山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟考试(三)数学(理)试题+Word版含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}2ln 330A x x x =-->，集合{}231,B x x U R =->=，则()U C A B ⋂=A. ()2,+∞B. []2,4C. (]1,3D. (]2,42.设i 为虚数单位，给出下面四个命题：1:342p i i +>+；()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =；()()23:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点；41:2i p z i +=+的虚部为15i . 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为A ．0.85B ．0.80C ．0.60D ．0.564．已知函数()fx x =的值域为A ，且,a b A∈，直线()()2212x y x a y b +=-+-=与圆有交点的概率为A ．18B ．38 C. 78 D. 145．一条渐近线的方程为43y x =的双曲线与抛物线2:8C y x =的一个交点为A ，已知AF =(F为抛物线C 的焦点)，则双曲线的标准方程为A ．2211832x y -=B ．2213218y x -= C ．221916x y -=D ．2291805y x -= 6．如图，弧田由圆弧和其所对弦围成，《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，即弧田面积12=(弦×矢+矢2)．公式中“弦”指圆弧所对的线段，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述的经验公式计算弧田面积与实际面积存在误差，则圆心角为3π，弦长为1的弧田的实际面积与经验公式算得的面积的差为A ．18- B ．1168πC ．1623π+- D ．525-7．已知()()322101210223nn x d x x x a ax a x a=+-=+++⋅⋅⋅+⎰，且，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为 A ．823B ．845C ．965-D ．8778．已知函数()()s i n 2c o s 2,0,66f x x x x f x k ππ⎛⎫⎡⎤=++∈= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，有两个不同的根12,x x ，则()12f x x k ++的取值范围为A．⎡⎣ B． C．⎭ D．)9.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．2018201722⨯- B ．2018201822⨯+ C. 2019201822⨯-D ．2019201722⨯+10．已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A ，该点也在抛物线()220x py p =>上，若抛物线与圆()()()222:120C x y rr -+-=>有公共点P ，且抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则圆C 上的点到抛物线的准线的距离的最小值为 A．3B. 3C ．3D．311．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．2143π B ．1273π C.1153π D ．1243π12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()32123f x x ax bx =+++，()()''24f x f x +=-，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为A ．[)64ln3,++∞B ．[)5ln5,++∞ C.[)66ln6,++∞ D ．[)4ln 2,++∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次联考数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知全集，，则（）A. B. C. D.3. 在等差数列中，，则（）A. B. C. D.4. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.5. 已知,则的大小为（）A. B. C. D.6. 若函数图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移得到函数的图象，则有（）A. B. C. D.7. 已知命题若，则，命题若，则，则有（）A. 为真B. 为真C. 为真D. 为真8. 若，则（ ）A. B. C. D.9. 如图所示，扇形的半径为，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为（ ）A. B. C. D.10. 函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.11. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（ ）A. B. C. D.12. 已知函数，给出下列命题：①函数的最小正周期为；②函数关于对称；③函数关于对称；④函数的值域为，则其中正确的命题个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若，若，则_____．14. 已知实数满足，则的最小值为_________．15. 已知在数列的前项之和为，若，则_______．16. 四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_____．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知单调的等比数列的前项的和为，若，且是的等差中项. (Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若数列满足，且前项的和为，求.18. 设函数(Ⅰ) 求的单调增区间；(Ⅱ) 已知的内角分别为，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最小值.19. 如图，三棱台中，侧面与侧面是全等的梯形，若,且.（Ⅰ）若，，证明：∥平面；（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20. 设函数（Ⅰ）若在处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为，求实数的值；（Ⅱ）若是的极小值点，求实数的取值范围.21. 已知函数．（Ⅰ）若在上是减函数，求实数的取值范围.（Ⅱ）若的最大值为，求实数的值.选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）22. 【选修4−4：坐标系与参数方程】已知直线的参数方程为为参数)．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线与圆的普通方程；（Ⅱ）若直线分圆所得的弧长之比为，求实数的值．23. 【选修4—5：不等式选讲】已知函数,（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值范围.【参考答案】一、选择题1. B【解析】,则.故选B.2. B【解析】，..则.故选B.3. C【解析】在等差数列中，,则.故选C.4. A【解析】三视图还原为三棱锥，如图所示，则三棱锥的表面积为.故选A.5. D【解析】,.所以.故选D.6. A【解析】.故选A.7.D【解析】为假，，为真. 则为真，故选D.8.C【解析】或(舍),故选C.9.C【解析】扇形绕旋转一周所得几何体的体积为球体积的，则，绕旋转一周所得几何体为圆锥，体积为，阴影部分旋转所得几何体的体积为，故选C.10.A【解析】为奇函数，排除B；；排除D；，排除C.故选A.11.D【解析】奇数数列，即为底1009个奇数.按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数,则第1行到第行末共有个奇数；第1行到第行末共有个奇数；则2017位于第45行；而第行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故位于第45行，从右到左第19列，则，故选D.12.D【解析】的周期显然为；；；，故②正确.；，故③正确.，设，则，，故④正确.故选D.二、填空题13.-1【解析】答案为：-1.14.5【解析】由题意可得可行域为如图所示（含边界），，则在点处取得最小值.联立，解得：代入得最小值5.答案为：5.15.1078..答案为：1078.16.【解析】三、解答题17. 解：(Ⅰ)因为是的等差中项，所以或（舍）；(Ⅱ) ；18.解：(Ⅰ)..的单调增区间为.(Ⅱ)，所以.由余弦定理可知：.由题意可知：的内切圆半径为.的内角的对边分别为，如图所示可得：.或（舍），当且仅当时，的最小值为.令也可以这样转化：代入；或（舍）；，当且仅当时，的最小值为.19. 解：（Ⅰ）证明：连接，梯形，,易知：；又，则∥；平面，平面，可得：∥平面；（Ⅱ）侧面是梯形，，,,则为二面角的平面角，；均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则,故点，；设平面的法向量为，则有：；设平面的法向量为，则有：；，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.20. 解：（Ⅰ）；由题意可知：；；易得切点坐标为，则有；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：；（1）当时，，；；是的极小值点，∴适合题意；；（2）当时，或，且；；；；是的极小值点，∴适合题意；；（2）当时，或，且；；；；是的极大值点，∴不适合题意；综上，实数的取值范围为；21. 解：（Ⅰ）在恒成立；在恒成立；设，则，由得：；在上为增函数，有最小值. ∴；（Ⅱ）注意到，又的最大值为，则；下面证明：时，，即,；设；.在上为增函数；在上为减函数；有最大值；∴适合题意.22. 解：（Ⅰ）由题意知：，；（Ⅱ）；直线分圆所得的弧长之比为则弧所对的圆心角为90°，可得弦长为；；或.23. 解：（Ⅰ）可化为，或，或；，或，或；不等式的解集为；（Ⅱ）易知；所以，所以在恒成立；在恒成立；在恒成立；.。

