高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 4.2空间图形的公理》

空间图形的基本关系与公理一. 教学内容：空间图形的基本关系与公理二. 学习目标：1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。

三、知识要点（一）空间位置关系：I、空间点与线的关系空间点与直线的位置关系有两种：点P在直线上：；点P在直线外：；II、空间点与平面的关系空间点与平面的位置关系有两种：点P在平面上：点P在平面外：；III、空间直线与直线的位置关系：IV、空间直线与平面的位置关系：V、空间平面与平面的位置关系：平行；相交说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。

（二）异面直线的判定1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。

（三）平面的基本性质公理1、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。

2、公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。

3、公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。

4、平面的基本性质公理的三个推论经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面思考：公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？（四）平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线平行。

（五）等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

第2课时空间图形的公理(公理4，定理)(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解公理4及等角定理，会用公理4和等角定理进行简单的推理论证．(2)了解异面直线所成的角的定义，会求异面直线所成的角．2．过程与方法通过学习公理4及等角定理培养学生的空间想象能力，通过异面直线所成的角让学生体会数学的转化、化归方法．3．情感、态度与价值观培养学生严谨的思维习惯与严肃的科学态度．●重点难点重点：公理4与等角定理．难点：异面直线所成的角．公理4表明了平行的传递性，可以作判断两条直平行的依据，其直接作用是证明等角定理，为研究异面直线所成角打基础．等角定理是定义异面直线所成角的理论基础．(教师用书独具)●教学建议本节知识是上节课的继续，上节课讲了3个公理、异面直线的概念，本节课解决异面直线所成角及它的理论基础公理4、定角定理，因此教学时宜采用探究式模式，让学生以长方体为载体，通过“观察”引入公理4，通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角时经常要使用的方法，这种把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法很重要，要让学生在学习中认真体会．●教学流程通过问题引出公理4，等角定理及异面直线所成的角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握公理4的应用⇒通过例2及互动探究，使学生掌握等角定理的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握如何求异面直线所成的角⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行矫正1．把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？2．在空间中有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行吗？3．在平面上，“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．那么在空间中，结论是否仍然成立呢？【提示】 1.平行.2.平行.3.仍成立．1．公理4空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．在四棱柱ABCD—A′B′C′D′中，棱AB与棱B′C′什么关系？在平面内我们是如何定量的研究两条相交直线的位置关系的？那么在空间中又如何定量的确定棱AB与棱B ′C ′的相对位置关系？【提示】 棱AB 与棱B ′C ′是异面直线；在平面内我们通过两条直线的“夹角”来定量的确定两条相交直线的位置关系，类似的，我们可以用两条棱“所成的角”来定量的确定异面直线的相对位置关系．已知棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD 、AD 的中点．求证：四边形MNA ′C ′是梯形．【思路探究】【自主解答】 如图，连接AC .∵M 、N 分别为CD 、AD 的中点，∴MN 綊12AC .由正方体的性质可知AC 綊A ′C ′，∴MN 綊12A ′C ′，∴四边形MNA′C′是梯形．1．解答本题易出现“只证MN∥A′C′”，而忽视“证明MN≠A′C′”的错误．2．公理4是证明两直线平行的重要方法，应用的关键在于寻找与所证直线平行的“中间直线”．图1－4－10已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、CC1的中点，如图1－4－10所示．求证：BF綊ED1.【证明】如图所示，取BB1的中点G.连接GC1、GE.∵F为CC1的中点，∴BG綊C1F.∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF綊GC1.又∵EG綊A1B1，A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，。

