天津42中2020高三模拟考试数学试题(含答案)

高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的体积公式343V R =π球，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9题，每小题5分，共45分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x x =<，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}0,1-D.1,0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到集合A ，再求交集得到答案.【详解】{}{}|2=22A x x x x =<-<<，{}1,0,1,2B =-，则{}1,0,1A B =-.故选：A.【点睛】本题考查了交集运算，解不等式，属于简单题.2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，333S a =，则公比q =（ ）A. 12-B.12C. 1或12-D. -1或12【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q，由333S a =，即123312332a a a a a a a ++=⇒+=，所以221112210a a q a q q q +=⇒--=，解得1q =或12q =-，故选C ．考点：等比数列的通项公式的应用． 3.已知131log 2a =，121log 3b =，32log 3c =，则（ ） A. b a c >> B. a b c >>C. c b a >>D. a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性得到01a <<，l b >，0c <，得到答案. 【详解】111333110log 1log log 123a =<=<=，112211log log 132b =>=，332log log 310c =<=， 故b a c >>. 故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.4.设2:log 0p x <，1:21x q -<，则p 是q 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】分别解不等式，根据解集的范围大小得到答案.【详解】2log 0x <，则()0,1x ∈，121x -<，则(),1x ∈-∞，故p 是q 的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.5.若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为则实数a 的值为（ ）A. 0或4B. 1或3C. 2-或6D. 1-【答案】A 【解析】试题分析：：∵圆22()4x a y -+= ∴圆心为：（a ，0），半径为：2圆心到直线的距离为：d =∵2222d r ⎛+=⎝⎭解得a=4，或a=0考点：直线与圆相交的性质6.已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是（ ）A. B.C.3D.【答案】B 【解析】 【分析】根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得到答案.【详解】正方体的体积为38a =，则正方体棱长2a =，正方体的外接球半径为体对角线的一半，即2R ===34433V R ππ==⋅=.故选：B.【点睛】本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将半径转化为求体对角线是解题的关键.7.将函数sin y x x =-的图像沿x 轴向右平移(0)m m >个单位长度，所得函数的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A. 12π-B.12πC. 6π-D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化为2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后利用三角函数的平移变换原则即可求解.【详解】sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 将函数的图像沿x 轴向右平移(0)m m >个单位长度，可得2sin 3y x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，此函数图像关于y 轴对称，则()32m k k Z πππ--=+∈，解得()56m k k Z ππ=--∈， 因为0m >，则当1k =-时， m 取得最小值6π. 故选：D【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、辅助角公式、诱导公式，属于基础题.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为（ ）A. B. C. 4D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的性质可得22p-=-，进而可得双曲线的左顶点，由双曲线的渐近线方程结合点(2,1)--在双曲线的其中一条渐近线上，即可求出b ，再利用双曲线的性质即可得解.【详解】抛物线22(0)y px p =>，∴该抛物线的准线为2p x =-， 又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，∴点(2,1)--在直线2px =-上，∴22p -=-即4p =， ∴抛物线的焦点为(2,0)，又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，∴双曲线的左顶点为(2,0)-，2a =，∴双曲线的渐近线方程为2by x =±， 由点(2,1)--在双曲线其中一条渐近线上可得()122b-=⨯-即1b =， ∴双曲线的焦距2c ==故选：D.【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对于圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.9.已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A. (,0)-∞ B. (1,)+∞C. (0,1)D. [0,1]【答案】C 【解析】 分析】由题意画出函数()f x 的图象，转化条件为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点，数形结合即可得解.【详解】当0x ≤时，2()2f x x x =--，其图象为开口向下，对称轴为1x =-的抛物线的一部分，且(1)121f -=-+=；当0x >时，()21xf x =-，其图像为函数2xy =在y 轴右侧图象向下平移1个单位形成；画出函数()f x 的图象，如图：因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()f x m =有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点， 数形结合可知，01m <<， 所以实数m 的取值范围为(0,1). 故选：C.【点睛】本题考查了函数的零点、方程的根以及两函数的图象的交点个数之间的关系，考查了数形结合与转化化归思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.若i 为虚数单位，则复数23(1)i =-_________.【答案】32i 【解析】 【分析】由题意结合复数的乘法、除法运算法则直接计算即可得解.详解】由题意22233333(1)12222i i i i i i i ====--+--. 故答案为：32i . 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 11.某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有_________.【答案】150 【解析】 【分析】设三个社团共有x 人，由题意结合分层抽样的定义和方法列方程即可得解. 【详解】设三个社团共有x 人， 由分层抽样的定义和方法可得30124515x =+，解得150x =， 所以这三个社团共有150人. 故答案为：150.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，利用分层抽样每个个体被抽到的概率相等是解决本题的关键，属于基础题.12.已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是_________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项式系数和为232n =得到5n =，再利用二项式定理得到答案. 【详解】二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为232n =，故5n =.251()x x+展开式的通项为：()521031551rrrr rr T C x C xx --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭， 取3r =得到x 项的系数是3510C =. 故答案为：10.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13.已知实数,a b 满足条件：0ab <，且1是2a 与2b 的等比中项，又是1a 与1b的等差中项，则22a ba b +=+_________.【答案】13-【解析】 【分析】根据等差中项和等比中项计算得到1ab =-，2a b +=-，代入式子化简得到答案. 【详解】根据题意：221a b =，0ab <，故1ab =-，112a b a b ab++==，故2a b +=-. ()222221423a b a b a ab b a b ++-===-++-+.故答案为：13-.【点睛】本题考查了等差中项，等比中项，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 14.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________【答案】【解析】【详解】函数的导数为，所以在的切线斜率为，所以切线方程为，即.15.已知,a b 是单位向量，·0a b =．若向量c 满足1c a b c --=，则的最大值是________.2+1 【解析】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，设(,)c x y =，根据条件求得,x y 满足的关系式，再根据c 的几何意义求解．【详解】由0a b =，得a b ⊥．建立如图所示的平面直角坐标系，则()()1,0,0,1a b ==．设(,)c OC x y ==，由1c a b --=，可得22(1)(1)1x y -+-=，所以点C 在以（1,1）为圆心，半径为1的圆上． 所以max 21c =+．【点睛】由于向量具有数形二重性，因此研究向量的问题时可借助于几何图形进行，利用数形结合可以增强解题的直观性，同时也使得对向量的研究简单化，进而可提高解题的效率．三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =. （1）求c 的值； （2）求sin(2)3C π+的值.【答案】（1）2c =（21573-【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理计算得到答案. （2）根据三角恒等变换计算15sin 28C =，7cos28C =-，代入计算得到答案.【详解】（1）根据余弦定理：2222cos 1414c a b ab C =+-=+-=，故2c =. （2）()0,C π∈，故2115sin 1cos 116C C =-=-=15sin 22sin cos C C C ==，27cos22cos 18C C =-=-，故17sin 2sin 2cos cos 2sin 33328C C C πππ⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了计算恒等变换，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 17.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为23和34，且各次射击互相独立. （1）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；（2）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）1112（2）分布列见详解；()2E ξ= 【解析】 【分析】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解；方法二：设“两人都没命中目标”为事件B ，利用概率乘法公式求出都不命中的概率，然后再利用间接法即可求解.（2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，利用独立重复试验的概率求法公式求出分布列，进而求出期望.【详解】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，231321()343434P A =⨯+⨯+⨯1112=.方法二：（或设“两人都没命中目标”为事件B ，111()3412P B =⨯=. “至少有一人命中目标”为事件A ，111()11212P A =-=. （2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，1111(0)33327P ξ==⨯⨯=132116(1)33327P C ξ==⨯⨯=⋅ ()2322112233327P C ξ==⨯⨯=⋅()2228333327P ξ==⨯⨯=.ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 127 627 1227 827以()61281232272727E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、独立重复试验的分布列、期望，属于基础题.18.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2PA AB ==，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是线段PE 的中点.