湖北省、山东省部分重点中学2018届高考冲刺模拟试卷（三）数学试题（理）一.选择题1. 若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，则有（）A. B. C. D.2. 已知复数（i为虚数单位），则复数Z的共轭复数的虚部为（）A. B. C. 1 D.3. 下列命题中，真命题是（）A. ，使得B.C. D. 是的充分不必要条件4. 某程序框图如图，该程序运行后输出的的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 75. 在满足条件的区域内任取一点，则点满足不等式的概率为（）A. B. C. D.6. 已知函数，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（）A. B.C. D.7. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（）A. 1.6B. 1.8C. 2.0D. 2.48. 定义在上的函数满足，的导函数为，且满足，当时，，则使得不等式的解集为（）A. B.C. D.9. 已知等差数列的前项和为，且，则的最小值为（）A. -3B. -5C. -6D. -910. 点是双曲线右支上一点，分别为左、右焦点.的内切圆与轴相切于点.若点为线段中点，则双曲线离心率为（）A. B. 2 C. D. 311. 已知正三棱锥，底面是边长为3的正三角形ABC，，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥外接球O的截面，则截面面积的最小值是()A. 3πB.C. 2πD.12. 已知，记表示不超过的最大整数，如，则的值域为（）A. B. C. D.二.填空题13. 若向量满足,且,则向量与的夹角为___________.14. 设，则二项式的展开式中常数项是__________.15. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点，若，则______.16. 若存在正实数，使得关于方程有两个不同的实根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是_________.三.解答题17. 在中，角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)若，点在线段上，，,求的面积.18. 某工厂有120名工人，其年龄都在20~ 60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50)，[50，60]分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A、B两项培训，培训结束后进行结业考试。

齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）理科数学试题本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （原创.容易）已知集合(,1][1,)A =-∞-+∞，21{|log ,[,4]}2B y y x x ==∈，则A B =（ ）A.[1,2]-B. [1,2]C. {1}[1,2]-D. [1,1]{2}- 【答案】C【解析】，由B 可得[1,2]B =-，(,1][1,)A =-∞-+∞{1}[1,2]A B ∴=-.故选C.【考点】考查对数不等式的解法及集合运算. 2. (原创.容易)已知复数z 满足||2,2z z z =+=，（z 为z 的共轭复数）.下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z =（ ）.A. 1i +B. 1i -C.1i +或1i -D.1i -+或1i -- 【答案】C【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，所以22222a b a ⎧+=⎨=⎩得11a b =⎧⎨=±⎩，所以1z i =+或1z i =-.故选C.（用验证法2z z +=即可得C ） 【考点】考查复数的模的运算.3. (原创.容易)正项等比数列{}n a 中，34,a a 的等比中项为11eedx x⎰，令123n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅，则6T =（ ）A.6B.16C.32D.64 【答案】D 【解析】因为1111ln |ln ln 2ee eedx x e x e ==-=⎰，即344a a =， 又1625344a a a a a a ===，所以33612634()464T a a a a a =⋅⋅⋅===.故选D.【考点】考查积分的运算及等比数列的性质.4. （原创.容易） 一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形.则这个几何体的体积为( ) A.13 B.53 C.54D.2 【答案】B【解析】依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成.长方体的体积为1122⨯⨯=，三棱锥的体积为111112323⨯⨯⨯⨯=, 所以几何体的体积为15233-=.故选B. 【考点】考查立体几何三视图及体积运算.5. (原创.容易)已知如图所示的程序框图中输出的结果为a ，则二项式6()a x x-展开式中的常数项为（ ） A.15 B.-15 C.20 D.-20 【答案】C 【解析】由11a a=-赋值运算，a 输入值为-1，则第1次运算结果为12，第2次结果为2，第3次结果为-1，结果数字以3为周期循环出现，要运算12次，此时输出的数为-1.这样二项式6()ax x-的展开通项为6161()k k kk T C x x-+=，当3k =时为常数项，所以常数项为3620C =.故选C.【考点】考查算法框图及二项式定理的展开式. 6.(原创.容易)函数sin |sin |()x x f x x+=的部分图象为DC BA ooooy【答案】 A几何体i <13?【解析】当[,0)x π∈-时，()0f x =，所以排除C,D ；当(2,)x ππ∈--时sin 0x >，2sin ()0xf x x=<.故选A. 【考点】考查三角函数的值的变化及图象.7.(原创.容易)一个圆形电子石英钟由于缺电，指针刚好停留在8:20整，三个指针(时针、分针、秒针)所在射线将时钟所在圆分成了三个扇形，一只小蚊子（可看成是一个质点）随机地飞落在圆面上，则恰好落在时针与分针所夹扇形内的概率为（ ） A.1136 B.13 C.1336 D.718【答案】C【解析】观察时钟所在圆被12个刻度十二等分，指针转过一等分就旋转30，时针转过一等分就是1小时，分针转过一等分就是5分钟，所以8:20的时候秒针指向12，分针指向4，时针的指向是从刻度8再转过一等分的三分之一即10.这样分针与时针这间的扇形的圆心角为43010130⨯+=.又同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数的比，所以1301336036P ==.故选C. 【考点】考查几何概率8. (原创.容易)在ABC ∆中，,1CA CB CA CB ⊥==，D 为AB 的中点，将向量CD 绕点C 按逆时针方向旋转90得向量CM ，则向量CM 在向量CA 方向上的投影为（ ） A.1- B.1 C.12- D.12【答案】C【解析】如图，以,C A C B为,x y 轴建立平面直角坐标系，则11(1,0),(,)22CA CD ==，得11(,)22CM =-，所以向量CM 在向量CA 方向上的投影为11212||CA CM CA -⋅==-.故选C. 【考点】考查平面向量的投影的定义及计算.9. (原创.中等) 在三棱锥S ABC -中，,,AB AC AB AC SA SA ⊥==⊥平面ABC ，D 为BC 中点，则异面直线AB 与SD 所成角的余弦值为（ ）121110987654321yxMDC BA以上结论都不对 【答案】B【解析】如图，取AC 中点为E ，连结,DE SE ，因为,D E 分别为,BC AC 的中点，所以DE ∥AB ，所以S D E ∠就是异面直线AB 与SD 所成角，令2AB AC SA ===，由勾股定理得5SE =1DE =.