用法向量求二面角的大小

用法向量确定二面角大小的三个基本关系作者：程映军来源：《甘肃教育》2012年第23期〔关键词〕数学教学；法向量；二面角；符号；方向；相关关系〔中图分类号〕 G633.65 〔文献标识码〕 A〔文章编号〕 1004—0463（2012）23—0082—02求二面角平面角的问题在传统立体几何中解决的方法较多，这也是高考的一个重要内容，但新教材对此问题有所淡化，只要求学生能用平面法向量求出二面角平面角的大小.而两个法向量的夹角与二面角的平面角到底何时相等？何时互补？教材中处理得比较含糊，要求借助于图形直观解决，实际上此法可操作性并不大，因此，到了这个部分便常常出现“老师想讲讲不清，学生能学学不透”的尴尬局面.那么，如何在判断方法上兼顾理论依据的正确性和事件操作的可行性、简捷性呢？笔者认为，只要认识清楚以下三个基本关系，我们并不需要借助其他理论工具，就能快速解决这一问题.一、空间向量坐标的符号与向量方向的关系一个向量的坐标并不是刻画这个向量在空间直角坐标系O-xyz中的具体位置，而是刻画向量相对于标准正交基[i][➝]=（1，0，0），[j][➝]=（0，1，0），[k][➝]=（0，0，1）的“分解程度”.如，将向量[m][➝]=（x，y，z）分解，则此向量在x轴、y轴、z轴上的分向量依次是=（x，0，0）=x[i][➝]，=（0，y，0）=y[j][➝]，=（0，0，z）=z[k][➝]，从而x，y，z的正负直接反映这三个分向量与对应的基底是同向还是反向，如下表：二、平面法向量的横、纵、竖之间的相关关系平面α的法向量的坐标之间构成正比例关系.证明：设A0（x0，y0，z0），A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2）是平面α上任意三个不共线的点，[m][➝]=（x，y，z）是平面α的法向量，则[m][➝]⊥[m][➝]⊥⇒[m][➝]·=0[m][➝]·=0⇒x（x1-x0）+y（y1-y0）+z（z1-z0）=0x（x2-x0）+y（y2-y0）+z（z2-z0）=0 ，解得y=-x，z=-xy1-y0 z1-z0y2-y0 z2-z0 ≠0. 记λ1=-，μ1=-，则[m][➝]=（x，λ1x，μ1x）=x（1，λ1，μ1）；同理，λ2=-，μ2=-x1-x0 z1-z0x2-x0 z2-z0 ≠0，则[m][➝]=（λ2y，y，μ2y）=y（λ2，1，μ2）；令λ3=-，μ3=-x1-x0 y1-y0x2-x0 y2-y0 ≠0，则[m][➝]=（λ3z，μ3z，z）=z（λ3，μ3，1）.这说明，由A0，A1，A2三点唯一确定的平面α，其法向量可以由x（或y，z）唯一确定.三、二面角的大小与两个法向量相对指向的关系定义1：以l为棱的两个半平面α，β把空间分成两部分，其中使二面角α-l-β的平面角θ∈（0，π）的部分称为二面角的内部，另一部分则称为二面角的外部.定义2：以平面α上任意一个不属于棱的点为起点作该平面的法向量，如果这个法向量的终点总是落在二面角α-l-β的外部，则称该法向量指向二面角α-l-β的外部，反之，称该法向量指向二面角α-l-β的内部.有以下事实：①当α，β的法向量[m][➝]，[n][➝]同时指向二面角α-l-β的内部（或外部）时，角与二面角α-l-β互为补角（图1）.②当α，β的法向量[m][➝]，[n][➝]一个指向二面角α-l-β的内部，另一个指向二面角α-l-β的外部时，角与二面角α-l-β大小相等（图2）.对于以上三个基本关系的阐述和证明，我们可以看到，要解决提出的问题，关键是要判断两个法向量的相对方向.而由于平面法向量的方向可以通过点坐标的行列式运算化归为一元线性表达式，所以我们只需要判断出平面法向量的任意一个坐标的符号，就可以确定法向量的相对方向，从而判断出两个法向量夹角与二面角的大小关系，实现整个问题的求解.以下举例说明该方法的具体实施过程.例1：如图3，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a.（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角A-VB-C的大小.解析：（1）（2）略.（3）取AC中点O，连接B1O，易知OB1⊥底面ABC，过O作直线OE∥BC交AB于E.取O为空间直角坐标系的原点，以OE，OC，OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图4所示的空间直角坐标系.则A（0，-a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），B1（0，0，a）.设平面VBC的一个法向量[n][➝]=（x1，y1，z1），由[n][➝]⊥[n][➝]⊥得-ax1=0-ay1+az1=0，取z1=1，得[n][➝]=（0，，1），此时法向量[n][➝]指向二面角A-VB-C的外侧.同理可得平面VAB的一个法向量[m][➝]=（2，-，1），此时，法向量[m][➝]指向二面角A-VB-C的内侧.∴cos==-.所以，二面角A-VB-C的大小为arccos-.例2：在正方体中，二面角的大小为 .解：如图5，A1C1⊥面BB1D1，A1D⊥面BAD1，所以直线A1C，A1D的方向向量分别为BB1D1和BAD1的法向量，分别令[n1][➝]=，[n2][➝]=，设正方形的边长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，1）， C1（-1，0，1），D1（-1，-1，0）.∴ =（-1，-1，0）， ||= ， =（-1，-2，-1），||=， ·=3.∴cos==.即向量，的夹角为30°，由于，的指向都是向着二面角外，所以二面角A-BD1-B1与向量，的夹角互补，所以二面角A-BD1-B1的大小为150°.。

