北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章441 空间图形基本关系的认识42 空间图形的公理一 含

4.1 空间图形基本关系的认识-北师大版必修2教案一、课时目标1.了解 3D 空间图形的基本概念和特点。

2.掌握空间图形常见的细分法。

3.学会如何通过图像来描述球面、圆锥面和圆柱面等空间图形。

二、课堂导入空间图形，在我们的生活中到处可见，例如建筑物、飞船、汽车等。

在开展此课程的时候，老师可以先引导学生们想象身边的物品，来提高他们对于空间图形的认知。

然后，老师可以以一个球体为例子，介绍球体这种空间图形的特点和一些基本概念，比如半径、直径、球心等，来引出本节课的主题。

三、教学内容1. 3D 空间图形的基本概念和特点3D 空间图形指的是三维立体空间中的图形，在此，我们以球体为例说明。

球体是一种最常见的球面几何体，具有以下几个特点：•独立性：球体内任意一点与外界没有直接连接，极大地增加了其独立性。

•球心：球体内任意一点到球心的距离都是相等的，球心是球体中心点的名词统称。

•半径：球体中心点到球体表面上某一点的距离，通常用字母 r 表示，我们也可以通过半径来确定一个球体的大小和表面积。

•直径：穿过球心，线段两端恰好在球面上的直线段，直径长度等于 2r。

•球面：球体表面。

•球缺：截取球体的一个样本后，保留的部分形成的空间图形。

2. 空间图形常见的细分法为了更好的理解和分析空间图形，我们通常可以采用以下两种细分方法:1) 沿截面分离将一些图形按截平面，如水平面、垂直面等截断，然后分离能识别的简单几何图形，如：圆、矩形等。

2) 穿切法穿切一个图形可以使其表面展开，让三维形状变成二维图形，如纸片穿过一个球体后展开为圆形。

3. 如何通过图像来描述球面、圆锥面和圆柱面等空间图形我们可以使用二维平面的图形来描述空间中的球体、圆锥面和圆柱面等图形。

其中，球体可以使用等高线图来描述，圆锥面和圆柱面则可以使用矩形来进行表达。

同样以球体为例，我们可以使用等高线图来描绘它的模样。

具体来说，我们可以使用颜色的深浅区分球体表面上不同的高度区间。

章末复习提升课1．空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱台：是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．这三种几何体都是多面体．(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．2．斜二测画法的意义及建系原则(1)斜二测画法中“斜”和“二测”“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．(2)斜二测画法中的建系原则尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．3．几何体的面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的面积和体积公式4.线面位置关系(1)线线关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．(2)线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种． (3)面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．4．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念．7．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”． 8．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． 9．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件． 10．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．11．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．三视图和直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．这两种不同的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征，进而研究几何体的有关性质．画直观图时，通常利用斜二测画法，即“横长不变，纵长减半，平行位置不改变，九十度画一半”．画三视图时，要认清几何体的基本结构，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线，从正前方、正左方、正上方射向几何体，其可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以通过想象透视到的轮廓线)就是所要画出的视图．主视图反映几何体的长和高，左视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽．(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[解析] 由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A. [答案] A平行、垂直问题(1)立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由公理4和平面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行，根据线线平行可以证明线面平行；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可以证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行．由面面平行可以得出线面平行和线线平行．(2)立体几何中的垂直问题有三类：一是线线垂直，空间两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情形，判断的依据是两直线所成的角是直角，或者由线面垂直推出线线垂直；二是线面垂直，利用线面垂直的定义、判定定理、平面与平面垂直的性质来判定线面垂直，由线面垂直可以得出线线垂直等；三是面面垂直，利用直二面角和面面垂直的判定定理判定两个平面垂直，由面面垂直可以得出线面垂直和线线垂直．(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积． [解](1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN ═∥AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT平面P AB ，M N 平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. 折叠与展开问题(1)把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题．解决折叠问题，要注意折叠前后的变量与不变量，折叠前后同一半平面内的数量关系与位置关系均不发生改变．(2)常见的几何体中，除了球的表面无法展开在一个平面内，其余几何体的表面展开后，均为一个平面图形，由此产生的表面展开图将空间问题化归为平面问题，转化过程中一般采用“化曲为直”“化折为直”的方法．已知在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3，G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD 的中点，且CG ＝2，沿直线CG 将△CDG 翻折成△CD ′G .求证：(1)EF ∥平面AD ′B ；(2)平面CD′G⊥平面AD′G.[证明](1)因为E，F分别是BC，CD的中点，即E，F分别是BC，CD′的中点，所以EF为△D′BC的中位线．所以EF∥D′B.又因为EF⊆/平面AD′B，D′B平面AD′B，所以EF∥平面AD′B.(2)在梯形ABCD中，因为G是AD的中点，BC＝12AD＝1，则AD＝2，所以DG＝1.又因为CD＝3，CG＝2，所以在△DGC中，DG2＋GC2＝DC2，所以DG⊥GC，即在四棱锥D′­ABCG中，GC⊥D′G，GC⊥AG.因为AG∩D′G＝G，所以GC⊥平面AD′G.又因为GC平面CD′G，所以平面CD′G⊥平面AD′G.1．下列命题中，正确的是()A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱解析：选D.认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确；B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．2．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①解析：选B.从所给的几何体的主视图，左视图可知其俯视图不可能是正方形和圆．3．在△ABC中，∠BAC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的关系是________．解析：如图所示，取BC的中点O，连接AO，PO.因为PB＝PC，所以PO⊥BC.又△ABC是以A为直角顶点的直角三角形，所以OA＝OB，且P A＝PB，所以Rt△POB≌Rt△POA，所以∠POA＝∠POB＝90°，即PO⊥OA，而OA∩BC＝O，所以PO⊥平面ABC，而PO平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.答案：垂直4．已知圆锥的底面周长为6π，体积为12π，则该圆锥的侧面积为________．解析：设圆锥的底面半径为R，高为h，由已知得2πR＝6π，所以R＝3.于是12π＝1π·32·h，解得h＝4，3于是母线l＝42＋32＝5，所以侧面积S＝π×3×5＝15π.答案：15π5.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A ＝AB，点E是PD的中点．求证：(1)AC⊥PB；(2)PB∥平面AEC.证明：(1)因为P A⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以P A⊥AC，又因为AB⊥AC，而AB∩P A＝A，所以AC⊥平面P AB，所以AC⊥PB.(2)如图，连接BD，与AC相交于点O，连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是BD的中点．又点E是PD的中点，所以EO∥PB.因为PB⊆/平面AEC，EO平面AEC，所以PB∥平面AEC.6．有一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解：如图，作出轴截面，因为轴截面是正三角形，根据切线性质，当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝1π(3r)2·3r－43πr3＝53πr3.3将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积为V ′＝13π⎝⎛⎭⎫33h 2h ＝19πh 3.由V ＝V ′得h ＝315r .。

