九年级数学下册 28.1 锐角三角函数学案(3)(无答案) 新人教版

第二十八章锐角三角函数直角三角形是一种特殊的三角形，在应用中有较一般三角形优良的特点，例如面积比较好计算等，且其他三角形通过增补、分割等可以转化为直角三角形，从而简化计算，所以对直角三角形进行专门的研究很有必要．本章将学习直角三角形中边与角之间的关系，并运用这些关系解决一些测量等方面的问题．本章第一节学习锐角的三角函数，教材中首先从学生熟悉的问题情境——“汽车爬坡”引出如何描述坡面的倾斜程度，引出了直角三角形中两直角边的比即坡比，还引出了正切、坡角等概念．教材中通过学生熟悉的一副三角板引出．对于这一部分，由于学生已经学习了在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，因此可让学生计算得到这些特殊角的三角函数值，教材最后介绍了用计算器求三角函数值．第二节主要是应用直角三角形知识解决一些简单的实际问题．带领学生探索直角三角形中锐角三角函数值与三边的关系，同时经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学认真的学习态度．让学生了解锐角三角函数的概念，能够正确应用三角函数．让学生掌握30°，45°，60°等特殊角的三角函数值，并学会用计算器求锐角的三角函数值，经历操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，养成科学、严谨的学习态度．本章教学约需5课时，具体分配如下：28．1 锐角三角函数3课时28．2 解直角三角形及其应用2课时28．1锐角三角函数第1课时锐角三角函数知识与技能了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A，cos A，tan A表示直角三角形中两边的比．过程与方法通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．情感、态度与价值观1．通过学习培养学生的合作意识．2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．重点锐角三角函数的概念．难点锐角三角函数概念的理解．一、问题引入问题：操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明是怎样算出的吗？师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函数．二、新课教授问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m ，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝35 m ，求AB.根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 ∠A 的对边斜边＝BC AB ＝12，可得AB ＝2BC ＝70 m ，即需要准备70 m 长的水管．思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m ，那么需要准备多长的水管？ 学生按与上面相似的过程，自主解决．结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于12.思考2：如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠A ＝45°，计算∠A 的对边与斜边的比BCAB，能得到什么结论？分析：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由于∠A ＝45°，所以Rt △ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2，AB ＝2BC ，BC AB ＝BC 2BC ＝12＝22.结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于22. 从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当∠A ＝30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值．当∠A ＝45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′＝α，那么BC AB 与B ′C ′A ′B ′有什么关系？你能解释一下吗？分析：由于∠C ＝∠C ＝90°，∠A ＝∠A ′＝α， 所以Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，则 BC AB ＝B ′C ′A ′B ′. 结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．正弦的概念： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac.例如，当∠A ＝30°时，sin A ＝sin 30°＝12；当∠A ＝45°时，sin A ＝sin 45°＝22.注意：1．sin A 不是sin 与A 的乘积，而是一个整体．2．正弦的三种表示方式：sin A ，sin 56°，sin ∠DEF. 3．sin A 是线段之间的一个比值，sin A 没有单位．提问：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？sin B ＝∠B 的对边斜边＝bc.思考3：一般地，当∠A 取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：如图，在Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′＝α，那么AC AB 与A ′C ′A ′B ′有什么关系？教师用类比的方法引导学生思考、讨论．结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A 的邻边与斜边的比是一个固定值．余弦的概念：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc.思考4：当∠A 取一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定值？学生自立探究，得出结论，教师给出新的概念． 正切的概念：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b 分别是∠A 的对边和邻边．我们把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数． 三、举例应用，巩固新知例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．解：如图(1)，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋32＝5.因此sin A ＝BC AB ＝35，sin B ＝AC AB ＝45.