高中第二册(下A)数学排列与组合

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1 / 4 排列与组合

[考点指津]

能正确地运用分类计数、分步计数原理合理地进行分类与分步，掌握解排列、组合综合题的一般方法．

[知识在线]

1、四个不同的小球全部放入三个不同的盒子里，使每个盒子都不空的取法种数为

〔 〕

A、A13A34 B、C24A23 C、C34A22 D、C14C34C22

2、由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，百位数字最大，万位数字比千位数字小，个位数字比十位数字小，这样的五位数的个数为 〔 〕

A、12 B、6 C、8 D、4

3、nC2nA1n1n是以下哪一个问题的答案 〔 〕

A、n个不同的球放入n个有编号的盒子中，只有一个盒子是空的放法种数；

B、n个不同的球放入有编号的n个盒子中，只有两个盒子是空的放法种数；

C、n个不同的球放入有编号的n个盒子中，只有一个盒子放两个球的放法种数；

D、n个不同的球放入有编号的n个盒子中，有两个盒子各放入两个球的放法种数．

4、由100名乒乓运动员参加比赛，采取输一场即予淘汰的淘汰制，决出冠军共需要排比赛场．

5、〔2000某某春季高考〕有n〔n∈N〕件不同的产品排成一排，假设其中A、B两件产品排在一起的不同排法有48种，那么n =．

[讲练平台]

例1 有9名同学排成两行，第一行4人，第二行5人，其中甲必须排在第一行，乙、丙必须排在第二行，问有多少种不同排法？

解可分二步，第一步先从甲、乙、丙以外的6人中选出3人，将这3人连同甲排在第一行，有C36A44种排法；第二步，将剩余的3人连同乙和丙共5人排在第二行，有55A种排法，由乘法原那么，共有C36A4455A种排法．

点评 从上解法表达了先组后排的原那么，分步先确定两排的人员组成，再在每一排进行排队，这是处理限制条件较多时的行之有效的方法． word

2 / 4 例2 从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？

解法一 问题分成三类

〔1〕甲乙二人均不参加，有A44种；〔2〕甲、乙二人有且仅有1人参加，有2C34〔A44A33〕种；〔3〕甲、乙二人均参加，有C24〔A442A33+A22〕种，故共有252种．

解法二 六人中取四人参加的种数为A46，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有3512AC种，因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A24减去了两次，故共有A46C12A35+A24=252种．

点评 对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种．

例3 有6本不同的书：〔1〕全部借给5人，每人至少1本，共有多少种不同的借法？〔2〕全部借给3人，每人至少1本，共有多少种不同的借法？

解 〔1〕有6本书中某两书合在一起组成5份，借给5个人，共有C26A55=1800种借法．

〔2〕将6本书分成三份有3种分法，第一种是一人4本，一人1本，一人1本；第二种是一人3本，一人2本，一人1本；第三种是每人各2本；然后再将分好的三份借给3个人，有〔ACCC22111246+C36C23+ACCC33222426〕·A33=540种借法．

点评 要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数．

例4 在一X节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法？

解法一 添加的三个节目有三类办法排进去：

〔1〕三个节目连排，有C17A33种方法；〔2〕三个节目互不相邻，有A37种方法；〔3〕有且仅有两个节目连排，有C13C17C16A22种方法．

根据分类计数原理共有C17A33+A37+C13C17C16A22=504种．

解法二 从结果考虑，排好的节目表中有9个位置，先排入三个添加节目有A39种方法，余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法，故所求排法为A39=504种．

点评 插空法是处理排列、组合问题常用的方法．

例5 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，假设所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，那么这样的测试方法有多少种可能？ word

3 / 4 解C14〔C16C33〕A44=576，第5次必测出一次品，余下3只在前4次被测出，从4只中确定最后一次品有C14种方法，前4次中应有1正品、3次品有C14C33种，前4次测试中的顺序有A44种，由分步计数原理即得．

点评 此题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素〔即组合〕后排列．

[知能集成]

1、解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理．

2、对于较难直接解决的问题那么可用间接法，但应做到不重不漏．

3、对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用分析答案形式用排除法，错误的答案，都是犯有重复或遗漏的错误．

[训练反馈]

1、将4本不同的书分给3个学生，每人至少1本，不同的分配方法的种数是〔 〕

A、C14C14A33 B、C24A33 C、3A34 D、3A33

2、从5名男同学和4名女同学中选3名男同学和2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理和化学科代表，选派方法的种数为 〔 〕

A、C35C24 B、C35C24A55 C、A35A24 D、〔C35+C24〕A55

3、在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点亮方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式 是 〔 〕

A、28种 B、84种 C、180种 D、360种

4、〔2000京、皖春季高考〕从单词“equation〞中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu〞〔其中“qu〞相连且顺序不变〕的不同排列共有〔 〕

A、120个 B、480个 C、720个 D、840个

5、在6名女同学与5名男同学中，选3名男同学和3名女同学，使男女相间排成一排，不同的排法总数为 〔 〕 word

4 / 4 A、2A36A35 B、2C35C36A66 C、A36A35 D、C36C35A66

6、5件不同的奖品分发给4个先进工作者，每人至少一件，那么不同的分配方法有种．

7、从5名侯选队员中选3人分别参加数、理、化三项比赛，其中甲必定参加的不同选派方法有C34A33=种．

8、从1、2、3、4、5、6这六个数字中，选取2个奇数，2个偶数，组成无重复数字的四位偶数共有C23C23A12A33= 个．

9、有4个男学生和6个女学生，从中选出5人去做5种不同的工作，如果规定男生必须比女生多，那么不同的选法有种．

10、18人的旅游团要选一男一女参加生活服务工作，有二老年男人不在推选之列，共有64种不同选法，问这个团中男女各几名？

11、直线x =1，y = x将圆x 2+y 2= 4分成四块，用5种不同的颜料给四块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？

12、有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合以下条件的选法数：

〔1〕有女生但人数必须少于男生．

〔2〕某女生一定要担任语文科代表．

〔3〕某男生必须包括在内，但不担任数学科代表．

〔4〕某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数 学科代表．