空间图形的基本关系一教学内容：空间图形的基本关系与公理二学习目标：1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。

三、知识要点（一）空间位置关系：I、空间点与线的关系空间点与直线的位置关系有两种：①点P在直线上：；②点P在直线外：；II、空间点与平面的关系空间点与平面的位置关系有两种：①点P在平面上：②点P在平面外：；III、空间直线与直线的位置关系：IV、空间直线与平面的位置关系：V、空间平面与平面的位置关系：①平行；②相交说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。

（二）异面直线的判定1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。

【典型例题】考点一空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论，平行公理、等角定理等相关结论。

例1下列命题：①空间不同的三点可以确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必定重合；空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面；④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。

其中正确的命题是。

解：⑥。

例2空间中三条直线可以确定几个平面？试画出示意图说明。

解：0个、1个、2个或3个。

分别如图（图中所画平面为辅助平面）：考点二异面直线的判断：主要依据是异面直线的定义及判定定理。

例3如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________？解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。

．空间图形基本关系的认识
．空间图形的公理(一)
学习目标.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.会用符号表达点、线、面的位置关系.掌握空间图形的三个公理及其推论．
知识点一空间图形的基本位置关系
对于长方体有条棱和个面．
思考条棱中，棱与棱有几种位置关系？
思考棱所在直线与面之间有几种位置关系？
思考六个面之间有哪几种位置关系．
梳理
位置关系 图形表示
符号表示
点与直线的位置关系
点在直线外
∉ 点在直线上 ∈ 点与平面的位置关系
点在平面α内 ∈α 点在平面α外
∉α 直线与直线的位置关系
平行
∥ 相交
异面 与异面 直线与平面的位置关系
线在面内
线面相交
线面平行
平面与平面的位置关系
面面平行
面面相交
异面直线
不同在的两条直线，叫作异面直线
知识点二空间图形的公理
思考照相机支架只有三个脚支撑说明什么？。

