【学案】【第3章 三角函数】§3.5 三角函数的性质(2)

三角函数的性质教学案一、教学目标：1. 理解和掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义；2. 掌握三角函数的性质，包括奇偶性、周期性和界值；3. 能够应用三角函数的性质解决实际问题。

二、教学内容及过程：1. 引入（10分钟）- 通过问问题或以生活实例的形式引入三角函数的概念，让学生了解三角函数与角度的关系。

- 引导学生思考正弦、余弦和正切在直角三角形中的定义和含义。

2. 正弦函数的性质（20分钟）- 定义正弦函数sin(x) = a/c，其中a为直角三角形中的对边，c为斜边。

- 解释正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，可通过图像和数值验证。

- 探究正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，通过图像和数值验证。

3. 余弦函数的性质（20分钟）- 定义余弦函数cos(x) = b/c，其中b为直角三角形中的邻边，c为斜边。

- 解释余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，可通过图像和数值验证。

- 探究余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，通过图像和数值验证。

4. 正切函数的性质（20分钟）- 定义正切函数tan(x) = a/b，其中a为直角三角形中的对边，b为邻边。

- 解释正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，可通过图像和数值验证。

- 探究正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，通过图像和数值验证。

5. 三角函数的界值（20分钟）- 分析正弦函数和余弦函数的最大值和最小值，并求出对应的角度。

- 分析正切函数的无界值，并讨论tan(90°)的极限值。

6. 实际问题应用（20分钟）- 提供一些实际问题，如建筑物高度的测量、天线角度的调整等，让学生应用三角函数的性质解决问题。

7. 总结与拓展（10分钟）- 学生总结所学的三角函数的性质，并归纳出定理和公式。

- 提出进一步拓展的问题，如三角函数的图像变换和三角恒等式等。

高中数学教案：学习三角函数的性质和应用学习三角函数的性质和应用一、三角函数的性质1. 余弦函数的性质余弦函数是数学中常见的三角函数之一，它在数学以及物理等领域中有着广泛的应用。

余弦函数有以下几个基本性质：（1）定义域和值域：余弦函数的定义域是实数集，即cos(x)对于任意实数x都有定义。

其值域为[-1,1]，即cos(x)的取值范围在-1到1之间。

（2）周期性：余弦函数是一个周期为2π的周期函数。

即对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)，cos(x-2π)=cos(x)。

（3）奇偶性：余弦函数是一个偶函数，即对于任意实数x，有cos(-x)=cos(x)。

2. 正弦函数的性质正弦函数也是常见的三角函数之一，在航天、电子工程等领域中经常被使用。

正弦函数具有以下几个基本性质：（1）定义域和值域：正弦函数也是定义在整个实数集上的，即sin(x)对于任意实数x都有定义。

其值域为[-1,1]，即sin(x)的取值范围也在-1到1之间。

（2）周期性：正弦函数与余弦函数一样，也是一个周期为2π的周期函数。

即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)，sin(x-2π)=s in(x)。

（3）奇偶性：正弦函数是一个奇函数，即对于任意实数x，有sin(-x)=-sin(x)。

二、三角函数的应用1. 三角恒等式和化简三角恒等式是研究三角函数关系的重要工具。

在解决实际问题时，经常需要使用三角恒等式将复杂的表达式化简为简洁形式。

例如，利用三角恒等式 sin^2(x)+cos^2(x)=1 可以将复杂的表达式进行简化。

又如，利用 tan^2(x)+1=sec^2(x) 和 cot^2(x)+1=csc^2(x) 可以将涉及tan、cot等函数的表达式转化为其他函数表示。

在实际应用中，我们可以利用这些恒等式来描述旋转、振动、波动领域中的现象或者计算物体运动中涉及到的角度和距离等问题。

2. 三角函数在几何图形中的应用三角函数在几何图形中有着广泛的应用。

《三角函数的定义和性质》教案三角函数的定义和性质教案一、引入在本节课中，我们将研究三角函数的定义和性质。

三角函数是数学中重要的概念之一，对于理解和解决三角形相关的问题非常有帮助。

二、三角函数的定义1. 正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的一种。

它的定义如下：$$\sin(\theta) = \frac{opposite}{hypotenuse}$$其中，$\theta$ 代表角度，$opposite$ 表示直角三角形中对边的长度，$hypotenuse$ 表示斜边的长度。

2. 余弦函数余弦函数是另一种常用的三角函数。

它的定义如下：$$\cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$$其中，$\theta$ 代表角度，$adjacent$ 表示直角三角形中邻边的长度，$hypotenuse$ 表示斜边的长度。

3. 正切函数正切函数是三角函数中的另一个重要概念。

它的定义如下：$$\tan(\theta) = \frac{opposite}{adjacent}$$其中，$\theta$ 代表角度，$opposite$ 表示直角三角形中对边的长度，$adjacent$ 表示直角三角形中邻边的长度。