求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。

本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。

一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。

它利用向量的夹角来表示二面角。

首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。

通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。

二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。

它利用坐标系中的点来表示二面角。

我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。

三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。

它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。

通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。

四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。

它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。

五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。

它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。

六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。

它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。

通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。

不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。

这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。

总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。

每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。

向量法求二面角大小洋葱数学【原创实用版】目录一、引言二、向量法求二面角大小的基本原理1.求出所求二面角两个面上的法向量2.计算 cos（法向量 1 法向量 2）/（法向量 1 的模长法向量 2 的模长）3.根据图形判断是锐二面角还是钝二面角4.确定 cos 的符号5.用反三角函数表示这个角三、结论正文一、引言在数学中，二面角是指两个平面之间的夹角，它是一个非常重要的概念。

在实际应用中，求解二面角大小有着广泛的应用，而向量法是求解二面角大小的一种常用方法。

本文将从向量法的角度出发，详细介绍如何求解二面角大小。

二、向量法求二面角大小的基本原理1.求出所求二面角两个面上的法向量在求解二面角大小时，首先需要找到两个平面上的法向量。

法向量是垂直于平面的向量，它可以通过计算平面上两个向量的叉积得到。

假设平面 1 的法向量为 A，平面 2 的法向量为 B，则可以通过计算向量 A 和向量 B 的叉积得到法向量 C。

2.计算 cos（法向量 1 法向量 2）/（法向量 1 的模长法向量 2 的模长）接下来，需要计算二面角大小所对应的 cos 值。

根据向量内积的定义，可以得到 cos（法向量 1 法向量 2）=（法向量 1·法向量 2）/（法向量 1 的模长*法向量 2 的模长）。

其中，法向量 1·法向量 2 表示法向量 1 和法向量 2 的内积，法向量 1 的模长和法向量 2 的模长分别表示它们的模长。

3.根据图形判断是锐二面角还是钝二面角在计算出 cos 值后，需要根据图形来判断这个二面角是锐二面角还是钝二面角。

如果 cos 值为正，那么这个二面角就是锐二面角；如果 cos 值为负，那么这个二面角就是钝二面角。

4.确定 cos 的符号在计算 cos 值时，需要注意 cos 值的符号。

如果法向量 1 和法向量 2 的内积为正，那么 cos 值为正；如果内积为负，那么 cos 值为负。

在实际计算中，需要根据具体情况来确定 cos 值的符号。

高中数学求二面角技巧
高中数学中，求解二面角是一项重要的技巧。

二面角是指两个平面相交而形成的角度，常常出现在几何题目中。

以下是一些求解二面角的技巧：
1. 使用向量法求解二面角
向量法是求解二面角的常用方法。

假设有两个平面AB和CD，且它们相交于一条直线EF。

设向量AB=n，向量CD=m，向量EF=a，则二面角θ的余弦值为：
cosθ=(n·m)/( |n|·|m| )
其中，n·m表示n和m的数量积，|n|和|m|表示向量n和向量m 的模长。

2. 利用三角函数求解二面角
如果已知二面角的两个面的斜率，可以使用三角函数求解二面角。

设两个平面的斜率分别为k1和k2，则二面角的正切值为：
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)
可以使用反正切函数求解出二面角的值。