4．1 空间图形基本关系的认识4．2 空间图形的公理(一)学习目标 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论．知识点一空间图形的基本位置关系对于长方体有12条棱和6个面．思考1 12条棱中，棱与棱有几种位置关系？答案相交，平行，既不平行也不相交．思考2 棱所在直线与面之间有几种位置关系？答案棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．思考3 六个面之间有哪几种位置关系．答案平行和相交．梳理位置关系图形表示符号表示空间点与直线的位置关系点A在直线a外A∉a 点B在直线a上B∈a空间点与平面的位置关系点A在平面α内A∈α点B在平面α外B∉α空间两条直线的位置关系平行a∥b相交a∩b＝O 异面a与b异面空间直线与平面的位置关系线在面内aα线面相交a∩α＝A 线面平行a∥α空间平面与平面面平行α∥β面的位置关系面面相交α∩β＝a 异面直线不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线知识点二空间图形的公理思考1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么？答案不在同一直线上的三点确定一个平面．思考2 一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？答案直尺在桌面上．思考3 教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？答案这些公共点在同一直线上．梳理(1)空间图形的公理公理内容图形符号作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα用来证明直线在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α用来确定一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l用来证明空间的点共线和线共点(2)公理2的推论推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．1．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．( ×)2．空间不同三点确定一个平面．( ×)3．一条直线和一个点确定一个平面．( ×)类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪训练1 用符号语言表示下列语句，并画成图形．(1)直线l经过平面α内两点A，B；(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；(3)直线l既在平面α内，又在平面β内；(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如图．(2)l⊈α，P∈l，P∈α.如图(3)lα，lβ.如图．(4)α∩β＝l，mα，m∥l.如图．类型二平面的基本性质的应用命题角度1 点线共面问题例2 如图，已知：aα，bα，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQα.考点平面的基本性质题点线共面问题证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线aβ，点P∈β.因为P∈b，bα，所以P∈α.又因为aα，P∉α，所以α与β重合，所以PQα.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴lα.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理lβ.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．反思与感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．跟踪训练2 如图，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．考点平面的基本性质题点线共面问题证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2α，∴A∈α.∵A ∈l 2，l 2β，∴A ∈β.同理可证B ∈α，B ∈β，C ∈α，C ∈β.∴不共线的三个点A ，B ，C 既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内． 命题角度2 点共线、线共点问题例3 如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC ，CC 1，C 1D 1的中点．求证：FE ，HG ，DC 三线共点．考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题 证明 如图所示，连接C 1B ，GF ，HE ，由题意知HC 1∥EB ，且HC 1＝EB ，∴四边形HC 1BE 是平行四边形， ∴HE ∥C 1B .又C 1G ＝GC ，CF ＝BF ， ∴GF ∥C 1B ，且GF ＝12C 1B .∴GF ∥HE ，且GF ≠HE ， ∴HG 与EF 相交．设交点为K ， ∴K ∈HG ，HG 平面D 1C 1CD ， ∴K ∈平面D 1C 1CD .∵K ∈EF ，EF 平面ABCD ，∴K ∈平面ABCD ， ∴K ∈(平面D 1C 1CD ∩平面ABCD )＝DC ， ∴EF ，HG ，DC 三线共点．反思与感悟 (1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．跟踪训练3 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线．考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊈αC．A l，l∉αD．A l，l⊈α考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 B解析∵点A在直线l上，∴A∈l.∵l在平面α外，∴l⊈α.故选B.2．满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线aα，直线bβ且a∥AB，b∥AB的图形是( )考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 D3．下列推理错误的是( )A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊈α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 C解析当l⊈α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错．4．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 D解析因为平面γ过A，B，C三点，M在直线AB上，所以γ与β的交线必通过点C和点M.5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.一、选择题1．下列有关平面的说法正确的是( )A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面考点平面的概念、画法及表示题点平面概念的应用答案 D解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确．2.如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα，A m，A nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 A解析α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，注意符号语言的正确运用，故选A. 3．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．4．空间中四点可确定的平面有( )A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个考点平面的基本性质题点确定平面问题答案 D解析当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任意三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．5．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 D解析当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．6．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．可能有三点共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析如图(1)(2)所示，A，C，D均不正确，只有B正确．7．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析由题意知GH平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是( )A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 D解析如图所示，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确．二、填空题9．已知点A，直线a，平面α.①A∈a，a∈α⇒A∈α；②A∉a，aα⇒A∉α；③A∈a，aα⇒Aα.其中说法正确的个数是________．考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案0解析①中“a∈α”符号不对；②中A可以在α内，也可在α外，故不正确；③中“Aα”符号错．10．若直线l上有两个点在平面α内，则下列说法中正确的序号为________．①直线l上至少有一个点在平面α外；②直线l上有无穷多个点在平面α外；③直线l上所有点都在平面α内；④直线l上至多有两个点在平面α内考点平面的基本性质题点线共面问题答案③11．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______．考点平面的基本性质题点确定平面问题答案1或3解析若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可以确定3个平面或1个平面．12．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案三点共线解析∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α，又∵O∈AB，ABβ，∴O∈β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．三、解答题13．已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a，b，c，d共面．考点平面的基本性质题点线共面问题证明(1)无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S，∵a∩d＝M，∴a，d可以确定一个平面α，∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQα，即bα，同理cα，∴a，b，c，d共面．(2)有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与直线a分别相交于点N，P，M且K∉a，∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β，∴NKβ，即bβ，同理cβ，dβ，∴a，b，c，d共面，由(1)(2)可知a，b，c，d共面．四、探究与拓展14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．考点平面的基本性质题点平面基本性质的其他简单应用答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．15．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线．考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明如图．(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1，在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，所以R∈α，且R∈β，故R∈PQ.所以P，Q，R三点共线．。