三、三角函数的性质1. 基本性质- 正弦函数和余弦函数的取值范围在 -1 到 1 之间。

- 正弦函数具有奇函数的性质，即 $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$。

- 余弦函数具有偶函数的性质，即 $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$。

- 正切函数在某些角度下可能不存在，例如 $\theta =90^\circ$ 的情况。

2. 周期性三角函数都具有周期性的性质，即它们的值在一定的角度范围内重复出现。

具体来说：- 正弦函数和余弦函数的周期为 $360^\circ$ 或 $2\pi$。

- 正切函数的周期为 $180^\circ$ 或 $\pi$。

高中数学教案解析三角函数的性质正文：欢迎大家来到今天的高中数学课堂。

在这节课中，我们将会深入了解三角函数的性质。

三角函数是数学中的重要概念之一，它在几何、物理等领域都有广泛的应用。

本节课的目标是通过解析三角函数的性质，帮助同学们更深入地理解和应用三角函数。

1. 基本定义首先，我们来回顾一下三角函数的基本定义。

在直角三角形中，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）分别等于$$\sin(A) = \frac{a}{c}, \quad \cos(A) = \frac{b}{c}, \quad \tan(A) =\frac{a}{b}$$其中，边$a$、$b$、$c$分别代表三角形的边长，$A$代表三角形的一个角度。

2. 周期性质接下来，我们来讨论三角函数的周期性质。

正弦函数和余弦函数的周期都是$2\pi$，而正切函数的周期是$\pi$。

也就是说，正弦函数和余弦函数在每个$2\pi$的区间内呈现相同的函数值，正切函数则是在每个$\pi$的区间内函数值相同。

这个性质非常重要，因为它使我们能够对三角函数的图像进行有效的推断和绘制。

同时，周期性质也帮助我们在解三角方程时能够找到所有解。

3. 奇偶性质三角函数还具有奇偶性质。

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。

奇函数的特点是当自变量取相反数时，函数值也取相反数。

这就意味着正弦函数在对称中心点（原点）关于$y$轴对称。

偶函数的特点是当自变量取相反数时，函数值不变。

因此，余弦函数在对称中心点关于$y$轴对称。

4. 区间上的性质三角函数在不同的区间上表现出不同的性质。

我们来看一下三角函数在不同区间上的取值范围：- 正弦函数的取值范围是$[-1,1]$；- 余弦函数的取值范围也是$[-1,1]$；- 正切函数的取值范围是整个实数集。