易证BA ⊥平面SAC ，DE ∴⊥平面SAC ，DE SE ∴⊥， 6SD ∴=在Rt SDE ∆中，6cos 6DE SDE SD ∠===.故选B. 【考点】考查空间异面直线所成角的大小. 10. (原创.中等) 下面有四个命题： ①设(1,1),XN (13)0.9544P X -≤≤=，则(3)0.0228P X ≥=.②已知lg 2a =，则aaa a a a <<. ③将2tan()6y x π=+的图象向右平移6π个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，可得到tan y x =的图象.④设03a <<，则函数3()(01)f x x ax x =-<<有最小值无最大值. 其中正确命题的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】C 【解析】①(1,1),XN 曲线关于1X =对称，所以0.9544(3)0.50.02282P X ≥=-=，正确. ②可知0101,a a a a a <<∴>>，即1a a a >>，所以aa a a a a <<，错误. ③正确.④'201,()30x f x x a <<∴=-=得3a x =03a <<，013a ∴<<，可知()f x 在)3a单调递减，在单调递增，所以正确.故选C. 【考点】考查了正态分布的概率计算，用指数函数的单调性比较大小，图象变换及函数的最值的求解.ED CAS11. (原创.中)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于,M N 两点，P 为直线l 上一点，当APB ∠最大时，点P 恰好在M （或N ）处.则双曲线的离心率为（ ）325【答案】A【解析】当过,A B 的圆与直线l 相切于P 点时，直线上其它点都在圆外，此时APB ∠最大，由切割线定理得2222||||||()()FP FB FA c a c a c a b ==-+=-=，点P 恰好在M 处，所以||FM b =，由双曲线可知2||b FM a=，所以2,b b a b a=∴=，所以双曲线的离心率为2e =故选A.（也可用正切的和差公式求解） 【考点】考查求双曲线的离心率.12. （改编，难）已知函数ln ,0()ln(),0mx x x f x mx x x ->⎧=⎨+-<⎩.若函数()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,())A x f x 和22(,())B x f x 的直线斜率为k ，若02k e <≤，则实数m 的取值范围为（ ）A.1(,2]e B.1(,]e e C.(,2]e e D.1(2,]e e+ 【答案】B【解析】当0x >时，函数()ln f x mx x =-的导函数为'11()mx f x m x x-=-=， 由函数()f x 有两个极值点得0m >，又()f x 为奇函数，不妨设210x x =->，则有21x m =，1(,1ln )B m m∴+可得：1(,(1ln ))A m m--+ . 由直线的斜率公式得2121()()(1ln )f x f x k m m x x -==+-，0m >，又0k >，11ln 0,m m e∴+>∴>，（当10m e <≤时，0k ≤，不合题意）令1()(1ln ),k h m m m m e==+>得'()2ln 1(1ln )0h m m m =+=++>，()h m ∴在1(,)e +∞上单调递增，又1()0,()2h h e e e==，由02k e <≤得：1()()()h h m h e e<≤，所以1m e e <≤.故选B.【考点】利用导数研究函数的极值、零点及不等式问题. 二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.13. (书本题改编.容易)已知抛物线22y px =的准线方程为2x =-，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线3y x =+的距离的最小值为_________.【答案】2【解析】由题设得抛物线方程为28y x =，设P 点坐标为(,)P x y ，则点P 到直线3y x =+的距离为d =2222828282===≥，当4y =时取最小值22. 【考点】考查抛物线的性质，点到直线的距离及最值的求解.14. (原创.容易) 我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【答案】1255步【解析】如图，设岛高x 步，与前标杆相距y 步，则有512312351271271000x y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪++⎩，解得：1255x =步. 【考点】考查解直角三角形，利用相似成比例的关系.15. (原创.容易)若实数,x y 满足3||3y x ay x ≥+⎧⎨≤-+⎩.若z x y =+的最小值为7-，则________a =.【答案】2-551271231000【解析】作出可行域如图所示，过点C 时取最小值.由33y x y x a =+⎧⎨=+⎩得333(,)22a a C --，则333722a a --+=-得2a =-.【考点】考查利用线性规划求字母的值.16. (改编.难) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S （*n N ∈），且满足212n n S S n n ++=+，若对*1,n n n N a a +∀∈<恒成立，则首项1a 的取值范围是__________． 【答案】13(,)44-【解析】因为212n n S S n n ++=+，所以212(1)1,(2)n n S S n n n -+=-+-≥，两式作差得141,2n n a a n n ++=-≥，所以145,3n n a a n n -+=-≥两式再作差得114,3n n a a n +--=≥，可得数列{}n a 的偶数项是以4为公差的等差数列，从3a 起奇数项也是以4为公差的等差数列.若对*1,n n n N a a +∀∈<恒成立，当且仅当1234a a a a <<<.又12213213,32,742a S a a a a a +=∴=-∴=-=+，4311172a a a =-=-， 所以1111324272a a a a <-<+<-，解得：11344a -<<. 【考点】数列递推的应用.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）（原创.易）已知ABC ∆中，2AB BC CA ===，P 为ABC ∆内一点，且90BPC ∠=. （Ⅰ）当2BP =AP 的长；（Ⅱ）若150APC ∠=，令PCB θ∠=，求tan θ的值. 解析：（Ⅰ）如图，在PBC ∆中，90BPC ∠=，2,2BP BC ==，45PBC ∴∠=.所以15ABP ∠=，6cos15cos(4530)4+=-=.……………2分A由余弦定理得：2222cos15AP BA BP BA BP =+-⋅⋅424=+-=-4分1AP ∴=.……………6分(另解：取BC 中点为D ，连PD ，证明,,A P D 三点共线，求出1PD =，又3AD =1AP =.此法请酌情给分)（Ⅱ）PCB θ∠=，60ACP θ∠=-，150APC ∠= 由内角和定理得30PAC θ∠=-.……………8分在直角PBC ∆中，cos 2cos PC BC θθ=⋅=，……………9分 在APC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC PCAPC PAC =∠∠即22cos sin150sin(30)θθ=-，……………11分 解得23tan θ=.……………12分 18. （本小题满分12分）（原创.中）如图，五边形ABSCD 中，四边形ABCD 为长方形，三角形SBC 为边长为2的正三角形，将三角形SBC 沿BC 折起，使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上. （Ⅰ）当2AB =SAB ⊥平面SCD ；（Ⅱ）若1AB =，求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值.解析：（Ⅰ）作SO AD ⊥，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，,SO AB SO CD ∴⊥⊥， 又AB AD ⊥，AB ∴⊥平面SAD ，,AB SA AB SD ⊥⊥.……………2分PCASDCASA利用勾股定理得SA ===SD =在SAD ∆中，2,AD SA SD SA SD ===∴⊥……………4分SD ∴⊥平面SAB ，又SD ⊂平面SCD ，所以平面SAB ⊥平面SCD .……………5分 （Ⅱ）连结,BO CO ，SB SC =，Rt SOB Rt SOC ∴∆≅∆，BO CO =，又四边形ABCD 为长方形，,Rt AOB Rt DOC OA OD ∴∆≅∆∴=.取BC 中点为E ，得OE ∥AB ，连结,3SE SE ∴=其中1OE =，1OA OD ==，2312OS -=7分由以上证明可知,,OS OE AD 互相垂直，不妨以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.1,2OE OS =∴=(0,1,0),(1,1,2),(2,0,0)DC SC BC ∴==--=-,……………8分设111(,,)m x y z =是平面SCD 的法向量，则有00m DC m SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111020y x y z =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令11z =得(2,0,1)m =-.