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公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.4 空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2一、选择题（每小题5分,共20分）1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点解析：不共线的三点可以确定一个平面，排除A;四边形可以是空间四边形，排除B；根据公理3可以知道D不正确，故选C。
答案: C2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析: 公理是不用证明的，定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．答案：A3．两个不重合的平面可把空间分成( ）A．3部分B．4部分C．3或4部分D．2或3部分解析：当两个平面平行时把空间分成3部分;当两个平面相交时把空间分成4部分．答案: C4．有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内；②三条平行直线必共面；③有三个公共点的两个平面必重合；④平面外的一条直线和平面没有公共点．其中,正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析: 梯形是一个平面图形，所以其四个顶点在同一个平面内，则①正确；两条平行直线确定1个平面，三条平行直线确定1个或3个平面，则②错；三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上，则③错;平面外的直线可能和平面相交，故④错．答案：B二、填空题(每小题5分，共10分）5．如果三个平面把空间分成六部分,那么这三个平面的位置关系是________．解析：由于三个平面把空间分成六部分,那么结合空间中面面的位置关系可知要么是三个平面相交于同一直线，要么是一个平面与另两个平行平面相交．答案: 三个平面相交于同一条直线或一个平面与另两个平行平面相交6．如图,在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：观察图形，可知①③错误，②④正确．答案：②④三、解答题（每小题10分，共20分)7．已知a,b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线,那么a与c有怎样的位置关系?并画图说明．解析：直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面，如图(1）（2)（3）．8．如图所示，△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,如果三条直线AA1，BB1,CC1两两相交，求证:三条直线AA1，BB1，CC1交于一点.证明：设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分别确定平面α，β,γ，AA1与BB1的交点为P,因为P∈AA1，P∈BB1，AA1平面β,BB1平面α，所以P∈平面α，P∈平面β，即P∈α∩β。
4.1 空间图形基本关系的认识4.2 空间图形的公理(一)学习目标 1.理解空间中点、线、面的位置关系(重点)；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念(重点)；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题(重、难点).知识点一点、线、面之间的位置关系一些文字语言与数学符号的对应关系：位置关系图形表示符号表示点与直线的位置关系点A在直线a外A?a点B在直线a上B∈a点与平面的位置关系点A在平面α内A∈α点B在平面α外B?α直线与直线的位置关系平行a∥b 相交a∩b＝O 异面a与b异面直线与平面的位置关系线在面内aα线面相交a∩α＝A 线面平行a∥α平面与平面的位置关系面面平行α∥β面面相交α∩β＝a 异面直线不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线【预习评价】(1)若A∈a，aα，是否可以推出A∈α？提示根据直线在平面内定义可知，若A∈a，aα，则A∈α.(2)长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪些位置关系？提示顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上，或不在棱上；顶点和6个面的关系是在面内，或在面外.(3)长方体的棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交.知识点二平面的基本性质及作用公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?lα既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α，使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l一是判断两个平面相交的依据；二是证明点共线问题的依据；三是证明线共点问题的依据【预习评价】(1)两个平面的交线可能是一条线段吗？提示不可能.由公理3知，两个平面的交线是一条直线.(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.题型一三种语言间的相互转化【例1】用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②．规律方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.【训练1】如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，aα，bβ，a∩l＝P，b∩l＝P.题型二空间点、线、面的位置关系【例2】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于点M，则下列说法中正确的是( )①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交；③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行；④直线AC与平面A1B1C1D1相交；⑤直线BC与A1B1异面.A.①③④B.①②⑤C.①③⑤D.②③④⑤解析①中，点M是直线AC与BD的交点，点M在直线AC上，点B显然在直线A1B1外，故①正确；②中，直线AC与A1D1异面，故②错误；③中，两平面没有公共点，即互相平行，故③正确；④中，直线AC与平面A1B1C1D1平行，故④错误；⑤中，直线BC与A1B1既不平行也不相交，只能为异面，故⑤正确.答案 C规律方法(1)正确理解点、线、面之间的位置关系.(2)异面直线是一种特殊的关系，它们不同在任何一个平面内.(3)通过观察图形，能够更准确地判断点、线、面的位置关系. 【训练2】正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )A.3条B.4条C.6条D.8条解析与AC1异面的棱是A1B1，DC，BC，A1D1，BB1，DD1.答案 C方向1 共面问题【例3－1】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内.证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2α，∴A∈α.∵A∈l2，l2β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.方向2 点共线问题【例3－2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.证明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD平面ABCD，AB平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN平面ABCD，∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1，∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线.方向3 线共点问题【例3－3】如图所示，在四面体A－BCD中，E，G分别为BC，AB 的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点.证明∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC.又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，∴FH∥AC，从而FH∥GE.故E，F，H，G四点共面.∵FH∥AC，DH∶DA＝2∶5，∴FH∶AC＝2∶5，即FH＝25 AC.又∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE＝12AC，∴FH≠GE，∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点，设为O.∵O∈GH，GH平面ABD，O∈EF，EF平面BCD，∴O在平面ABD内，又在平面BCD内，∴O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，∴点O在直线BD上.故EF，GH，BD交于一点.规律方法(1)证明点、线共面问题：一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内.