其中τn和τp分别是过剩电子和过剩空穴的寿 命，通常也将其称为过剩少数载流子的寿命。过 剩电子的产生率和过剩空穴的产生率必须相等， 我们可以将其定义为过剩载流子的产生率，即：
在小注入条件下，少数载流子的寿命通常 是一个常数，因此对于P型半导体材料来说，小 注入条件下的双极输运方程可表示为：
式中δn是过剩少数载流子电子的浓度，而 τn0则是小注入条件下少数载流子电子的寿命。 类似地，对于N型半导体材料来说，小注入 条件下的双极输运方程同样可表示为：
假设电子和空穴的热产生率分别为Gn0和Gp0，其 单位为cm-3·s-1，对于导带与价带之间的产生过 程，电子和空穴都是成对产生的，因此有：
与此类似，假设电子和空穴的复合率分别为Rn0 和Rp0，其单位也是cm-3·s-1，对于导带与价带之 间的直接复合过程来说，电子和空穴也是成对 复合掉的：
在热平衡状态下，电子和空穴的浓度不随时间 改变，即达到动态平衡，因此有：
电子和空穴的连续性方程可进一步变换为下述 形式：
注意在上述两个时间相关的扩散方程中，既包含 与总的载流子浓度n、p相关的项，也包含仅仅与 过剩载流子浓度δn、δp相关的项。
因此上述两式就是在掺杂和组分均匀的条 件下，描述半导体材料中过剩载流子浓度随着 时间和空间变化规律的方程。
§6.3 双极输运过程 如果在有外加电场存在的情况下，在半导 体材料中的某一点处产生出了一个脉冲的过剩 电子和一个脉冲的过剩空穴，此时这些过剩电 子和过剩空穴就会在外加电场的作用下朝着相 反的方向漂移. 但是,由于这些过剩电子和过剩空穴都是带 电的载流子，因此其空间位置上的分离就会在 这两类载流子之间诱生出内部电场，而这个内 建电场又会反过来将这些过剩电子和过剩空穴 往一起拉，即内建电场倾向于将脉冲的过剩电 子和过剩空穴保持在同一空间位置。
式中δp是过剩少数载流子空穴的浓度，而 τp0则是小注入条件下少数载流子空穴的寿命。
最后特别需要指出的是，对于上述两个双 极输运方程来说，其中的参数都是少数载流 子的参数。这两个双极输运方程描述了过剩 少数载流子随着时间和空间的变化而不断发 生漂移、扩散和复合的规律。再根据电中性 原理，过剩少数载流子浓度与过剩多数载流 子浓度相等，因此过剩多数载流子与过剩少 数载流子一起进行扩散和漂移，即过剩多数 载流子的行为完全由少数载流子的参数决定。
2. 过剩载流子的产生与复合 当有外界激发条件（例如光照）存在时， 将会把价带中的一个电子激发至导带，从而产 生了一个电子－空穴对，这些额外产生出的电 子和空穴就称为过剩电子和过剩空穴。
过剩电子和过剩空穴一般是由外界激发条件 而产生的，其产生率通常记为gn'和gp'，对于 导带与价带之间的直接产生过程来说，过剩电 子和过剩空穴也是成对产生的，因此有：
其中第一项αrni2为热平衡时的产生率。由于 过剩电子和过剩空穴总是成对产生的，即：
在小注入的条件下，上述方程很容易求解。 对于非本征的N型半导体材料，通常n0>>p0；而对 于非本征的P型半导体材料，则有p0>>n0，小注入 条件也就是过剩载流子的浓度远远低于热平衡时 多数载流子的浓度。反之，大注入条件(接近或超 过)
这两个电流密度公式中都分别包含了漂移电 流项和扩散电流项。如果我们将上述两式分别 除以电子的电量e，则可得到：
对上述两式求散度（此处即对x求导数），并 代回到电子和空穴的连续性方程中，即可得到：
由于电子和空穴的浓度中既包含热平衡时 的载流子浓度，也包含非热平衡条件下的过剩 载流子浓度，而热平衡时的载流子浓度n0、p0 一般不随时间变化，对于掺杂和组分均匀的半 导体材料来说，n0和p0也不随空间位置变化， 因此利用下述关系：
1.泊松方程 我们已经提到连续性方程描述了过剩载流 子浓度随着时间和空间的变化规律，但是我们 还需要增加一个方程来建立过剩电子浓度及过 剩空穴浓度与内建电场之间的关系，这个方程 就是泊松方程，其表达式为：
其中εS是半导体材料的介电常数。为了便 于联立求解上述方程组，我们需要做适当的近 似。可以证明，只需很小的内建电场就足以保 证过剩电子和过剩空穴在一起共同漂移和扩散， 因此我们可以假设：