……………9分设222(,,)n x y z =是平面SBC 的法向量，则有00n BC n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22222020x x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令11z =得(0,2,1)n =.……………10分 则||1|cos ,|3||||33m n m n m n ⋅===⋅……………11分所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13.……………12分 19. （本小题满分12分）（原创.易）我校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手EOzxSDCBA机时间（每月用手机时间总和）的长短将学生分为三类： 第一类的时间区间在(0,30]，第二类的时间区间在(30,60]，第三类的时间区间在(60,720]（单位：小时），并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导.现对我校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习.由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图. (I) 求这1000名学生每月用手机时间的平均数；(II)利用分层抽样的方法从1000名选出10位学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；(III)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X 为获奖学生人数，求X 的数学期望()E X 与方差()D X .解析：(Ⅰ) 平均数为: 50.01010150.03010250.04010350.01010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯450.00610550.0041023.4+⨯⨯+⨯⨯=（小时）. ……………………4分(Ⅱ) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生，其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，则从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为118221016.45C C C =…………8分(Ⅲ) 由题可知，这1000名学生中第一类学生80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8， 则连续10个月抽取，获奖人数(10,0.8)XB ，其数学期望()100.88E X np ==⨯=（小时），方差()(1)100.80.2 1.6D X np p =-=⨯⨯=.……………12分20. （本小题满分12分）（原创.中难）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>312,F F 分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，12F PF ∆3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(4,0)A 作关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 分别交椭圆于11(,)M x y 与22(,)N x y ，且12x x ≠，证明直线MN 过定点，并求AMN ∆的面积S 的取值范围.解：（Ⅰ）设222a b c -=，则c a =.……………1分设(,)P x y ，则1212||,||F PF F PF S c y y b S bc ∆∆=≤∴≤=.……………3分 解得21a b =⎧⎨=⎩. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.……………4分 （Ⅱ）设MN 方程为,(0)x ny m n =+≠，联立22440x ny mx y =+⎧⎨+-=⎩， 得222(4)240n y nmy m +++-=，212122224,44nm m y y y y n n --∴+==++，……………5分因为关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 的斜率之和为0 即1212044y y x x +=--，即1212044y y ny m ny m +=+-+-，……………7分 得1212122()4()0ny y m y y y y ++-+=，即222222(4)280444n m nm nmn n n --+=+++.解得：1m =.……………8分 直线MN 方程为：1x ny =+，所以直线MN 过定点(1,0)B .……………9分又2212222222224(3)311||()4444(4)4(4)n n y y n n n n n -⋅-+-=-==-+++++令211,(0,)44t t n =∴∈+212||43)y y t t ∴-=-+……………11分 又12121333||||||(0,)222S AB y y y y =-=-∈.……………12分 （其它解法酌情给分） 21. （本小题满分12分）（原创.难）已知函数()ln(),0f x ax a a =->.（Ⅰ）若函数()()xh x e f x =为单调函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，证明：()sin 0xe f x x +>. 解：（Ⅰ）()(ln ),0x h x e ax a x =->'1()(ln )x h x e ax a x∴=+-， ()h x 为单调函数等价为'()0h x ≥恒成立或'()0h x ≤恒成立，令1()ln x ax a x ϕ=+-得/22111()x x x x xϕ-=-=， 所以()x ϕ在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，……………………2分 又1()0aϕ=，当01a <≤时11a ≥，1(,)x a ∴∈+∞时，1()()0x a ϕϕ>=； 当1a >时11a <，1(0,)x a ∴∈时，1()()0x aϕϕ>=；'()0h x ∴≤不可能恒成立，归纳得'()0h x ≥恒成立. ……………………3分又min ()(1)ln 1x a a ϕϕ==-+，所以ln 10a a -+≥ . 令()ln 1,0p a a a a =-+>，'1()1p a a=-， 得()p a 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，()(1)0p a p ≤=，即ln 10a a -+≤， ……………………5分所以ln 10a a -+=，即1a =. ……………………6分 （Ⅱ）令()(ln 1)sin xF x e x x =+-， (1)当x e ≥时，sin 1x ≥-，所以()(ln 1)sin ln 1xxF x e x x e x =+-≥-+，0x >. ……………………7分因为'[(1)]10xxe x e -+=-≥，所以0(1)(01)0x e x e -+>-+=即1xe x >+；因为'1[(1)ln ]1x x x--=-，可知函数(1)ln x x --在1x =处取最小值即(1)ln 0x x --≥， 即ln 1x x -≥-.由不等式的性质得ln 1(1)(1)130xe x x x -+>++-+=>，所以()(ln 1)sin 0xF x e x x =+->. ……………………9分 (2)当0x e <<时，()(ln 1)sin 1(ln 1)sin xF x e x x x x =+->+-， 因为/(sin )1cos 0x x x -=-≥，所以sin 0sin00x x ->-=，即sin x x <，ln 10,(ln 1)sin (ln 1)x x x x x -<∴->-，即1()1(ln 1)(ln 1)F x x x x x x>+-=+- 由（Ⅱ）证明可知1ln 10x x+-≥，所以()0F x >. ……………………11分 由（1）（2）得()sin 0xe f x x +>. ……………………12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. （本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] （原创.易）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数，α为直线倾斜角）.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=. （Ⅰ）当45α=时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C 的直角坐标为(2,0)C ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，当ABC ∆面积最大时，求直线l 的普通方程.