北师大版高中数学必修2全册学案第一章立体几何初步1.1 简单旋转体[学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知． 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类． 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征． 4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.课前自主学习几种简单旋转体【即时小测】1．思考下列问题(1)铅球和乒乓球都是球吗？提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗？提示：它们的底面都不是圆，而是圆面．2．用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台提示：C 由球的性质可知，用平面截球所得截面都是圆面．3．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．②④提示：D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．课堂互动题型一球的结构特征例1 有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其中正确的序号是________．[解析]球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．[答案]①类题通法透析球的概念(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面而不是圆．(2)根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义．[变式训练1]下列命题：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球面上任意三点可能在一条直线上；③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面．其中正确的命题序号为________．答案③解析①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面内，所以①错；②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义可知③正确.题型二圆柱、圆锥、圆台的结构特征例2 下列命题：①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱的任意两条母线平行；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析]本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成过程．①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台；③、④显然都正确．[答案] C 类题通法透析几种旋转体的概念解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必须对各种旋转体的概念在理解的基础上熟记．圆柱、圆锥、圆台它们都是由平面图形旋转得到的，圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不等的圆面，圆锥只有一个底面．[变式训练2] 下列命题中：①圆台的母线有无数条，且它们长度相同；②圆台的母线延长后一定相交于一点；③圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④圆绕其直径所在直线旋转半周形成的曲面围成的几何体是球．正确命题的序号是________．答案 ①②③④解析 由圆台与球的定义可知①②③④都对. 题型三 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征的应用例3 如下图，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长．[解] 如图，设圆台的母线长为y cm ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x cm,4x cm ，根据相似三角形的性质得33＋y ＝x4x， 解此方程得y ＝9，因此，圆台的母线长为9 cm.类题通法处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.[变式训练3]圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．答案3，2解析设正三角形的边长为a，则34a2＝3，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为32a＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.培优训练易错点空间位置关系考虑不全导致漏解[典例] 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，试求这两个截面间的距离．[错解] 如图(1)，设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D 的球的直径，由题意知两截面圆的半径分别为6和8.在Rt△COE中，OC＝102－62＝8.在Rt△DOF中，OD＝102－82＝6.所以CD＝OC－OD＝8－6＝2.故这两个截面间的距离为2.[错因分析] 错解中由于考虑问题不全面而导致错误．事实上，两个截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧．[正解]如图(1)(2)，设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D的球的直径，由题意知两截面圆的半径分别为6和8.当两截面在球心同侧时，CD＝OC－OD＝102－62－102－82＝2.当两截面在球心两侧时，CD＝OC＋OD＝102－62＋102－82＝14.所以这两个截面间的距离为2或14.课堂小结1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.随堂巩固训练1．图1是由哪个平面图形旋转得到的( )答案 D解析图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成( )A．一个圆台和两个圆锥 B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥 D．一个圆柱和两个圆锥答案 D解析把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体．3．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ③通过圆台侧面上一点，有无数条母线． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②解析 ①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)；②正确，如图(2)；③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．4．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________．答案 9π解析 如下图，把圆台还原成圆锥，设截面⊙O 1的半径为r ，因为圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以SO SO 2＝14.设SO ＝x ，则SO 2＝4x ，从而OO 2＝3x .因为OO 1∶O 1O 2＝2∶1，所以OO 1＝2x ，则SO 1＝SO ＋OO 1＝3x .在△SBO 1中，1r ＝SO SO 1＝x3x ，所以r ＝3，因此截面的面积是9π.1.2 简单多面体[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算.课前自主学习1．几种常见的简单多面体2．我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．【即时小测】1．思考下列问题(1)如下图中的几何体，哪些是旋转体？哪些是多面体？提示：观察图中的几何体，其中②是圆柱，③是圆锥，④是半球，⑥是圆台，都是旋转体；①和⑤都是由若干个平面多边形围成的几何体，都是多面体．(2)棱锥有哪些作为棱锥集合的特征性质？如何利用棱锥的特征性质给棱锥下一个定义？提示：通过观察，我们可以得到棱锥的主要特征性质：棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥提示：D 六棱锥的所有棱长不能都相等．3．棱台不一定具有的性质是( )A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点提示：C 只有正棱台的侧棱都相等．课堂互动题型一棱柱的结构特征例1 下列说法正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形[解析]由棱柱的定义可判断A、B、C均错，故选D.[答案] D类题通法棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．三个条件缺一不可．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[变式训练1]下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．答案③④解析三棱柱的两底面都是三角形，所以①②错误．③显然正确．对于④若用平行于底面的平面截棱柱，则截成的两部分都是棱柱，故④正确.题型二棱锥、棱台的结构特征例2 下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．[解析]因为棱台的侧棱延长后必交于一点所以侧面一定不会是平行四边形，故①正确，②③显然也正确．对于④一个四棱锥沿顶点与底面对角线切开是两个三棱锥，故④错误．[答案]①②③类题通法棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法[变式训练2]判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？答案图①，②，③都不是棱台．解析因为图①和图③都不是由棱锥所截得的，故图①，③都不是棱台，虽然图②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台.题型三几类特殊的四棱柱例3 一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是正方形，相邻的两个侧面是矩形D．每个侧面都是全等的矩形[解析]将正方体ABCD－A1B1C1D1的下底面ABCD水平移动一段距离(上底面A1B1C1D1不动)，形成新的几何体，如下图所示．新的几何体底面ABCD为正方形，侧面B1BCC1与A1ADD1是矩形，且侧面ABB1A1，侧面CDD1C1与底面的垂直关系未发生变化，但它是斜四棱柱，故A、B错；对于D选项，底面是菱形的直四棱柱每个侧面都是全等的矩形，但它不是正四棱柱．故选C.[答案] C类题通法几种四棱柱之间关系是判断基础四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正方体、正四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下图所示：[变式训练3]用一个平面去截正方体，所得截面不可能是( )A．六边形B．菱形C．梯形D．直角三角形答案 D解析用一个平面去截正方体，当截面为三角形时，可能为锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能为直角三角形．培优训练易错点⊳概念理解不透判断易错[典例] 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．[错因分析] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫作棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．