（1）求证：PB ⊥平面ADF ；（2）若直线DE 与平面ADF 所成角为30， ①求线段CE 的长；②求二面角P ED A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）①2317【解析】 【分析】（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴 ，建立空间直角坐标系，利用数量积证出PB AD ⊥，PB AF ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证出. （2）①求出平面ADF 的一个法向量，利用cos n DE n DE n DE⋅⋅=⋅12=，即可求线段CE 的长；②求出平面PED 的一个法向量，再根据(0,0,2)AP =为平面ADE 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）依题意，以点A 原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴 ，建立空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，(2,,0)(03)E m m ≤≤，(1,,1)2mF ，(0,0,2)P . (2,0,2)PB =-，(0,3,0)AD =，(1,,1)2mAF =，0PB AD ⋅=，0PB AF ⋅=，.即PB AD ⊥，PB AF ⊥，AF A AD =，.所以PB ⊥平面ADF .（2）①设(,,)n x y z =为平面ADF 的法向量，则00AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即002y mx y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 不妨令1x =，可得(1,0,1)n =-为平面ADF 的一个法向量，(2,3,0)DE m =-于是有cos n DE n DE n DE⋅⋅=⋅12=，. 22121012(3)0m =++⋅+-+，得1m =或5m =（舍）. (2,1,0)E ，(2,3,0)C ，线段CE 的长为2；.②设(,,)m x y z =为平面PED 的法向量，(2,1,2)PE =-，(0,3,2)PD =-则00PE m PD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220320x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，不妨令2y =，可得(2,2,3)m =为平面PED 的一个法向量，. 又(0,0,2)AP =为平面ADE 的一个法向量，. 所以317cos 217m AP m AP m AP⋅⋅===⋅.【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、线面垂直的判定定理、根据线面角求长度，考查了运算求解能力，属于中档题.19.如图，椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：经过点P （1.），离心率e=，直线l 的方程为x=4.（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在【解析】2231911124P a b+=（）由（，）在椭圆上得：①222,3a c b c =∴=② ②代入①得222221,4,3, 1.43x y c a b C ===∴+=椭圆：考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力. 20.设，函数()ln f x x ax =-．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知（是自然对数的底数）和2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求a 的值并证明：322x e >．【答案】（Ⅰ）①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值，②当0a >时，函数()f x 的递增区间为，递减区间是，函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别令0a ≤及0a >分情况讨论；（Ⅱ）由已知得()1ln 2f x x x e=-，由（Ⅰ）函数()f x 在递减及323()022e f e =->，5225()022ef e =-<，可知函数()f x 在区间有唯一零点，由此得证.试题解析：（Ⅰ）由已知得()0,+∞，()11ax f x a xx'-=-=，①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数，无极值； ②若0a >，令()0f x '=，得1x a=， 在区间上，()0f x '>，函数()f x 是增函数，在区间上，()0f x '<，函数()f x 是减函数，所以在区间()0,+∞上，()f x 的极大值为11()ln1ln 1f a a a=-=--． 综上所述，①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值；②当0a >时，函数()f x 的递增区间为，递减区间是，函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--．（Ⅱ）因为，所以102a e -=，解得2a e =，所以()ln 2f x x x e =-， 又323()022e f e =->，5225()022ef e =-<，所以3522()()0f e f e ⋅<，由（Ⅰ）函数()f x 在递减，故函数()f x 在区间有唯一零点，因此322x e >．考点：导数的应用．【方法点睛】单调性是函数的最重要的性质，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性，含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、分类讨论的良好素材．函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点．函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小．对于在指定区间上不等式的恒成立问题，一般是转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案．。

2020年天津市高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x|x2+x-2=0}，B={0，-2}，则B∩（∁U A）=（）A. {0，1}B. {-2，0}C. {-1，-2}D. {0}2.设x∈R，则“|x-2|＜1”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x-y的最大值为（）A. 16B. 0C. -2D. 不存在4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A. 21B. 58C. 141D. 3185.抛物线y2=ax（a＞0）的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则a的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 26.函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（-，0）中心对称（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b=log23，c=e ln4，则下面结论正确的是（）A. f（a）＜f（b）＜f（c）B. f（c）＜f（a）＜f（b）C. f（c）＜f（b）＜f（a）D. f（a）＜f（c）＜f（b）8.边长为2的菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F．若∠BAD=60°，则=（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.设复数，则=______．10.已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．11.已知直线l：y=kx（k＞0）为圆的切线，则k为______．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＞0，则不等式的解集是______．13.已知a＞1，b＞1，若log a2+log b16=3，则log2（ab）的最小值为______．14.已知函数f（x）=，若方程有八个不等的实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．cos（π-B）=，c=1，a sin B=c sin A．（Ⅰ）求边a的值；（Ⅱ）求cos（2B+）的值．16.点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记ξ=XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（1）若M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB；（2）求证：平面PAB⊥平面PBC；（3）求AC与平面PBC所成角的大小．18.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T2n；（Ⅲ）若对于∀n∈N*，恒成立，求λ范围．19.已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，过右焦点F2且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|=3，△F1GH的周长为8．过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF2交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若△AMN的面积为，求直线MN的方程；（Ⅲ）证明：点P在定直线上．20.已知函数f（x）=2ln x-x2．（Ⅰ）求f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=m在内恰有一个交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB中点为C（x0，0），求证：g'（x0）≠0．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：解一元二次方程x2+x-2=0得：x=-2或x=1，即A=，∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁U A）=，故选：D．由一元二次方程的解法得：A=，由集合的交、并、补运算得：∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁U A）=，得解．本题考查了一元二次方程的解法及集合的交、并、补运算，属简单题．2.答案：A解析：由|x-2|＜1知，1＜x＜3．故A={x|1＜x＜3}．由＞0，知x＞1或x＜-2．故B={x|x＞1或x＜-2}．因为A⊆B，所以答案为充分不必要条件．故选：A．分别解出不等式解集，借助数轴找出包含关系．本题考查了集合的子集关系与充分必要条件的关系，属于基础题．3.答案：B解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由z=-2x-y得y=-2x-z，平移直线y=-2x-z，由图象知当直线y=2x-z经过点A时，直线y=-2x-z的截距最小，此时z最大；由，解得A（-1，2），所以z的最大值为-2×（-1）-2=0．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=-2x-y的最大值．本题主要考查了简单的线性规划应用问题，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解答此类问题的基本方法．4.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1不满足条件k＞5，执行循环体，S=1，k=2不满足条件k＞5，执行循环体，S=6，k=3不满足条件k＞5，执行循环体，S=21，k=4不满足条件k＞5，执行循环体，S=58，k=5不满足条件k＞5，执行循环体，S=141，k=6满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为141．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.答案：A解析：【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．【解答】解：抛物线y2=ax的准线为x=-，双曲线C：-=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（-，a），（-，-a），即有三角形的面积为••a=2，解得a=8，故选：A．6.答案：B解析：解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到：y=sin（2x+2ρ+）关于点（-，0）中心对称∴将x=-代入得到：sin（-+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=-+，当k=0时，ρ=-故选：B．先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=-代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质--对称性，属于基础题．7.答案：C解析：解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），则函数f（x）关于直线x=3对称，c=e ln4=4，f（c）=f（4）=f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若=，b=log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．根据题意，由f（3-x）=f（3+x）分析可得函数f（x）关于直线x=3对称，据此可得f（c）=f（4）=f（2）；由函数单调性的定义可得函数f（x）在（0，3）上为减函数，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意结合函数的单调性进行分析，属于基础题．8.答案：B解析：解：设=λ+（1-λ），又=+=+，且存在实数t使得=t，∴λ+（1-λ）=+t，∴，∴，∴=+，∴=-=+，∴•=（-）•=（+-）•=（+-）•（+）=（+--）•（+）=（-）•（+）=2-2-•=×4-×4-×=故选：B．取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．9.答案：2解析：解：∵=，∴，则z+=2．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：解析：解：∵正方体的内切球体积为36π，设内切球的半径为r，则，得r=3，即内切球的半径为3，∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等为6，∴正方体的体对角线长为．