1.2.1 排列（一）
课后导练
基础达标
1.判断下列问题是否是排列问题：
(1)从2、3、5、7、11中任取两数相乘可得多少不同的积?
(2)从上面各数中任取两数相除，可得多少不同的商?
(3)某班共有50名同学，现要投票选举正副班长各一人，共有多少种可能的选举结果?
(4)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出来，不同的出入方
式共有多少种?
解析：(1)不是 (2)是 (3)是 (4)是
2.写出下面问题中所有可能的排列.
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数?
(2)A、B、C、D四名同学站成一排照相，写出A不站在两端的所有可能的站法，共有多少种?
解析：(1)所组成的两位数是：12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43共12
个.
(2)所有可能的站法为：BACD、BADC、BCAD、BDAC、CABD、CADB、CBAD、CDAB、DACB、DABC、DBAC、DCAB共12种.
3.从0，3，4，5，7中任取三个数分别作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项，则可做出的不同方程的个数是( )
A.10 B.24 C.48 D.60
解析：由于二次项系数不能为0，故只能从3，4，5，7中任选一个，其他两个系数没有限制，故共可做出14A·24A=48(个)不同的方程.
答案：B
4.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )
A.720种 B.360种 C.240种 D.120种
解析：因甲、乙两个要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有55A种排法，但甲、乙两人之间有22A种排法，由乘法原理可知，共有55A·22A=240种不同排法.选(C)
第2课时 组合的综合应用
学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．
知识点 组合的特点
(1)组合的特点是只取不排
组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．
(2)组合的特性
元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．
(3)相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．
类型一 有限制条件的组合问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
解 (1)C513－C511＝825(种)
(2)至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生；只有1名女生；没有女生，
所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．
(3)分两类：
第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，
第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法．
反思与感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：
一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；
二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )
1.2.1 排列
问题导学
一、排列数公式的应用
活动与探究1
1．计算：(1)2A34＋A25；(2)A88A58．
2．化简：Amn＋mAm－1n．
迁移与应用
1．(2013江苏南京模拟)方程：A42x＋1＝140A3x的解是__________．
2．化简Am－1n－1·An－mn－mAn－1n－1＝__________．
应用排列数公式时应注意以下几个方面：
(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．
(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．
(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．
二、排列的概念与简单的排列问题
活动与探究2
1．判断下列问题是否为排列问题：
(1)从1,2,3,4,5中任取两个数相加，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相减，其结果有多少种不同的可能？
(3)有12个车站，共需要准备多少种普通票？
(4)从10个人中选2人分别去植树和种菜，有多少种不同选法？
(5)从10个人中选2人去参加座谈会，有多少种不同选法？
2．(1)若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )
A．180种 B．360种 C．15种 D．30种
(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面(旗的颜色无重复)，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示__________种不同的信号．
迁移与应用
1．某年全国足球联赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共进行比赛__________场．
2．判断下列问题是否是排列问题，若是排列问题，求出对应的排列数．
(1)从1,2,3,4,5中任取两个数组成两位数，有多少个这样的两位数？
第一章 计数原理
1.2 排列与组合
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
A．9 B．12
C．15 D．3
【答案】A
【解析】由题得.故答案为A．
2．若，则的值为
A．1 B．7
C．20 D．35
【答案】D
【解析】若，则有n=3+4=7，故!7!3!3!3!4!nn=35，故选D．
3．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么不同的分法一共有
A．A45种 B．45种
C．54种 D．C45种
【答案】D
【解析】由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C45种，故选D.
【名师点睛】区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题．而要判断它是否有顺序的方法是：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．
4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆
A．220个 B．210个
C．200个 D．1320个
【答案】A
【解析】由题意可得，过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆，所以过这12个点中的每三个作圆，共可作圆C312＝220个，故选A．
【名师点睛】解决此题必须熟练掌握圆的相关知识，将其转化为排列、组合问题进行求解.
5．某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有
A．12种 B．24种
C．36种 D．72种
【答案】C
【解析】由题意可知,从4人中任选2人作为一个整体,共有24C=6(种),再把这个整体与其他2人进行全排列,对应3个活动小组,有33A=6(种)情况,所以共有6×6=36(种)不同的报名方法.