[正解]满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．课堂小结1.棱柱、棱锥、棱台的关系棱柱、棱锥、棱台的关系如下图所示.2.棱柱、棱锥、棱台的共性棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面体．所谓多面体就是由平面多边形所围成的几何体，它还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体.随堂巩固训练1．在三棱锥A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析三棱锥的四个面都是三角形都可以作为棱锥的底面．2．下列几何体中棱柱有( )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个答案 D解析由棱柱的定义可知，只有①③两个满足棱柱的定义，故选D.3．下面三个命题，其中正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分一定是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 A解析本题主要考查棱台有关的概念．关键利用棱台的定义和特殊的几何体加以说明．命题①中的平面不一定平行于底面，故①错；命题②③可用举反例说明不成立，如图所示，故②③不对．4．已知集合I＝{四棱柱}，M＝{平行六面体}，N＝{直平行六面体}，P＝{正四棱柱}，Q＝{长方体}，R＝{直四棱柱}，S＝{正方体}，则下列关系中不正确的是( )答案 C解析各个集合中的元素首先都是四棱柱，所以选项D中的关系是正确的；正方体是侧棱与底面边长都相等的正四棱柱，而正方形是矩形的特例，所以正四棱柱是特殊的长方体，再由长方体的定义知选项A中的关系是正确的；同理选项B的关系也正确；而M∩R＝N，且直平行六面体的底面不一定是矩形，所以选项C的关系不正确．2 直观图[学习目标] 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.课前自主学习1．平面图形直观图的画法 斜二测画法规则：(1)在已知图形中建立平面直角坐标系xOy ，画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段．(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.2．立体图形与平面图形相比多了一个 z 轴，其直观图中对应于z 轴的是 z ′轴，平面x ′O ′y ′表示水平平面，平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示直立平面．平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．【即时小测】1．思考下列问题(1)相等的角在直观图中还相等吗？提示：不一定．例如正方形的直观图为平行四边形． (2)空间几何体的直观图唯一吗？提示：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同． 2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )A ．①②B ．①②③C ．②⑤D ．③④⑤提示：C 因为长方形的直观图中直角应为45°角，且平行线仍为平行的平行四边形，只有②⑤满足．3．梯形的直观图是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．三角形D ．任意四边形提示：A 因为梯形的两底在直观图中应平行且不相等，故仍为梯形． 4．如图所示的直观图△A ′O ′B ′，其平面图形的面积为________．提示：6 由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，OA ＝4，∴S△AOB＝12OA ·OB ＝6.课堂互动题型一 画水平放置的平面图形的直观图例1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．[解] 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．类题通法本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”“画图”简便易行.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.[变式训练1] 用斜二测画法画如图所示边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图．解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x ′轴、y ′轴， 使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝OB ＝OC ＝2 cm ，在y ′轴上取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示.题型二 空间几何体的直观图 例2 画出正五棱柱的直观图．[解] (1)画轴．画x ′轴、y ′轴和z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图①所示．(2)画底面．按x ′轴、y ′轴画正五边形的直观图ABCDE .(3)画侧棱．过点A 、B 、C 、D 、E 分别作z ′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′都相等．(4)成图，顺次连接A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．类题通法画空间几何体的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”.[变式训练2] 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的直观图．解 画法：(1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°. (2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．题型三 由直观图还原平面图形例3 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )A.24a 2B ．22a 2C ．a 2D ．2a 2 [解析] 由直观图还原出原图，如图，所以S ＝a ·22a ＝22a 2.[答案] B类题通法由直观图还原平面图形的关键两点(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[变式训练3]一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为( )A．2 B. 2 C．2 2 D．4答案 D解析如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高．原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的2倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的22倍，梯形OA′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4.培优训练易错点⊳画直观图时忽略斜二测画法的规则[典例] 画出下图中四边形OABC的直观图．[错解] 如图(1)所示，画x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ＝45°.在x ′轴上取O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，在y ′轴上取O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝90°，取A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，擦去辅助线，所得四边形O ′A ′B ′C ′为四边形OABC 的直观图，如图(2)所示．[错因分析] 错解中没有将∠B ′D ′A ′画成135°.[正解] 如图(1)所示，画x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上取O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，在y ′轴上取O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝135°，取A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，擦去辅助线，所得四边形O ′A ′B ′C ′为四边形OABC 的直观图，如图(2)所示．课堂小结1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：S 直S 原＝24. 2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.随堂巩固训练1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )A ．16B ．64C．16或64 D．无法确定答案 C解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )答案 C解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3．在用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，与轴不平行的线段的长度( ) A．变大B．变小C．一定改变D．可能不变答案 C解析当与x轴不平行时，过该线段的中点作x轴的垂线，该垂线与y轴平行，画直观图时，该直线平行于y′轴，并且长度减半，从而原线段端点位置改变，导致长度改变．4．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形答案 C解析水平放置的△ABC有一边在水平线上，因为直观图是正三角形，所以原图形有一角大于90°，故为钝角三角形．3 三视图[学习目标] 1.理解三视图的概念；能画出简单空间图形的三视图． 2.了解简单组合体的组成方式，会画简单几何体的三视图． 3.能识别三视图所表示的立体模型.课前自主学习1．组合体(1)定义：由基本几何体生成的几何体叫作组合体．(2)基本形式：有两种，一种是将基本几何体拼接成组合体；另一种是从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体．2．三视图(1)空间几何体的三视图是指主视图、左视图、俯视图．(2)三视图的排列规则是俯视图放在主视图的下方，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．(3)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从正前方、正上方、正左侧观察同一个几何体，所画出的空间几何体的平面图形．【即时小测】1．思考下列问题(1)对于一般的物体，三视图分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)？哪些数量(长、宽、高)?提示：主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映物体的高度和宽度．(2)三视图中的三个图形一般怎样排列？对于一般的几何体，几何体的主视图、左视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？提示：三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．为了便于记忆，通常说：“长对正，高平齐，宽相等”或说“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”．(3)下面是某一几何体的三视图，想象几何体的结构特征，你能画出几何体的直观图吗？提示：由几何体的三视图可知，几何体是一个倒立的三棱台，即上底面面积大，下底面面积小，直观图如下图．2．如下图所示，乙图是甲几何体的________视图．。