这个性质对于解三角方程和应用题目非常重要，它限制了三角函数的取值范围，使得我们能够更准确地进行计算和推导。

第03讲三角函数的图象与性质（6类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5-11分【备考策略】1能用五点作图法作出正弦、余弦和正切函数图象，并掌握图象及性质2能用五点作图法作出正弦型、余弦型和正切型函数图象，并掌握图象及性质3理解hxAy++=)sin(ϕω中hA、、、ϕω的意义，理解hA、、、ϕω的变化对图象的影响，并能求出参数及函数解析式【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会综合考查三角函数的图象与性质的综合应用，需加强复习备考1.三角函数的图象与性质siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kppìü¹+ÎZíýîþ值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kpp=+时，max1y=；当22x kpp=-时，min1y=-．当2x k p=时，max1y=；当2x k p p=+时，min1y=-．既无最大值也无最小值2.三角函数型函数的图象和性质（1）正弦型函数、余弦型函数性质h x A y ++=)sin(ϕω，hx A y ++=)cos(ϕωA 振幅，决定函数的值域，值域为[]A A ,-ω决定函数的周期，ωp2=T ϕω+x 叫做相位，其中ϕ叫做初相（2）正切型函数性质h x A y ++=)tan(ϕω的周期公式为：ωp=T （3）会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质1．（2024·上海·高考真题）下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x C ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-2．（2024·全国·高考真题）函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ．周期性2p 2p p奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k pp p p éù-+êúëû上是增函数；在32,222k k p p p p éù++êúëû上是减函数．在[]2,2k k p p p -上是增函数；在[]2,2k k p p p +上是减函数．在,22k k pp p p æö-+ç÷èø上是增函数．对称性对称中心(),0k p 对称轴2x k pp =+对称中心,02k p p æö+ç÷èø对称轴x k p=对称中心,02k p æöç÷èø无对称轴3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x p æö=-ç÷èø单调递增的区间是（ ）A ．0,2p æöç÷èøB ．,2ππæöç÷èøC ．3,2p p æöç÷èøD ．3,22p p æöç÷èø4．（2024·全国·高考真题）（多选）对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法中正确的有（ ）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴5．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03æöç÷èø中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12æöç÷èø单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212æö-ç÷èø有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线1．（2021·全国·高考真题）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和22．（2024·天津·高考真题）已知函数()()πsin303f x x ωωæö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A ．B ．32-C ．0D ．323．（2024·全国·高考真题）当[0,2]x p Î时，曲线sin y x =与2sin 36y x p æö=-ç÷èø的交点个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．84．（2022·天津·高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,44-上单调递增；③当ππ,63x éùÎ-êúëû时，()f x 的取值范围为éêë；④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2024·河北唐山·二模）函数()()sin 2f x x ϕ=-π2ϕæö£ç÷èø在π0,3æöç÷èø上为单调递增函数，则ϕ的取值范围为（ ）A ．ππ,26éù--êúëûB ．π,06éù-êúëûC ．ππ,62éùêúëûD ．π0,6éùêúëû1．（2023·天津·高考真题）已知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且()f x 的一个周期为4，则()f x 的解析式可以是（ ）A ．sin 2x p æöç÷èøB ．cos 2x p æöç÷èøC ．sin 4x p æöç÷èøD ．cos 4x pæöç÷èø2．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26p p æö--ç÷èø上单调递减B ．()f x 在,412p p æö-ç÷èø上单调递增C ．()f x 在0,3p æöç÷èø上单调递减D ．()f x 在7,412p p æöç÷èø上单调递增3．（2024·全国·二模）已知函数()2πcos 23f x x æö=-ç÷èø，2ππ,33x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的单调递减区间为.4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数π()2cos 26f x x æö=+ç÷èø在区间[]0,a 上的值域为é-ë，则a 的取值范围为（ ）A ．5π5π,126éùêúëûB ．5π11π,1212éùêúëûC ．25,512ππéùêúëûD ．5π,π12éùêúëû5．（2024·江苏扬州·模拟预测）（多选）已知函数()2π2cos 6f x x æö=-ç÷èø，则（ ）A ．()f x 最小正周期为2πB ．π6x =是()f x 图象的一条对称轴C ．5π,112æöç÷èø是()f x 图象的一个对称中心D ．()f x 在ππ,44æö-ç÷èø上单调1．（2024·全国·模拟预测）函数()π3cos 26f x x æö=-+ç÷èø的单调递增区间为（ ）A ．πππ,π,36k k k éù-+ÎêúëûZB ．π2ππ,π,63k k k Zéù++ÎêúëûC ．7πππ,π,1212k k k éù--ÎêúëûZD ．π5ππ,π,1212k k k éù-+ÎêúëûZ2．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为983．（2024·福建漳州·一模）已知函数()π2cos 36f x x æö=+ç÷èø在0,6a éùêúëû上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．3π24．（2024·浙江·模拟预测）（多选）已知函数()2ππsin 248f x x x æöæö=+++ç÷ç÷èøèø，则以下结论正确的为（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 图象关于点5π24æçè对称C ．()f x 在4π3π,32æöç÷èø上单调递减D ．将()f x 图象向左平移11π24个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数1．（2024·上海·三模）函数tan()6πy x =-+的最小正周期为 ．2．（2024·安徽·三模）“ππ,4k k ϕ=-+ÎZ ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04æöç÷èø对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（多选）若函数()πtan 238f x x æö=-+ç÷èø，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ìü¹+ÎíýîþZ C ．