利用法向量求二面角

用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。

而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。

向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。

根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。

一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。

1n 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。

2n 二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量21,n n βα,βα--l θ的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有21,n n ϕ（图2）；πϕθ=+2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）ϕθ=图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条βα--l α)3,4,4(=n 件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需n 做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。

α2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5α)1,3,4(--=n 所示，显然，方向是指向二面角的外面。

求解二面角的六种常规方法作者：李淑芸来源：《中学教学参考·理科版》2010年第03期求解二面角问题是高考的热点问题,在近几年的高考中几乎每一年、每一套高考题的立体几何问题都涉及到求二面角的大小问题.然而通过对学生考卷的分析,我们发现这一问题的得分率却并不理想.因此,本文总结了常见的六种求解二面角的方法,希望能给部分读者以帮助.1.定义法是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线,则两直线所构成的角即为二面角的平面角,继而在平面中求出其平面角的一种方法.【例1】如图1,空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=a,对角线AC=a,BD=2a,求二面角A—BD—C的大小.图1解:取BD的中点为O,分别连接AO、CO,∵AB=AD,BC=CD.∴AO⊥BD,CO⊥BD.∴∠AOC为二面角A—BD—C的平面角.∵AB=AD=a,BD=2a,∴AO=22a.∵BC=CD=a,BD=2a,∴OC=22a.在△AOC中,OC=22a,OA=22a,AC=a,OA2+OC2=AC2,∴∠AOC=90°,即二面角A—BD—C为直二面角.2三垂线法是指利用三垂线定理,根据“与射影垂直,则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角,继而求出平面角的方法.【例2】如图2,二面角α-AB-β的棱AB上有一点C,线段CDα,CD=100,∠BCD=30°,点D 到平面β的距离为253,求二面角α-AB-β的度数.图2解:过D作DE⊥β于E,DF⊥AB于F,连接EF.∵DF⊥AB,EF是DF在β内的射影,∴AB⊥EF(三垂线定理).∴∠DFE为二面角为α-AB-β的平面角.在Rt△DEF中,DF=12CD=50,DE=253,∴sin∠DFE=DEDF=25350=32.∴∠DFE=60°.即二面角α-AB-β的度数为60°.3.垂面法是指用垂直于棱的平面去截二面角,则截面与二面角的两个面必有两条交线,这两条交线构成的角即为二面角的平面角,继而再求出其平面角的一种方法.【例3】如图3,已知SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB,SB=BC,E是SC的中点,DE⊥SC交AC于D,求二面角E-BD-C的大小.图3解:∵BS=BC,SE=EC,∴SC⊥BE,又∵SC⊥DE,∴SC⊥面BDE.∴SC⊥BD.又∵BD⊥SA,∴BD⊥面SAC.∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.设SA=a,则SB=BC=2a.∵BC⊥AB,SA⊥平面ABC.∴BC⊥SB.∴SC=2a,∠SCD=30°.∴∠EDC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.4.面积射影法所谓面积射影法,就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系,利用cosθ=S射S来计算二面角的一种方法(其中θ为二面角).【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,K∈BB1,M∈CC1,且BK=14BB1,CM=34CC1,求平面AKM与ABCD所成角的大小.图4解:连结AC,则由题意可知,△ABC是△AKM在平面AC上的射影.设平面AKM与ABCD所成角为θ,则cosθ=S射S=S△ABCS△AKM.令正方体的棱长为4,∴S△ABC=12AB•A C=12×4×4=8.在△AKM中,AK=12+42=17,AM=42+42+32=41,KM=42+22=20.由海伦公式可知S△AKM=221,∴cosθ=421,θ=arccos421.5.法向量法法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成的角,继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系,求出二面角的一种方法.【例5】如图5,过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=ɑ,求平面PAB 和平面PCD所成的二面角的大小.图5解:以A为射点建立直角坐标系(如图5所示),则P(0,0,a),D(0,a,0),C(a,a,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n•PD=0,n•CD=0.即(x,y,z)•(0,a,-a)=0,(x,y,z)•(-a,0,0)=0.∴y=-z,x=0.即n=(0,1,-1).又AD成为平面PAB的法向量,而cos〈AD,n〉=(0,a,0)•(0,1,-1)a•2=22,∴AD与n所成的角为45°.因此平面PAB和平面PCD所成的角为45°.6.垂线法是指先利用待定系数法确定垂足,再利用公式求出二面角的大小.【例6】如图6,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点,PE⊥EC,已知PD=2,CD=2,AE=12,求(1)异面直线PD与EC的距离;(2)二面角E-PC-D的大小.图6解:(1)略.(2)以D为原点,DA、DC、DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.作DG⊥PC,可设G(0,y,z).由DG•PC=0得(0,y,z)•(0,2,-2)=0,即z=2y.故可取DG=(0,1,2).作EF⊥PC于F,设F(0,m,n),则EF=(-32,m-12,n).由EF•PC=0,得(-32,m-12,n)•(0,2,-2)=0,即2m-1-2n=0.又由F在PC上得n=-22m+2,故m=1,n=22,EF=(-32,12,22).因EF⊥PC,DG⊥PC,故二面角E-PC-D的平面角θ的大小为向量EF与DG的夹角.故cosθ=DG•EF|DG|•|EF|=22,∴θ=π4.故二面角E-PC-D的大小为π4.(责任编辑金铃)。