第1课时 空间图形基本关系的认识与公理1～3[核心必知]1．空间图形的基本位置关系点⎩⎨⎧点与直线⎩⎪⎨⎪⎧ 点在直线上点在直线外点与平面⎩⎪⎨⎪⎧点在平面内点在平面外2．空间图形的3条公理文字语言图形语言符号语言公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A 、B 、C 三点不共线，则存在唯一一个平面α使A∈α，B ∈α，C ∈α续表文字语言图形语言 符号语言公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B∈α，则公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A ∈α，A ∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l ，且A ∈l[问题思考]1．三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面．2．三条两两相交的直线，可以确定几个平面？提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面．讲一讲1．如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．[尝试解答]证明：∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα.即aα，∴a，b，c三线共面．证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．练一练1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，如图．∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理2可知：lα.∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知lβ.∴平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴直线a，b，c和l共面.讲一讲2.已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R三点共线．[尝试解答]证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∴B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上．练一练2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.讲一讲3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．[尝试解答]证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．练一练3．已知在正方体ABCD­A′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P.证明：由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．因为E，F不与A′，B重合，所以EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形．设D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P.已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解]∵A，B，C，D共面，∴点A在点B，C，D所确定的平面内．∵点B，C，D，E四点共面，∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面．[错因]在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础．[正解]A，B，C，D，E五点不一定共面．(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A ∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．1．下列图形中不一定是平面图形的是( ) A ．三角形 B ．菱形C ．梯形D ．四边相等的四边形解析：选D 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 2．(重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是 ( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：选A 如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a >0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，显然A 、B 、E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2. ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ②两条直线可以确定一个平面 ③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A 两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，①错；两条直线异面时不能确定一个平面，②错；空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，④错．∴只有③对．4．如图所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与D1C的位置关系是__________；(2)直线A1B与B1C的位置关系是__________；(3)直线D1D与D1C的位置关系是__________；(4)直线AB与B1C的位置关系是__________．答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．答案：平行、相交或异面6．证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．证明：设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1，l2，l3，且l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C(如图所示)．∵l1与l2相交，∴l1与l2确定一平面α.∵B∈l2，C∈l1，∴B∈α，C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α，即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行解析：选B若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作()A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．A b，bβD．A b，b∈β解析：选B∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A∈b，bβ.3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR解析：选C∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4 C．5 D．6解析：选C与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上解析：选A因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE 是异面直线；④DN与BM是异面直线．解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．第2课时空间图形的公理4及等角定理[核心必知]1．公理4平行于同一条直线的两条直线平行．2．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形．4．异面直线所成的角(1)过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．(2)当异面直线a与b所成的角为直角时，a与b互相垂直．[问题思考]1．公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．2．两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定．只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．讲一讲1.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别为线段A1B，B1D1，A1B1上的点，若B1NB1D1＝BMBA1＝13，且PN∥A1D1.求证：PM∥AA1.[尝试解答]证明：∵PN∥A1D1，B1NB1D1＝13，得B1PB1A1＝13，又BMBA1＝13，∴PM∥BB1.而BB1∥AA1，∴PM∥AA1.空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行．(2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行．练一练1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD与C′D′的位置重合，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．证明：在梯形ABCD 中，EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )．在梯形ABC ′D ′中，G ，H 分别是AD ′，BC ′的中点， ∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)．又CD ＝C ′D ′，∴EFGH ，∴四边形EFGH 为平行四边形.讲一讲2.如图所示，已知E ，E 1分别是正方体AC 1的棱AD ，A 1D 1的中点， 求证：∠C 1E 1B 1＝∠CEB .[尝试解答] 证明：连接EE 1，∵E ，E 1分别是AD ，A 1D 1的中点， ∴A 1E 1AE ，∴四边形A 1E 1EA 为平行四边形， ∴A 1A E 1E . 又A 1AB 1B ，由基本性质4知B 1BE 1E ，∴四边形E 1EBB 1为平行四边形， ∴E 1B 1∥EB . 同理E 1C 1∥EC .又∠C 1E 1B 1与∠CEB 的对应边方向相同， ∴∠C 1E 1B 1＝∠CEB .1．证明两角相等的方法①等角定理；②三角形全等；③三角形相似．2．利用等角定理证明两角相等，关键是证明角的两边分别平行，另外要注意角的方向性．练一练2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：(1)EF E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF12BD.同理，E1F112B1D1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD B1D1，又EF 12BD，E1F112B1D1，所以EF E1F1.(2)分别取A1B1、A1D1的中点M、N，连接BM、DN、MF1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，由题意，MF1BC，A1M BE，∴四边形BCF1M，四边形A1EBM是平行四边形，∴A1E∥BM∥CF1.同理可证A1F∥DN∥CE1.又A1E、A1F、CF1、CE1，分别为∠EA1F、∠E1CF1的对应两边，且方向相反，∴∠EA1F ＝∠E1CF1.在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD是异面直线C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[错解]如图，∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD.故选A.[错因]错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内．[正解]构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(1))；(2)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(2))；(3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，使∠ABC＝∠BCD.由(1)知AB∥CD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线．[答案]D1．下列结论正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.A．0 B．1 C．2 D．3解析：选B①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确．可能平行，可能相交也可能异面．3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．4．如图，夹在两平行平面间的两条线段AB，CD交于点O，已知AO＝4，BO＝2，CD ＝9.则线段CO，DO的长分别为________，________.解析：∵AB，CD相交于O点，∴AC，BD共面．又AC与BD不相交，∴AC∥BD.∴CODO＝AOBO，又DC＝9，AO＝4，BO＝2.∴CO＝6，DO＝3.答案：635．已知E，F，G，H为空间中的四个点，且E，F，G，H不共面，则直线EF和GH 的位置关系是________．解析：假设共面，则E，F，G，H共面，与已知矛盾，∴EF与GH不共面，即异面．答案：异面6．如图所示，不共面的三条射线OA ，OB ，OC ，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC .证明：在△OAB 中，∵OA 1OA ＝OB 1OB ，∴A 1B 1∥AB .同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .∴∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC .∴△A 1B 1C 1∽△ABC .一、选择题1．若直线a ∥b ，b ∩c ＝A ，则a 与c 的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面或相交解析：选D a 与c 不可能平行，若a ∥c ，又因为a ∥b ，所以b ∥c ，这与b ∩c ＝A 矛盾，而a 与c 异面、相交都有可能．2．如图所示，在三棱锥P ­ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对解析：选B 据异面直线的定义可知共有3对．AP 与BC ，CP 与AB ，BP 与AC . 3．如图所示，在长方体木块AC 1中，E ，F 分别是B 1O 和C 1O 的中点，则长方体的各棱中与EF 平行的有( )A ．3条B ．4条C．5条D．6条解析：选B由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是()A．5 B．10 C．12 D．不能确定解析：选B如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 12BD，FG12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是() A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线②直线AM与BN是平行直线③直线BN与MB1是异面直线④直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．解析：由异面直线的定义知③④正确．答案：③④三、解答题9．长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，∵A 1B 1C 1D 1，∴EMC 1D 1，∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MBC 1F ，∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点． 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ＝λ，故EHλBD .同理FGμBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交． 设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .。