解：（Ⅰ）当45α=时，直线l 的参数方程为2522x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 消去t 得直线l 的普通方程为50x y --=. ……………………2分 曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，两边乘以ρ为24cos ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得：2240x y x +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=. ……………………5分 （Ⅱ）曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的圆，1||||sin 2sin 2ABC S CA CB ACB ACB ∆=∠=∠. ……………………7分当90ACB ∠=时面积最大.此时点C 到直线:(5)l y k x =-的距离为，所以=，解得：7k =±， ……………………9分 所以直线l 的普通方程为145)7y x =±-. ……………………10分 23. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] （原创.易）设()|1||3|f x a x x =-++. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()g x 为奇函数，且(2)()g x g x -=，当[0,1]x ∈时，()5g x x =.若()()()h x f x g x =-有无数多个零点，作出()g x 图象并根据图象写出a 的值（不要求证明）.解：（Ⅰ）当1a =时，()|1||3||(1)(3)|4f x x x x x =-++≥--+=， 当且仅当(1)(3)0x x -+≤，即31x -≤≤时等号成立.()f x ∴的最小值为4. ……………………4分（Ⅱ）()g x 的图象是夹在5y =-与5y =之间的周期为4的折线，如图，…………6分yOx又(1)3,3()(1)3,31(1)3,1a x a x f x a x a x a x a x -++-≤-⎧⎪=-++-<<⎨⎪+-+≥⎩， ()f x 的图象是两条射线与中间一段线段组成. ……………………8分若()()()h x f x g x =-有无数多个零点，则()f x 的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的，所以(1)0a -+=或(1)0a +=得1a =-.此时4,3()22,314,1x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，经验证符合题意，1a ∴=- ……………………10分。

2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），，则A ∩B＝（）A．[﹣1，2]B．[1，2]C．{﹣1}∪[1，2]D．[﹣1，1]∪{2} 2．（5分）已知复数z满足，（为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z＝（）A．1+i B．1﹣i C．1+i或1﹣i D．﹣1+i或﹣1﹣i 3．（5分）正项等比数列{a n}中，a3，a4的等比中项为，令T n＝a1•a2•a3•…•a n，则T6＝（）A．6B．16C．32D．644．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．25．（5分）已知如图所示的程序框图中输出的结果为a，则二项式展开式中的常数项为（）A．15B．﹣15C．20D．﹣206．（5分）函数的部分图象为（）A．B．C．D．7．（5分）一个圆形电子石英钟由于缺电，指针刚好停留在8：20整，三个指针（时针、分针、秒针）在射线将时钟所在圆分成了三个扇形，一只小蚊子（可看成是一个质点）随机地飞落在圆面上，则恰好落在时针与分针所夹扇形内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，CA⊥CB，CA＝CB＝1，D为AB的中点，将向量绕点C按逆时针方向旋转90°得向量，则向量在向量方向上的投影为（）A．﹣1B．1C．D．9．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．以上结论都不对10．（5分）下面有四个命题：①设X～N（1，1），P（﹣1≤X≤3）＝0.9544，则P（X≥3）＝0.0228．②已知a＝lg2，则．③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到y＝tan x的图象．④设0＜a＜3，则函数f（x）＝x3﹣ax（0＜x＜1）有最小值无最大值．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．411．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B．右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线l交双曲线于M，N两点．P为直线l上一点，当∠APB 最大时，点P恰好在M（或N）处，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．（5分）已知函数．若函数f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1））和B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若0＜k≤2e，则实数m的取值范围为（）A．B．C．（e，2e]D．二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣2，点P为抛物线上的一点，则点P到直线y＝x+3的距离的最小值为．14．（5分）我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”请你计算出海岛高度为步．（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈＝5步”）15．（5分）若实数x，y满足．若z＝x+y的最小值为﹣7，则a＝．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足，若对∀n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则首项a1的取值范围是．三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知△ABC中，AB＝BC＝CA＝2，P为△ABC内一点，且∠BPC＝90°．（Ⅰ）当时，求AP的长；（Ⅱ）若∠APC＝150°，令∠PCB＝θ，求tanθ的值．18．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）当时，证明：平面SAB⊥平面SCD；（Ⅱ）若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．19．（12分）我校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间（每月用手机时间总和）的长短将学生分为三类：第一类的时间区间在（0，30]，第二类的时间区间在（30，60]，第三类的时间区间在（60，720]（单位：小时），并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导．现对我校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习．由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图．（I）求这1000名学生每月用手机时间的平均数；（II）利用分层抽样的方法从1000名选出10位学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；（III）若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X为获奖学生人数，求X的数学期望E（X）与方差D（X）．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F1PF2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M（x1，y1）与N（x2，y2），且x1≠x2，证明直线MN过定点，并求△AMN的面积S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（ax）﹣a，a＞0．（Ⅰ）若函数h（x）＝e x f（x）为单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，证明：e x+f（x）sin x＞0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ．（Ⅰ）当α＝45°时，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C的直角坐标为C（2，0），直线l与曲线C交于A，B两点，当△ABC面积最大时，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝a|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，作出g（x）图象并根据图象写出a的值（不要求证明）．