二面角向量法公式在咱们学习立体几何的时候，有一个很重要的概念——二面角向量法公式。

这玩意儿可真是个厉害的工具，能帮咱们解决不少难题呢！先来说说啥是二面角。

想象一下，你有两块板子，它们斜着靠在一起，形成的那个“夹角”就是二面角。

要想准确算出这个角的大小，二面角向量法公式就派上用场啦。

公式是这样的：cosθ = |(n1·n2) / (|n1| × |n2|)| ，这里的 n1 和 n2 是两个平面的法向量。

可别被这一堆符号吓到，咱们慢慢捋一捋。

法向量又是啥呢？简单说，就是和平面垂直的向量。

比如说，有一个平面，你总能找到一个向量，它直直地立在这个平面上，那它就是法向量。

我记得我之前教过一个学生，叫小李。

这孩子呀，刚开始接触二面角向量法公式的时候，那叫一个迷糊。

有一次上课，我在黑板上写了一道例题，让大家试着用公式算一下二面角。

小李坐在那儿，抓耳挠腮，半天没动静。

我走过去一看，他连法向量都还没找对。

我就耐心地跟他说：“小李呀，你看这个平面的方程，先把它的系数找出来，然后设法向量是（x，y，z），根据垂直的条件列出方程组，就能求出法向量啦。

”小李似懂非懂地点点头，又埋头苦算了起来。

经过几次这样的耐心指导，小李终于慢慢掌握了窍门。

后来有一次小测验，碰到一道二面角的题目，他刷刷刷几下就把法向量求出来，然后顺利地用公式算出了二面角的大小。

看到他那自信满满的样子，我心里也特别欣慰。

那咱们再回到这个公式。

计算的时候，一定要注意向量的点乘和模长的计算，可别马虎。

有时候一个小数字算错了，整个结果就全错啦。

而且呀，用这个公式的时候，要先判断二面角是锐角还是钝角。

这就需要咱们对图形有一个清晰的认识。

比如说，如果两个法向量的方向都是从二面角内部指向外部，那算出的余弦值就是二面角的余弦值；如果一个从内部指向外部，一个从外部指向内部，那算出的余弦值的相反数才是二面角的余弦值。

总之，二面角向量法公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多琢磨琢磨，就能熟练掌握，让它成为咱们解决立体几何问题的有力武器。

法向量求二面角公式在几何学中，二面角是一种重要的概念，它由两条相交的平面构成。

此外，当两条相交的直线所在的平面具有相同的法向量时，它们构成的夹角叫做二面角。

而要求出两个法向量构成的二面角，可以采用“法向量求二面角公式”。

“法向量求二面角公式”可以用下面的公式表示：α = arccos (N1 . N2 / (|N1| |N2|))其中，N1、N2分别是两个法向量，“.”表示内积，“|N1| |N2|”表示两个法向量的向量积，α表示由N1、N2两个法向量构成的夹角。

要用“法向量求二面角公式”求出N1、N2两个法向量的夹角，第一步是求出N1、N2的值。

N1、N2的值可以用下面的公式求得： N1 = (x1, y1, z1)N2 = (x2, y2, z2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两个法向量在三个坐标方向上的值，x1、y1、z1是N1在三个坐标方向上的值，x2、y2、z2是N2在三个坐标方向上的值。