()f x 在π3π,1616æöç÷èø上单调递增D ．()f x 的图象关于点π,016æöç÷èø对称4．关于函数()y f x =，其中()tan tan f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间π0,2æöç÷èø上是严格增函数；③()f x 在[]π,π-有3个零点； ④()f x 的最小正周期为π．其中所有正确结论的编号是（ ）．A ．①②B ．②④C ．①④D ．①③5．函数()()tan sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为R B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 既有最大值又有最小值1．（2024·湖北荆州·三模）函数π()tan(23f x x =+的最小正周期为（ ）A ．πB ．π2C ．π3D ．π62．（2023·河南·模拟预测）已知函数π()tan 23f x x æö=+ç÷èø，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间π7π,1212éùêúëû上单调递增C ．()f x 图象的一个对称中心为π,012æöç÷èøD ．()f x 的最小正周期为π3．（多选）已知函数()ππtan 124f x x æö=++ç÷èø，则（ ）A ．()f x 的一个周期为2B ．()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ìü¹+ÎíýîþC ．()f x 的图象关于点1,12æöç÷èø对称D ．()f x 在区间[]1,2上单调递增9．（2024·湖南长沙·二模）已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕæö=+><<ç÷èø的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k æù-+ÎçèûB ．()5π2π2π,2πZ 33k k k æù--ÎçúèûC ．()4ππ2π,2πZ 33k k k æù--ÎçúèûD ．()π2π2π,2πZ 33k k k æù-+Îçúèû1．（2023·天津·高考真题）已知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且()f x 的一个周期为4，则()f x 的解析式可以是（ ）A ．sin 2x pæöç÷èøB ．cos 2x p æöç÷èøC ．sin 4x p æöç÷èøD ．cos 4x pæöç÷èø2．（2024·北京·高考真题）设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π2，则ω=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2021·全国·高考真题）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f p p æöæöæöæö--->ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø的最小正整数x 为．4．（2023·全国·高考真题）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf = ．5．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b p ωωæö=++>ç÷èø的最小正周期为T ．若23T p p <<，且()y f x =的图象关于点3,22p æöç÷èø中心对称，则2f p æö=ç÷èø（ ）A ．1B ．32C ．52D ．36．（2023·全国·高考真题）已知函数()()()sin ,0f x x ωϕω=+>在区间π2π,63æöç÷èø单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f æö-=ç÷èø（ ）A ．B ．12-C ．12D1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则π7π46f f æöæö+-=ç÷ç÷èøèø（ ）A B C ．0D 2．（2024·重庆·三模）已知函数()sin()0,0,22f x A x A p p ωϕωϕæö=+>>-<<ç÷èø的部分图像如图所示，若1()3f q =，则523f p q æö+=ç÷èø（ ）A ．29-B ．29C ．79-D ．793．（2024·全国·模拟预测）已知直线ππ,123x x ==是函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕæö=+>><ç÷èø图象的两条相邻的对称轴，且ππ4312f f æöæö-=-ç÷ç÷èøèø，则()f ϕ=（ ）A ．BC ．1-D ．14．（2024·安徽·三模）已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕæö=+><ç÷èø的部分图象如下图所示，若曲线()y f x =过点3π,28A æö--ç÷èø，(B ，()()11,C x f x ，()()22,D x f x ，且()()1212f x f x =-=-，则()12cos 22x x -=（ ）A ．78B ．78-C D ．5．（2024·广东汕头·三模）已知 A ，B ，C 是直线y m =与函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象的三个交点，如图所示．其中，点A ，B ，C 两点的横坐标分别为12,x x ，若21π4x x -=，则（ ）A ．π4ϕ=B ．π()2f =C ．()f x 的图象关于(π,0)中心对称D ．()f x 在π[0,]2上单调递减1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数π()cos()0,02f x x ωϕωϕæö=+><<ç÷èø的部分图象如图所示，若x "ÎR ，()()f x m f x +=-，则正整数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕæö=+>><<ç÷èø的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为π,16æöç÷èø，与x 轴的一个交点的坐标为5π,012æöç÷èø．设M ，N 为直线y t =与()f x 的图象的两个相邻交点，且π3MN =，则t 的值为（ ）A ．12±B ．12-C ．12D ．3．（2024·河南周口·模拟预测）如图，直线1y =-与函数()()00πsin 20,2f x A x A ϕϕæö=+><ç÷èø的图象的三个相邻的交点分别为A ，B ，C ，其横坐标分别为A x ，B x ，C x ，且2()C B B A A x x x x x -=-=，则ϕ的值为（ ）A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π31．（2024·山西长治·一模）已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若方程()f x m =在π[,0]2-上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,-B ．(2,-C ．(2,1]--D ．[2,1]--2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()sin f x x x ωω=+(0)>ω在区间[,]a b 上是减函数，且()1f a =，()1f b =-，πb a -=，则ω=（ ）A ．13B ．23C ．1D ．23．（2024·河南信阳·模拟预测）已知()πsin 3f x A x B ωæö=-+ç÷èø（0,0,A B ω>>为常数），()max 1()3f x f x ==，()min 2()1f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2，若()f x 在区间[],a b 上恰有8个零点，则b a -的最小值为（ ）A ．3πB ．11π3C ．7π2D ．10π34．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,t 上的值域为éùëû，则t 的取值范围为（ ）A ．5π2π,123éùêúëûB ．π5π,46éùêúëûC ．5π5π,126éùêúëûD ．5π,π12éùêúëû1．（2024·河北唐山·一模）已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则（ ）A ．