3. 利用平面几何知识求解二面角
通过平面几何知识，可以求解出两个平面的交线与一个球面的交线，从而求解二面角。

设两个平面在点O处相交，交线为AB和CD，球心为O，球面与交线AB和CD的交点分别为P和Q，则二面角θ等
于∠POQ。

以上是求解二面角的一些常用技巧，希望对高中数学学习有所帮
助。

法向量求二面角大小的又一个简单判定方法红 岩求二面角大小问题是高考重点考察内容，法向量法是求二面角大小的一种主要方法。

我们知道：二面角大小与其两个平面的法向量夹角相等或互补。

但到底是相等还是互补，教学中很多师生采用直观判断；参考资料涉及此问题也回避不谈，文【1】（数学通讯2013教师版2）给出了一种很好的判定方法，本文给出另一种更为简单的判定方法。

一．判定方法引理：设点A 、B 分别是平面α内、外的点,→n 是平面α的法向量,当→→∙n AB >0 则→n 的方向向上。

(如图) 当→→∙n AB <0 则→n 的方向向下。

(如图)定理：一个起点、终点在不同平面上的向量，分别与这两个平面法向量的数量积，若数量积的符号相同，则这两个平面二面角的大小等于其法向量夹角的大小；若数量积的符号相反，则这两个平面二面角的大小与其法向量夹角的大小互补。

结论可记为“相同相等，相反互补”，或“同等异补”。

已知：设A 、B 分别是βα,上的点,且两点都不在平面βα,交线上（若两点中有在平面βα,交线上，则(→→∙n AB )(→→∙m AB )≠0）, →n 、→m 分别是βα,的法向量,θ为平面βα,的平面角。

证明：若(→→∙n AB )(→→∙m AB )＞0, 则θ=mn mn∙arccos ；若(→→∙n AB )(→→∙m AB )＜0, 则θ=π-mn mn ∙arccos 。

证明：⑴当→→∙n AB >0,→→∙m AB >0,根据引理，得→n 、→m 的方向如图。

βα,的平面角等于→n 、→m 的夹角，∴θ=mn mn ∙arccos⑵当→→∙n AB <0,→→∙m AB <0, 根据引理得→n 、→m 的方向如图。

βα,的平面角等于→n 、→m 的夹角，∴θ=mn mn ∙arccos⑶当→→∙n AB >0,→→∙m AB <0, 根据引理得→n 、→m 的方向如图。

用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。

而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。

向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。

根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。

一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。

2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。

二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有（图2）；2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。

2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。

四．应用举例例题1. 如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求作二面角G—EF—D半平面GEF的法向量并判断其方向。

用向量求二面角的四种方法
作者：林明成
来源：《数理化学习·高三版》2008年第12期
向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不仅是对传统方法的有力补充，而且还可以最大限度地避开思维的高强度转换和各种辅助线添加的困难，将灵活的逻辑推理转化为机械的代数运算.它降低了问题的难度，简缩了思维的过程，可操作性强.但在具体运用过程中也需针对具体问题采用不同的转化方式.
一、借助空间向量基本定理和向量夹角公式
例1 如图1，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，
SA=AB=BC=1，AD=1/2，求平面SCD与平面SAB所成锐角二面角的大小.。

空间向量二面角求法空间向量二面角是指两个非零向量之间的夹角。

在空间中，向量的方向和大小都是重要的，因此求解空间向量的二面角是一项重要的任务。

本文将介绍几种常见的方法来计算空间向量的二面角。

一、点乘法点乘法是最简单直接的方法之一。

给定两个向量a和b，它们的点乘结果可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。

通过对点乘结果进行逆余弦运算，可以得到夹角的大小。

然而，点乘法只适用于平面内的向量，对于空间向量则不适用。

二、向量投影法向量投影法是通过将一个向量投影到另一个向量上，然后计算投影向量与原向量之间的夹角来求解二面角。

具体方法是，首先计算向量a在向量b上的投影向量p，然后计算向量a与投影向量p之间的夹角θ。

这种方法适用于空间向量，但需要计算向量的投影，相对复杂一些。

三、向量叉乘法向量叉乘法是一种常用的求解空间向量二面角的方法。

给定两个向量a和b，它们的叉乘结果可以表示为|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。

通过对叉乘结果进行逆正弦运算，可以得到夹角的大小。

这种方法适用于空间向量，且不需要计算向量的投影，相对简单方便。

四、三角函数法三角函数法是一种基于三角函数的计算方法。

给定两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ=(a·b)/(∥a∥∥b∥)sinθ=∥a×b∥/(∥a∥∥b∥)tanθ=sinθ/cosθ通过上述公式，可以根据向量的点乘和叉乘结果来计算夹角的大小。