故答案为：．由正方体的内切球的体积求得球的半径，得到正方体的边长，从而求得正方体的体对角线长．本题考查正方体的内切球，考查空间想象能力，考查计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：根据题意，圆的圆心为（，0），半径r=1，若直线l：y=kx（k＞0）即kx-y=0与圆相切，则有=1，解可得：k=±，又由k＞0，则k=，故答案为：．根据题意，求出圆C的圆心与半径，结合直线与圆相切的性质可得=1，解可得k的值，结合k的范围分析即可得答案．本题考查直线与圆相切的性质以及圆的切线方程的计算，属于基础题．12.答案：（-∞，-1）∪（1，+∞）解析：解：依题意，f（1）=0由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数又由g（-x）===g（x），得函数g（x）在R上为偶函数∴函数g（x）在（-∞，0）上为减函数且g（1）=0，g（-1）=0由图可知＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．先由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）在R上为偶函数，从而画出函数的示意图，数形结合解不等式即可．本题综合考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题．13.答案：3解析：解：∵log a2+log b16=3；∴；又a＞1，b＞1；∴log2a＞0，log2b＞0；∴log2（ab）=log2a+log2b==；∴log2（ab）的最小值为3．故答案为：3．根据log a2+log b16=3即可得出，从而得出log2（ab）=（log2a+log2b）=，根据基本不等式即可求出log2（ab）的最小值．考查对数的运算，对数的换底公式，以及基本不等式的应用．14.答案：解析：解：设t=f（x），则方程方程可化为：t2+at+=0，设此方程有两根t=t1，t=t2，有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由已知有：当x＞0时，f（x）=x lnx，则f′（x）=ln x+1，当0时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，则其图象如图所示：当y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，则x1，x2∈（-，0），得，解得：，故答案为：（，）由方程的根与函数零点的相互转化得：有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由利用导数研究函数的单调性及最值可作函数t=f（x）的图象，结合二次方程的区间根问题列不等式组得，求解即可，本题考查了方程的根与函数零点的相互转化、利用导数研究函数的单调性及最值，二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．15.答案：解：（Ⅰ）由cos（π-B）=，得cos B=-，………………………………（1分）∵c=1，由a sin B=c sin A，得ab=ca，∴b=，……………………（3分）由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得3a2+4a-15=0，解得a=，或a=-3，（舍）∴a=．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵由cos B=-，得sin B=，………………………………………………（7分）∴sin2B=2sin B cosB=-，cos2B=2cos2B-1=-，………………………………………………（10分）∴cos（2B+）=cos2B cos-sin2B sin=．…………………………（13分）解析：（Ⅰ）由已知利用诱导公式可求cos B的值，利用正弦定理化简已知等式可求b 的值，根据余弦定理即可解得a的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B 的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可计算得解cos（2B+）的值．本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：（本题13分）（Ⅰ）解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件A i，其中i=0，1，2，3，4．则由P（A i）=………………………（2分）得．（5分）（Ⅱ）解：随机变量ξ的所有可能取值为0，3，4．………………………（6 分），（8分），…（10分），………（11分）ξ034Pξ的数学期望．………（13分）解析：（Ⅰ）设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件A i，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率．（Ⅱ）由已知ξ可取0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17.答案：证明：（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，则MN∥BC且，又AD∥BC且，所以MN∥AD且MN=AD，所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM∥AN，因为DM⊄平面PAB，AN⊂平面PAB，所以DM∥平面PAB．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD,得BC⊥PA，因为BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC．解：（Ⅲ）由PA=AB且N为PB中点推出AN⊥PB，由（Ⅱ）知BC⊥平面PAB，AN平面PAB,则AN⊥BC，又PB∩BC=B，所以AN⊥平面PBC，所以∠ACN即为所求．，，所以AC与平面PBC所成角的大小为30°．解析：本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，推导出四边形DMNA为平行四边形，DM∥AN，由此能证明DM∥面PAB；（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥PA，得到BC⊥面PAB，由此能证明面PAB⊥面PBC；（Ⅲ）由AN⊥PB，AN⊥BC，得AN⊥面PBC，∠ACN即为所求．由此能求出AC与面PBC 所成角的大小．18.答案：解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差为2，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，解得a1=1，a n=2n-1．（Ⅱ）由于a n=2n-1．所以：．（Ⅲ）由于：，故：λ2-2λ-2≥1；∴λ≥3或λ≤-1．解析：（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的通项公式，进一步利用列想想效法求出数列的和．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，再利用放缩法和函数的恒成立问题的应用求出参数的范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.答案：解：（Ⅰ），解得：；所以椭圆方程为：．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），①当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k （x-1），联立得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，△=144（k2+1）＞0，；∴；A（-2，0）到MN直线kx-y-k=0的距离为，∴；当k=-1时，MN直线方程过F2（1，0）直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以MN方程为x-y-1=0．②当直线MN斜率k不存在时，（舍）．综上：直线MN方程为：x-y-1=0证明（Ⅲ）设AM：y=k1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立：，∵同理设BNy=k2（x-2）（k2＞0），可得，所以MN的方程为：，以及MN方程过F2（1，0），将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，∵k1k2＞0，∴k2=3k1．又因为AM与NB交于P点，即，，将k2=3k1代入得x P=4，所以点P在定直线x=4上MN方程为x-y-1=0解析：（Ⅰ）由题意可得，解得：，即可求出椭圆的方程，（Ⅱ）当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k（x-1），根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离，即可表示三角形的面积，即可求出k的值，可得直线方程，（Ⅲ）设AM：y=k1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立，求出点M的左边，同理求出点N 的坐标，将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，即可求证点P在定直线上．本题考查椭圆的标准方程的简单几何性质，直线与圆锥曲线的综合应用，考查了弦长公式，考查计算能力，属于难题．20.答案：解：（Ⅰ），则f'（2）=-3，且切点坐标为（2，2ln2-4），所以所求切线方程为：3x+y-2-2ln2=0；（Ⅱ）（-1舍去），所以f（x）在为增函数，在（1，e）为减函数，∴，f（1）=-1，f（e）=2-e2；所以；（Ⅲ）证明：g（x）=2ln x-x2-nx，，假设g'（x0）=0，则有，①-②得：，∴，由④得，∴；即；即⑤；令，，则在0＜t＜1上增函数．u（t）＜u（1）=0．∴⑤式不成立，故与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．解析：（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（Ⅱ）求得f（x）的极值点和极值，单调性、区间端点处的函数值，结合条件艰苦端点所求范围；（Ⅲ）求得g（x）=2ln x-x2-nx，，假设g'（x0）=0，由方程的根的定义和中点坐标公式，作差，化简整理，构造函数，即可得到矛盾，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数方程转化思想和反证法的运用，考查化简运算能力，属于综合题．。

天津市高三数学上学期期末模拟试卷含答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}04|{2≤-=x x A ，集合}01|{>-=x x B ，则=B A （ ） A ． )2,1( B ． ]2,1( C ．)1,2[- D ．)1,2(- 2.“4πα=”是“02cos =α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要3.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥01209320y x y x x ，则目标函数y x z 2+=的取值范围是（ ）A ．),6[+∞B ．),5[+∞C ．]6,5[D ． ]5,0[4.阅读如图所示的程序框图，若输入的b a ,分别为1，2，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．320 B ．516 C. 27 D ．815 5.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为)0,2(-F ，且双曲线的两条渐近线的夹角为060，则双曲线的方程为（ ）A ．1322=-y x B ．12622=-y x C. 1322=-y x 或1322=-y x D ．1322=-y x 或12622=-y x 6.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B C 2sin sin =，且2=b ，3=c ，则a 等于（ ） A ．21B ．3 C. 2 D ．32 7.如图，平面四边形ABCD 中，090=∠=∠ADC ABC ，2==CD BC ，点E 在对角线AC 上，44==AE AC ，则ED EB •的值为（ ）A ． 17B ．13 C. 5 D ．18.已知函数xxe e xf -+=)(（其中e 是自然对数的底数），若当0>x 时，1)(-+≤-m e x mf x恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．)31,0( B ．]31,(--∞ C. ),31[+∞ D ．]31,31[-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知i 为虚数单位，则=+-ii12 ． 10.在6)12(xx -的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答） 11.一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为 ．12.已知曲线3x y =与直线)0(>=k kx y 在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则=k ．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线⎩⎨⎧==t y t x 442（t 为参数）的焦点为F ，动点P 在抛物线上，动点Q 在圆⎩⎨⎧=+=ααsin cos 3y x （α为参数）上，则||||PQ PF +的最小值为 ．14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0|,ln |0,131)(x x x x x f ，若函数0)(=-ax x f 恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数x x x x x f cos sin 32sin cos )(22+-=，R x ∈.（1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 在区间]4,6[ππ-上的最大值与最小值. 16.某大学现有6名包含A 在内的男志愿者和4名包含B 在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作.（1）求参加田赛服务工作的志愿者中包含A 但不包含B 的概率；（2）设X 表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.17. 