第二步，根据求得的N1、N2值，就可以用“法向量求二面角公式”求出N1、N2所构成的夹角，具体公式如上所述。

以上就是“法向量求二面角公式”的介绍，它可以帮助我们快速确定两个法向量构成的夹角。

这种公式的优点在于它可以简单快速地求得椭圆夹角、圆柱夹角、椎体夹角等复杂夹角，为几何学研究带来了方便。

当然，如果希望用“法向量求二面角公式”求出精确的夹角，需要准确求出N1、N2的值，还需要采用精度更高的计算机程序。

另外，在计算N1、N2的值时，也要注意两个法向量的向量积及其长度是否相等，不然就会得到错误的结果。

本文介绍了“法向量求二面角公式”，它可以用于求出相交的两个法向量构成的夹角，使几何学研究变得更加容易简单。

然而，为了保证计算出来的结果准确无误，求值时需要考虑到N1和N2之间的向量积及长度等因素。

利用法向量求二面角1. 什么是二面角在几何学中，二面角指的是两个平面的夹角，通常用来描述空间中的角度关系。

具体地说，二面角是由两个面的法向量所定义的角度，通过测量一个面对相邻面的法向量之间的夹角来计算。

2. 法向量的概念在三维空间中，平面可以通过一个法向量来定义。

法向量垂直于平面，并且指向平面的外部。

根据向量的定义，法向量具有方向和大小。

法向量的大小表示平面的倾斜程度，而法向量的方向则指示平面的朝向。

3. 利用法向量求二面角的方法要计算两个平面之间的二面角，可以利用它们的法向量。

具体的方法如下：步骤1：首先，确定两个平面的法向量。

可以通过计算平面上的三个非共线点的向量叉积来获得一个平面的法向量。

同样地，另一个平面的法向量也可以通过相同的方法来计算。

步骤2：然后，计算两个法向量之间的夹角。

夹角可以通过计算两个向量的内积的反余弦值来获得。

步骤3：最后，得到的夹角就是两个平面之间的二面角。

根据需要，可以将夹角的单位转换为度数或弧度。

4. 示例为了更好地理解利用法向量求二面角的方法，我们来看一个示例。

假设有两个平面，A和B，它们的法向量分别为n_n=(n,n,n)和n_n=(n,n,n)。

首先，计算法向量的夹角。

夹角n可以表示为n=nn+nn+nn。

然后，得到的角度n就是平面A和平面B之间的二面角。

5. 总结利用法向量可以方便地计算两个平面之间的二面角。

通过计算两个平面的法向量的夹角，可以得到二面角的值。

这个方法在计算几何学和计算机图形学中都有广泛的应用，用于描述三维空间中的角度关系。

以上就是利用法向量求二面角的说明文档，希望对你有所帮助。

如果你有任何问题或需要进一步的解释，请随时向我提问。

知识导航二面角问题在立体几何中比较常见.一般地，要求二面角的大小，要先作出二面角的平面角，然后求得二面角的平面角的大小，二面角的平面角的大小即为二面角的大小.求二面角的大小一般有两种思路，即采用定义法和向量法.下面我们结合一道典型例题来探讨求二面角大小的两种思路.例题：已知圆O 的直径AB 的长为2，上半圆弧有一点C ，∠COB =60°，点P 是弧AC 上的点，点D 是下半圆弧的中点.现以AB 为折痕，使下半圆所在平面垂直于上半圆所在平面，连接PO ,PD ,PC ,CD ，如图1所示.当三棱锥P -COD 体积最大时，求二面角D -PC -O 的余弦值.该题较为复杂，不仅考查了三棱锥的体积、平面与平面的垂直关系，还考查了求二面角大小的方法.我们需首先根据题意和几何图形，明确各点、线、面的位置关系，然后合理添加辅助线，作出二面角的平面角，然后再求出平面角的大小.有以下两种思路.一、采用定义法求二面角的大小定义法是求二面角大小的常用方法，也是基本方法.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，然后将平面角的两条边或角置于某一个三角形或平行四边形内，运用平面几何知识，如正余弦定理、解三角形知识、勾股定理等求出平面角的大小.