1.4.1空间图形的基本关系与公理

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系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2一、选择题（每小题5分,共20分）1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点解析：不共线的三点可以确定一个平面，排除A;四边形可以是空间四边形，排除B；根据公理3可以知道D不正确，故选C。

答案: C2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析: 公理是不用证明的，定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．答案：A3．两个不重合的平面可把空间分成( ）A．3部分B．4部分C．3或4部分D．2或3部分解析：当两个平面平行时把空间分成3部分;当两个平面相交时把空间分成4部分．答案: C4．有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内；②三条平行直线必共面；③有三个公共点的两个平面必重合；④平面外的一条直线和平面没有公共点．其中,正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析: 梯形是一个平面图形，所以其四个顶点在同一个平面内，则①正确；两条平行直线确定1个平面，三条平行直线确定1个或3个平面，则②错；三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上，则③错;平面外的直线可能和平面相交，故④错．答案：B二、填空题(每小题5分，共10分）5．如果三个平面把空间分成六部分,那么这三个平面的位置关系是________．解析：由于三个平面把空间分成六部分,那么结合空间中面面的位置关系可知要么是三个平面相交于同一直线，要么是一个平面与另两个平行平面相交．答案: 三个平面相交于同一条直线或一个平面与另两个平行平面相交6．如图,在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：观察图形，可知①③错误，②④正确．答案：②④三、解答题（每小题10分，共20分)7．已知a,b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线,那么a与c有怎样的位置关系?并画图说明．解析：直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面，如图(1）（2)（3）．8．如图所示，△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,如果三条直线AA1，BB1,CC1两两相交，求证:三条直线AA1，BB1，CC1交于一点.证明：设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分别确定平面α，β,γ，AA1与BB1的交点为P,因为P∈AA1，P∈BB1，AA1平面β,BB1平面α，所以P∈平面α，P∈平面β，即P∈α∩β。

§1.4 空间图形的基本关系与公理整体设计教学分析教材从简单、熟知的几何体——长方体出发，将它上面某些不同位置的点、线、面用不同色彩来区分，让学生仔细地观察，具有很强的可读性．教材举出实例，并给出了两幅实物图片，旨在激发学生学习的兴趣，让学生觉得四个公理确实是显而易见的．本节的等角定理没有给出证明，而是通过从平面到空间的类比得到和理解这个定理，显得直观且可信．三维目标1．掌握五类位置关系的分类及其有关概念，掌握平面的基本性质，即公理1,2,3.提高学生的归纳、类比能力．2．掌握公理4和等角定理，并会运用它们解决问题，培养学生发展空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力．重点难点教学重点：4个公理和等角定理的应用．教学难点：空间图形的位置关系和公理的归纳．课时安排1课时教学过程导入新课大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心．”结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面．图1新知探究提出问题①为了直观地了解点、线、面的位置关系，我们先观察一个长方体，如图2.该长方体中有几个顶点？几条棱？几个面？图2②观察图2所示的长方体，归纳空间点与直线的位置关系．③观察图2所示的长方体，归纳空间点与平面的位置关系．④观察图2所示的长方体，归纳空间两条直线的位置关系．⑤观察图2所示的长方体，归纳空间直线与平面的位置关系．⑥观察图2所示的长方体，归纳空间平面与平面的位置关系．讨论结果：①长方体有8个顶点、12条棱、6个面.12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面．②空间点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外．如图2(1)中的点B在直线b上，但在直线a外．③空间点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外．如图2(1)中的点B在平面α内，但点A在平面α外．④空间两条直线的位置关系有三种：1°图2(1)中直线a和b在同一个平面内，而且没有公共点，这样的两条直线叫作平行直线．2°图2(1)中直线b和c只有一个公共点B，这样的两条直线叫作相交直线．3°图2(1)中直线a和c不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作异面直线．⑤空间直线与平面的位置关系有三种：1°图2(1)中直线b和平面α有无数个公共点，我们称这条直线在这个平面内．2°图2(2)中直线b和平面α只有一个公共点A，我们称这条直线与这个平面相交．3°图2(2)中直线a和平面α没有公共点，我们称这条直线和这个平面平行．⑥空间平面与平面的位置关系有两种：1°图2(2)中平面α和平面β没有公共点，这样的两个平面叫作平行平面．2°图2(3)中平面α和平面β不重合，并且有公共点，这样的两个平面叫作相交平面．提出问题①把一根直尺边缘上的任意两点放在平整的桌面上，可以看到直尺边缘与桌面重合，这是显而易见的事实，请用公理的形式把它表示出来．②在日常生活中，照相机的脚架，施工用的撑脚架，天文望远镜的脚架等都制成三个脚，这样，可以使这些物体放置得很平稳．我们知道，两点确定一条直线．那么怎样确定一个平面呢？归纳出公理．③1°经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？2°经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？3°经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？④长方体表面中的任意两个面，要么平行，要么交于一条直线．其实空间任意两个不重合的平面都有这样的性质．那么，两个平面在什么情况下相交？并归纳出公理．⑤在平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，那么在空间中呢？⑥在平面内，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(如图3，AO∥A′O′，BC∥B′O′，∠AOB和∠A′O′B′相等，∠AOC和∠A′O′B′互补．)在空间中呢？图3讨论结果：①公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．如图4，直线AB在平面α内，记作直线ABα.图4②公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．如图5，经过不在同一条直线上的三点A，B，C的平面α，又可记作“平面ABC”．图5③1°2°3°三种情况都可以确定一个平面，把这三个结论通常看成平面的性质．④公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．通常将平面α与平面β的公共直线即交线a 记作α∩β＝a .⑤公理4 平行于同一条直线的两条直线平行．在图6的长方体中，a ∥b ，b ∥c ，不难看出a ∥c .图6⑥在空间亦有：定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 应用示例例1 在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．活动：只需证明FG ∥EH 且FG ＝EH 即可．图7证明：如图7，连接BD .因为FG 是△CBD 的中位线，所以FG ∥BD ，FG ＝12BD . 又因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD . 根据公理4，FG ∥EH ，且FG ＝EH .所以，四边形EFGH 是平行四边形．点评：证明平行四边形常用方法：对边平行且相等；对边分别平行；对角线相交且平分．要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形.变式训练如图7，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，且AC ＝BD .求证：四边形EFGH 是菱形．证明：连接EH .因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD . 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG ＝12BD ，EF ＝12AC . 所以EH ∥FG ，且EH ＝FG .所以四边形EFGH 为平行四边形．因为AC ＝BD ，所以EF ＝EH .所以四边形EFGH 为菱形.例2 如图8(1)，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是…( )图8A．平行B．相交且垂直C．异面直线D．相交成60°分析：如图8(2)，将上面的展开图还原成正方体，点B与点D重合．容易知道AB＝BC ＝CA，从而△ABC是等边三角形，所以选D.答案：D点评：解决立体几何中的翻折问题时，要明确在翻折前后，哪些量发生了变化，哪些量没有变化.变式训练图9表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有__________对．图9答案：三课堂练习：P26练习2课堂小结：本节课学习了五种类型的位置关系，以及4个公理和等角定理，学习了两直线平行的判定方法．课后作业：P26习题1—4 A组第4,5题．。