()f x 在ππ,88éù-êúëû单调递增B ．3π,08æöç÷èø是()f x 的一个对称中心C ．()f x 在ππ,66éù-êëû的值域为éëD ．π8x =是()f x 的一条对称轴2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数()sin 21f x x =+，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()()g x a a =ÎR 在9π0,8éùêëû上有5个实数根，1x ，2x ，3x ，4x ，5x ()12345x x x x x <<<<，则()123452x x x x x ++++=（ ）A ．9π2B ．6πC ．7π2D ．5π3．（2024·天津红桥·一模）将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π3单位，得到函数π()sin(2)02g x x ϕϕæö=+<<ç÷èø的部分图象（如图所示）．对于1x "，2,[]x a b Î，且12x x ¹，若()()12g x g x =，都有()12g x x +=成立，则下列结论中不正确的是（ ）A ．π()sin 23g x x æö=+ç÷èøB ．π()sin 43f x x æö=-ç÷èøC ．()g x 在3ππ,2éùêúëû上单调递增D ．函数()f x 在4π0,3éùêúëû的零点为12,,,n x x x L ，则123185π22212n n x x x x x -+++++=L 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()1cos cos f x x x=-，现给出下列四个结论：①()f x 的图象关于点π,02æöç÷èø对称；②函数()()h x f x =的最小正周期为2π；③函数()()()2g x f x f x =+在π0,2æöç÷èø上单调递减；④对于函数()()()()()π2,0,,3π2g x f x f x x g x g x æö=+"Î=+ç÷èø．其中所有正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④5．（2024·广西贵港·模拟预测）（多选）设函数()f x 的定义域为R ，π(4f x -为奇函数，π()4f x +为偶函数，当ππ(,]44x Î-时，4()cos 3f x x =，则（ ）A ．(4π)()f x f x +=B ．()f x 的图象关于直线3π4x =对称C ．()f x 在区间3π(,2π)2上为增函数D ．方程()lg 0f x x -=仅有4个实数解1．（2024·山东滨州·二模）已知函数π()sin (0)6f x x ωωæö=+>ç÷èø在[]0,2π上有且仅有4个零点，直线π6x =为函数()y f x =图象的一条对称轴，则π3f æö=ç÷èø（ ）A ．B ．12-C ．12D 2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>满足：对x "ÎR ，有()()π02f f x f æö££ç÷èø，若存在唯一的ω值，使得()y f x =在区间ππ,(0)44m m m éù-+>êúëû上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）A ．π0,12æùçúèûB ．ππ,2812æùçúèûC ．ππ,2012æùçúèûD ．ππ,2820æùçúèû3．（2024·广西·模拟预测）已知函数211()cos sin (22h x x a x a =+-³，若()h x 在区间*()(0,πN )n n Î内恰好有2022个零点，则n 的取值可以为（ ）A ．2025B ．2024C ．1011D ．13484．（2024·山东烟台·三模）若定义在R 上的函数()f x 满足：π04f æö¹ç÷èø，3π04f æö=ç÷èø，且对任意1x ，2x ÎR ，都有()()()121212π44f x x f x x f x f x æö++-=×+ç÷èø，则（ ）A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．π是()f x 的一个周期D ．()f x 图象关于π4x =对称5．（2024·江西吉安·模拟预测）（多选）已知函数()sin sin cos2f x x x x =-，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()π,0对称B ．()f x 的值域为[]1,2-C ．若方程()14f x =-在()0,m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63æùçúèûD ．若方程()()()2221R f x af x a a éù-+=Îëû在()0,2π上有6个不同的实根()1,2,,6i x i =L ，则61i i a x =å的取值范围是()0,3π一、单选题1．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以π为周期，且其图象关于点π,04æöç÷èø对称的是（ ）A ．tan y x =B ．|sin |y x =C ．22cos 1y x =-D ．sin cos y x x=-2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()()cos 2210f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则()f x 的图象的一个对称中心为（ ）A ．π,012æö-ç÷èøB ．π,012æöç÷èøC ．π,112æö-ç÷èøD ．π,112æöç÷èø3．（2024·天津北辰·三模）已知函数()22cos 2cos 2f x x x x =+，则下列结论不正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的图象关于点5π1,242æöç÷èø对称C ．若()f x t +是偶函数，则ππ124k t =+，Z k ÎD ．()f x 在区间π0,4éùêúëû上的值域为[]0,14．（2024·福建泉州·一模）已知函数()f x 的周期为π，且在区间ππ,63æöç÷èø内单调递增，则()f x 可能是（ ）A ．π()sin 3f x x æö=-ç÷èøB ．π()cos 3f x x æö=-ç÷èøC ．π()sin 23f x x æö=-ç÷èøD ．π()cos 23f x x æö=-ç÷èø5．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数cos y x =与lg y x =的图象的交点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．（2024·吉林长春·模拟预测）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕæö=+>><ç÷èø的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．π2,6A ϕ==B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．函数()f x 在ππ,32æöç÷èø上单调递减D ．函数()f x 的图象上的所有点向左平移π12个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称二、多选题7．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x =×，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的最小值为12-D ．()f x 在π0,2éùêëû上单调递增8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图像关于点π,03æöç÷èø中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间π5π,1212æöç÷èø单调递减B ．()f x 在区间π11π,612æö-ç÷èø有两个极值点C ．直线5π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =+是曲线()y f x =在0x =处的切线9．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数()2πcos2cos 2,3f x x x æö=++ç÷èø则（ ）A ．函数()f x 的图象关于点7π,012æöç÷èø对称B ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位长度后所得到的图象关于y 轴对称C ．