1、单摆（Simple pendulum）
忽略空气阻力的小角度摆动
5o
对C点的力矩： M mglsin mgl 转动定律：
2 2 d d mgl J mgl ml 2 2 2 2 0 dt dt
简谐振动的运动学
解运动学方程得： d 2 x
dt
Leabharlann Baidu
2
x 0
2
m cos(t 0 )
t 0 ) 位移： x A cos(
速度： v A sin(t 0 )
2 t 0 ) 加速度： a A cos(
物体做简谐振动时，其 速度和加速度都随时间 做周期性变化.
xA
反映振动强弱，振幅越大，振动越强，平衡位置速度越大。 2、周期、频率、圆频率（Period, Frequency, Circular frequency）： 反映振动的快慢。
周期：物体完成一次全振动所需的时间
m T 2 弹簧振子： k
l T 2 单摆： g
T
2

复摆： T 2
3、位相、初位相、位相差（Phase, Initial phase, Phase difference） 从简谐振动的运动学方程，可以看到，对于振幅和圆频率都已知的谐振 动中，任意时刻的振动状态完全取决于物理量 . t 0 位相：确定振动系统任意时刻运动状态的物理量。
v0 初位相：T=0 时刻的位相。 tan 0 x0
平衡位置：物体所受合外力为零处。
d 2x d 2x F m a m 2 kx 2 2 x 0 dt dt
2
1、运动学特征：
k m
----运动学方程
加速度与其位移大小成正比，而方向相反； 2、动力学特征：
a
k x m
物体所受合力大小与位移成正比，而方向相反。
F kx
第四章
机械振动
孟利军
1、振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界中的普遍现象。 振动（Vibration） ：任何一个 具有质量和弹性的系统在其运动 如弹簧振子、单摆、复摆等。
状态发生突变时都会发生振动
广义地说，任何一个物理量 在某一量值附近随时间做周 期性变化都可以叫做振动。 波动：如果空间某处发生 的振动，以有限的速度向 四周传播，这种传播着的 振动称为波动。
固有频率
x X
1 2 2
g 1.6 Hz l
可见，对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变
例2:如图所示，振动系统由一倔强系数为 k的 轻弹簧、一半径为R、转 动惯量为I的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位 置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期 T. 取位移轴ox，m在平衡位置时， R J 设弹簧伸长量为l，则
简谐振动：一个做往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移（角 位移）随时间按余弦（或正弦）规律变化，即：
x A cos( t 0 )
则这种振动称为简谐振动（Simple Harmonic Motion ）。
一、弹簧振子模型（Spring oscillator）
忽略摩擦阻力
F kx
2


§4-3 弹簧振子：
简谐振动的能量
1 1 1 2 2 2 2 2 2 动能： E k mv m A sin (t 0 ) kA sin (t 0 ) 2 2 2 1 1 势能： E p kx 2 kA 2 cos 2 (t 0 ) 2 2 1 1 1 2 总能量： E E k E p kA 2 m 2 A 2 mv m 2 2 2 说明
g l
2
2、复摆（Physics pendulum)：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体
o 忽略空气阻力的小角度摆动 5
运动学方程：
d 2 d 2 mgh J mgh J 2 2 2 0 dt dt
mgh J
2
§4-2
一、简谐振动的运动学方程
J mgh
频率：单位时间内系统所完成的完全振动的次数
1 T 2
圆频率： 2π时间内系统所完成的完全振动的次数
2 2 T
由于周期、频率、圆频率都只与系统性质有关，故称为固有周期、固 有频率、固有圆频率，与系统处于什么振动状态及是否在振动无关。 如：可绕其一端转动的质量为m，长度为l的细直棍的周期为：