如图(2)，在Rt △ABC 中，由勾股定理得 AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12.因此sin A ＝BC AB ＝513，sin B ＝AC AB ＝1213.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，求sin A ，cos A ，tan A 的值．解：由勾股定理得A C ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8，因此 sin A ＝BC AB ＝610＝35，cos A ＝AC AB ＝810＝45， tan A ＝BC AC ＝68＝34.四、练习新知为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角α的正切值是( )A .117B ．4C .14D .417答案 C五、课堂小结锐角三角函数概念及表示方法：sin A ＝∠A 的对边斜边，cos A ＝∠A 的邻边斜边，tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.本节课采用问题引入法，从探究性问题入手，让学生主动参与学习活动，用特殊值探究锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图、找边角、计算各个方面进行探究，学生发现：特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后探究：三角函数与直角三角形的边、角有什么关系？三角函数与三角形的形状有关系吗？整节课都在紧张而愉快的气氛中进行．学生非常活跃，大部分人都能积极动脑、积极参与．第2课时 30°，45°，60°角的三角函数值知识与技能熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数． 过程与方法1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力．情感、态度与价值观经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．重点30°，45°，60°角的三角函数值． 难点与特殊角的三角函数值有关的计算．一、复习巩固如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)a ，b ，c 三者之间的关系是________；(2)sin A ＝________，cos A ＝________，tan A ＝________； sin B ＝________，cos B ＝________，tan B ＝________． (3)若∠A ＝30°，则ac＝________．二、共同探究，获取新知(1)探索30°，45°，60°角的三角函数值．师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°，60°，45°，45°. 师：sin 30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．生：sin 30°＝12.sin 30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°角所对的边长为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边长为3a ，所以sin 30°＝a 2a ＝12.师：cos 30°等于多少？tan 30°呢？ 生：cos 30°＝3a 2a ＝32.tan 30°＝a 3a ＝13＝33. 师：我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°，60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？生：求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边，利用上图，很容易求得sin 60°＝3a 2a ＝32，cos 60°＝a 2a ＝12，tan 60°＝3aa＝ 3. 师生共同分析：我们一起来求45°角的三角函数值．含45°角的直角三角形是等腰直角三角形．如图，设其中一条直角边为a ，则另一条直角边也为a ，斜边为2a.由此可求得sin 45°＝a 2a＝12＝22，cos 45°＝a 2a ＝12＝22， tan 45°＝a a＝1.教师多媒体课件出示：师：这个表格中的30°，45°，60°角的三角函数值需要熟记．另一方面，要能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小．第一列，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大． 第二列，余弦值随角度的增大而减小． 师：第三列呢？生：第三列是30°，45°，60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan 45°＝1比较特殊．随着角度的增大，正切值也在增大．(2)进一步探究锐角的三角函数值． 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.∵sin A ＝a c ，cos A ＝bc，sin B ＝b c ，cos B ＝a c，∴sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B. ∵∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠B ＝90°－∠A ，即sin A ＝cos B ＝cos (90°－∠A)， cos A ＝sin B ＝sin (90°－∠A)．任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值． 三、例题讲解，巩固新知 例1 计算：(1)sin 30°＋cos 45°；(2)sin 260°＋cos 260°－tan 45°. 解：(1)sin 30°＋cos 45°＝12＋22＝1＋22；(2)sin 260°＋cos 260°－tan 45° ＝(32)2＋(12)2－1 ＝34＋14－1 ＝0.例2 (1)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，BC ＝3，求∠A 的度数； (2)如图(2)，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO ＝3OB ，求α的度数．解：(1)在图(1)中， ∵sin A ＝BC AB ＝36＝22，∴∠A ＝45°.(2)在图(2)中，∵tan α＝AO OB ＝3OBOB＝3，∴α＝60°.四、随堂练习1．计算4sin 60°－3tan 30°的值为( )A . 3B ．2 3C ．3 3D ．0 答案 A2．