2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），，则A ∩B＝（）A．[﹣1，2]B．[1，2]C．{﹣1}∪[1，2]D．[﹣1，1]∪{2}【解答】解：B＝[﹣1，2]；∵A＝（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；∴A∩B＝{﹣1}∪[1，2]．故选：C．2．（5分）已知复数z满足，（为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z＝（）A．1+i B．1﹣i C．1+i或1﹣i D．﹣1+i或﹣1﹣i 【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵复数z满足，∴，得，∴z＝1+i或z＝1﹣i．故选：C．3．（5分）正项等比数列{a n}中，a3，a4的等比中项为，令T n＝a1•a2•a3•…•a n，则T6＝（）A．6B．16C．32D．64【解答】解：∵，又a3，a4的等比中项为，∴a3a4＝4，又a1a6＝a2a5＝a3a4＝4，∴．故选：D．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成．长方体的体积为1×1×2＝2，三棱锥的体积为，所以几何体的体积为．故选：B．5．（5分）已知如图所示的程序框图中输出的结果为a，则二项式展开式中的常数项为（）A．15B．﹣15C．20D．﹣20【解答】解：由赋值运算，a输入值为﹣1，则第1次运算结果为，第2次结果为2，第3次结果为﹣1，结果数字以3为周期循环出现，要运算12次，此时输出的数为﹣1．这样二项式的展开通项为＝，当k＝3时为常数项，∴常数项为．故选：C．6．（5分）函数的部分图象为（）A．B．C．D．【解答】解：当x∈[﹣π，0）时，f（x）＝0，所以排除C，D；当x∈（﹣2π，﹣π）时sin x＞0，．故选A．故选：A．7．（5分）一个圆形电子石英钟由于缺电，指针刚好停留在8：20整，三个指针（时针、分针、秒针）在射线将时钟所在圆分成了三个扇形，一只小蚊子（可看成是一个质点）随机地飞落在圆面上，则恰好落在时针与分针所夹扇形内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：观察时钟所在圆被12个刻度十二等分，指针转过一等分就旋转30°，时针转过一等分就是1小时，分针转过一等分就是5分钟，∴8：20的时候秒针指向12，分针指向4，时针的指向是从刻度8再转过一等分的三分之一即10°．这样分针与时针之间的扇形的圆心角为4×30°+10°＝130°．又同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数的比，∴．故选：C．8．（5分）在△ABC中，CA⊥CB，CA＝CB＝1，D为AB的中点，将向量绕点C按逆时针方向旋转90°得向量，则向量在向量方向上的投影为（）A．﹣1B．1C．D．【解答】解：如图，以CA，CB为x，y轴建立平面直角坐标系，则C（0，0），A（1，0），B（0，1），D（，），，得，所以向量在向量方向上的投影为．故选：C．9．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．以上结论都不对【解答】解：如图，取AC中点为E，连结DE，SE，∵D，E分别为BC，AC的中点，所以DE∥AB，∴∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，令AB＝AC＝SA＝2，由勾股定理得，又DE＝1．∴BA⊥平面SAC，∴DE⊥平面SAC，∴DE⊥SE，∴．在Rt△SDE中，．∴异面直线AB与SD所成角的余弦值为．故选：B．10．（5分）下面有四个命题：①设X～N（1，1），P（﹣1≤X≤3）＝0.9544，则P（X≥3）＝0.0228．②已知a＝lg2，则．③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到y＝tan x的图象．④设0＜a＜3，则函数f（x）＝x3﹣ax（0＜x＜1）有最小值无最大值．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于①，X～N（1，1），曲线关于X＝1对称，所以，①正确；对于②，可知0＜a＜1，∴a0＞a a＞a1，即1＞a a＞a，所以，②错误；对于③，将的图象向右平移个单位，得y＝2tan x的图象，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得y＝tan x的图象，∴③正确；对于④，∵0＜x＜1，∴f′（x）＝3x2﹣a＝0，解得，又0＜a＜3，∴，可知f（x）在单调递减，在单调递增，④正确；综上，正确的命题序号上①③④．故选：C．11．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B．右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线l交双曲线于M，N两点．P为直线l上一点，当∠APB 最大时，点P恰好在M（或N）处，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：A（﹣a，0），B（a，0），F（c，0），直线l的方程为x＝c，把x＝c代入双曲线方程得：y＝±，设P（c，m），则＝（﹣a﹣c，﹣m），＝（a﹣c，﹣m），∴cos∠APB＝＝＝＝，令b2+m2＝t（t≥b），则cos∠APB＝＝＝，∴当＝即t＝2b2时，cos∠APB取得最小值，即∠APB最大．此时，m2＝t﹣b2＝b2＝，即a2＝b2．∴双曲线的离心率为．故选：A．12．（5分）已知函数．若函数f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1））和B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若0＜k≤2e，则实数m的取值范围为（）A．B．C．（e，2e]D．【解答】解：当x＞0时，函数f（x）＝mx﹣lnx的导函数为，由函数f（x）有两个极值点得m＞0，又f（x）为奇函数，不妨设x2＝﹣x1＞0，则有，∴可得：．由直线的斜率公式得，m＞0，又k＞0，∴1+lnm＞0，∴，（当时，k≤0，不合题意）令得h′（m）＝2+lnm＝1+（1+lnm）＞0，∴h（m）在上单调递增，又，由0＜k≤2e得：，所以．故选：B．二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣2，点P为抛物线上的一点，则点P到直线y＝x+3的距离的最小值为．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣2，则有﹣＝﹣2，解可得p ＝4，则抛物线方程为y2＝8x，设P点坐标为P（x，y），则点P到直线y＝x+3的距离为＝，当y＝4时取最小值．故答案为：14．（5分）我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”请你计算出海岛高度为1255步．（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈＝5步”）【解答】解：如图，设岛高x步，与前标杆相距y步，则有，解得：x＝1255步．故答案为：1255．15．（5分）若实数x，y满足．若z＝x+y的最小值为﹣7，则a＝﹣2．【解答】解：作出可行域如图所示，过点C时取最小值．由得，则得a＝﹣2．故答案为：﹣2．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足，若对∀n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则首项a1的取值范围是．【解答】解：，∴，两式作差得a n+a n+1＝4n﹣1，n≥2，∴a n﹣1+a n＝4n﹣5，n≥3两式再作差得a n+1﹣a n﹣1＝4，n≥3，可得数列{a n}的偶数项是以4为公差的等差数列，从a3起奇数项也是以4为公差的等差数列．若对∀n∈N*，a n＜a n+1恒成立，当且仅当a1＜a2＜a3＜a4．又a1+S2＝3，∴a2＝3﹣2a1，∴a3＝7﹣a2＝4+2a1，a4＝11﹣a3＝7﹣2a1，∴a1＜3﹣2a1＜4+2a1＜7﹣2a1，解得：．故答案为：．三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知△ABC中，AB＝BC＝CA＝2，P为△ABC内一点，且∠BPC＝90°．（Ⅰ）当时，求AP的长；（Ⅱ）若∠APC＝150°，令∠PCB＝θ，求tanθ的值．【解答】解：（Ⅰ）如图，在△PBC中，∠BPC＝90°，，∴∠PBC＝45°．∴∠ABP＝15°，∴cos∠ABP＝．在△ABP中，由余弦定理得：AP2＝BA2+BP2﹣2BA•BP•cos15°＝，∴．（Ⅱ）∵∠PCB＝θ，∠ACP＝60°﹣θ，∠APC＝150°，∴∠P AC＝θ﹣30°．在直角△PBC中，PC＝BC•cosθ＝2cosθ，在△APC中，由正弦定理得：即，解得．18．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）当时，证明：平面SAB⊥平面SCD；（Ⅱ）若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．