尽管内建电场很小，但是其散度却未必能够 忽略不计。
为了确保内建电场的存在，以便使得过剩电 子和过剩空穴能够在一起共同漂移和扩散，只 需很小的过剩电子和过剩空穴的浓度差。可以 证明，过剩电子浓度δn和过剩空穴浓度δp只 要有1％的差别，其引起的内建电场散度就不 可以忽略，此时有：
2. 双极输运方程
一般情况下，半导体中的电子和空穴总是 成对产生的，因此电子和空穴的产生率总是相 等的，即：
第六章 半导体中的非平衡过剩载流子
本章学习要点： 1. 了解有关过剩载流子产生与复合的概念； 2. 掌握描述过剩载流子特性的连续性方程； 3. 学习双极输运方程，并掌握双极输运方程的 几个典型的应用实例； 4. 建立并深刻理解准费米能级的概念； 5. 了解表面效应对过剩载流子复合的影响，并 掌握其定性分析的方法。
（2）通过复合中心的间接产生与复合过程：
（3）俄歇复合过程（三粒子过程）：
能量守恒和动量守恒的考虑： 直接带隙半导体材料 间接带隙半导体材料
声子参与
§6.2 连续性方程
过剩载流子的产生率和复合率无疑是非常 重要的描述非平衡过剩载流子特性的参数，但 是在有电场和浓度梯度存在的情况下，过剩载 流子随着时间和空间位置的变化规律也具有同 样的重要性。 连续性方程： 考虑一个微分体积元，一个一维空穴粒子 流的通量在x处进入微分体积元，又在x+dx处离 开微分体积元。空穴粒子流的通量为Fpx+，其单 位是cm-2s-1，则有下式成立：
当有过剩载流子产生时，电子的浓度和空穴 的浓度就会高出热平衡时的浓度，即：
其中n0和p0分别是热平衡状态下导带电子和价带 空穴的浓度，δn和δp分别是过剩电子和过剩空 穴的浓度。 右图所示 就是由光 激发所引 起的过剩 电子和过 剩空穴的 产生过程
当有过剩载流子产生时，外界的激发作用就 已经打破了热平衡状态，电子和空穴的浓度也 不再满足热平Fra Baidu bibliotek时的条件，即：
§6.1 载流子的产生与复合 所谓载流子的产生，即把一个价带电子激 发至导带，形成一对可以参与导电的电子－空 穴对的过程；所谓载流子的复合，即一个导带 电子跃迁至价带，使得一对本来可以参与导电 的电子－空穴对消失的过程。
1. 热平衡状态下的半导体材料 对于处于热平衡状态的半导体材料来说，其 中电子和空穴的浓度不随时间发生变化。但是 这只是一种动态平衡，在半导体材料中仍然不 断地存在着大量电子－空穴对的产生过程，同 时也存在着大量电子－空穴对的复合过程。
此外，电子和空穴也总是成对复合的，因此 电子和空穴的复合率也总是相等的，即：
上式中的载流子寿命既包括了热平衡载流子的 寿命，也包括了过剩载流子的寿命。如果我们 继续沿用电中性条件，则有： 利用上述条件，我们可以把电子和空穴的连续 性方程进一步简化为下述形式：
上式通常称为双极输运方程，它描述了过剩电子 浓度和过剩空穴浓度随着时间和空间的变化规律， 其中的两个参数分别为：
对于N型半导体材料，在小注入条件下，少数载 流子空穴的浓度将以时间常数τp0进行衰减。
τp0称为过剩少数载流子的寿命。此时多数载流 子电子和少数载流子空穴的复合率也完全相等， 即：
一般而言，过剩载流子产生率通常与电子或空 穴的浓度无关。
讨论过剩载流子产生和复合过程常用的符号
3. 产生与复合过程 （1）带与带之间的产生与复合过程：
由此可见对于P型半导体材料和小注入条 件，双极扩散系数和双极迁移率分别简化为少 数载流子电子的扩散系数和迁移率，它们都为 常数，因此双极输运方程也简化为一个系数为 常数的线性微分方程。
同样如果我们考虑的是一块N型半导体材料并 假定n0>>p0，仍然采用小注入条件，即δn<<n0， 与上述分析类似，此时双极扩散系数可简化为
我们已经介绍了处于热平衡状态下的半导 体材料。当有外加电压时，或者有电流流过半 导体器件时，半导体材料实际上就处于一种非 热平衡状态。 非热平衡状态：半导体材料处于外界作用 力下的一种状态。 本章中将讨论非平衡的过剩载流子随着空 间位置和时间的变化关系，这也是研究PN结稳 态特性和双极型晶体管特性所必不可少的