计算sin 245°＋cos 245°的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．3 答案 B五、课堂小结1．探索30°，45°，60°角的三角函数值．sin 30°＝12 ，sin 45°＝22，sin 60°＝32； cos 30°＝32 ，cos 45°＝22，cos 60°＝12； tan 30°＝33，tan 45°＝1，tan 60°＝ 3. 2．能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．3．能根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．本节课的教学中，课堂环节设置齐全，能很好地贯彻执行教育理念，对理解教育的教育模式把控较好；课堂中学生分组很好，能给学生构建一个宽松、和谐的学习环境和氛围；课件制作很好，能很好地配合指导自学书的使用，提高了课堂的效率；学生积极参与，学习积极性较高；课堂习题的设置有梯度，题目能面向全体学生．第3课时 一般锐角的三角函数值知识与技能1．会使用计算器求锐角的三角函数值．2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角． 过程与方法在做题、计算的过程中，逐步熟悉计算器的使用方法． 情感、态度与价值观经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序．重点利用计算器求锐角三角函数的值． 难点计算器的按键顺序．一、复习回顾教师多媒体课件出示： 1.2.已知2sin 二、讲解新知师：上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值，但如果是任意的一个锐角，如何求它的三角函数值呢？比如让你求sin 18°的值．生：作一个有一个锐角为18°的直角三角形，量出它的对边和斜边长，求它的比值． 学生作图、测量、计算．生：约等于0.309 016 994.师：对！用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值，古代的数学家、天文学家也采用过这样的方法，只是误差较大．经过许多数学家不断的改进，不同角的三角函数值被制成了常用表，三角函数表大大改进了三角函数值的应用．今天，三角函数表又被带有sin、cos和tan功能键的计算器所取代．教师拿出计算器．师：我们学习这种计算器的使用方法．请同学们拿出自己的计算器．学生拿出自己的计算器．师：先按ON键，再按有关三角函数的键．教师板书：1．求已知锐角的三角函数值．例1 求sin40°的值．(精确到0.000 1)师：比如我们求sin40°的值，依次按sin、4、0、°′″、＝这几个键．师：因为要求精确到万分位，我们将得到的数字四舍五入到万分位即可，你得到四舍五入后的值是多少？生：0.642 8.例2 求cos54°38′的值．(精确到0.000 1)师：我们依次按cos、5、4、°′″、3、8、°′″、＝这几个键．学生操作后回答．2．由锐角三角函数值求锐角．例3 已知sin A＝0.508 6，求锐角A.师：你有没有注意到计算器上有个2ndf键？生：注意到了．师：这个键叫做第二功能键，我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用．我们依次按2ndf、sin－1、0、·、5、0、8、＝.师：这样我们得到的是多少度，要化成度分秒的形式，我们按那个第二功能键2ndf和度分秒键°′″.学生操作后回答结果．三、巩固提高1．sinα＝0.231 6，cosβ＝0.231 6，则锐角α与锐角β之间的关系是( )A．α＝βB．α＋β＝180°C．α＋β＝90°D．α－β＝90°答案C2．使用计算器计算：sin52°18′≈________．(精确到0.001)答案0.7913．已知cosβ＝0.741 6，利用计算器求出β的值约为________．(精确到1°)答案 42° 四、课堂小结1．用计算器求一个锐角的三角函数值．2．学习了已知一个函数值，求它对应的锐角的大小．如何让学生体会用计算器的好处，我设计一个正弦值难于直接得到的sin 18°的值让学生计算．在没有提示的情况下，学生有的用笔算，通过作图测量用正弦的定义计算，我肯定了学生的这种探索式作法，同时提出了使用计算器的简便性，在较短的时间内能正确计算，也显示了其较强的计算能力．28．2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形知识与技能在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．过程与方法通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学好数学的信心．重点直角三角形的解法． 难点灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．一、复习回顾师：你还记得勾股定理的内容吗？ 学生叙述勾股定理的内容．师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？ 生：两锐角互余．师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？ 生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半． 二、共同探究，获取新知 1．概念．师：由sin A ＝ac ，你能得到哪些公式？生甲：a ＝c ·sin A. 生乙：c ＝asin A.师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素求出未知的元素呢？教师板书：在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形． 2．练习．教师多媒体课件出示：(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形．(1) (2)师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？ 生1：根据cos 60°＝AC AB ，得到AB ＝ACcos 60°，然后把AC 边的长和60°角的余弦值代入，求出AB 边的长，再用勾股定理求出BC 边的长，∠B 的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B 为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB 的值，再由sin 60°＝BCAB 得到BC ＝AB ·sin 60°，从而得到BC 边的长．师：同学们说出的这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形． 学生思考，计算． 三、例题讲解例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝6，解这个直角三角形．解：∵tan A ＝BC AC ＝62＝3，∴∠A ＝60°，∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°，AB ＝2AC ＝2 2.