§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理第1课时空间图形的公理(公理1、2、3)学习目标核心素养1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成——点、线、面的基本位置关系．2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基本关系．(重点、易错点)3．掌握空间图形的公理1、2、3.(重点、难点)1.通过了解空间图形的基本构成，培养直观想象素养．2．通过学习空间图形的公理1、2、3提升逻辑推理素养.1．空间图形的基本关系位置关系图形表示符号表示点与线的位置关系点A不在直线a上A∉a点B在直线α上B∈a点与面的位置关系点A在平面α内A∈α点A在平面α内B∉α直线与直线的位置关系平行相交a∥b异面平行a∩b＝O相交a与b异面位置关系直线线在面内aα与平面的位置关系线面相交a∩α＝A线面平行a∥α平面与平面的位置关系面面平行α∥β面面相交α∩β＝a对于长方体有12条棱和6个面．思考1：12条棱中，棱与棱有几种位置关系？提示：相交，平行，既不平行也不相交．思考2：棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．思考3：六个面之间有哪几种位置关系．提示：平行和相交．2．空间图形的公理(1)三个公理：名称内容图形表示符号表示公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A，B，C三点不共线，则点A，B，C确定一个平面α使A∈α，B∈α，C∈α公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则lα公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A∈α，A∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l，且A∈l推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面．推论2：两条相交直线确定一个平面．推论3：两条平行直线确定一个平面．公理1及其推论给出了确定平面的依据．思考4：两个平面的交线可能是一条线段吗？提示：不可能．由公理3知两平面的交线是一条直线．思考5：经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示：不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．1．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为()A．P∈a，a∥αB．a∩α＝PC．P∈a，P∉αD．P∈a，aα[答案]C2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对C[若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．]3．如下所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是()D[画空间图形时，被遮挡部分应画成虚线，故选D.]4．据图填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC________平面ACD＝AC.[答案]∈∉∩三种语言的相互转换(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解](1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.[跟进训练]1．(1)如果aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，那么l与α的位置关系是________．(2)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？(1)直线l在平面α内[如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2，lα.](2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线.点线共面问题[思路探究]先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内．或利用公理1的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合．[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2α，∴B∈α.同理可证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2α，∴A∈α.∵A∈l2，l2β，∴A∈β.同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2常用方法有：(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.[跟进训练]2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．[证明]因为D∉l，所以D和l可确定一平面，设为α.因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα，所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．点共线与线共点问题1．如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H 四点，如果EF，GH交于一点P，那么点P，B，D共线吗？请说明理由．提示：连接BD(图略)．∵EF，HG相交于一点P，且EF平面ABD，GH平面CBD，∴P∈平面ABD且P∈平面CBD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，∴点P，B，D共线．2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，能否判断B，Q，D1三点共线？提示：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C平面A1D1CB，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线．【例3】已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．[思路探究]解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上．[证明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．1．证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．2．证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．[跟进训练]3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．[解]如图，连接EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊12A1B.又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面，且EF＝12D1C，∴D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．1．思考辨析(1)不平行的两条直线的位置关系为相交．()(2)两个平面的交线可以是一条线段．()(3)直线l在平面α内，可以表示为“lα”．()(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线．()[解析](1)×，不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错．(2)×，两个平面的交线是直线，故(2)错．(3)√，正确．(4)×，可能相交或平行，故(4)错．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]3．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．平行、相交或异面[两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．]4．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．[解]如图所示．∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面，设这个平面为α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴lα.即过a，b，l有且只有一个平面．。