【解答】证明：（Ⅰ）作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，又AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，AB⊥SA，AB⊥SD．……………2分利用勾股定理得，同理可得．在△SAD中，，∴SA⊥SD……………4分∴SD⊥平面SAB，又SD⊂平面SCD，所以平面SAB⊥平面SCD．……………5分解：（Ⅱ）连结BO，CO，∵SB＝SC，∴Rt△SOB≌Rt△SOC，BO＝CO，又四边形ABCD为长方形，∴Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD．取BC中点为E，得OE∥AB，连结SE，∴，其中OE＝1，OA＝OD＝1，……………7分由以上证明可知OS，OE，AD互相垂直，不妨以OA，OE，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵OE＝1，∴，∴，……………8分设是平面SCD的法向量，则有即，令z1＝1得．……………9分设是平面SBC的法向量，则有即令z1＝1得．……………10分则……………11分所以平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值为．……………12分19．（12分）我校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间（每月用手机时间总和）的长短将学生分为三类：第一类的时间区间在（0，30]，第二类的时间区间在（30，60]，第三类的时间区间在（60，720]（单位：小时），并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导．现对我校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习．由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图．（I）求这1000名学生每月用手机时间的平均数；（II）利用分层抽样的方法从1000名选出10位学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；（III）若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X为获奖学生人数，求X的数学期望E（X）与方差D（X）．【解答】解：（Ⅰ）平均数为：5×0.010×10+15×0.030×10+25×0.040×10+35×0.010×10+45×0.006×10+55×0.004×10＝23.4（小时）．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生，其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为＝．（Ⅲ）由题可知，这1000名学生中第一类学生80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数X～B（10，0.8），其数学期望E（X）＝10×0.8＝8（小时），方差D（X）＝10×0.8×0.2＝1.6．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F1PF2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M（x1，y1）与N（x2，y2），且x1≠x2，证明直线MN过定点，并求△AMN的面积S的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的离心率为，则，设P（x，y），则，∵．解得．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设MN方程为x＝ny+m，（n≠0），联立，得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，∴，因为关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0即，即，得2ny1y2+m（y1+y2）﹣4（y1+y2）＝0，即．解得：m＝1．直线MN方程为：x＝ny+1，所以直线MN过定点B（1，0）．又令，∴∴又．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（ax）﹣a，a＞0．（Ⅰ）若函数h（x）＝e x f（x）为单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，证明：e x+f（x）sin x＞0．【解答】解：（Ⅰ）∵h（x）＝e x（lnax﹣a），x＞0，∴，h（x）为单调函数等价为h′（x）≥0恒成立或h′（x）≤0恒成立，令得，所以φ（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，……………………2分又，当0＜a≤1时，∴时，；当a＞1时，∴时，；∴h′（x）≤0不可能恒成立，归纳得h′（x）≥0恒成立．……………………3分又φ（x）min＝φ（1）＝lna﹣a+1，所以lna﹣a+1≥0．令p（a）＝lna﹣a+1，a＞0，，得p（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，p（a）≤p（1）＝0，即lna﹣a+1≤0，……………………5分所以lna﹣a+1＝0，即a＝1．……………………6分证明：（Ⅱ）令F（x）＝e x+（lnx﹣1）sin x，（1）当x≥e时，sin x≥﹣1，所以F（x）＝e x+（lnx﹣1）sin x≥e x﹣lnx+1，x＞0．……………………7分因为[e x﹣（x+1）]′＝e x﹣1≥0，所以e x﹣（x+1）＞e0﹣（0+1）＝0即e x＞x+1；因为，可知函数（x﹣1）﹣lnx在x＝1处取最小值即（x﹣1）﹣lnx ≥0，即﹣lnx≥1﹣x．由不等式的性质得e x﹣lnx+1＞（x+1）+（1﹣x）+1＝3＞0，所以F（x）＝e x+（lnx﹣1）sin x＞0．……………………9分（2）当0＜x＜e时，F（x）＝e x+（lnx﹣1）sin x＞1+（lnx﹣1）sin x，因为（x﹣sin x）′＝1﹣cos x≥0，所以x﹣sin x＞0﹣sin0＝0，即sin x＜x，∵lnx﹣1＜0，∴（lnx﹣1）sin x＞（lnx﹣1）x，即由（Ⅱ）证明可知，所以F（x）＞0．……………………11分由（1）（2）得e x+f（x）sin x＞0．……………………12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ．（Ⅰ）当α＝45°时，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C的直角坐标为C（2，0），直线l与曲线C交于A，B两点，当△ABC面积最大时，求直线l的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）当α＝45°时，直线l的参数方程为，消去t得直线l的普通方程为x﹣y﹣5＝0．曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，两边乘以ρ为ρ2＝4ρcosθ，由得：x2+y2﹣4x＝0，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0．（Ⅱ）曲线C是以C（2，0）为圆心，2为半径的圆，．当∠ACB＝90°时面积最大．此时点C到直线l：y＝k（x﹣5）的距离为，所以，解得：，所以直线l的普通方程为．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝a|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，作出g（x）图象并根据图象写出a的值（不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|＝4，（x+3）≤0，即﹣3≤x≤1时等号成立．∴f（x）的最小值为4．……………………当且仅当（x﹣1）4分（Ⅱ）g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．则g（x）的图象是夹在y＝﹣5与y＝5之间的周期为4的折线，如图，…………6分又，f（x）的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，则f（x）的图象的两条射线中至少有一条是平行于x轴的，所以﹣（a+1）＝0或（a+1）＝0得a＝﹣1．此时，经验证符合题意，∴a＝﹣1……………………10分。