函数()f x 在区间[]0,π上有2个零点D ．函数()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增10．（2024·浙江·模拟预测）已知函数()()πcos 03f x x ωωæö=+>ç÷èø，则（ ）A ．当2ω=时，π6f x æö-ç÷èø的图象关于π2x =对称B ．当2ω=时，()f x 在π0,2éùêúëûC ．当π6x =为()f x 的一个零点时，ω的最小值为1D ．当()f x 在ππ,36æö-ç÷èø上单调递减时，ω的最大值为1一、单选题1．（2024·全国·三模）若偶函数()()()πcos sin 0,2f x x x ωϕωϕωϕæö=+++><ç÷èø的最小正周期为π2，则（ ）A ．2ω=B ．ϕ的值是唯一的C ．()f xD ．()f x 图象的一条对称轴为π4x =2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数()cos2πf x x =，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（ ）A ．(21)y f x =-B ．12x y f æö=-ç÷èøC ．122x y f æö=-ç÷èøD ．122y f x æö=-ç÷èø3．（2024·陕西西安·模拟预测）将函数()πsin 212f x x æö=-ç÷èø的图象向左平移π8个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a éùêúëû和7π4,6a éùêúëû上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．π7π,624éö÷êëøB ．ππ,62éö÷êëøC ．7ππ,242éö÷êëøD ．π7π,1224éö÷êëø4．（2024·山东济宁·三模）已知函数1()cos )cos 2f x x x x =+-，若()f x 在区间π[,]4m -上的值域为[，则实数m 的取值范围是（ ）A ．ππ[,62B ．ππ[,]62C ．π7π[,612D ．π7π,612éùêúëû5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数ππ()sin()0,0,22f x A x A ωϕωϕæö=+>>-<<ç÷èø，且π2π,63x x ==是函数y =()f x 相邻的两个零点，R,()3x f x "Σ，则下列结论错误的是（ ）A ．3A =B ．2ω=C ．π6ϕ=-D ．ππ1212f x f x æöæö-=--ç÷ç÷èøèø二、多选题6．（2024·山东·模拟预测）已知函数()sin2cos2f x a x x =+的图象关于直线π6x =对称，则下列结论正确的是（ ）A ．07π6f æö=ç÷èøB ．π12f x æö-ç÷èø为奇函数C ．若()f x 在[],m m -单调递增，则π06m <£D ．()f x 的图象与直线15π224y x =-有5个交点7．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，下列说法正确的是（ ）A ．若函数图象过原点，则0ϕ=B ．若函数图象关于y 轴对称，则ππ,2k k ϕ=+ÎZ C ．若函数在零点处的切线斜率为1或1-，则其最小正周期为2πD ．存在18ω=，使得将函数图象向右平移π6个单位后与原函数图象在x 轴的交点重合8．（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数()()πsin 06f x x ωωæö=->ç÷èø，则下列结论正确的是（ ）A ．()0,2ω"Î，()f x 在ππ,64éù-êúëû上单调递增B ．若2ω=且()()122f x f x -=，则12min πx x -=C ．若()1f x =在[]0,π上有且仅有2个不同的解，则ω的取值范围为58,33éö÷êëøD ．存在()0,2ωÎ，使得()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数9．（2024·河北张家口·三模）已知函数2()2sin cos =+f x x x x ，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的一个周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点π,03æöç÷èø对称C ．将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为5π12D ．若15π12242f a æö-=ç÷èø，其中a 为锐角，则sin cos a a -10．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕp =+>><<，其部分图象如图所示，且直线y A =与曲线π11π()2424y f x x æö=-££ç÷èø所围成的封闭图形的面积为π，下列叙述正确的是（ ）A ．2A =B ．π()24y f x =+为奇函数C ．π2π3π2024π08888f f f f æöæöæöæö++++=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL D ．若()f x 在区间π,6a a æö+ç÷èø（其中0a >）上单调递增，则a 的取值范围是5π7π,2424éùêúëû1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x x y x -=+D ．||sin 4e x x xy +=2．（2023·北京·高考真题）设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕæö=+><ç÷èø．(1)若(0)f =ϕ的值．(2)已知()f x 在区间π2π,33-éùêúëû上单调递增，2π13f æö=ç÷èø，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f æö=ç÷èø条件②：π13f æö-=-ç÷èø；条件③：()f x 在区间ππ,23éù--êúëû上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+Î.（1）求函数22y f x p éùæö=+ç÷êúèøëû的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x p æö=-ç÷èø在0,2p éùêúëû上的最大值.4．（2020·全国·高考真题）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π25．（2020·山东·高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +D ．5πcos(2)6x -6．（2020·全国·高考真题）关于函数f （x ）=1sin sin x x +有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2p 对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是 ．7．（2019·浙江·高考真题）设函数()sin ,f x x x =ÎR .（1）已知[0,2),q Îp 函数()f x q +是偶函数，求q 的值；（2）求函数22[()][(124y f x f x p p =+++ 的值域.8．（2019·全国·高考真题）设函数()f x =sin （5x ωp +）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2p 有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2p ）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2p ）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10p ）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④9．（2019·全国·高考真题）下列函数中，以2p 为周期且在区间(4p ，2p )单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │10．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2p,p ）单调递增-p p有4个零点④f(x)的最大值为2③f(x)在[,]其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③。