安边中学 高一 年级 上学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 第 13 周集体备课一、课题： 4.2 空间图形的公理二、学习目标1、掌握空间图形的有关概念和有关定理；2、掌握平面的基本性质、公理4和等角定理。

三、落实目标【自主预习】1、空间直线与直线的位置关系（1） （2） （3）2、空间直线与平面的位置关系（1） （2） （3）3、空间平面与平面的位置关系（1） （2）4、公理：等角定理：______________________________________________图形表示：公理2：图形表示 符号语言： 公理1： 图形表示 符号语言： 公理3：图形表示 符号语言： 公理4： 图形表示 符号语言：【巩固提升】1、已知AB//PQ ，BC//QR ，∠ABC=30°，则∠PQR 等于（ ）A.30°B.30°或150°C.150°D.以上结论都不对2、在空间，下列命题正确的个数为（ ）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形；（2）四边相等的四边形是菱形；（3）平行于同一条直线的两条直线平行；（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

A.1B.2C.3D.43、判断下列说法说否正确，并说明理由。

（1）一点和一条直线确定一个平面（2）经过一点的两条直线确定一个平面；（3）交于一点的三条直线确定一个平面；（4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内。

【检测反馈】1、例2：如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是（ ）A.平行B.相交且垂直C.异面直线D.相交成60° 2、下列四个说法，错误命题的序号是 （ ） ①过三点确定一个平面； ②矩形是平面图形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域3、在空间四边形ABCD 中，E,F,G ,H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形反思栏A B C DE F H B CA D G。

4．2空间图形的公理(一)【课时目标】掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．符号：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα．2．公理2：经过________________________的三点，____________一个平面(即可以确定一个平面)．3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________通过这个点的公共直线．符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l．4．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：________________________________________________________________________．(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________．(3)直线l在面α内也在面β内：____________．(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：________________________________________________________________________．一、选择题1．两平面重合的条件是()A．有两个公共点B．有无数个公共点C．有不共线的三个公共点D．有一条公共直线2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈bβC．M bβ D．M b∈β3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合5．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有() A．2个或3个B．4个或3个C．1个或3个D．1个或4个二、填空题7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)A∉α，．(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________．(3)a⊆α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．三、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．若空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．4．2空间图形的公理(一) 答案知识梳理1．两点2．不在同一条直线上有且只有3．一个一条4．(1)A∈α，A∉β(2)A∈α，B∉α且A∈l，B∈l(3)lα且lβ(4)mα，nα且m∩n＝A作业设计1．C[根据公理2，不共线的三点确定一个平面，若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重合．]2．B3．D4．C[∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．]5．C6．D[四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解由题意知，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1β，l2β，l1P l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1β，P∈l2γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B＝12D1C．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F平面ADD1A1，P∈CE平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。

安边中学高一年级1学期数学学科导学稿执笔人：邹英总第52课时
备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间： 14周
集体备课个人空间
一、课题：4.2 空间图形的公理（二）
二、学习目标
1、进一步巩固空间图形的基本关系。