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，b ＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－35°＝55°. ∵tan B ＝ba，∴a ＝btan B ＝20tan 35°≈28.6. ∵sin B ＝bc ，∴c ＝bsin B ＝20sin 35°≈34.9. 四、巩固练习1．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列各式中不正确的是( ) A ．b ＝a ·tan B B ．a ＝b ·cos AC ．c ＝bsin B D ．c ＝acos B答案 B2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝10，b ＝53，则∠A ＝________，S △ABC ＝________．答案 30° 252 3五、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？ 学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？ 学生提问，老师解答．本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究达到理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题．在本章开头，我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用．在解有特殊角的三角形时有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法的能力，并且增强了他们的自信心．28．2.2 应用举例知识与技能使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．过程与方法让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途． 情感、态度与价值观使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点将实际问题转化为解直角三角形问题． 难点将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．一、新知讲授1．讲解． 师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角； (2)仰角和俯角都是锐角．师：测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪． 2．练习新知．教师多媒体课件出示：如图，∠C ＝∠DEB ＝90°，FB ∥AC ，从A 看D 的仰角是________；从B 看D 的俯角是________；从A 看B 的________角是________；从D 看B 的________角是________；从B 看A 的________角是________．答案：从A 看D 的仰角是∠2，从B 看D 的俯角是∠FBD ，从A 看B 的仰角是∠BAC ，从D 看B 的仰角是∠3，从B 看A 的俯角是∠1.二、例题讲解例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P 点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km ，π取3.142，结果取整数)分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O 的有关问题：其中点F 是组合体的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体中观测地球时的最远点，PQ ︵的长就是地球表面上P ，Q 两点间的距离．为计算PQ ︵的长需先求出∠POQ(即α)的度数．解：设∠POQ ＝α，在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形． ∵cos α＝OQ OF ＝ 6 4006 400＋343≈0.9491.∴α≈18.36°，∴PQ ︵的长为18.36π180×6 400≈18.36×3.142180×6 400≈2 051(km )．由此可知，当组合体在P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P 点约2051 km .例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m ，这栋楼有多高？(结果取整数)解：如图，α＝30°，β＝60°，AD ＝120.∵tan α＝BD AD ，tan β＝CDAD，∴BD ＝AD ·tan α＝120×tan 30°＝120×33＝403， CD ＝AD ·tan β＝120×tan 60°＝120×3＝120 3. ∴BC ＝BD ＋CD ＝403＋1203＝1603≈277(m )． 因此，这栋楼高约为277 m .例3 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数)解：如图，在Rt △APC 中， PC ＝PA ·cos (90°－65°) ＝80×cos 25° ≈72.505.在Rt △BPC 中，∠B ＝34°，∵sin B ＝PCPB ，∴PB ＝PCsin B ＝72.505sin 34°≈130(n mile )． 因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130 n mile . 三、巩固提高1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点A 处)在她家北偏东60°方向500 m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 长是( )A ．250 mB ．250 3 mC .500 33m D ．250 2 m 答案 A2．王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60°，已知水平距离BD ＝10 m ，楼高AB ＝24 m ，则树CD 的高度为( )A ．(24－1033)m B ．(24－103) m C ．(24－53) m D ．9 m 答案 B四、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？ 学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？ 学生提问，教师解答．解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一，使学生对所学知识有了更好的巩固，同时让学生体会到数学与实际生活的联系，例题设置具有一定坡度，由浅入深，步步深入．。