数学教案三角函数的基本性质教案：三角函数的基本性质一、引言三角函数是高中数学中最基础的概念之一，也是数学中的重要组成部分。

三角函数的基本性质是我们理解和运用三角函数的关键。

本教案将围绕三角函数的基本概念展开论述，并深入探讨其性质。

二、三角函数的引出1. 什么是三角函数通过介绍三角函数的定义和图像，引出三角函数的概念及其在几何和物理中的应用。

2. 三角函数的周期性探讨三角函数的周期性，包括正弦函数、余弦函数和正割函数的周期性特点，并解释其周期的意义。

三、正弦函数的性质1. 正弦函数和余弦函数的关系通过比较正弦函数和余弦函数的图像和性质，论述它们之间的关系。

2. 正弦函数与坐标轴的关系探究正弦函数与坐标轴之间的关系，包括正弦函数的最值、零点和对称轴等性质。

3. 正弦函数的增减性和奇偶性讨论正弦函数的增减性和奇偶性，并通过实例解决与之相关的问题。

四、余弦函数的性质1. 余弦函数的图像和性质比较余弦函数与正弦函数的图像和性质，并讨论其相似之处和不同之处。

2. 余弦函数与坐标轴的关系探究余弦函数与坐标轴之间的关系，包括余弦函数的最值、零点和对称轴等性质。

3. 余弦函数的增减性和奇偶性讨论余弦函数的增减性和奇偶性，探究其变化规律，并结合实际问题进行应用。

五、其他三角函数的性质1. 正切函数的图像和性质描述正切函数的图像和性质，以及与正弦函数和余弦函数的关系。

2. 余切函数、正割函数和余割函数的图像和性质介绍余切函数、正割函数和余割函数的图像和性质，并与正弦函数和余弦函数进行比较。

六、三角函数的运算1. 三角函数的和差化积公式推导正弦函数和余弦函数的和差化积公式，并通过实例验证其正确性。

2. 三角函数的倍角公式推导正弦函数和余弦函数的倍角公式，并结合几何问题进行应用。

3. 三角函数的半角公式推导正弦函数和余弦函数的半角公式，并解决相关的计算问题。

七、总结通过本教案的学习，学生将掌握三角函数的基本概念和性质，理解三角函数在数学中的重要性和实际应用。

高三数学三角函数的概念与性质的优秀教案范本一、引言在高三数学课程中，三角函数是一个重要的内容，掌握三角函数的概念和性质对于学生的数学学习有着重要的影响。

本教案旨在通过系统而全面的教学设计，帮助学生深入理解三角函数的概念与性质，提高解决相关数学问题的能力。

二、教学目标1. 理解三角函数的概念；2. 掌握三角函数的性质，包括周期性、奇偶性和单调性；3. 能够运用三角函数的性质解决实际问题。

三、教学重难点1. 三角函数的周期性、奇偶性和单调性；2. 运用三角函数的性质解决实际问题。

四、教学准备1. 教师准备：- PPT演示文稿；- 课堂练习与答案；- 教学板书；- 教学实例。

2. 学生准备：- 数学课本；- 笔、纸。

五、教学过程步骤一：导入（5分钟）教师通过引入数学问题或生活实例，激发学生对三角函数概念与性质的兴趣，引起学生的思考。

步骤二：概念讲解（15分钟）教师使用PPT演示文稿，简明扼要地讲解三角函数的概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，并给出示意图进行说明。

步骤三：性质讲解（25分钟）1. 周期性的讲解：- 教师引导学生观察函数图像，并指出三角函数都具有周期性；- 引导学生发现周期与函数中参数的关系，总结出正弦函数和余弦函数的周期性；- 引导学生探究正切函数的周期性，并与正弦函数进行比较。

2. 奇偶性的讲解：- 教师给出三角函数的图像，引导学生发现正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数；- 引导学生通过函数的奇偶性，快速判断函数性质。

3. 单调性的讲解：- 教师通过函数图像，引导学生理解三角函数的单调性特点；- 引导学生思考函数的周期性与单调性之间的关系。

步骤四：练习与讨论（30分钟）教师设计一系列练习题让学生巩固所学内容，并引导学生在小组讨论中解答问题。

步骤五：拓展应用（20分钟）教师提供一些实际问题，引导学生运用三角函数的概念与性质进行解决，如测量高楼的高度、船只与灯塔的距离等。

步骤六：总结与课堂反馈（10分钟）教师进行知识点的总结，梳理三角函数的概念与性质，并与学生进行互动交流和答疑解惑。

三角函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 让学生理解三角函数的定义和基本概念，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质。

2. 培养学生运用数形结合的思想方法研究三角函数的图象与性质。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学审美能力。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图象与性质。

2. 教学难点：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质的推导和应用。

三、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲练结合、师生互动、分组讨论等教学方法。

2. 教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。

四、教学过程：1. 导入新课：通过复习三角函数的定义和基本概念，引导学生关注三角函数的图象与性质。

2. 讲解与示范：讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质，并通过多媒体课件展示图象，让学生直观地感受三角函数的性质。