2、会运用公理4和等角定理解决一些简单问题。

三、教学过程
【温故知新】
公理1：
公理2：
公理3：
公理4：
【导学释疑】
阅读课本P25页，完成下列问题。

1、等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应________，那么这
两个角_____ ___或___ ___。

2、空间四边形：四个顶点____________________的四边形。

a,异面，如何找这两条直线所成的角？
3、如下图，两直线b
4、什么是空间四边形？
【巩固提升】
例1、如图，在长方体1111D C B A ABCD 中，指出那些异面直线互相垂直。

例2、如图所示，E 、F 分别是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、C 1C 的中点。

求证：四边形B 1EDF 是平行四边形。

【检测反馈】
见课本P26页练习2。

反
思栏。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作4．2空间图形的公理(二)【课时目标】1．理解异面直线所成角的定义；2．能用公理4及定理解决一些简单的相关问题．1．公理4：平行于同一条直线的两条直线________．2．定理：空间中，如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________．3．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是____________．一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．45．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)二、填空题6．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________． 7．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD ．以上结论中正确结论的序号为________．三、解答题9．已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD 、AD 的中点． 求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1．10．如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．能力提升11．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．12．如图所示，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．90°在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．4．2空间图形的公理(二) 答案知识梳理 1．平行2．平行 相等 互补3．锐角(或直角) 直角 (0°，90°] 作业设计1．D [异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a 、b 异面，直线c 的位置可如图所示．]2．D3．D [等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB 与O 1B 1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．]4．B [①④均为假命题．①可举反例，如a 、b 、c 三线两两垂直．④如图甲时，c 、d 与异面直线l 1、l 2交于四个点，此时c 、d 异面，一定不会平行； 当点A 在直线a 上运动(其余三点不动)，会出现点A 与B 重合的情形，如图乙所示，此时c 、d 共面相交．]5．D[如图所示，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD)．在△MNE 中，有ME ＋NE>MN ，所以MN<12(AC ＋BD)．]6．60°或120° 7．(1)60° (2)45° 解析连接BA ′，则BA ′∥CD ′，连接A ′C ′，则∠A ′BC ′就是BC ′与CD ′所成的角．由△A ′BC ′为正三角形， 知∠A ′BC ′＝60°，由AD ∥BC ，知AD 与BC ′所成的角就是∠C ′BC ． 易知∠C ′BC ＝45°． 8．①③解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．9．证明 (1)如图，连接AC ， 在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线，∴MN ∥AC ，MN ＝12AC ．由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1．∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1． 10．解 取AC 的中点G ， 连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF(或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°．由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．故EF与AB所成的角为15°或75°．11．②④解析①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．12．B[连接B1D1，则E为B1D1中点，连接AB1，EF∥AB1，又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．]。

空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标1、知识与技能：（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2、过程与方法：（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

3、情感与价值：让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。

难点：异面直线所成角的计算。

三、学法与教法1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教法：探究交流法 四、教学过程（一）创设情景、导入课题1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）新课探究1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：共面直线2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