在如图所示的几何体中，AC DE //，90=∠=∠ACD ACB ，32==DE AC ，2=BC ，1=DC ，二面角E AC B --的大小为060.（1）求证：⊥BD 平面ACDE ；（2）求平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）的大小；（3）若F 为AB 的中点，求直线EF 与平面BDE 所成的角的大小. 18. 已知}{n a 是等比数列，满足21=a ，且432,2,a a a +成等差数列. （1）求}{n a 的通项公式；（2）设n n na b 2=，数列}{n b 的前n 项和为n S ，4792)(2-+-=n S n n n g ),2(*N n n ∈≥，求正整数k 的值，使得对任意2≥n 均有)()(n g k g ≥.19. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1F ，离心率为21，1F 为圆0152:22=-++x y x M 的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，过2F 且与l 垂直的直线1l 与圆M 交于D C ,两点，求四边形ACBD 面积的取值范围. 20. 已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，R a ∈. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）当21-=a 时，令)(21)(2x f x x g --=，其导函数为)('x g ，设21,x x 是函数)(x g 的两个零点，判断221x x +是否为)('x g 的零点？并说明理由.高三数学（理）参考答案一、选择题: 1－8CABDC CDB 二、填空题： 9．1322i - 10．240 11．36 12．4 13．3 14．11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：（15）解：（Ⅰ）()22cos sin cos f x x x x x =-+cos 22x x =+12cos 2sin 22sin 2226x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π． （Ⅱ）由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增； 当22,623x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减； 且当266x ππ+=-，即6x π=-时，1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，此时()=1f x -； 当262x ππ+=，即6x π=时，sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时()=2f x ;当2263x ππ+=，即4x π=时，sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时()f x 所以当6x π=-时，()f x 取得最小值1-；当6x π=时，()f x 取得最大值2（16）解：（I ）记参加田赛服务工作的志愿者中包含A 但不包含B 的事件为M ， 则基本事件的总数为510C ，事件M 包含基本事件的个数为48C ，则()48510518C P M C ==.(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则()5651010,42C P X C === ()416451051,21C C P X C === ()3264510102,21C C P X C ===()236451053,21C C P X C === ()146451014,42C C P X C ===因此X 的分布列为X 的数学期望是()()()()()()0011223344E X P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （17）解：方法一：（I ）因为90ACB ACD ∠=∠=，则AC CD ⊥，AC CB ⊥， 所以BCD ∠为二面角B AC E --的平面角，即60BCD ∠=， 在BCD ∆中，2BC =，1DC =，60BCD ∠=，所以214122132BD =+-⨯⨯⨯=，所以222BD DC BC +=，即BD DC ⊥， 由AC CD ⊥，AC CB ⊥，且BC DC C =，可知AC ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥， 又因为ACDC C =，AC ⊂平面ACDE ，DC ⊂平面ACDE ，所以BD ⊥平面ACDE ．（II ）由BD ⊥平面ACDE 得BD DC ⊥，BD DE ⊥，又AC CD ⊥，即DB ，DC ，DE 两两垂直，则以DB ，DC ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．由（I ）知3BD =则()0,0,0D ，)30,0B，()0,1,0C ，由23AC DE ==得30,0,2E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,3A 依题意30,1,2AE ⎛⎫=--⎪⎝⎭，()31,3AB =--，设平面BAE 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即302330y z x y z ⎧--=⎪--=，不妨设3y =，可得()3,3,2n =--，由AC ⊥平面BCD 可知平面BCD 的一个法向量为()0,0,3AC = 设平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）为θ，所以61cos cos ,432n AC n AC n ACθ⋅====⨯，于是=3πθ， 所以平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）为3π． （III ）若F 为AB 的中点，则由（II ）可得313,,222F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以31,,022EF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，依题意CD ⊥平面BDE ，可知平面BDE 的一个法向量为()0,1,0DC =， 设直线EF 与平面BDE 所成角为α，则1sin cos ,2DC EF DC EF DC EFα⋅===，所以直线EF 与平面BDE 所成角的大小6π．方法二：（I ）因为90ACB ACD ∠=∠=，则AC CD ⊥，AC CB ⊥， 所以BCD ∠为二面角B AC E --的平面角，即60BCD ∠=， 在BCD ∆中，2BC =，1DC =，60BCD ∠=，所以214122132BD =+-⨯⨯⨯=，所以222BD DC BC +=，即BD DC ⊥， 由AC CD ⊥，AC CB ⊥，且BC DC C =，可知AC ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥， 又因为ACDC C =，AC ⊂平面ACDE ，DC ⊂平面ACDE ，所以BD ⊥平面ACDE ．（Ⅱ）令CD AE ,的延长线的交点为G ，连BG 。

高三数学一、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共9题，每小题5分，共45分.1．设集合(U R R =为实数集），{|0}A x x =>，{|1}B x x =…，则(U A B =I ð ) A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <„C ．{|1}x x …D ．{|0}x x >2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-3．已知a ln π=，12log 5b =，12c e -=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>4．设x R ∈，则“|1|2x -< “是“2x x <”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必条件5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为( )A ．800B ．1000C ．1200D ．16006．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是( ) A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=7．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若||||PQ OF =，则C 的离心率为( ) AB C ．2D8．已知数列{}n a 满足13a =，且*143()n n a a n N +=+∈，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2121n -+B ．2121n --C ．221n +D ．221n -9．设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩g …若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．已知复数(2)(1)z a i i =++，其中i 为虚数单位，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值是 ． 11．在8的展开式中，x 的系数等于 ．12．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是 ． 13．曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为 ．14．已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是 ．15．已知向量a r ，b r 满足||2a =r ，||3b =r ，且已知向量a r ，b r 的夹角为60︒，()()0a c b c --=r r r r g ，则||c r的最小值是 ．三、解答题：本大题共5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅰ）求cos(2)6B π-的值．17．（15分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅰ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111n nT S S S S =+++⋯⋯+，证明：12n T <…．18．（15分）已知椭圆2222:(0)x y C l a b a b+=>>的离心率为2，且过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设Q 是椭圆C 上且不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过右焦点F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两个不同的点，求2||||MN OQ 的值． 19．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21(*)n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅰ）证明：21143nk ka =<∑． 20．（15分）已知函数()(1)f x lnx a x =--，a 为实数，且0a >． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅰ）求函数()f x 在区间[1，]e 上的值域（其中e 为自然对数的底数）．一、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共9题，每小题5分，共45分. 1.A 2.C 3.D 4B 5.B 6.D 7.A 8.D 9.C二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10.2． 11 7． 12.740． 13. 10x y -+=．14. 1+．15.三、解答题：本大题共5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.()I 因为sin 3sin b A c B =，由正弦定理可得，sin sin 3sin sin B A C B =， 因为sin 0B ≠，故sin 3sin A C =，即33a c ==，由余弦定理可得，229136b +-=，解可得，b =． ()II 因为2cos 3B =，所以sin B =21cos22cos 19B B =-=-，sin 22sin cos B B B ==则111cos(2)sin 2()6292B B B π-=+-+=． 17（Ⅰ）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，设公比为q ，0q >， 12a ，3a ，23a 成等差数列，可得312223a a a =+，即222432q q =+g g ，解得2q =（负值舍去），则112n n n a a q -==，*n N ∈； （Ⅰ）证明：22log log 2n n b a ==n n =， 1(1)2n S n n =+，12112()(1)1n S n n n n ==-++， 则12311111111112(1)2(1)22311n n T S S S S n n n =+++⋯⋯+=-+-+⋯+-=-++， 由数列1{1}1n -+在*N 递增，可得()f n f …（1）12=， 且()1f n <，可得12n T <„． 18（Ⅰ）由题可得c e a ==，即2212c a =，2212b a =，将点代入方程得221312a b +=，即22131a a+=，解得24a =， 所以椭圆C 的方程为：22142x y +=；（Ⅰ）由（Ⅰ）知，F ，0)设直线:OQ x my =，则直线:MN x my =联立22142x myx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22242Q m x m =+，2242Q y m =+ 所以222222224444||222Q Qm m OQ x y m m m +=+=+=+++，联立22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)20m y ++-=设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y，则12y y +=，12222y y m =-+，所以224(1)||2m MN m +==+，所以222224(1)||2144||2m MN m m OQ m ++==++． 