湖北省、山东省部分重点中学2018届高考冲刺模拟考试数学试题（理）一、选择题1. 已知全集（）A. {3}B. {0，3，5}C. {3，5}D. {0，3}2. 已知i为虚数单位，现有下面四个命题p1：复数z1=a+b i与z2=－a+b i，（a，b）在复平面内对应的点关于实轴对称；p2：若复数z满足(1-i)z=1+i，则z为纯虚数；p3：若复数z1，z2满意z1z2，则z2=；p4：若复数z满足z2+1=0，则z＝±i.其中的真命题为（）A. p1，p4B. p2，p4C. p1，p3D. p2，p33. 已知A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从N（80，2）(>0)，若在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（）A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.25. 某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（）A. B. C. D. 46. 要使程序框图输出的S=2cos则判断框内（空白框内）可填入（）A. B. C. D.7. 已知等差数列的第6项是二项式展开式的常数项，则=（）A. 160B. －160C. 320D. －3208. 将函数的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右平移个单位，得到函数的图象，则函数在区间上的对称中心为（）A. B.C. D.9. 已知点P是双曲线C：的一条渐近线上一点，F1、F2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则点P到y轴的距离为（）A. B. C. 1 D. 210. 已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心11. 设直线与椭圆交于A、B两点，过A、B两点的圆与E交于另两点C、D，则直线CD的斜率为（）A. －B. －2C.D. －412. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题13. 设命题_____________________________________.14. 直线的倾斜角的取值范围是_______.15. 设实数满足的最小值是________.16. 已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足其中则△ABC和△AMN的面积之比为_______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在等差数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列，求数列的前n项和S n.18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB，为棱PC上一点.(Ⅰ)若点是PC的中点，证明：B∥平面P AD；(Ⅱ)试确定的值使得二面角-BD-P为60°.19. 《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。

齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（三）文科数学试题命题：湖北沙市中学(郑华) 审题：湖北夷陵中学（夏咏芳） 湖南常德一中（贺少辉） 山东莱芜一中（陈洪波）本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一.选择题1．若集合M ={（，y ）|+y =0}，N ={（，y ）|2+y 2=0，∈R ，y ∈R }，则有（ ）A ．M ∪N =MB ．M ∪N =NC ．M ∩N =MD ．M ∩N =∅2．已知复数20182iZ i -+=（i 为虚数单位），则复数的共轭复数Z 的虚部为（ ） A ．i B. i - C.1 D. 1-3．下列命题中，真命题是 A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥ C ．2,2xx R x ∀∈> D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件 4．某程序框图如图，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 5．已知132a -=，21log 3b =,121log 3c =,则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>6．在满足条件21031070x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩的区域内任取一点(,)M x y ，则点(,)M x y 满足不等式22(1)1x y -+<的概率为（ ）A ．60πB ．120πC ．160π-D ．1120π-7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）A. 1.6B. 1.8C. 2.0D.2.48．已知函数()2sin() (0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<，12()2,()0f x f x ==，若12||x x -的最小值为12，且1()12f =，则()f x 的单调递增区间为（ ） A. 15+2,+2,66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦B.51+2,+2,.66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C. 51+2,+2,66k k k Z ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦D. 17+2,+2,66k k k Z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．定义在Ｒ上的连续函数()f x 满足2()()f x f x x +-=，且0x <时，'()f x x <恒成立，则不等式1()(1)2f x f x x --≥-的解集为（ ） A ．1(,]2-∞ B ．11(,)22- C ．1[,)2+∞D ．(,0)-∞ 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥，则m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，该棱柱的体积为，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，若在该三棱柱内部有一个球，则此球表面积的最大值为( )A ．8π B．(16π- C ．2π D．(4π-12．若A 、B 是抛物线2y x =上关于直线30x y --=对称的相异两点，则||AB =A ．3B ．4C．D．二.填空题13．若向量,a b 满足||||2a b ==,且()2a a b ⋅-=,则向量a 与b 的夹角为 . 14．某工厂有120名工人，其年龄都在20~ 60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50)，[50，60]分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备。

齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第三次调研联考 物理试题 命题学校：宜昌一中 命题人：周攀二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14-18题只有一项符合题目要求，第19-21题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错得0分。

（原创，容易）14．实验观察到 , 静止在匀强磁场中A 点的原子核发生α衰变, 衰变产生的新核与α粒子恰在纸面内做匀速圆周运动,运动方向和轨迹示意如图。

则 ( )A ．轨迹2是新核的，磁场方向垂直纸面向里B ．轨迹2是α粒子的，磁场方向垂直纸面向外C ．轨迹1是新核的，磁场方向垂直纸面向里D ．轨迹1是α粒子的，磁场方向垂直纸面向外（原创，容易）15．如图，实线为电场线，虚线为等势面，A 、B 、C 、D 为交点，三点处的电势分别为ϕA 、ϕB 、ϕC 、ϕD .一电子由A 点运动到C 点过程中，电场力做正功，则A ． ϕA < ϕD < ϕB < ϕCB ． ϕA > ϕ B = ϕD > ϕCC ．电子由C 点运动到D 点，电场力做负功D ．电子由A 点运动到B 点，电场力做负功（原创，中档）16．智能手机无线充电器的原理类似于变压器，由发射器和接收器组成，分别有一发射线圈和接收线圈，如图甲所示。

现将甲图部分电路等效成乙图所示的电路图，发射、接收线圈匝数比n 1：n 2=22：1，接收线圈右侧连接有4个理想二极管，若AB 端输入电压为u =311sin 200πt （V ），下列说法中正确的是（ ）B A电池 甲 接收线圈发射线圈乙A．C端永远是负极B．CD端输出电压的有效值为10VC．CD端输出电压的频率是100HD．当AB端输入恒定直流电时，CD端输出的也是直流电（原创，中档）17．如图，一把高级玩具枪在固定位置先用激光瞄准器水平发射激光，照到靶子上，记录下光点位置A，然后沿水平方向射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上，留下的弹孔B . 已知A、B在竖直方向上相距高度差为5cm，枪口到靶的水平距离为20m，如图所示，不计空气阻力，重力加速度为10m/s2则（）A．子弹从射出到打中靶的飞行时间为0.2sB．玩具枪射出的子弹的速度为100m/sC．发射子弹的同时释放靶子，子弹将从A、B连线上某点穿出D．发射子弹的同时释放靶子，子弹将从A点穿出（原创，中档）18．如图所示，斜面AB竖直固定放置，物块（可视为质点）从A点静止释放沿斜面下滑，最后停在水平面上的C点，从释放到停止的过程中克服摩擦力做的功为W . 因斜面塌陷，斜面变成APD曲面，D点与B在同一水平面上，且在B点左侧。