4.2 空间图形的公理(二)[学习目标] 1.掌握公理4及等角定理． 2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.【主干自填】1．公理4(1)文字表述：□01平行于同一直线的两条直线互相平行．(2)符号表述：□02a∥b且b∥c⇒a∥c.03传递性．(3)含义：揭示了空间平行线的□2．等角定理(1)研究对象：在空间中的两个角．(2)条件：两边分别□04对应平行．(3)结论：这两个角□05相等或互补．3．异面直线所成的角【即时小测】1．思考下列问题(1)两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定．只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．(2)公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( ) A ．相交 B ．异面 C ．相交或异面D ．平行提示：C 如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与直线B 1C 1是异面直线，与B 1C 1平行的直线有A 1D 1，AD ，BC ，显然直线AA 1与A 1D 1，AD 相交，与BC 异面．3．空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________. 提示：60°或120° 因为α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补．例1 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . [证明] (1)如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线， ∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .又FG 是△CBD 的中位线，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴FG ∥EH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面，又FG ＝EH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH .又∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ⊥GH ，∴AC ⊥BD . 类题通法空间中证明两直线平行的方法(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等．(2)利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行．[变式训练1] 已知棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点．求证：四边形MNA ′C ′是梯形． 证明 连接AC .∵M ，N 为CD ，AD 的中点， ∴MN 綊12AC .由正方体性质可知AC 綊A ′C ′，∴MN 綊12A ′C ′.∴四边形MNA ′C ′是梯形.例2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别是棱AB ，AD ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠F 1CE 1.[证明] 如图，取A 1B 1的中点M ，连接F 1M ，BM ，则MF 1綊B 1C 1，又B 1C 1綊BC ，所以MF 1綊BC .所以四边形BMF 1C 为平行四边形，所以BM ∥CF 1.因为A 1M ＝12A 1B 1，BE ＝12AB ，且A 1B 1綊AB ，所以A 1M 綊BE ，所以四边形BMA 1E 为平行四边形， 所以BM ∥A 1E ，所以A 1E ∥CF 1. 同理可证A 1F ∥CE 1.因为∠EA 1F 的两边与∠F 1CE 1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA 1F ＝∠F 1CE 1. 类题通法求证两角相等的两种方法(1)应用等角定理，在证明的过程中常用到公理4，注意两角对应边方向的讨论． (2)应用三角形全等或相似．[变式训练2] 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点．求证：(1)D 1E ∥BF ； (2)∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.证明 (1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M . 在矩形ABB 1A 1中， 易得EM 綊A 1B 1，∵A 1B 1綊C 1D 1，∴EM 綊C 1D 1， ∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MB 綊C 1F ， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.例3 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小．[解] 解法一：如图所示，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，A 1G ，C 1G .则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1.∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点，∴GO ⊥A 1C 1. ∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.解法二：如图所示，连接A 1D ，取A 1D 的中点H ，连接HE ，则HE 綊12DB 1.于是∠HEF 为所求异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． 连接HF ，设AA 1＝1，则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连接HI ，IF ，则HI ⊥IF . ∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54.又∵EF 2＋HE 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°. 类题通法求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质)作出异面直线所成的角或其补角．(2)证明：证明作出的角就是要求的角或其补角． (3)计算：求角度，常利用三角形．(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．[变式训练3] 如图所示，空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．解 如图所示，取BD 的中点G ，连接EG 、FG .∵E 、F 分别为BC 、AD 的中点， ∴EG 綊12CD ，GF 綊12AB ，∴∠GFE 或其补角就是异面直线EF 与AB 所成的角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ，∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形．∴∠GFE ＝45°，即异面直线EF 与AB 所成的角为45°.易错点⊳不能从空间考虑图形致误[典例] 在空间中有三条线段AB 、BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．AB ∥CDB ．AB 与CD 是异面直线C ．AB 与CD 相交D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交[错解] 如图，∠ABC ＝∠BCD ，∴AB ∥CD .故选A.[错因分析] 错解的原因在于，认为线段AB ，BC ，CD 在同一个平面内，考虑问题不全面．[正解] D 构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC ＝∠BCD (如图(1))； (2)在同一个平面内∠ABC ＝∠BCD (如图(2))； (3)将图(2)中直线CD 绕着BC 旋转， 使∠ABC ＝∠BCD .由(1)知AB∥CD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线．课堂小结1.平行公理又称平行线的传递性，它表明空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行．它给出了判断空间两条直线平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为联系两条直线的中间环节.2.要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”这个条件.1．空间四边形的两条对角线长度相等，顺次连接四条边的中点得到的四边形是( ) A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形答案 C解析因为空间四边形的两条对角线长度相等，所以根据三角形中位线的性质可知，得到的四边形的四条边相等且对边互相平行，故选C.2．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条答案 A解析我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．满足条件的直线有无数条，故选A.3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B 1D 1所成的角为________．答案 60°解析 连接BC 1，BD ，DC 1，因为EF ∥BC 1，B 1D 1∥BD ，所以∠C 1BD 即为异面直线EF 与B 1D 1所成的角或其补角．因为△C 1BD 为正三角形，所以∠C 1BD ＝60°，即异面直线EF 与B 1D 1所成的角为60°.4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与A 1B 1所成的角的余弦值为________．答案 13解析 设棱长为1，因为A 1B 1∥C 1D 1，所以∠AED 1就是异面直线AE 与A 1B 1所成的角或其补角．在△AED 1中，cos ∠AED 1＝D 1E AE ＝1232＝13.故异面直线AE 与A 1B 1所成的角的余弦值为13.。