锐角三角函数回忆旧知： 含30°角的直角三角形的三边的比是多少？含45°角的直角三角形的三边的比是多少？【知识点一】识记正弦、余弦、正切的概念，而且应用概念解决问题.（用20分钟精读一遍教材P61-P65“练习”上方的内容，用蓝色笔进行勾画；请完本钱环节流程；用红色笔标注自己的疑惑，预备课上讨论质疑.）1.填空： 锐角A 的 与 的比叫做∠A 的正弦.记作 .即sinA= . 锐角A 的 与 的比叫做∠A 的余弦，记作 .即cosA= .锐角A 的 与 的比叫做∠A 的正切，记作 .即tanA= .∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的 .【跟踪练习1】1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，别离求出两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.（设计用意：概念应用，帮忙学生在明白得的基础上经历概念.）2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，别离求出两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.（设计用意：含60°角的直角三角形中三边关系在求各角的正弦、余弦、正切时的应用.）3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°若是各边长都扩大到原先的2倍，那么∠A 的正弦值、余弦值和正切值有转变吗？说明理由.（设计用意：边长同时扩大或缩小相同的倍数角的正弦值、余弦值和正切值不变）【激情探讨】通过解决上述问题，你能总结出：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 与cosB 有什么关系？tanA 与tanB 有什么关系？（设计用意：通过上面的练习，让学生总结出互余的两个角之间的锐角三角函数的关系，为高中学习同名函数打基础.）【知识点二】识记30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值.（用10分钟精读一遍教材P66-P67练习上面的内容，用蓝色笔进行勾画；请完本钱环节流程；用红色笔标注自己的疑惑，预备课上讨论质疑.）1.画出含30°、45°的直角三角形，依照正弦、余弦、正切的概念计算，把下表填写完整.【跟踪练习2】1.求下列各式的值：（设计用意：识记30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值，并会进A BC35)1(ACB 51)2(行实数的运算）(1)︒︒30c 30sin 2-1os ； (2)︒+︒︒60sin 245tan -30t 3an ;(3)︒⨯︒+︒60tan 30sin 30(cos 22）.【达标检测】依照本节课你的学习，尝试完成以下题目.1. (2014贵州贵阳)在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（ ）（设计用意：考查锐角三角函数的概念）A ．512B ．125C ．1213D ．5132. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=2，AC=1，则tanA 的值为（ ）（设计用意：考查锐角三角函数概念）A ．12B C D3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，现给出下列结论：①；②cosB=12；③④，其中正确的有（ ）（设计用意：考查锐角三角函数概念）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4. (2014内蒙古包头) 计算 60tan 30cos 45sin 2•+，其结果是（ ）（设计用意：考查特殊角的三角函数值的经历）A ．2B ．1C ．25D ．45 5.（2014广东汕尾）在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=35，则cosB 的值是（ ）（设计用意：考查利用设参数法求锐角三角函数）A ．45B ．35C ．34D ．436.（2014四川巴中）在Rt △ABC 中，∠C=90°，5sin 13A =，则tanB 的值为（ ）（设计用意：考查利用设参数法求锐角三角函数） A. 1213 B. 512 C. 1312 D. 1257.（2014四川凉山州）在△ABC 中，若|cosA ﹣12|+（1﹣tanB ）2=0，则∠C 的度数是（ ）（设计用意：考查特殊角的三角函数值及非负数的和）A. 45° ° ° °8. 已知α为锐角，且sin （α－10°） ）（设计用意：考查特殊角的三角函数值） ° ° ° ° 9. (2013湖北孝感)式子22cos30tan 45(1tan 60)---的值是（ ）（设计用意：考查特殊角的三角函数值及二次根式的化简）A．232B．0 C．23D．210.（2013浙江台州）如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4，则sin C的值为_________．（设计用意：考查切线的性质及锐角三角函数的概念）11.（2014江苏苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=12∠BAC，则tan ∠BPC=________．（设计用意：考查等腰三角形的性质及构造直角三角形求锐角三角函数.）12.(2013湖北荆门)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC ＝6，sin A＝35，则DE＝______．（设计用意：考查锐角三角函数的概念及解简单的直角三角形.）13.若是方程x2－4x+3=0的两个根别离是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为_________．（设计用意：考查一元二次方程的解法及利用锐角三角函数的概念求值.）A CDO第12题第11题第10题。