这种方法适用于空间向量，且具有较高的计算准确性。

总结：空间向量的二面角求解是一个重要的问题，涉及到向量的方向和大小。

本文介绍了几种常见的求解方法，包括点乘法、向量投影法、向量叉乘法和三角函数法。

这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法来求解空间向量的二面角。

在实际应用中，需要根据具体问题的要求和计算复杂度来选择合适的方法。

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关于利用法向量求二面角的问题（一）关于利用法向量求二面角的问题我们知道法向量是解决立体几何问题的有力工具，但是在利用法向量在求二面角的时候，求出的两个法向量的夹角是与所求二面角相等还是互补，却没有认真思考过，这个还得从两个向量的外积说起.两个向量外积的定义：两个向量a与b的外积（也称向量积）是一个向量，即为a b，它的长度（模）为| |=||||，它的方向与和都垂直，并且按,, 的顺序构成右手标架（如下图所示）若是 ，则所得向量长度与 相等，但是方向却刚好相反，所以向量外积不满足交换律.我们可以根据这个定义来确定平面法向量的方向.设平面内有三个点A(x1y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，则(x2 x1,y2 y1，z2 z1)， (x3 x1,y3 y1,z3 z1)，所以y2 y1y3 y1z2 z1z3 z1z2 z1z3 z1x2 x1x3 x1x2 x1x3 x1y2 y1y3 y1(，，），很明显，向量 可以为平面 的法向量.此时 的方向应该是垂直平面 并且向上.我们利用这个结论来求二面的大小. 说明：行列式abcdad b c，上面有关内容请参考高等代数的相关内容.如图所示，设平面 与平面 所成的二面角为 ，法向量分别为,，显然与所成的角为 ，且 ，即此时与所成的角 就是平面 与平面 所成的二面角为 ，从这里我们可以看出，只要平面 与平面 的法向量,方向一个朝向二面角的里面，一个朝向二面角的外面，求出的法向量的夹角即为所求二面角.那怎样做到这一点呢？那就要用到我们前面所讲到的右手标架.如图，我们来求平面与平面 所成的二面角 ，设 (x1,y1,z1)，AC (x2,y2,z2)，x1y1z1x1y1z1，且设z若x1y1x2y2，yz1x1z2x2，xy1z1y2z2x2y2z2x2y2z2则平面 的一个法向量 (x,y,z)，根据右手标架应该是竖直向上，即朝向这个二面角的外面，此时我们求平面 的法向量方向应该是朝向二面角的里面.设 (x3,y3,z3)， (x4,y4,z4),要使平面 的法向量方向朝向二面角的里面，根据右手标架，我们计算应该是 ，若x4y4z4x4y4z4x3y3z3x3y3z3，并且设cx4y4x3y3b ，x4y4x3y3，ay4z4y3z3，则平面 的一个法向量 (a,b,c)根据右手标架，此时n的方向就是朝向二面角的外面.那么m与n的夹角即为所求二面角.cosxa y b z cx y z a b c22222当然，这里需要注意的是，我们这里建立的空间直角坐标系一定要是右手直角坐标系.利用向量求二面角大小的又一方法（二）利用向量求二面角大小的又一方法福建南安国光中学黄耿跃文[1]给出一种判定“二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系”,读完这篇文章后,获益匪浅.笔者通过研究给出另一种利用向量求二面角大小的可行性方法,此法可以避免产生二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系误判,而且思路更直观、清晰.定理1如下左图已知二面角αLβ的平面角为θ,A∈α且AL,B∈β且BL,AM⊥L于MJJJ,BNGJJJ⊥L于N,则cosθ=|JJJJGMANBMA||JJJJNBG|.由二面角的平面角的定义易证定理1.定理2如上右图,空间任意一条直线L,A,B是直线L上的两个点,M是空间任意一点,MN⊥L于N,则JJJJNMG=JJJJAMGJJJJAGJJJG|JJJJMABJJJGABG|2AB.证明∵向量JJJGAN为JJJJAMG在JJJABG影向量,设GJJJ方向上的投e=JJJJJABGJJJGJJJJG|ABG|为AB方向的单位向量,JJJJ∴JJJGAN=AMJJJABGGAMGJJJABGJJJ|JJJJABG|e=ABG,|JJJJJABG2∴JJJJNMG=JJJJAMGJJJGJJJJ|GJJJGAN=JJJJAMGAMABJJJG|JJJJJAB.ABG|2例1(2004湖南理19)如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(I)证明:PA⊥平面ABCD;(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小;(III)在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC？证明你的结论.解(I)略;(II)以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过点A垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如右图.