19（Ⅰ）解：由题意，当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =．当2n …时，112121n n n n n a S S a a --=-=--+， 整理，得12n n a a -=．∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．11122n n n a --∴==g ，*n N ∈．（Ⅰ）证明：由（Ⅰ）知，121211111()(2)44n n n n a ---===． 故22221121111nk kn a a a a ==++⋯+∑1211111()()()444n -=+++⋯+11()4114n-=- 4414()3343n =-<g ． 故得证．20.()I 当1a =时，()1f x lnx x =-+，11()1xf x x x-'=-=， 当01x <<时，()0f x '>，函数单调递增，当1x >时，()0f x '<，函数单调递减， 故当1x =时，函数取得极大值f （1）0=，没有极小值； 函数的递增区间(0,1)，递减区间(1,)+∞，11()()axII f x a x x-'=-=， 当10a e<„时，()0f x '…，()f x 在[1，]e 上单调递增，f （1）()f x f 剟（e ）即函数的值域[0，1]a ae +-；当1a …时，()0f x '„，()f x 在[1，]e 上单调递减，f （e ）()f x f 剟（1）即函数的值域[1a ae +-，0]；当11a e <<时，易得[1x ∈，1)a 时，()0f x '>，()f x 在[1，]e 上单调递增，1(,]x e a ∈时，()0f x '<，()f x 在[1，]e 上单调递减，故当1x a =时，函数取得最大值1()1f lna a a=--+，最小值为f （1）0=，f （e ）1ae a =-+中最小的，()i 当111a e e <-„时，f （e ）f …（1），最小值f （1）0=； ()ii 当111a e <<-，f （e ）f <（1），最小值f （e ）1a ae =+-； 综上，10a e<„时，函数的值域[0，1]a ae +-， 当111a e e <-„时，函数的值域[0，1]lna a --+， 当1a …时，函数的值域[1a ae +-，0]．。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞解析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，,A B A A B =⊆,所以满足2a ≥，所以答案选择D.知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数：22．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限解析：22=(12i)14434z i i i +=++=-+，所以复数对应的点（-3,4）点在第二象限。

知识点;推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方 难度系数：23．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A（B）2（C（D）2解析：双曲线的渐近线方程为b y x a =±，2222222,,5,5,bc a b c a e e a∴==+===，所以答案为C知识点：解析几何---------圆锥曲线--------双曲线 难度系数：34．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈ （C ） 2A ∈，且A （DAA的正方形，高为4的正四棱锥，所以每=D 。

知识点：立体几何-------空间几何体----------空间几何体的三视图和直观图 难度系数：25．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：平面向量a ，b ，c 均为非零向量，()0⋅-=a b c ，可以得出=b c 或者()⊥-a b c ；所以为必要不充分条件。

天津市部分区2020年高三质量调查试卷（二）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10．221916x y -= 11．2- 12． 13．2 14．2；10 15．920-三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2:2:3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取2人、2人、3人． ……………………………………………………………3分 （2）（ⅰ）依题意，得随机变量X 的所有可能取值为2，3，4．………………4分所以，45247()(2,3,4)k kC C P X k k C -⋅===．…………………………………………5分 因此，所求随机变量X 的分布列为………………………………………………10分故随机变量X 的数学期望为1020520()2343535357E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………11分 （ⅱ）依题意，设事件B 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”.则有M B C =U ，且B 与C 互斥. 由①知，()(2),()(3)P B P X P C P X ====，所以6()()(2)(3).7P M P B C P X P X ===+==U ………………………13分 故事件M 发生的概率为67． ……………………………………………………14分 17.（1）证明：因为()2=31n n S a -（n ∈N *）， ①所以，当2n ≥时，有()-1-12=31n n S a -， ② ……………………………1分 ①-②得()()112=3n n n n S S a a ----， 即12=33n n n a a a --，所以1=3n n a a -（n ∈N *，2n ≥）．………………………3分 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． …………………………………………4分 又由①得()112=31S a -，所以13a =． …………………………………………5分所以111333n n nn a a q --==⨯=． …………………………………………………7分（2）解：由题意及（1）得()()21213=-=-n n n b n a n ． ………………………8分 所以()121333213=⨯+⨯++-⋅L n n T n ， ③所以()()23131333233213+=⨯+⨯++-⋅+-⋅L n n n T n n ， ④ …………10分 ③-④，得()1231213232323213+-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅L n n n T n………………12分()()11231323333213+=-+++++--⋅L n n n()()()1133132213621331++-=-+⨯--⋅=----n n n n n ， …………14分故()1313n n T n +=+-． …………………………………………………………15分18.（1）证明：因为AB //CD ，90∠=oBAD ，所以90ADC ∠=o.又因为1==AD CD ，所以ACD ∆是等腰直角三角形,所以AC =45CAD ∠=o ． …………………………………………………2分又因为90∠=oBAD ，45ABC ∠=o，所以90ACB ∠=o，即AC BC ⊥． ………………………………………………3分 因为⊥PC 底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥.又PC AC C =I ,所以BC ⊥平面PAC ． ………………………………………6分 （2）解：在Rt ∆ABC 中, 45ABC ∠=o，AC =BC =由（1）知，BC ⊥平面PAC ，所以BPC ∠是直线PB 与平面PAC所成的角，则sin BPC ∠=． ………7分 在Rt ∆PBC 中, sin 3BC PB BPC ===∠所以2PC ==． ……………………………………………………8分【方法一】以点C 为原点，分别以,,AC CB CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． …………………………9分 则()()()()0,0,0,0,0,2,,C P A B . 因为E 为PB的中点，所以0,12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以(),0,2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．…………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2y z ⎧=+=⎩ 令2y =，得0,x z ==(0,2,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()0,1,0n =r为平面PAC 的一个法向量． ……………13分所以cos ,m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --…………………………………15分 【方法二】以点C 为原点，分别以,,CB CA CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． ………………………9分 则()()())0,0,0,0,0,2,,C P A B.因为E 为PB的中点，所以012E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以(),2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． …………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2x z =+=⎩ 令2x =，得0,y z ==．所以(2,0,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()1,0,0n =r为平面PAC 的一个法向量.………………13分所以cos ,3m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --……………………………………15分 19.（1）解：设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c （0c >），则26c =，所以3c =． ……………………………………………………………1分因为直线AB 过C 的焦点1F ，且2ABF ∆的周长是， 所以()()()2112224AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =． ……………………………………………………………………2分 所以2221899b a c =-=-=． …………………………………………………3分所以，椭圆C 的方程是221189x y +=． ……………………………………………4分（2）（ⅰ）证明：由题意得，直线OP ：1y k x =，直线OQ ：2y k x =. 因为直线,OP OQ 与圆M 相切，=,化简，得22210010(6)260x k x y k y --+-=； 同理，得222020020(6)260x k x y k y --+-=．……………………………………6分所以12,k k 是一元二次方程2220000(6)260x k x y k y --+-=的两实数根，则有20122066y k k x -⋅=-．………………………………………………………………7分又因为点00(,)M x y 在C 上，所以22001189x y +=，即2200192y x =-， 所以()22001222001136122662x x k k x x --===---（定值）． ……………………………9分 （ⅱ）解：22OP OQ +是定值，且定值为27． ……………………………10分 理由如下：【方法一】设),(,),(2211y x Q y x P .由（1）、（2）联立方程组122,1,189y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得212122112118,1218.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ …………11分 所以2221112118(1)12k x y k ++=+． …………………………………………………12分同理，得2222222218(1)12k x y k ++=+． ……………………………………………13分 由（2）知1212k k =-， 所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221218(1)18(1)1212k k k k ++=+++ 22112211118(1())18(1)211212()2k k k k +-+=+++-2121275412k k +=+27=， 所以22=27OP OQ +（定值）．……………………………………………15分 【方法二】设),(,),(2211y x Q y x P , 由（2）知1212k k =-，所以2222121214y y x x =． ………………………………11分 因为),(,),(2211y x Q y x P 在C 上，所以221122221,1891,189x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即 2211222219,219.2y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………………………………12分 所以22221212111(9)(9)224x x x x --=，整理得221218x x +=， 所以222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………14分 故有22=27OP OQ +（定值）.………………………………………………15分 20.解：（1）由题意,得()()()()sin cos 4cos sin 2sin 4x x x f x e x x e x x e x '=-+++=+，………1分所以()04f '=．因为()03f =，所以()340y x -=-，即所求曲线()=y f x 在点()()0,0f 处的切线方程为430x y -+=． ………3分 （2）易知，函数()h x 的定义域为R ，()2sin '=+g x x ， 且有()()''=-h x f x ()'ag x()()()()2sin 4sin 22sin 2=+-+=-+x x e x a x e a x ．