解：由题意可知DO ⊥平面PCD ,∴V P -COD =V D -COP ,∵S △COP =12∙OC ∙OP ∙sin ∠COP ，∴当OC ⊥OP 时，三棱锥P -COD 体积最大，如图2所示，取PC 中点H ,连接OH ,DH ,∵OC =OP ,DC =DP ,∴OH ,DH 都与PC 垂直，即∠OHD 是所求二面角的平面角，在Rt△OPC 中，OH=；在Rt△OHD 中，DH=，∴cos ∠OHD,∴二面角D -PC -O .我们先根据二面角的平面角的定义在几何图形上添加辅助线，找到二面角的平面角，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理求得二面角的平面角的大小.二、利用向量法求二面角的大小向量法是指通过向量运算解答问题的方法.在求二面角的大小时，我们可以先结合几何体的特点建立合适的空间直角坐标系，然后求出各点、线段、平面的坐标，通过向量坐标运算求得二面角的大小.对于本题，要先利用已知条件找出两两相互垂直的直线，即OP ,OD ,OC ，建立空间直角坐标系，然后通过坐标运算求得二面角的两个半平面的法向量，再运用夹角公式进行求解即可.解：由题意可得DO ⊥平面PCD ,所以V P -COD =V D -COP ,因为S △COP =12∙OC ∙OP ∙sin ∠COP ，所以当OC ⊥OP 时，三棱锥P -COD 体积最大，由题意可知OP ,OD ,OC 两两垂直，以点O 为坐标原点， OP , OD ,OC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，则有P ()1,0,0，D ()0,1,0，C ()0,0,1， PC =()-1,0,1，DP =()1,-1,0.设平面DPC 的法向量为 n 1=()x ,y ,z ，则ìíîPC ∙n 1=0DP ∙ n 1=0,可得 n 1=()1,1,1，同理可求得平面PCO 的法向量n 2=()0,1,0.设二面角D -PC -O 的平面角为α，则cos α=|| n 1∙ n 2||n 1|| n 2=即二面角D -PC -O 的余弦值为.从上述分析可以看出，求解二面角问题可以从两个不同的角度，即定义和向量运算出发来寻找解题的思路.运用第一种思路解题，需灵活运用立体几何中的定理、定义来处理空间中点、线、面的位置关系；运用第二种思路解题，需熟练掌握空间向量运算的法则，将问题转化为向量问题来求解.(作者单位:江苏省南通市海门四甲中学)黄林佳图1图2图338Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

法向量求二面角公式
法向量求二面角公式，是一种用于计算两个法向量之间（或三维空间中三点之间）夹角的公式。

夹角是指连接两个法向量的线段与其与第三条线段（三维空间中坐标点）之间的夹角，因此这个公式能够用来计算三维空间中任意三点之间的夹角。

一般来说，法向量求二面角公式可以用下面的算式表示：∠A = acos(AB/ |A| |B| )，其中A和B分别是要计算的两个法向量，结果为两个法向量之间的夹角，以弧度表示。

要想使用这个公式，首先需要计算出两个法向量A 、B向量积AB，也可以把它看作两个向量的夹角余弦值，然后需要计算出两个法向量的绝对值|A|、 |B|。

最后，把这三个值带入上面的公式，就能
够得到两个法向量之间的夹角了。

由于法向量求二面角公式能够有效地计算三维空间中任意三点
之间的夹角，因此它在很多领域都有着广泛的应用。

例如，在机械设计领域，法向量求二面角公式能够有效地计算机械模型中设计出来的各个零件之间的夹角，从而更好地保证机械设计的准确性。

此外，法向量求二面角公式还能用于物理和力学方面的研究，比如用来解决力学中的静定点和碰撞问题，计算受力情况下的局部夹角，研究物体的力学变形和应力情况等。

此外，在计算几何和拓扑学领域，法向量求二面角公式也常被用来计算三角形内角和外角，以及多边形的内部夹角，有助于形状分析与空间建模。

总之，法向量求二面角公式是一个非常有用、多方面应用的数学
公式，主要用于计算两个法向量之间或三维空间中三点之间的夹角，并且在机械设计、物理力学以及计算几何和拓扑学等领域中都有着广泛的应用。