湖北省天门市九年级数学下册2８.1.1 锐角三角函数导学案(新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(湖北省天门市九年级数学下册2８.1.1 锐角三角函数导学案（新版)新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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锐角三角函数导学案【学习目标】1．理解正弦、余弦、正切的意义。

2．能根据锐角三角函数概念正确进行计算。

【学习重难点】重点:理解正弦、余弦、正切的概念，能准确地用直角三角形两边的比来表示这些三角函数。

难点：对概念的理解，并能进行简单的计算。

【学习过程】【探究活动一】读书思考引入新知要求:学生自学课本61、62两页后回答下面两个思考题。

问题1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为ａm,那么需要准备多长的水管？。

问题2：在Rt△ABC中,∠C=９0°，∠A＝4５°，∠Ａ对边与斜边的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？导学设计【导学目标】1.理解正弦、余弦、正切的意义.2.能根据锐角三角函数概念正确进行计算.【导学重难点】重点:理解正弦、余弦、正切的概念能准确地用直角三角形两边的比来表示这些三角函数。

难点:对概念的理解，并能进行简单的计算。

教具准备: 三角板多媒体【导学过程】导入:用实际情景引入今天的新课，揭示课题和学习目标。

【导学一】读书思考引入新知设置意图：学生自学课本,初步认识一个角的对边与斜边的比是一个固定的值.为引入新知作铺垫.斜边c对边abC B A【探究活动二】探究归纳 生成新知1.探究直角三角形中锐角A 的对边与斜边的比任意画Rt △AB Ｃ和Rt △A ′B ′C ′，使得∠Ｃ＝∠C ′=9０°,∠A ＝∠A ′=a ，那么''''BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？结论：这就是说,在直角三角形中,当锐角A 的度数一定时,不管三角形的大小如何，•∠Ａ的对边与斜边的比 ２.正弦、余弦、正切函数概念在Rt △BC 中,∠C=９0,∠A 的对边记作ａ，∠Ｂ的对边记作b ，∠Ｃ的对边记作c ．1、_____________＿＿__＿_＿＿__＿______＿____叫做∠A 的正弦,记作sin Ａ,即sinA= =a c. sin Ａ＝=a c∠A 的对边斜边2、＿_____＿＿__＿___＿__＿_＿_＿_＿___＿＿_____叫做∠A 的余弦,记作c ｏsA ，即cosA=A 的邻边斜边＝a c ；3、＿____________＿___＿____＿＿＿______＿__叫做∠A 正切,1.学生自学课本，用红笔做记号，并在导学案上完成问题1、问题2.2。

人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数（3）》教案（教学设计）
【活动二】运用特殊角的三角函数值进行计算
例1：求下列各式的值： （1）2
2
cos 60sin 60+；
（2）cos 45
tan 45sin 45
-．
例2．（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90， AB=6，BC=3，求∠A 的度数．
（2）如图（2）已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径 OB 的3倍，求a ．
例2：操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆
高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。