(2)证明点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(3)证明三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.课堂达标1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是( )A.黑板面B.乒乓球桌面C.篮球的表面D.平静的水面解析平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面和平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.答案 C2.若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为( )A.M∈a，a∈αB.M∈a，aαC.M a，aαD.M a，a∈α解析点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”.答案 B3.设平面α与平面β相交于l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则M________l.解析因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l. 答案∈4.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.解析因为P∈AB，AB平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.答案P∈直线DE5.已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴lα.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理lβ.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.课堂小结1.三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据.2.证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上.3.证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用.4.证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.基础过关1.下列命题中正确的是( )A.空间三点可以确定一个平面B.三角形一定是平面图形C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D.四条边都相等的四边形是平面图形解析共线的三点不能确定一个平面，故A错；两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的，故C错；四边都相等的四边形可以是空间四边形.答案 B2.下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是( )解析A中没有画出平面α与平面β的交线，也没有完全按照实、虚线的画法法则作图，故A不正确；B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确.答案 D3.如图，平面α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β且C?l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ是( )A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上都不对解析由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.答案 C4.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确的个数是________.解析命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱.命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上.命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内.所以正确命题的个数为0.答案05.如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是________.解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB平面ABCD，C1D1平面A1B1C1D1，C1D1平面CDD1C1，AB∥C1D1，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面CDD1C1相交.答案平行或相交6.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.7.如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点.证明因为γ∩α＝b，β∩γ＝a，所以aγ，bγ.因为直线a和b不平行，所以a，b必相交.设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.因为aβ，bα，所以P∈β，P∈α.又因为α∩β＝c，所以P∈c，即交线c过点P.所以a，b，c三条直线相交于同一点.能力提升8.空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )A.0B.1C.1或4D.无法确定解析空间不共线四点可以确定的平面个数可以是1或4，它取决于四个点的相互位置关系. 答案 C9.一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )A.1个或3个B.1个或4个C.1个，3个或4个D.1个，2个或4个解析若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面.答案 C10.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.答案(1)4 (2)711.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.答案3612.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1相交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.所以BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1.又因为A1C平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1.所以Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线.13.(选做题)三个平面将空间分成几部分？请画出图形.解(1)当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)时，将空间分成4部分，如图①所示.(2)当平面α与平面β平行，平面γ与它们相交(即α∥β，γ与其相交)时，将空间分成6部分，如图②所示.(3)当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线重合时，将空间分成6部分，如图③所示.(4)当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成8部分，如图④所示.(5)当平面α、平面β、平面γ两两相交，且三条交线平行时，将空间分成7部分，如图⑤所示.。
【关键字】数学
4．1 空间图形基本关系的认识
4．2空间图形的公理(一)
学习目标 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论．
知识点一空间图形的基本位置关系
对于长方体有12条棱和6个面．
思考1 12条棱中，棱与棱有几种位置关系？
思考2 棱所在直线与面之间有几种位置关系？
思考3 六个面之间有哪几种位置关系．
梳理
思考1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么？
思考2 一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？
思考3 教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？
梳理(1)空间图形的公理
________，________，
且______，________
⇒lα
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．
推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．
推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．
类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
追踪训练1 用符号语言表示下列语句，并画成图形．
(1)直线l经过平面α内两点A，B；
(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；
(3)直线l既在平面α内，又在平面β内；
(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．
类型二平面的基本性质的应用
例2 如图，已知：aα，bα，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQα.