和热平衡时一样，过剩电子也会不断地和过 剩空穴相复合。假设过剩电子和过剩空穴的复 合率分别为Rn'和Rp'，由于过剩电子和过剩空 穴也是成对复合掉的，因此有：
下图所示为半导体材料中过剩载流子的复合过 程，如果撤掉外界作用，由于过剩载流子的复 合作用，非热平衡状态将会逐渐地向热平衡状 态恢复。
对于导带与价带之间的直接复合过程来说， 电子发生复合的速率既与电子的浓度成正比， 也与空穴的浓度成正比，因此有：
3. 非本征掺杂与小注入条件的限制 对于上述非线性的双极输运方程，我们可以 利用非本征半导体材料和小注入条件来对其进行 简化和线性化处理。
其中n0和p0分别是热平衡时的电子和空穴浓 度，δn则是过剩载流子浓度。如果我们考虑P型 半导体材料并假定p0>>n0，所谓小注入条件，即 过剩载流子浓度远小于热平衡时的多数载流子浓 度，亦即δn<<p0，再假设Dn、Dp处于同一个数量 级，由上式，双极扩散系数可简化为：
其中p为空穴的浓度，上式右边第一项是由 于空穴粒子流的通量而引起的单位时间内空穴的 增加量，
第二项则是由于空穴的产生作用而引起的 单位时间内空穴的增加量，而第三项则是由于 空穴的复合作用而引起的单位时间内空穴的减 少量。上式中空穴的复合率表示为p/τpt，其中 τpt既包含热平衡载流子寿命，又包含过剩载流 子寿命。将上式两边分别除以微分体积元的体 积，则有：
上式即称为一维条件下的空穴连续性方程。
类似地可以得到一维条件下的电子连续性方程为：
式中Fn－为电子粒子流的通量，其单位也是 cm-2s-1，电子的复合率表示为n/τnt，其中τnt既 包含热平衡载流子寿命，也包含过剩载流子寿命。 在第五章中我们曾经推导出了空穴的电流密度 方程和电子的电流密度方程，它们分别为：
因此单位时间内由于x方向空穴粒子流的通 量而导致微分体积元中空穴的净增量为：
假如Fpx+(x)>Fpx+(x+dx)，则微分体积元中 净的空穴数量将随着时间而不断增加。如果我 们将上式推广到一般的三维情形，则上式变为：
除了空穴粒子流的通量之外，空穴的产生率 和复合率同样也会影响微分体积元中空穴的浓度， 因此考虑空穴的产生和复合效应之后，单位时间 内微分体积元中空穴的净增量为：
D’和μ’分别称为双极扩散系数和双极迁移率。 根据扩散系数和迁移率之间的爱因斯坦关系，
由上述公式可见，双极扩散系数D’和双极 迁移率μ’均为载流子浓度的函数，又因为载流 子浓度n、p中都包含了过剩载流子的浓度δn ， 因此双极输运方程中的双极扩散系数和双极迁 移率都不是常数，由此可见，双极输运方程是 一个非线性的微分方程。
D' , '
需要指出的是 D' , ' 是一个等效的概 念，只有在研究载流子分布时被引用。在考 虑电子流或空穴流时决不能用 D' , ' ，而 用 Dn , n和Dp , p
对于双极输运方程来说，剩下的两项就是产生 率和复合率。对于P型半导体材料来说，则有：
而对于N型半导体材料来说，则有：
由于过剩电子和过剩空穴相互分离所诱生 的内部电场示意图：
考虑上述内建电场之后，上一节中导出的 电子和空穴的连续性方程中的电场则应同时包 含外加电场和内建电场，即：
其中Eapp为外加电场，而Eint则为内建电场。 由于内建电场倾向于将脉冲的过剩电子和过剩空 穴保持在同一空间位置，因此这些带负电的过剩 电子和带正电的过剩空穴就会以同一个等效的迁 移率或扩散系数共同进行漂移或扩散运动。这种 现象通常称为双极扩散或双极输运过程。
对于P型半导体，在小注入条件下上述方程变为
此方程的解为一个指数衰减函数：
对小注入条件来说，τn0是一个常数，上式反 映了过剩少数载流子电子的衰减过程，因此τn0 也称为过剩少数载流子的寿命。微秒数量级
过剩少数载流子电子的复合率（通常其定义为 一个正值）则可以表示为：
对于带与带之间的直接复合过程来说，过剩多 数载流子空穴也将以同样的速率发生复合，即：