它的优点在于计算简单，准确性高，可以有效解决三维空间中的相关问题。

空间向量求二面角的方法方法一：先作出二面角的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB 是二面角l αβ--的一个平面角，则向量与所成的角就是所求的二面角的大小． 例1 正四面体ABCD 中，求相邻两个面所成的二面角．解析：如图1，取BC 边的中点Ｅ，连结AE 、DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠AED 就是正四面体的两个相邻面ABC 与DBC 所成二面角的平面角，且BC ⊥平面ADE ，∴BC ⊥AD ，∴0EC DA =．设正四面体棱长为1．∵()()ED EA EC CD EC CD DA =+++ 222EC EC CD EC DA CD DA CD ++++ 11121cos120011cos1201424=+⨯⨯⨯++⨯⨯+=． 又在△ABC 与△BCD 中，可求得32ED EA ==， ∴cos ED EA ED EA ED EA =，11433322==⨯． 故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为1arccos 3．方法二：利用法向量求解：设是平面的法向量，是平面的法向量．①若两个平面的二面角如图2所示的示意图，则与之间的夹角就是欲求的二面角；②若两个平面的二面角如图3所示的示意图，设与之间的夹角为．则两个平面的二面角为．例2 如图4，△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA=BC=2，AB=4，D 、N 分别是BC 、AB 的中点．求二面角S-ND-A 的余弦值． 解析：平面ABC 的法向量是，设平面SND 的法向量为BC AB AS λμ=++n ．∵SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，SA ⊥AB ，∴0AS BD =，0AS BN =，0AS BC =，0AS AB = 又AB ⊥BC ，∴0BC BN =，0AB BD =，0BC NA =． 由()()ND BC AB AS BD BN λμ=++-n 280BC BD AB BN λμλμ=-=+=。

例说用向量方法求二面角一、平面法向量的2种算法在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)n x y z =，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x ,y ,z 的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有一种求法向量的办法也比较简便：若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ,0,0)、B (0,b ,0)、C (0,0,c )，定义三点分别在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A = a , y B = b , z C = c （a ,b ,c 均不为0），则平面ABC 的法向量为111(,,)(0)n a b cλλ=≠ ．参数λ 的值可根据实际需要选取．这种方法非常简便，但要注意几个问题：（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为∞，法向量对应于该轴的坐标为0．比如若和x 轴平行（交点坐标值为∞），和y 轴、z 轴交点坐标值分别为b 、c ，则平面法向量为11(0,,)n b cλ= ；若平面和x ,y 轴平行，和z 轴交点的坐标值为c ，则平面法向量为1(0,0,)n cλ= ．（2）若平面过坐标原点O ，则可适当平移平面．例1．如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点。