引申探究
将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．
反思与感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．
追踪训练 2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D，DA三线交于一点．
反思与感悟(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
追踪训练3 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线．
1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )
A.A∈l，l∉α
B.A∈l，l α
C.A l，l∉α
D.A l，l α
2．满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线aα，直线bβ且a∥AB，b∥AB的图形是( )
3．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lα
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C.lα，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合
4．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
5．如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，判断AC是否在平面α内．
1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 相交，平行，既不平行也不相交．
思考2 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．
思考3 平行和相交．
梳理a∩b＝O aαa∩α＝A a∥α
α∥βα∩β＝a任何一个平面内
知识点二
思考1 不在同一直线上的三点确定一个平面．
思考2 直尺在桌面上．
思考3 这些公共点在同一直线上．
梳理(1)两点所有的点平面A∈l
B∈l A∈αB∈α不在一条直线上通过这个点的公共直线P∈αP∈β
题型探究
例1 解(1)点P∈直线AB.
(2)点C∉直线AB.
(3)点M∈平面AC.
(4)点A1∉平面AC.
(5)直线AB∩直线BC＝点B.
(6)直线AB平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
跟踪训练1 解(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如图．
(2)l α，P∈l，P∈α.如图
(3)lα，lβ.如图．
(4)α∩β＝l，mα，m∥l.如图．
例2 证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线aβ，点P∈β.因为P∈b，bα，所以P∈α.又因为aα，所以α与β重合，所以PQα.
引申探究
解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面．
证明：如图，∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴lα.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，
同理lβ.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，
∴a，b，c和l共面．
跟踪训练2 证明方法一(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
例3 证明
如图，连接EF，D1C，A1B.
∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， ∴EF 綊1
2A 1B .
又∵A 1B 綊D 1C ， ∴EF 綊1
2
D 1C ，
∴E ，F ，D 1，C 四点共面， ∴D 1F 与CE 相交，设交点为P . 又∵D 1F 平面A 1D 1DA ，
CE 平面ABCD ，
∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3，可得P ∈DA ， 即CE 、D 1F 、DA 相交于一点．
跟踪训练3 证明 方法一 ∵AB ∩α＝P ，∴P ∈AB ，P ∈平面α. 又AB 平面ABC ，∴P ∈平面ABC .
∴由公理3可知：点P 在平面ABC 与平面α的交线上，
同理可证Q 、R 也在平面ABC 与平面α的交线上．∴P 、Q 、R 三点共线． 方法二 ∵AP ∩AR ＝A ，
∴直线AP 与直线AR 确定平面APR .
又∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，∴平面APR ∩平面α＝PR .∵B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC 平面APR .
∵Q ∈BC ，∴Q ∈平面APR ，又Q ∈α， ∴Q ∈PR ，∴P 、Q 、R 三点共线． 当堂训练
1．B 2.D 3.C 4.D
5．解 AC 在平面α内．因为AB 在平面α内，所以A ∈α. 又BC 在平面α内，所以C ∈α，所以AC 在平面α内．
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