……………5分由于sin 20+>x 在∈x R 上恒成立，所以①当0≤a 时，20->xe a 在∈x R 上恒成立，此时()0'>h x ，所以，()h x 在区间(),-∞+∞上单调递增． ……………………………………7分 ②当0>a 时，由()0'>h x ，即20->xe a ，解得ln2>ax ； 由()0'<h x ，即20-<xe a ，解得ln2<a x . 所以，()h x 在区间,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a 上单调递减； 在区间ln,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 上单调递增． ………………………………………9分 （3）易知，cos 0+-≤xx mx e等价于cos 0--≤x e x x m .设()cos ϕ=--x x e x x m （50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ）．…………………………………10分 由题意，对50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，不等式cos 0+-≤x x m x e 恒成立， 只需()max 0ϕ≤x ． ………………………………………………………………11分 易得()()cos sin 1'ϕ=--x x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x . 令()()cos sin 1=--x t x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ， 所以()()2sin '=-x t x e x ． ……………………………………………………13分 显然，当50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0'≤t x 恒成立. 所以函数()t x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减，所以()()00≤=t x t ， 即()0'ϕ≤x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 恒成立．……………………………………………14分 所以，函数()ϕx 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减. 所以有()()max 010ϕ=ϕ=-≤x m ， …………………………………………15分 所以1≥m .故所求实数m 的取值范围是[)1,+∞． …………………………………………16分。

2020-2021学年天津市高三二模数学试题（理科）及答案解析第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足(34)|43|i z i-=+，则z的虚部为（）A．4-B．45-C．4D．452.设x，y满足24,1,22,x yx yx y-≥-≤则z x y=+（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值3.已知命题p：对任意x R∈，总有20x>；q：“1x>”是“2x>”的充分不必要条件，在下列命题为真命题的是（）A．()p q∧?B．()()p q∧?C．()p q∧D．p q∧4.执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=（）A ．4B ．5C ．6D ．75.已知a ，b ，c 分贝为ABC ?的三个内角A ，B ，C 的对边，()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，A ∠=（）6π B ．4π C ．3π D ．23π 6.若直线20ax by -+=（0a >，0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（）A ．32+BC ．14D ．32+ 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（）A ．4B ．2C ．8D ．168.已知()|21|xf x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则必有（） A ．0a <，0b <，0c < B ．0a <，0b >，0c > C ．22ac -<D ．1222ac<+<第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=，若()U A B =?I e，则m = ． 10.若8(x 的展开式中4x 的系数为7，则实数a = ． 11.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是．12.如图，在ABC ?中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+= ．13.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t=??=??（t 为参数），则1C 与2C 的公共点的直角坐标为．14.已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤?=?>?则函数(())1y f f x =+的所有零点构成的集合为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量1(cos ,)2a x =-r ，(3,cos 2)b x x =r ，x R ∈，设函数()f x a b =?r r ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在0,2π??上的最大值和最小值． 16.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分，现从盒内任取3个球．（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列及期望．17.如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由．18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n S n n =+（*n N ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：3122331313131n n n b b b ba =++++++++…，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）令4n nn a b c =（*n N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19.在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：22420x y x +-+=的圆心．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线1l ，2l ，当直线1l ，2l 都与圆C 相切时，求P 的坐标．20.设k R ∈，函数()ln f x x kx =-．（Ⅰ）若2k =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若()f x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：12ln ln 2x x +>．第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（理工类）答案一、选择题1-5:DBADC 6-8: ACD 二、填空题9.1或2 10.12 11.233 12.12 13.(2,4)-14.113,,24?--??三、解答题15.解：（Ⅰ）1()cos cos 22f x a b x x x =?=-rr1sin 2cos 222x x =-sin(2)6x π=-，最小正周期为T π=．（Ⅱ）当0,2x π??∈时，52,666x πππ??-∈-，由sin y x =图象可知,62x ππ??∈-时单调递增，5,26x ππ??∈时单调递减，所以当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 取最小值12-；当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取最大值1．16.解：（Ⅰ）37397112C P C =-=．（Ⅱ）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则1221232433995()()()42C C C C P B C P B P C C C +=+=+=．（Ⅲ）ξ可能的取值为0,1,2,3．36395(0)21C P C ξ===，12363945(1)84C C P C ξ===，2136393(2)14C C P C ξ===，33391(3)84C P C ξ===．ξ的分布列为：ξ123P521 4584 314 18454531()0123121841484E ξ=?+?+?+?=． 17.（Ⅰ）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，E，(1,F -，∴(1,B E =--u u u r ，(0,2,0)AB =u u u r，设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =r，∴20,20,x y y ?--=??=??不妨设n =r ，又(1,DF =-u u u r，∴0DF n ?==u u u r r，∴DF n ⊥u u u r r ，又∵DF ?平面ABE ，∴//DF 平面ABE ．（Ⅱ）解：∵(1,BE =--u u u r，(BF =-u u u r ，设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =u r ，∴20,20,x y x ?--=??-+=??不妨设4)m =u r ，∴|cos |||31||||m n m n θ?===u r ru r r ，∴平面ABE 与平面EFB（Ⅲ）设(1,2,3)DP DF λλ==-u u u r u u ur(,2,3)λλλ=-，[]0,1λ∈，∴(,2,3)P λλλ-，∴(1,22,3)BP λλλ=---u u u r，又∵平面ABE 的法向量(3,0,1)n =r，∴222|333|3sin |cos ,|2(1)(22)3BP n λλθλλλ--+=<>==++-+u u u r r，∴28610λλ-+=，∴12λ=或14λ=．当12λ=时，33(,1,)22BP =--u u u r ，∴||2BP =u u u r ；当14λ=时，533(,,)424BP =--u u u r ，∴||2BP =u u u r ．综上，||2BP =u u u r ．18.解：（Ⅰ）当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，知12a =满足该式，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =．（Ⅱ）31223(1)31313131n n n b b b ba n =++++≥++++…，① 3+112+123+13131313131n n n n n b b b b ba =++++++++++…，② ②-①得111231n n n n b a a +++=-=+，112(31)n n b ++=+，而18b =，故2(31)nn b =+（*n N ∈）．（Ⅲ）∵(31)34n n n nn a b c n n n ==+=?+，∴123n n T c c c c =++++…23(1323333)(12)nn n =?+?+?++?++++……，令231323333nn H n =?+?+?++?…，③则234131323333n n H n +=?+?+?++?…，④③-④得，231233333nn n H n +-=++++-?…13(13)313n n n +-=-?-，1(21)334n n n H +-?+=，∴数列{}n c 的前n 项和1(21)33(1)42n n n n n T +-?++=+．19.解：（Ⅰ）由C ：22420x y x +-+=，得22(2)2x y -+=，故圆C 的圆心为点(2,0)，从而可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其焦距为2c ，由题设知2c =，12e =，所以24a c ==，22212b a c =-=，故椭圆E 的方程为2211612x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为00(,)x y ，1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则1l ，2l 的方程分别诶1l ：010()y y k x x -=-，2l ：020()y y k x x -=-，且1212k k =，由1l 与圆C ：22(2)2x y -+=相切，=222010010(2)22(2)20x k x y k y ??--+-+-=??，同理可得222020020(2)22(2)20x k x y k y ??--+-+-=??，从而1k ，2k 是方程2220000(2)22(2)20x k x y k y ??--+-+-=??的两个实根，于是202200(2)20,8(2)20,x x y ?--≠=-+->① 且20122021(2)22y k k x -==--，由220020201,161221,(2)22x y y x ?+=-?=?--?得20058360x x --=解得02x =-或0185x =．由02x =-，得03y =±；由0185x =，得0y =，它们满足①式，故点P 的坐标为(2,3)-或(2,3)--或18(,55或18(,55-． 20.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，11'()kxf x k x x-=-=，当2k =时，'(1)1f =-，则切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++=．（Ⅱ）①若0k <时，则'()0f x >，()f x 是区间(0,)+∞上的增函数，∵(1)0f k =->，()(1)0kkkf e k ke k e =-=-<，∴(1)()0kf f e ?<，函数()f x 在区间(0,)+∞有唯一零点；②若0k =，()ln f x x =有唯一零点1x =；③若0k >，令'()0f x =，得1x k=，在区间1(0,)k上，'()0f x >，函数()f x 是增函数；在区间1(,)k+∞上，'()0f x <，函数()f x 是减函数；故在区间(0,)+∞上，()f x 的最大值为11()ln1ln 1f k k k=-=--，由于()f x 无零点，须使1()ln 10f k k=--<，解得1k e>，故所求实数k 的取值范围是1(,)e+∞．（Ⅲ）设()f x 的两个相异零点为1x ，2x ，设120x x >>，∵1()0f x =，2()0f x =，∴11ln 0x kx -=，22ln 0x kx -=，∴1212ln ln ()x xk x x -=-，1212ln ln ()x x k x x +=+，∵212x x e >w ，要证12ln ln 2x x +>，只需证12()2k x x +>，只需121212ln ln 2x x x x x x ->-+，等价于1122122()ln x x x x x x ->+，设121x t x =>上式转化为2(1)ln 1t t t ->+（1t >），设2(1)()ln 1t g t t t -=-+，22(1)'()0(1)t g t t t -=>+，∴()g t 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g t g >=，∴2(1)ln 1 t t t ->+，∴12ln ln 2x x +>．。