4．2空间图形的公理(二)1．公理4文字语言图形语言符号语言平行于同一条直线的两条直线平行若a∥b，b∥c，则a∥c空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．异面直线不共面(不同在任何一个平面内)的两条直线叫作异面直线．4．异面直线所成的角定义过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角取值范围异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°特例当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d.()(2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线．()(3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线．()答案：(1)√(2)×(3)×2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对答案：B3．垂直于同一条直线的两条直线()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能解析：选D.可借助正方体来分析，可知平行、相交及异面都有可能，故选D.4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与BD所成角的大小为________．答案：60°关于等角定理的两点说明(1)等角定理又常称空间等角定理，是在空间中来证明两个角相等的，在平面中同样成立．(2)应用空间等角定理必须满足条件：一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，所得结论“相等或互补”可以分为以下三种情形：①若角的两边对应方向相同，则两角相等；②若角的两边对应方向相反，则两角相等；③若一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则两角互补．公理4的应用在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A，C1C的中点，求证：四边形MBND1为平行四边形．∥[证明]取B1B的中点P，连接C1P，MP.因为N为C1C的中点，由正方体性质知C1N═∥BN，(*)PB，所以四边形C1PBN为平行四边形，所以C1P═又因为M，P分别为A1A，B1B的中点，有MP═∥A1B1.又由正方体性质知A1B1═∥C1D1，所以MP═∥C1D1，所以四边形D 1MPC 1为平行四边形，所以C 1P ═∥MD 1. 由(*)知MD 1═∥BN ， 所以四边形MBND 1为平行四边形．若本例中的条件不变，求证改为“四边形MBND 1为菱形”，又该如何证？证明：接例题的证明，在Rt △MA 1D 1与Rt △MAB 中，A 1M ＝AM ，A 1D 1＝AB ，∠MA 1D 1＝∠MAB ＝90°，所以△MA 1D 1≌△MAB ，所以MD 1＝MB ， 所以四边形MBND 1为菱形．在空间中遇到线段中点的常用处理方法(1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系．(2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直线的平行关系．1.(1)如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在边CD ，DA 上，且满足CG ＝12GD ，DH ＝2HA ，则四边形EFGH 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形(2)如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D ，E 分别是△P AB 和△PBC 的重心．求证：DE ∥AC ，DE ＝13AC .解：(1)选D.因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF ═∥12AC ， 又DH HA ＝21，DG GC ＝21， 所以DH HA ＝DG GC ，所以HG ═∥23AC ， 所以EF ∥HG 且EF ≠HG ， 所以四边形EFGH 为梯形． (2)证明：如图，连接PD ，PE 并延长分别交AB ，BC 于M ，N .因为D ，E 分别是△P AB ，△PBC 的重心，所以M ，N 分别是AB ，BC 的中点，连接MN ，则MN ∥AC ，且MN ＝12AC .①在△PMN 中，因为PD PM ＝PE PN ＝23， 所以DE ∥MN ，且DE ＝23MN .②由①，②，根据公理4，得： DE ∥AC ，且DE ＝23×12AC ＝13AC .等角定理的应用已知棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.[证明] 如图，连接AC，在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是△ADC的中位线，所以MN∥AC，由正方体的性质得AC∥A1C1，所以MN∥A1C1.又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．(2)证明角相等，一般采用三种途径①利用等角定理及推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等．2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，所以PN∥BC.①又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，所以A1M═∥NC.所以四边形A1NCM为平行四边形，于是A 1N ∥MC .②由①②及∠PNA 1与∠BCM 对应边方向相同，得∠PNA 1＝∠BCM .异面直线所成的角如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，求异面直线AD 、BC 所成角的大小．[解] 如图，取BD 的中点M ，连接EM ，FM . 因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以EM ═∥12AD ，FM ═∥12BC ，则∠EMF 或其补角就是异面直线AD 、BC 所成的角． 因为AD ＝BC ＝2，所以EM ＝MF ＝1， 在等腰△MEF 中，过点M ，作MH ⊥EF 于H ， 在Rt △MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32，则sin ∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°， 则∠EMF ＝2∠EMH ＝120°.所以异面直线AD 、BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD 、BC 所成的角为60°.(1)求异面直线所成角的步骤一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角；三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解．(2)注意①作异面直线所成的角时，要选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置上的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的一个特殊点．②平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况．3.如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直线与直线BC′是异面直线？(2)求异面直线AD′与B′C所成角的大小以及A′C与AB所成角的正切值．解：(1)所在直线与BC′是异面直线的棱有：AA′，DD′，A′B′，DC，AD，A′D′.(2)因为AD′∥BC′，所以AD′与B′C所成的角就是BC′与B′C所成的角．因为BC′⊥B′C，所以AD′与B′C所成的角等于90°.因为AB∥CD，所以∠A′CD就是异面直线A′C与AB所成的角．在△A′CD中，若设正方体的棱长为a，则CD＝a，A′D＝2a，A′C＝3a，因此△A′CD是直角三角形，＝2，于是tan∠A′CD＝2aa即A′C与AB所成角的正切值为 2.