则A(0,0,0),c(32a,12a,0),JDJG=(0,a,0),E(0,2JJJ3a,13a),于是AEG=(0,23a,13a),JJJGAC=(31JJJG2a,2a,0),AD=(0,a,0).作EM⊥AC于M,DN⊥AC于N,则由定理1JJJJ得MEG:与JJJGND所成的角的大小为EAC与DAC为面的二面角θ的大小.由定理2可得JJJJMEG=JJJAEGJJJJAMG=JJJAEGJJJAEGJJJG|JJJACGACJJJG|2AC121a2=(0,a,a)3333a2(12a,2a,0)=(36a,12a,13a).JJJGND=JJJGADJJJGAN=JJJGJJJADADGJJJG |JJJACGACJJJG|2AC12=(0,a,0)2aa2(32a,12a,0)=(34a,34a,0),JJJJG∴cosθ=MEJJJNDG|JJJMEJG||JJJGND|293a2+3a2=248342=2.6a34a∴以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小为30°.例2(2004浙江)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(I)求证AM⊥平面BDF;(II)求二面角ADFB的大小.解(I)略.(II)如图建立空间直角坐标Cxyz,∵A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,∴JJJG2,1).DF=JJJDBGJJJDA=G(0,2,1),(0,2,0),JJJG=(2,2,0),DF=(0,2,1).作AM⊥DF于M,BN⊥DF的延长线于N,JJJG则由定理1得:MA与JJJNBG所成的解θ的大小为二面角ADFB的大小.由定理2可得:JJJGMA=JJJDAGJJJJDMG=JJJDAGJJJDAGJJJG DFJJJG|JJJGDF|2DF=(0,2,0)23(0,2,1)=(0,2,2),JJJNBG=JJJGDBJJJJDNGJJJG 3JJJG3=JJJDBGDBDFJJJG|JJJGDF|2DF=(2,2,0)2(0,2,1)/3=(2,JJJG2JJJ/3,2/3),cosθ=MANBG|JJJGMA||JJJNBG|6=91(6/3)(24/3)=2.∴二面角ADFB的大小为60°.例3(2005福建)如图,直二面角30DABE中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(I)求证:AE⊥平面BCE;(II)求二面角BACE的大小;(III)求点D到平面ACE的距离.解(I)略;(Ⅱ)如图所示,以线段AB的中点原点O,OE所在的直线为x 轴,AB所在的直线为y轴,过O作平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2)B(0,1,0)JJJG=JJJ(0,2,2),JJJAEG,AC=(1,1,0),ABG=(0,2,0).作BM⊥AC于M,EN⊥AC理1得,JJJ于NEGN,则由定与JJJGMB所成的角θ的大小为二面角BACE的大小由定理JJJ2得NEG=JJJAEGJJJG=JJJAEGJJJANAEGJJJG|JJJACGACJJJ|2ACG=(1,1,0)2(0,2,2)=11JJJG2),MB=JJJ8(0,2,ABGJJJJGJJJAGMJJJG=JJJABGAB|JJJACJJJGACG|2AC=(0,2,0)4(0,2,2)=(0,1,1)JJJGJJJG8,cosθ=NEMB13|JJJNEG||JJJGMB|=3=3,22∴二面角BACE的大小为arccos33.参考文献[1]郑剑晖,郑毓青.二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系判定.2005.1.利用空间向量求二面角的判定方法（三）利用空间向量求二面角的判定方法法一：若点A、B分别为二面角α−l−β的两个半平面α与β上的任两点，且A∉l,B∉l，n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（ABn1）（ABn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角相等；（2）当（ABn1）（ABn2）互补；l法二：若点P为二面角α−l−β的棱l上的任一点，Q 为两个二面角α−l−β内的任一点, n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（PQn1）（PQn2）相等；（1）当（PQn1）（PQn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角互补；l利用法向量求二面角的正负（四）利用法向量求二面角的平面角授课教师：陈诚班级：高二（14）班时间：2010-01-14 【教学目标】1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关的简单问题。