2020年天津市部分区高考数学二模试卷(含答案解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合0，，2，，，则A. B. C. D. 0，2.已知命题p：，，则命题p的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知i为虚数单位，若复数的实部为，则A. B. C. D.4.函数是定义在R上的奇函数，且当时，为常数，则A. B. C. D.5.若，，则A. 0B.C. 1D.6.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 11B. 13C. 15D. 177.已知，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.8.若函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是A. B. C. D.9.已知函数函数若关于x的方程有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.双曲线的右焦点为，且一条渐近线方程是，则该双曲线的方程是______．11.若的展开式中的常数项为，则实数______．12.已知点在直线上，则的最小值为______．13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则______．14.如图，点O是长方体的中心，E，F，G，H分别为其所在棱的中点，且记棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，则______；若该长方体的体积为120，则四棱锥的体积为______．15.16.17.在梯形ABCD中，，，，，若点M在线段BD上，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）18.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”每位学生只能参加一个小组，以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．19.应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？20.若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．21.记X表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X的分布列和数学期望；22.设M为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M发生的概率．23.24.25.26.27.28.29.30.已知各项均为正数的数列，满足31.求证：为等比数列，并写出其通项公式；32.设，求数列的前n项和．33.34.35.36.37.38.39.如图，四棱锥中，底面四边形ABCD是直角梯形，底面ABCD，，，，，E为PB的中点．40.求证：平面PAC；41.若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．42.43.44.45.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，其焦距为6，过的直线与C交于A，B两点，且的周长是．46.求C的方程；47.若是C上的动点，从点是坐标系原点向圆作两条切线，分别交C于P，Q两点．已知直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为，．48.求证：为定值；49.试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．50.51.52.53.54.55.56.57.已知函数，函数，其中是自然对数的底数．58.求曲线在点处的切线方程；59.设函数，讨论的单调性；60.若对任意，恒有关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．61.62.64.65.66.-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】进行交集和并集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：0，，2，，，0，1，2，，．故选：B．2.答案：C解析：解：因为命题p：，，是特称命题，故命题p的否定是：，；故选：C．直接根据命题的特点，求出结论即可．本题考查命题的否定，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：D解析：解：的实部为，，即．，则．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于求得a，进一步求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，函数为定义在R上的奇函数，且时，则，解得，则当时，令，则，即有，所以当时，故，故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得，进而求得当时函数的解析式，进而可得的值本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．5.答案：A解析：解：，，又，则，即，则，故选：A．由角的范围和，可求出，进而可求余弦值．本题考查三角函数给值求角，注意角的范围，以及给角求值，属于基础题．6.答案：B解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，联立解得：，，则．故选：B．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：，，，．故选：C．由，，可得a，b都小于0，再与比较大小即可得出关系，c大于0．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：由，，得，，即函数的单调递减区间为，，在区间单调递减，且，即，得，，即，，，当时，，由得，在区间有零点，满足，当时，，得综上：，故选：D．利用余弦函数的单调性和零点，求得的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：作出函数和的图象如图：由图可知，当时，不满足题意，则；当直线经过点B时，，此时与函数图象有3个交点，满足；当为的切线时，设切点，则，故有，解得，即有切点为，此时与有3个交点，满足题意；综上：当，故选：B．利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．10.答案：解析：解：双曲线的右焦点为，，又有一条渐近线方程是，，，，解得，，双曲线的标准方程为．故答案为：．由题可知，，，再结合，解得，，于是求得双曲线的方程．本题考查双曲线标准方程的求法、基本几何性质，考查学生的运算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得的常数项为，则实数，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.答案：解析：解：由题意可得，，则，当且仅当且即，时取等号，故答案为：由已知直接利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．13.答案：解析：解：，，即，由正弦定理可得：，，可得，即，．故答案为：．利用两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan A，进而可求cos A的值．本题主要考查了两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：2 10解析：解：如图，点O是长方体的中心，为的中点，平面，平面平面，在平面内，过O作则平面，则，且，又棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，；设，则，，，即正方形EFGH的边长为，则面积为，则．故答案为：2；10．由点O是长方体的中心，得O为的中点，在平面内，过O作，证明平面，可得，且，得到；设，则，再把四棱锥的体积用含有a与l的代数式表示，即可求得四棱锥的体积．本题考查长方体与棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．15.答案：解析：解：因为在梯形ABCD中，，，，，，令，，，．．，代入上式得：，所以，当时，的最小值为．故答案为：．以为基底，并且设，，然后用基底将表示出来，最终把问题转化为关于的函数，求其最小值即可．本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算问题．同时考查学生利用化归思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．16.答案：解：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别抽取2人、2人、3人．分依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，分所以，分X 2 3 4P分故随机变量X的数学期望为分依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”．则有，且B与C互斥．由知，，，所以分故事件M发生的概率为分解析：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，采用分层抽样方法从中抽取7人，即可得出结论．依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，4，利用超几何分布列计算公式，即可得出分布列，进而得出数学期望依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”，可得，且B与C互斥．由知，，，即可得出．本题考查了超几何分布列与数学期望、分层抽样、互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：证明：因为，所以，当时，有，由得，即，所以，所以数列是公比为2的等比数列．又由得，解得：所以；解：由题意及得，所以，所以，由，得，故．解析：由，两式相减整理得所以，从而证明其为等比数列，进而可求其通项公式；由求得，再利用错位相减法求其和即可．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.答案：解：证明：因为，，所以．又因为，所以是等腰直角三角形，所以，．又因为，，所以，即．因为底面ABCD，平面ABCD，所以．又，所以平面PAC．解：在中，，，所以．由知，平面PAC，所以是直线PB与平面PAC所成的角，则．在中，，所以．【方法一】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．【方法二】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．解析：推导出由此能证明平面PAC．法一：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：设椭圆C：的焦距为，则，所以．因为直线AB过C的焦点，且的周长是，所以，所以．所以．所以，椭圆C的方程是．证明：由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，所以，化简，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，则有．又因为点在C上，所以，即，所以定值．解：是定值，且定值为27．理由如下：方法一设，由、联立方程组解得所以．同理，得．由知，所以，所以定值．方法二设，，由知，所以．因为，在C上，所以，即所以，整理得，所以．故有定值．解析：根据题意可得，解得a，b，进而得椭圆C的方程．由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，所以又因为点在C上，所以，进而定值．方法一设，联立方程组解得P点的坐标，进而得同理，得，由知，所以，化简可得出结论．方法二设，，由知，所以因为，在C上，所以，即两式相乘，化简，再代入化简即可得出结论．本题考查椭圆方程，定值问题，在解题过程中关键是细心进行运算化简，属于中档题．20.答案：解：由题意，得，所以．因为，所以，即所求曲线在点处的切线方程为．易知，函数的定义域为R，，且有．由于在上恒成立，所以当时，在上恒成立，此时，所以，在区间上单调递增．当时，由，即，解得；由，即，解得．所以，在区间上单调递减；在区间上单调递增．易知，等价于．设由题意，对时，不等式恒成立，只需．易得，．令，，所以．显然，当时，恒成立．所以函数在上单调递减，所以，即在恒成立．所以，函数在上单调递减．所以有．所以．故所求实数m的取值范围是．解析：求出，通过然后求解切线方程．求出，通过当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性即可．设转化为对时，不等式恒成立，只需利用函数的导数，构造函数，二次导函数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后推出结果．本题考查导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，二次导函数的应用，是难题．。