设SD = 2CD ，求二面角A －EF －D 的大小；解：不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．平面AEFG 与x 轴、z 轴的交点分别为A (1,0,0)、G (0,0,1)，与y 轴无交点，则法向量1(1,0,1)n =，在CD 延长线上取点H ，使DH =AE ，则DH ∥ AE ，所以AH ∥ED ，由（1）可知AG ∥EF ，所以平面AHG ∥平面EFD ，平面AHG 与x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (1,0,0)、H (0,- 12,0)、G (0,0,1)，则法向量2(1,2,1)n =-，设二面角A -EF -D 的大小为α ，则1212cos 3n n n n α⋅==⋅ ，即二面角A -EF -D的大小为． 二、用向量法求解二面角的两种途径 （一）用法向量解二面角用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是[0, π ]，而两个向量的夹角取值范围也是[0, π ]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过 π2 的那个角即可，但对二面角却是个难题. 笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考.用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一），两个平面的法向量12,n n则应分别垂直于该平面角的两边. 易知，当12,n n 同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为θ . 所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可. 或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为“向内”的方向；否则称为“向外”的方向. 两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内”，而另一个“向外”.对第二个问题，我们需要选取一个参照物. 在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z 轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy 平面的关系，是自下而上穿过xOy 平面呢，还是自上而下穿过xOy平面？若是第一种情形，y图二图一则n 与→ OZ 所夹的角是锐角，只需取法向量的z 坐标为正即可；若是第二种情形，则n 与→OZ 所夹的角是钝角，只需取法向量的z 坐标为负即可．若法向量与xOy 平面平行，则可以选取其它如yOz 平面、zOx 平面观察．例2 已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB =90︒，P A ⊥底面ABCD ，且P A =AD =DC =12AB =1，M 是PB 的中点. （1）求二面角C -AM -B 的大小； （2）求二面角A -MC -B 的大小.分析：如图建立空间直角坐标系，则对二面角C -AM -B 而言，→AD 是平面AMB 的法向量（向内），易知平面ACM 符合“向外”方向的法向量是自下而上穿过xOy 平面，所以与→ AZ 所夹的角是锐角. 对二面角A -MC -B 而言，平面ACM 选取上述法向量，则为“向外”的方向，平面BCM 就应选取“向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy 平面，与z 轴正向所夹的角是钝角.（1）解：如图三，以AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z轴建立空间直角坐标系，则平面AMB 的法向量为1n=(1,0,0), 设平面ACM 的法向量为2n=(x ,y ,z ).由已知C （1, 1, 0), P (0, 0, 1), B (0, 2, 0)，则M (0, 1, 12 ),∴ → AC =(1, 1, 0), → AM =(0, 1, 12).由220,0,10.0.2x y n AC y z n AM +=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩取y = -1，则x =1, z =2， ∴ 2n =(1, -1, 2). （满足2n ·→AZ >0）.设二面角C -AM -B 的大小为θ ，则cos θ=1212n n n n ⋅=⋅, ∴ 所求二面角的大小为arccos6. （2）解：选取（1）中平面ACM 的法向量2n=(1, -1, 2)，设平面BCM 的法向量为y图三3n= (x ,y ,z ).→ BC = (1, -1, 0), → BM = (0, -1, 12),由330,0,10.0.2x y n BC y z n BM -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩ 取z =-2，则y =-1, x =-1，3n = (-1, -1, -2)，则2n ，3n所夹的角大小即为二面角A -MC -B的大小，设为ϕ ，cos ϕ =23233n n n n ⋅=⋅， ∴ 所求二面角的大小为π - arccos 63.（二）用半平面内的向量解二面角由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角．如果分别在两个半平面内作两个向量（如图四），起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的．这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响．例3 如图五，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=2，E 是BB 1的中点．（1）求二面角E -AC 1-B 的大小； （2）求二面角C 1-AE -B 的大小．分析：在第（1）题中，只需在AC 1上找到两点G 、H ，使得→ GB 、→ HE 均与→ AC 1 垂直，则→ GB 、→HE 的夹角即为所求二面角的大小．如何确定G 、H 的位置呢？可设1GA AC λ=，1GB GA AB AC AB λ=+=+ ，这样向量→ GB 就用参数λ 表示出来了，再由→ GB ·→AC 1 =0求出λ 的值，则向量→GB 即可确定，同理可定出H 点．第（2）题方法类似．图四图五解：以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0), A (0,1,0), C (1,0,0), B 1(0,0,2), C 1(1,0,2), E (0,0,1)．→ AC 1 = (1, -1, 2), →AB = (0, -1, 0).（1）设1(,,2)GA AC λλλλ==-，则 (,1,2),GB GA AB λλλ=+=--由→ GB · → AC 1 =0 ⇒ λ +(λ +1)+4λ =0，解得：16λ=-，∴ → GB = (151,,663---).同理可得：→ HE = (11,,022--)，→ HE ·→ AC 1 = 0．→ GB 、→ HE 的夹角等于二面角E -AC 1-B 的平面角． cos <→ GB ,→ HE > =62562GB HE GB HE GB HE GB HE⋅⋅==⋅⋅ , ∴ 二面角E -AC 1-B 的大小为（2）→AE = (0, -1, 1), 在AE 上取点M 、N ，设(0,,)MA AE γγγ==-，则(0,1,)MB MA AB γγ=+=--,由→ MB ·→ AE = 0得：γ +1+γ = 0，解得：γ = 12-， ∴ → MB =11(0,,)22--.同理可求得：→ NC 1 = ( 1, 12, 12), → NC 1 · →AE = 0. ∴ → MB 、→NC 1 的夹角等于二面角C 1-AE -B 的平面角．cos <→ MB , → NC 1> = 11113MB NC MB NC --⋅=-⋅ , xyzGHxyMN图七图六). ∴二面角C1-AE-B的大小为arccos(3。

二面角和法向量夹角的关系
在三维空间中，二面角是由两个平面所围成的角度，它可以用两个法向量来表示。

法向量是垂直于平面的矢量，其大小等于平面的面积，方向指向平面的外部。

设两个平面分别为P1和P2，它们的法向量分别为n1和n2，则二面角的cos值可以用它们的内积来表示：cos(θ) = (n1·n2) / (|n1||n2|)
其中，|n1|和|n2|分别为n1和n2的模长，·为向量的点积。