五、课后作业：1. 绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图象，并分析它们的性质。

2. 练习题：选择适当的函数，分析它们的图象与性质，解决实际问题。

3. 思考题：探讨三角函数图象与性质的内在联系，提出自己的见解。

六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对三角函数图象与性质的理解和掌握程度。

2. 观察学生在课堂讨论和练习中的表现，评估他们的逻辑思维能力和数学审美能力。

3. 收集学生对思考题的解答，评价他们的思考深度和创新能力。

七、教学反思：1. 反思本节课的教学内容和方法，评估学生对新知识的接受程度。

2. 思考如何改进教学手段，提高课堂教学效果。

3. 探讨如何引导学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的应用能力。

八、教学拓展：1. 介绍三角函数在实际生活中的应用，如测量、信号处理等。

2. 引入高级三角函数的概念，如双曲函数、反三角函数等。

3. 探讨三角函数与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。

九、教学资源：1. 多媒体课件：三角函数图象与性质的动态展示。

2. 练习题库：涵盖各种难度的练习题。

三角函数的图象和性质一、考点分析二、基础演练1.)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．2.将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________________．3.如图，它表示电流I ＝Asin(ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝Asin(ωt ＋φ)的解析式为________________．4.函数cos(2)4y x π=-+的单调递增区间是________．5.函数y ＝2sinx ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．三、知识点1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，则称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|．2. 三角函数的图象和性质y ＝sinxy ＝cosxy ＝tanx3. “五点法”作图“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎛⎭⎫3π2，－1、 (2π，0)． 余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．四、典型例题题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．变式训练1：已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω＝________．题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6(x ∈R )的图象，只需把函数y ＝2sinx(x ∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？变式训练2：已知函数f(x)＝23·sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．题型3 五点法作图例3 已知a ＝(2cosx ，cos2x)，b ＝(sinx ，－3)，f(x)＝a ·b .(1) 求f(x)的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象； (2) 说明它可以由函数y ＝sinx 的图象经过怎样的变换得到．变式训练3：已知f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．题型4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用例4 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－3. (1) 求f(x)的解析式；(2) 求函数y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应x 的值．变式训练4：已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1) 求f(x)的解析式；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f(x)的最值．五、能力提升：1.函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________．2.若函数f(x)＝Asin(2x ＋φ)(A>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)＝________．3.已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．4.已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点．若|f(x 1)－f(x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π3，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________．5. 已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的两个相邻最值点为⎝⎛⎭⎫π6，2、⎝⎛⎭⎫2π3，－2，则这个函数的解析式为________．6.已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1) 求函数y ＝f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2) 若f ⎝⎛⎭⎫x 0－π8＝－65，求f(x 0)的值．7. 已知a ＞0，函数f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f(x)≤1. (1) 求常数a 、b 的值；(2) 设g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．8. 设a ＝⎝⎛⎭⎫sin 2π＋2x4，cosx ＋sinx ，b ＝(4sinx ，cosx －sinx)，f(x)＝a·b . (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知常数ω＞0，若y ＝f(ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围；(3) 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6≤x ≤23π，B ＝{x||f(x)－m|＜2}，若A B ，求实数m 的取值范围．六、总结点评1. 求形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sinx 的相应单调区间内即可，注意先把ω化为正数．求y ＝Acos(ωx ＋φ)和y ＝Atan(ωx ＋φ)的单调区间类似．2. 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解．3. 由y ＝sinx 的图象变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．。

数学课教案三角函数的基本性质与应用教案：数学课教案三角函数的基本性质与应用引言：本节课将重点介绍三角函数的基本性质与应用。

三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理等领域有广泛的应用。

通过本节课的学习，学生将能够理解三角函数的定义及其基本性质，并学会在各种实际问题中运用三角函数进行求解。

一、三角函数的定义与图像三角函数是数学中研究角和旋转的函数。

通过定义正弦函数、余弦函数和正切函数，学生能够理解三角函数的基本概念，并利用图像展示三角函数的周期性和对称性。

1. 正弦函数的定义和性质正弦函数是指在直角三角形中，对于给定的角度，其对边与斜边之比。

通过绘制正弦函数的图像，学生能够观察到正弦函数的周期性和对称性，并且掌握正弦函数的最值和单调性。

2. 余弦函数的定义和性质余弦函数是指在直角三角形中，对于给定的角度，其邻边与斜边之比。

通过绘制余弦函数的图像，学生能够观察到余弦函数的周期性和对称性，并且掌握余弦函数的最值和单调性。

3. 正切函数的定义和性质正切函数是指在直角三角形中，对于给定的角度，其对边与邻边之比。

通过绘制正切函数的图像，学生能够观察到正切函数的周期性和对称性，并且掌握正切函数的最值和单调性。

二、三角函数的基本性质三角函数有许多重要的基本性质，掌握这些性质对于后续的学习与应用至关重要。

1. 周期性与对称性三角函数具有周期性和对称性，学生需要理解并掌握三角函数的周期性和对称性。

通过观察图像和数学推导，学生能够发现三角函数的周期和对称轴。

2. 最值与单调性学生需要了解三角函数的最值和单调性。

通过分析图像和函数性质，学生能够确定三角函数的最值和单调区间，为后续解决实际问题提供基础。

3. 三角函数的互相转化学生需要学会将不同三角函数之间相互转化，例如用正弦函数表示余弦函数、用正切函数表示余切函数等。

通过学习三角函数的互相转化，学生能够扩展解题思路，提高问题解决能力。

三、三角函数的应用三角函数在几何、物理等领域有广泛的应用。