规范解答求异面直线上两点间的距离所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．[解]如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为OE∥AC，OF∥BD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，(4分)所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.(6分)当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝12. (9分)当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×34＝32. (12分)(1)解题时，首先在处利用中位线作出异面直线AC和BD所成的角是关键，也是失分点．(2)在处，因为作出的∠EOF不一定就是60°，也可能是120°，此处容易出错，造成后面解答不全面，而出现漏解，失分点．(3)求异面直线上两点间的距离，其重点还是在考查对异面直线所成角的理解和应用，其步骤是：一、作图；二、确定三角形中的已知条件；三、解三角形，求出长度．1．若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，则OB与O′B′() A．一定平行且方向相同B．一定平行且方向相反C．一定不平行D．不一定平行答案：D2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面解析：选D.分别和两条异面直线平行的两条直线相交或异面，如图(1)(2)．3．如图，点G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形是________．解析：①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG、NM必相交，②④正确．答案：②④4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∩D1B1＝O，E，F分别是B1O和C1O的中点，则在长方体各棱中与EF平行的有________条．解析：与EF平行的棱为B1C1，BC，AD，A1D1，共4条．答案：4,[学生用书P95(单独成册)])[A基础达标]1．下列命题中，真命题的个数是()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．A．0B．1C．2 D．3解析：选 B.①这两个角也可能互补，故①是错误的；②是正确的，它是等角定理的推广和延伸．③空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，故③是错误的．所以结论正确的个数为1.2．已知不同的直线a，b，c，下列说法正确的是()A．a∥b，b∥c，则a∥cB．a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．a与b所成的角与b与c所成的角相等，则a∥c解析：选A.A是公理4的内容．如图正方体中，AB，A1B1都与CC1异面，但AB与A1B1不异面，B 错，AB，A1B1都与BB1相交，但AB与A1B1不相交，C错；AB，BC都与DD1成90°角，但AB与BC不平行，D错．3．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形() A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．全等或相似解析：选D.由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以选D.4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选C.如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF ∥AC ，GH ∥AC ，所以EF ∥GH ，故选C.5．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断正确的是( ) A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN ＜12(AC ＋BD )解析：选D.如图，取BC 的中点H ，连接MH ，HN ，MN ，据题意有MH ＝12AC ，MH ∥AC ，HN ＝12BD ，HN ∥BD .在△MNH 中，由两边之和大于第三边知，MN ＜MH ＋HN ＝12(AC＋BD )．6.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1分别是正方形ABCD 和A 1B 1C 1D 1的对角线，(1)∠DBC 的两边与∠________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC 的两边与∠________的两边分别平行且方向相反． 答案：(1)D 1B 1C 1 (2)A 1D 1B 17．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD . 以上结论中正确的是________(填序号)．解析：把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．答案：①③8．如图，在正方体AC 1中，AA 1与B 1D 所成角的余弦值是________．解析：因为B 1B ∥A 1A ，所以∠BB 1D 就是异面直线AA 1与B 1D 所成的角，连接BD . 在Rt △B 1BD 中，设棱长为1，则B 1D ＝ 3. cos ∠BB 1D ＝BB 1B 1D ＝13＝33.所以AA 1与B 1D 所成的角的余弦值为33.答案：339.在如图所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别是棱AB ，AD ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：(1)EF ═∥E 1F 1； (2)∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF═∥12BD.同理，E1F1═∥12B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为A1A═∥B1B，A1A═∥D1D，所以B1B═∥D1D.所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD═∥B1D1.所以EF═∥E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M.因为MF1═∥B1C1，B1C1═∥BC，所以MF1═∥BC.所以四边形BCF1M是平行四边形．所以MB∥CF1.因为A1M═∥EB，所以四边形EBMA1是平行四边形．所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1.同理可证：A1F∥E1C.又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.10.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点， 所以EF ∥CD ，所以∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)． 在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ， 所以AB ＝AC ＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52. 在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. [B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的左右两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与MB 1是异面直线，直线AM 与DD 1是异面直线，故①②错误，③④正确．答案：③④13．如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形． 