因此，二面角的大小可以通过计算两个法向量的夹角来求得，即θ = cos^-1((n1·n2) / (|n1||n2|))。

换句话说，二面角和法向量夹角是一致的，它们之间的关系是cos(θ) = (n1·n2) / (|n1||n2|)。

在计算中，可以直接利用法向量的大小和方向来求得二面角的大小，这样可以简化计算，并且避免了对平面参数的繁琐计算。

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关于利用法向量求二面角的问题（一）关于利用法向量求二面角的问题我们知道法向量是解决立体几何问题的有力工具，但是在利用法向量在求二面角的时候，求出的两个法向量的夹角是与所求二面角相等还是互补，却没有认真思考过，这个还得从两个向量的外积说起.两个向量外积的定义：两个向量a与b的外积（也称向量积）是一个向量，即为a b，它的长度（模）为| |=||||，它的方向与和都垂直，并且按,, 的顺序构成右手标架（如下图所示）若是 ，则所得向量长度与 相等，但是方向却刚好相反，所以向量外积不满足交换律.我们可以根据这个定义来确定平面法向量的方向.设平面内有三个点A(x1y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，则(x2 x1,y2 y1，z2 z1)， (x3 x1,y3 y1,z3 z1)，所以y2 y1y3 y1z2 z1z3 z1z2 z1z3 z1x2 x1x3 x1x2 x1x3 x1y2 y1y3 y1(，，），很明显，向量 可以为平面 的法向量.此时 的方向应该是垂直平面 并且向上.我们利用这个结论来求二面的大小. 说明：行列式abcdad b c，上面有关内容请参考高等代数的相关内容.如图所示，设平面 与平面 所成的二面角为 ，法向量分别为,，显然与所成的角为 ，且 ，即此时与所成的角 就是平面 与平面 所成的二面角为 ，从这里我们可以看出，只要平面 与平面 的法向量,方向一个朝向二面角的里面，一个朝向二面角的外面，求出的法向量的夹角即为所求二面角.那怎样做到这一点呢？那就要用到我们前面所讲到的右手标架.如图，我们来求平面与平面 所成的二面角 ，设 (x1,y1,z1)，AC (x2,y2,z2)，x1y1z1x1y1z1，且设z若x1y1x2y2，yz1x1z2x2，xy1z1y2z2x2y2z2x2y2z2则平面 的一个法向量 (x,y,z)，根据右手标架应该是竖直向上，即朝向这个二面角的外面，此时我们求平面 的法向量方向应该是朝向二面角的里面.设 (x3,y3,z3)， (x4,y4,z4),要使平面 的法向量方向朝向二面角的里面，根据右手标架，我们计算应该是 ，若x4y4z4x4y4z4x3y3z3x3y3z3，并且设cx4y4x3y3b ，x4y4x3y3，ay4z4y3z3，则平面 的一个法向量 (a,b,c)根据右手标架，此时n的方向就是朝向二面角的外面.那么m与n的夹角即为所求二面角.cosxa y b z cx y z a b c22222当然，这里需要注意的是，我们这里建立的空间直角坐标系一定要是右手直角坐标系.利用向量求二面角大小的又一方法（二）利用向量求二面角大小的又一方法福建南安国光中学黄耿跃文[1]给出一种判定“二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系”,读完这篇文章后,获益匪浅.笔者通过研究给出另一种利用向量求二面角大小的可行性方法,此法可以避免产生二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系误判,而且思路更直观、清晰.定理1如下左图已知二面角αLβ的平面角为θ,A∈α且AL,B∈β且BL,AM⊥L于MJJJ,BNGJJJ⊥L于N,则cosθ=|JJJJGMANBMA||JJJJNBG|.由二面角的平面角的定义易证定理1.定理2如上右图,空间任意一条直线L,A,B是直线L上的两个点,M是空间任意一点,MN⊥L于N,则JJJJNMG=JJJJAMGJJJJAGJJJG|JJJJMABJJJGABG|2AB.证明∵向量JJJGAN为JJJJAMG在JJJABG影向量,设GJJJ方向上的投e=JJJJJABGJJJGJJJJG|ABG|为AB方向的单位向量,JJJJ∴JJJGAN=AMJJJABGGAMGJJJABGJJJ|JJJJABG|e=ABG,|JJJJJABG2∴JJJJNMG=JJJJAMGJJJGJJJJ|GJJJGAN=JJJJAMGAMABJJJG|JJJJJAB.ABG|2例1(2004湖南理19)如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(I)证明:PA⊥平面ABCD;(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小;(III)在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC？证明你的结论.解(I)略;(II)以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过点A垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如右图.