北师大版高中必修24空间图形的基本关系与公理课程设计一、课程设计背景高中数学是学生学习数学的重要阶段，也是全面了解数学知识的关键时期。

高中数学教学应该注重培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

而空间图形的基本关系与公理是高中数学中的一个重要内容。

本课程设计旨在通过北师大版本高中必修24的空间图形起点建设与拓展，系统介绍空间图形的基本关系与公理，旨在提高学生的数学思维和空间想象能力。

二、教学目标1.了解空间图形的基本概念和基本特征；2.熟悉空间图形实体间的基本关系及其性质；3.掌握空间图形中的公理并能运用公理求解与证明问题；4.培养学生的几何思维能力和创新精神。

三、教学内容第一章：空间图形的基本概念1.空间的基本概念2.空间图形的基本性质第二章：空间图形的基本关系1.点、直线、面的基本关系2.简单立体图形间的基本关系3.复杂立体图形间的基本关系第三章：空间图形公理1.空间图形公理的基本概念2.空间图形公理的性质3.空间图形公理的应用第四章：空间图形的实际应用1.空间图形与曲面的关系2.空间图形与立体几何的关系3.空间图形的实际应用举例四、教学方法在本次课程教学过程中，采用以下教学方法：1.讲授法。

让学生了解空间图形的基本概念、基本关系和公理等知识。

2.实践法。

通过各种实际问题，引导学生探究空间图形关系的性质与规律。

3.互动法。

通过互动和讨论，激发学生的兴趣和创造活力。

五、教学塑造通过引导和指导，帮助学生发挥自己的想象和创造能力，培养他们的创造观念和思维方式，同时加强学生对数学的感性认识和理论体系的建立。

六、教学评估通过教学过程中的课堂作业、小测验、课程论文等形式，对学生的学习程度进行全面考核和评估，及时发现学生的差距和问题，加强个性化教育，提高教学质量。

七、小结以上是本次北师大版高中必修24空间图形的基本关系与公理课程设计的主要内容，通过本课程的教学，希望能够加强学生对空间图形的学习和理解，提高数学学科的应用能力和创造能力，为学生的未来发展打下更加坚实的基础。