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ＝λ.所以EH ∥BD ，且EH ＝λBD . 在△CBD 中，CF CB ＝CGCD＝μ，所以FG ∥BD ，且FG ＝μBD ，所以EH ∥FG ， 所以顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内．(1)当λ＝μ时，EH ＝FG ，故四边形EFGH 为平行四边形； (2)当λ≠μ时，EH ≠FG ，故四边形EFGH 是梯形． 14．(选做题)如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ═∥12AD ，BE ═∥12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点． (1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：因为G ，H 分别为F A ，FD 的中点，所以GH ═∥12AD . 又BC ═∥12AD ，所以GH ═∥BC ， 所以四边形BCHG 为平行四边形．(2)由BE ═∥12AF ，G 为F A 的中点知，BE ═∥FG ， 所以四边形BEFG 为平行四边形， 所以EF ∥BG .由(1)知BG ═∥CH ，所以EF ∥CH ， 所以EF 与CH 共面．又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.4 空间图形的基本关系与公理基础巩固北师大版必修2一、选择题1．已知点A，直线a，平面α：①A∈a，a⃘α⇒A∉α②A∈a，a∈α⇒A∈α③A∉a，aα⇒A∉α④A∈a，aα⇒Aα以上命题表述正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] ①中若a与α相交，且交点为A，则不正确；②中“a∈α”符号不对；③中A可以在α内，也可以在α外，故不正确；④符号“Aα”错．2．在空间中，下列命题成立的有________个( )①两组对边都平行的四边形是平行四边形②两组对边分别相等的四边形是平行四边形③顺次连接空间四边形各边中点所得的一定是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析] ②错误．3．在空间中，可以确定一个平面的条件是( )A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中一条直线与另外两条直线分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点[答案] D[解析] A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；对于C来说，三个点的位置可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上，只有前者才能确定一个平面，因此，排除C；只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理1知其可以确定一个平面．4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E，F，各棱所在的直线与直线EF互为异面直线的条数是( )A．4 B．6C．8 D．10[答案] C[解析] AB，AD，AA1，A1B1，A1D1，D1D，D1C1，DC与直线EF都是异面直线．5．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③[答案] C[解析] ①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误．故选C.6．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( )A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合[答案] C[解析] ∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A写法错误．二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线CC1平行的棱的条数是________．[答案] 3[解析] 与CC1平行的棱有AA1，BB1，DD1.8．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有________个．[答案] 1或4[解析] 四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作4个平面．三、解答题9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q.求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．[解析] 如图(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．(2)正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α，又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，∴R∈α，且R∈β，故R∈PQ.所以P、Q、R三点共线．一、选择题1．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[答案] B[解析] 对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A.对于B，由于l和m 有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确．2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )A．45° B．60°C．90° D．120°[答案] B[解析] 取A1B1的中点M，连接GM，HM.∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，H，G分别为A1B1，B1C1，B1B的中点，∴△GMH为正三角形，EF∥MG.于是∠MGH为异面直线EF与GH所成的角，即为60°角．二、填空题3．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．[答案] 3[解析] 将展开图恢复成正方体后，得到AB与CD，EF与GH，AB与GH三对异面直线．4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．[答案] ③④三、解答题5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线．[解析] 因为点P既在平面α内又在平面AB1内，所以点P在平面α与平面AB1的交线上．同理，点A1在平面α与平面AB1的交线上．因此，PA1就是平面α与平面AB1的交线．同理可得：交线A1C1与交线PC1.所以由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线如图所示．6．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．[解析] ∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与平面β的一个公共点．同理可证，F，G，H为平面α与平面β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．7．如图，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且OAOA′＝BOOB′＝COOC′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．[解析] (1)证明：∵AA′与BB′交于点O，且AOOA′＝BOOB′＝23，∴AB∥A′B′.同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.∴同理∠ABC＝∠A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′，且ABA′B′＝AOOA′＝23.∴S△ABCS△A′B′C′＝(23)2＝49.。