则A(0,0,0),c(32a,12a,0),JDJG=(0,a,0),E(0,2JJJ3a,13a),于是AEG=(0,23a,13a),JJJGAC=(31JJJG2a,2a,0),AD=(0,a,0).作EM⊥AC于M,DN⊥AC于N,则由定理1JJJJ得MEG:与JJJGND所成的角的大小为EAC与DAC为面的二面角θ的大小.由定理2可得JJJJMEG=JJJAEGJJJJAMG=JJJAEGJJJAEGJJJG|JJJACGACJJJG|2AC121a2=(0,a,a)3333a2(12a,2a,0)=(36a,12a,13a).JJJGND=JJJGADJJJGAN=JJJGJJJADADGJJJG |JJJACGACJJJG|2AC12=(0,a,0)2aa2(32a,12a,0)=(34a,34a,0),JJJJG∴cosθ=MEJJJNDG|JJJMEJG||JJJGND|293a2+3a2=248342=2.6a34a∴以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小为30°.例2(2004浙江)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(I)求证AM⊥平面BDF;(II)求二面角ADFB的大小.解(I)略.(II)如图建立空间直角坐标Cxyz,∵A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,∴JJJG2,1).DF=JJJDBGJJJDA=G(0,2,1),(0,2,0),JJJG=(2,2,0),DF=(0,2,1).作AM⊥DF于M,BN⊥DF的延长线于N,JJJG则由定理1得:MA与JJJNBG所成的解θ的大小为二面角ADFB的大小.由定理2可得:JJJGMA=JJJDAGJJJJDMG=JJJDAGJJJDAGJJJG DFJJJG|JJJGDF|2DF=(0,2,0)23(0,2,1)=(0,2,2),JJJNBG=JJJGDBJJJJDNGJJJG 3JJJG3=JJJDBGDBDFJJJG|JJJGDF|2DF=(2,2,0)2(0,2,1)/3=(2,JJJG2JJJ/3,2/3),cosθ=MANBG|JJJGMA||JJJNBG|6=91(6/3)(24/3)=2.∴二面角ADFB的大小为60°.例3(2005福建)如图,直二面角30DABE中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(I)求证:AE⊥平面BCE;(II)求二面角BACE的大小;(III)求点D到平面ACE的距离.解(I)略;(Ⅱ)如图所示,以线段AB的中点原点O,OE所在的直线为x 轴,AB所在的直线为y轴,过O作平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2)B(0,1,0)JJJG=JJJ(0,2,2),JJJAEG,AC=(1,1,0),ABG=(0,2,0).作BM⊥AC于M,EN⊥AC理1得,JJJ于NEGN,则由定与JJJGMB所成的角θ的大小为二面角BACE的大小由定理JJJ2得NEG=JJJAEGJJJG=JJJAEGJJJANAEGJJJG|JJJACGACJJJ|2ACG=(1,1,0)2(0,2,2)=11JJJG2),MB=JJJ8(0,2,ABGJJJJGJJJAGMJJJG=JJJABGAB|JJJACJJJGACG|2AC=(0,2,0)4(0,2,2)=(0,1,1)JJJGJJJG8,cosθ=NEMB13|JJJNEG||JJJGMB|=3=3,22∴二面角BACE的大小为arccos33.参考文献[1]郑剑晖,郑毓青.二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系判定.2005.1.利用空间向量求二面角的判定方法（三）利用空间向量求二面角的判定方法法一：若点A、B分别为二面角α−l−β的两个半平面α与β上的任两点，且A∉l,B∉l，n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（ABn1）（ABn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角相等；（2）当（ABn1）（ABn2）互补；l法二：若点P为二面角α−l−β的棱l上的任一点，Q 为两个二面角α−l−β内的任一点, n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（PQn1）（PQn2）相等；（1）当（PQn1）（PQn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角互补；l利用法向量求二面角的正负（四）利用法向量求二面角的平面角授课教师：陈诚班级：高二（14）班时间：2010-01-14 【教学目标】1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关的简单问题。