空间图形的公理教学设计一、教材分析本节课为北师大版?必修2?第一章节的第一课时，是在学习了简单几何体、直观图、三视图和空间图形根本关系的根底上，来进一步研究空间四个公理，属“概念分类型课〞，培养学生归纳能力、三种数学语言的转换能力和空间想象能力，对学生学习立体几何意义很大，是对前面所学内容的延续，同时为后面具体研究空间线面、面面的平行和垂直等做好铺垫，具有承前启后的作用．二、学情分析用文字语言描述的公理对学生来说应该不难理解，但三种语言的相互转化对局部学生来说可能有点难度，公理和定理的应用对学生来说比拟困难，对逻辑思维能力有较高的要求．三、教学目标：1知识与技能：①通过学生动手实验、动态图片演示，使学生了解可以作为推理依据的四个公理及作用；②让学生在探究的过程中理解四个公理，并能将文字语言、符号语言和图形语言相互转化．2过程与方法：通过学生动手实验和师生的共同讨论，引导学生观察长方体中点、线、面的关系，依次抽象出四个公理，使学生对平面的基本性质有感性的认识，让学生体会从具体到抽象、抽象到具体的过程，培养学生类比归纳的能力．3情感态度与价值观：使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，体会几何的逻辑美与简洁美，增强学生学习的积极性，提高学生的观察能力．四、教学重难点教学重点：〔1〕空间四个公理的生成与理解;〔2〕空间四个公理及三个推论的应用．教学难点：三种语言的转换和四个公理及推论的理解与应用．五、教法与学法教师在教学过程中，给学生示范三种语言来描述公理，然后让学生试着用三种语言来描述其它的公理和定理．对于公理和定理理解有困难的同学，可以通过多举生活中的实例帮助他们理解．教学用具：投影仪、正〔长〕方体模型、三角板、曲尺模型、棉线六、教学过程〔一〕复习引入空间图形多种多样，但它们都是由一些根本的图形：点、线、面组成的就一个小小的长方体，就包含了空间点、线、面所有的根本关系上节课我们通过长方体这个模型，归纳了空间中点、线、面的位置关系，下面让我们来回忆空间点、线、面的位置关系．设计意图：复习空间点、线、面位置关系，为讲解四个公理和推论作铺垫，承上启下．〔二〕讲解新课创设情景、导入课题立体几何与平面几何的不同之处：就是立体几何引进了“新元素〞---平面．所以我们要研究平面，前面我们已经学习了平面的画法及表示，这节课我们来研究平面的根本性质．探究问题一：①把一段较长拉直的棉线的两个端点固定在桌面上，让学生观察棉线与桌面的位置关系；②把一把直尺边缘紧贴在桌面上，观察直尺的整个边缘与桌面的位置关系．设计意图：通过两个具体的实验，让学生直观感受棉线、直尺与桌面的位置关系，比拟两种情况，引导学生过渡到抽象的线面位置关系，让学生体会具体到抽象的过程，培养学生类比归纳的能力，引导学生归纳出公理1．公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．图形语言：符号语言：新知提炼：公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直〞来刻划平面的“平〞，通过直线的“无限延伸〞来描述平面的“无限延展性〞，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．探究问题二：我们平时用的桌子和凳子大多都是四条腿的，但有时会感觉到桌子和凳子会发生摇晃，这是什么原因呢？三条腿的桌子和凳子会不会发生这种情况呢？设计意图：用身边常见的现象给学生直观印象，通过学生相互讨论，使学生在课堂上有动脑思索和探究数学思维的活动，培养学生的抽象思维能力和归纳概括能力，引导学生归纳出公理2．公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面图形语言：符号语言：不共线存在唯一的平面，使得新知提炼：1〞有且只有一个〞的含义分两局部理解----①存在性②唯一性 ;2公理2应用：①确定平面；②证明两个平面重合．学生再举一些生活中的例子实例:1 自行车的撑脚； 2摄像机的三角支架； 3三轮车思考交流：除了“不共线三点确定一个平面〞外，还有没有确定平面的其它方法？学生分小组讨论，归纳出三条推论：推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面．推论2 两条相交直线确定一个平面．推论3 两条平行直线确定一个平面．注：讲解公理2的三个推论时重在理解，淡化证明公理2及三个推论是空间里确定一个平面的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一局部问题的主要的思想方法．探究问题三：如以下图所示，三角板与平面有一个公共点，那么三角板与平面有多少个公共点？动态的课件直观显示平面经过三角板面，动态生成平面与平面的交线设计意图：揭示了平面的平直性、可延展性同时，表达课件的直观性，有助于培养学生的空间想象能力完成从局部到整体的认识过程，从具体问题转化到面与面公共点的问题，探索出公理3公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线图形语言：符号语言：且新知提炼：1公理3应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 2公理3揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．注：今后所说的两个平面或两条直线,如无特殊说明,均指不同的平面直线探究问题四：观察以下图中的椎体和柱体，侧棱之间的关系如何？公理4 平行于同一条直线的两条直线平行图形语言：符号语言：新知提炼：1公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用．2作用：判断空间两条直线平行的依据．〔三〕范例讲解例1: 在空间四边形中，分别是边的中点，求证：四边形是平行四边形。