1.65米
10米
?
你想知道小明怎样算出的吗？
应用生活
30°
三、巩固练习、应用提高
A ：P67第1题
B ：P67第2题
通过例题，加深学生对特殊角的三角函数值的记忆和应用，提高学生的运算能力。

利用此题目（1）培养学生的逆向思维；（2）初次渗透在直角三角形中，利用边角关系求角的度数，这也是解直角三角形的一部分
在直角三角形中，利用边角关系，解决实际问题
通过习题，加深学生对特殊角的三角函数值的记忆和应用，提高学生的运算能力
2
A=，则∠
3。

优质资料---欢迎下载28.1.3 锐角三角函数教学目标 1．知识与技能（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），知道30°，45°，60°角的三角函数值．（2）记住30°，45°，60°锐角的三角函数值，从而达到知道特殊角能求三角函数和知道特殊三角函数值来求锐角的效果。

（3）运用特殊角三角函数值解决直角三角形有关的简单的实际问题． （4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 2．过程与方法经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，•解决问题的能力． 贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，再探究问题的过程中找出规律。

3．情感、态度与价值观通过用30°，45°，60°角的特殊三角函数值的应用过程，发展学生观察、分析，•解决问题的能力． 培养学生数形结合的思想． 重点与难点 1．重点运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、 45°、60°角的三角函数值. 2．难点熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用. 复习引入如图在Rt △ABC 中，∠C=900AB BCA sinA =∠=斜边的对边AB ACA cosA =∠=斜边的邻边ACBCA A tanA =∠∠=的邻边的对边1. 对于sin α与tan α，角度越大，函数值越 ； 对于cos α，角度越大，函数值越 .2. 互余的两角之间的三角函数关系：∠A的邻边b∠A的对边a 斜边c CBA若∠A+∠B=90°，则sinA cosB ，cosA sinB ， tanA · tanB = .在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．提醒学生：在300,600,900为角三角板时可以设300角所对的边长为a ，•利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．在450,450,900为角三角板时可以设450角所对的边长为a ，•利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值． 探究新知（一）特殊值的三角函数学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结． 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：通过上表，让学生观察上表中数字变化的规律并加以总结：对于正弦值，分母都是2，分子按角度2．对于正切，60•，即是下一个角的正切值． 要求学生记住上述特殊角的三角函数值．教师强调：（sin60°）2用sin 260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）． （二）特殊角三角函数的应用1．师生共同完成课本第114页（盲文课本第314页）例3：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45︒︒-tan45°．教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．解：（1）cos 260°+sin 260°=（12）2+（2）2=1（2）cos 45sin 45︒︒-tan45°=2÷2-1=0巩固练习 一、选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=600，则sinA 是（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．12．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，tanB=33，则∠A 是（ ）． A ．300 B ．450 C ．600 D ．900二、计算：(1) sin30°+ cos45°； (2) sin 230°+ cos 230°－tan45° 解：原式 =2212221+=+ 解：原式 =01232122=-+）（）（2．师生共同完成课本第115页（盲文课本第315页）例4：教师解答题意：（1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=6，BC=3，求∠A 的度数． （2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求a ．教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．解：（1）在课本图28．1-9（1）中， ∵sinA=36BC AB =22， ∴∠A=45°．（2）在课本图28．1-9（2）中，∵tana=3AO OBOB OB=3 ∴a=60°． 当堂练习 1.3α＝1，锐角 α 的度数应是 ( )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10° 2. 已知 sinA =21，则下列正确的是 ( ) A. cosA =22 B. cosA =23 C. tanA = 1 D. tanA =33. tan (α+10°) ，锐角 α 的度数应是 ( ) A ．60° B ．50° C ．40° D ．30° .4. 求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°；课时总结 学生要牢记下表：对于sina 与tana ，角度越大函数值也越大；对于cosa ，角度越大函数值越小． 拓展延伸1. 已知：| tanB － | ＋ (2 sinA － )2 ＝0，求∠A ，∠B 的度数.解：∵ | tanB － | ＋ (2 sinA － )2 ＝0，∴ tanB －=0 ， 2 sinA ＝0，∴ tanB ＝，sinA ＝2∴ ∠B ＝60° ，∠A ＝60°.2.已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB －2|＝0，试判断 △ABC 的形状．解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB －|＝0，∴ 1－tanA=0 ， sinB=0 ∴ tanA ＝1，sinB∴ ∠A ＝45°，∠B ＝60°， ∠C ＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形． 课堂小结特殊角的三角函数值⎪⎩⎪⎨⎧三角函数值角函数通角的三角函数值60、45、30000过。

人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》教案3一. 教材分析人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》是本册的一个重要内容。

在此之前，学生已经学习了锐角三角形的性质，本节课将引导学生进一步探究锐角三角形的边长与角度之间的关系，为后续学习三角函数的图像和性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对锐角三角形有了一定的了解。

但是，对于锐角三角形的边长与角度之间的具体关系，可能还存在着一定的模糊认识。

因此，在教学过程中，需要通过具体实例，引导学生直观地感受和理解锐角三角形的边长与角度之间的关系。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义和性质；2.过程与方法：通过实际问题，培养学生运用锐角三角函数解决问题的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念和性质；2.难点：正弦、余弦、正切函数的图像和性质。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作探讨，掌握锐角三角函数的知识。

六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、课件、教学工具等；2.学生准备：课本、笔记本、文具等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如测量一个未知角度的三角形的边长，引发学生对锐角三角函数的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）讲解锐角三角函数的概念，引导学生通过直观的图示和实例，理解正弦、余弦、正切函数的定义和性质。

3.操练（15分钟）让学生通过自主学习和合作探讨，完成课本上的练习题，巩固所学的锐角三角函数知识。

4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生运用所学的锐角三角函数知识解决问题，加深对知识的理解和运用。

5.拓展（10分钟）引导学生思考锐角三角函数在实际生活中的应用，如建筑设计、工程测量等，培养学生的应用意识。

锐角三角函数教学目标：1、 明白得锐角三角函数的概念，把握锐角三角函数的表示法；2、 能依照锐角三角函数的概念计算一个锐角的各个三角函数的值；3、 把握Rt △中的锐角三角函数的表示：sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠，tanA=的邻边的对边A A ∠∠4、把握锐角三角函数的取值范围；五、通过经历三角函数概念的形成进程，培育学生从特殊到一样及数形结合的思想方式。

教学重点：锐角三角函数相关概念的明白得及依照概念计算锐角三角函数的值。

教学难点：锐角三角函数概念的形成。

教学进程： 一、创设情境：鞋跟多高适合？美国人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发觉，70％以上的女性喜爱穿鞋跟高度为6至7厘米左右的高跟鞋。

但专家以为穿6厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等处的肌肉超级容易疲劳。

据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11度左右时，人脚的感觉最舒适。

假设某成年人脚前掌到脚后跟长为15厘米，不难算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳。

问：你明白专家是如何计算的吗？ 显然，高跟鞋的鞋底、鞋跟与地面围城了一个直角三角形，回忆直角三角形的已学知识，引出课题。

二、探讨新知：一、下面咱们一路来探讨一下。

实践一：作一个30°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C 。

⑴计算AB BC ，AB AC ，ACBC的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。

∠A=30°时AB BC AB AC ACBC学生1结果 学生2结果 学生3结果 学生4结果⑵将你所取的AB 的值和你的同伴比较。

实践二：作一个50°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C 。

（1）量出AB ，AC ，BC 的长度（精准到1mm ）。

（2）计算AB BC ，AB AC ，ACBC的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。

∠A=50°时 AB AC BCAB BC AB AC ACBCAC B学生1结果 学生2结果 学生3结果学生4结果（3）将你所取的AB 的值和你的同伴比较。