北辰区2020年高考模拟考试试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，20小题.考试用时120分钟.考试结束后，请将答题卡交回，祝各位考生考试顺利！ 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：共9小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{0,1,2,3,4,5}，集合{1,5}A =，集合{}2B =，则集合()U C A B ＝（ ）A. {}0,2,3,4B. {}0,3,4C. {}2D. ∅【答案】A 【解析】 【分析】根据补集与并集的定义与运算,即可求得()U C A B .【详解】全集{}0,1,2,3,4,5,集合{}1,5A = 则{}0,2,3,4U C A = 集合{}2B =所以(){}0,2,3,4U C A B ⋃= 故选:A【点睛】本题考查了集合并集与补集的运算,属于基础题. 2.“sin 0x =”是“cos 1x =-”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．【详解】sin0x=时，22cos1sin1x x=-=，cos1x=±，不充分；cos1x=-时，22sin1cos0x x=-=，sin0x=，是必要的，故是必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．3.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为（）A. 180里B. 170里C. 160里D. 150里【答案】C【解析】【分析】根据题意，设此人每天所走的路程数为数列{}n a，其首项为1a，分析可得{}n a是以为1a首项，1 2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得6315S=，解可得1a的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，设此人每天所走的路程为数列{}n a，其首项为1a，即此人第一天走的路程为1a，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则{}n a是以为1a首项，12为公比的等比数列，又由6315S =，即有161(1)2315112a -=-，解得：1160a =； 故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题． 4.函数()()2ln1f x x x=+-的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到()()2ln1f x x x=+-为奇函数，从而排除B ，C ，再根据3022f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f π>即可得到答案. 【详解】令())2ln 1g x x x =+，则()()))22ln 1ln 1ln10g x g x x x x x +-=+++==，()g x 为奇函数.又因为cos y x =为偶函数，()()2ln1f x x x=+-的定义域为0x ≠，故()()2ln1f x x x=+-为奇函数，排除B ，C.因为3022f f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()()2211ln1ln1f g g πππππππ====>--+-++，排除D.故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象，利用函数的奇偶性和特值法为解题的关键，属于中档题. 5.m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若m ，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C. 若//αβ，//m α，则//m βD. m ，n 是异面直线，若//m α，//m β，//n α，βn//，则//αβ 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间面面平行的判定和性质定理对选项进行分别分析判断，得出答案. 【详解】选项A. 若m ，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ;当//m n 时，可能有l αβ=，故A 不正确.选项B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ，或m ，n 是异面直线，故B 不正确. 选项C. 若//αβ，//m α，则//m β，也可能m β⊂，故C 不正确. 选项D. 在空间取一点(),A A m n ∉，过A 作//m a ，//n b .则相交直线m n ，确定一个平面γ，由条件可得////，γβγα，所以//αβ,故D 正确.， 故选：D【点睛】本题考查直线与平面、直线与直线、平面与平面的位置关系，属于基础题.6.已知函数()xxg x e e -=-，()()f x xg x =，若1ln 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，140.2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.25c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. b a c << B. c b a << C. b c a << D. a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数()y f x =是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增，然后比较ln3、140.2、 1.25三个数的大小，由此可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()()x x f x xg x x e e -==-，该函数的定义域为R ，()()()x x x x f x x e e x e e ---=--=-，所以，函数()y f x =为偶函数，当0x >时，()0xxg x e e-=->，任取120x x >>，12x x -<-，则12x x e e >，12x x e e --<，所以，1122x x x x e e e e --->-，()()120g x g x ∴>>，()()1122x g x x g x ∴>，即()()12f x f x >，所以，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，()11ln lnln333a f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 10 1.2400.20.21ln 355<<=<<<，则()()1 1.240.2ln 35f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<. 故选：A.【点睛】本题考查函数值的大小比较，解题的关键在于分析函数的单调性与奇偶性，考查推理能力，属于中等题.7.若函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ<）图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为-1，为了得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A. 向右平移12π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度C. 向右平移6π个单位长度 D. 向左平移6π个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】由条件先求函数的解析式，再化为同名函数，再按照平移变换规律求解 【详解】由条件可知函数的最小值为-1，即1A =， 对称中心和相邻的对称轴间的距离为4T，即1274123πππω⨯=-，解得：2ω= 当712x π=时，7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈,2πϕ<，3πϕ∴=()sin 2cos 2cos 23326f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变换到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22266366x x x πππππ⎛⎫+=-+=+- ⎪⎝⎭， 根据平移变换规律可知，只需向左平移6π个单位. 故选：D【点睛】本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的解析式和性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.8.已知1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一个交点是M ，且12F MF △的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A.2B.3C. 5D. 8【答案】C 【解析】 【分析】设点M 为第一象限的点，设点1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，设1MF m =，可得22MF m a =-，则1222F F m a c =+=，利用勾股定理可求得m 与a 的等量关系，由此可得出a 与c 的等量关系，进而可求得该双曲线的离心率.【详解】如下图所示，设点M 为第一象限的点，设点1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，设1MF m =，由双曲线的定义可得122MF MF a -=，则22MF m a =-， 由已知条件可得2MF 、1MF 、12F F 成等差数列，且公差为2a ，122F F m a ∴=+， 易知12MF F △为直角三角形，且12F MF ∠为直角， 由勾股定理得2221212MF MF F F +=，即()()22222m m a m a +-=+，解得8m a =，122102F F m a a c ∴=+==，即5c a =，因此，该双曲线的离心率为5ce a==. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查了双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.9.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当02x ≤≤时，(){}2min 2,2f x x x x =-+-，若方程()()210f x t x -+=恰有两个根，则t 的取值范围是（ ） A. 3211,,2332⎡⎤⎡⎤--⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B. 3211,,2332⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 3211,,2332⎛⎤⎡⎫--⋃- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D. 3211,,2332⎡⎫⎛⎤--⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()222x x f x x⎧-+=⎨-⎩ 0112x x ≤≤<< ，根据函数的对称性和周期性，作出函数的图象，将问题转化为函数()y f x =与()21y t x =+的图象有2个交点，解决问题. 【详解】当02x ≤≤时，222x x x -+>-，解得：12x <<所以()222x x f x x⎧-+=⎨-⎩ 0112x x ≤≤<< ， 又因为函数是偶函数，关于y 轴对称，并且周期4T=，若方程()()210f x t x -+=恰有两个根，即函数()y f x =与()21y t x =+的图象有2个交点，如图，画出函数()y f x =和()21y t x =+的图象，当01x ≤≤时，()22f x x '=-+，()02f '=，当直线过点()3,1时，此时直线的斜率13k =， 由图象可知若函数()y f x =与()21y t x =+的图象有2个交点，只需满足12123t <+< ， 解得：1132t -<<或3223t -<<- 即t 的取值范围是1132,,3223⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B【点睛】本题考查函数与方程的应用，重点考查数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是正确画出函数的图象，并能运用临界分析的思想求参数的取值范围.第Ⅱ卷二、填空题：10.若复数12a ii+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】 将复数12a ii+-化成代数形式后，再根据纯虚数的概念求出a 的值即可． 【详解】解：由题知()()()()()()122121212125a i i a a ia i i i i ++-+++==--+， 因为复数12a ii+-是纯虚数，所以20a -=且120a +≠，解得2a =. 故答案为：2.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的有关概念，考查学生的运算运算能力，解题的关键是正确进行复数的运算．11.若22nx x ⎛⎝的展开式中常数项为第9项，则此时所有项的二项式系数和为________．【答案】1024 【解析】 【分析】首先求出二项式展开式通项，再根据第9项为常数得到10n =，再求二项式系数之和即可.【详解】由题知：22nx x ⎛ ⎝的展开式通项()5222122(3)rn r n rrn r r r nT C xxx ---+⎛==⋅-⋅ ⎝，因为第9项为常数，所以52802-⨯=n ，解得10n =. 所以1022x x ⎛- ⎝的所有项的二项式系数和为1021024=.故答案为：1024【点睛】本题主要考查二项式各项系数之和，熟记二项式展开式的通项为解题的关键，属于中档题.12.圆222x y +=与圆224440x y x y +-+-=的公共弦长为________．【答案】302【解析】 【分析】两圆方程相减得公共弦据直线方程，然后求出一个圆心到该直线距离，由勾股定理得弦长． 【详解】两圆方程相减得4420x y -+=，即2210x y -+=， 原点到此直线距离为221242(2)d ==+-，圆222x y +=2， 所以所求公共弦长为222302(2)42⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：302． 【点睛】本题考查两圆公共弦长，解题关键是求出公共弦所在直线方程．13.近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为________；记X 表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量X 的数学期望为________．【答案】 (1). 57 (2). 127【解析】 【分析】第一空，先求抽取的3天空气质量都不为良的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可； 第二空，随机变量X 服从超几何分布，计算即可.【详解】解：设事件A 表示“抽取3天中至少有一天空气质量为良”， 事件B 表示“抽取的3天空气质量都不为良”， 则事件A 与事件B 互为对立事件，所以()()35375117C P A P B C =-=-=；随机变量X 的可能取值为0,1,2,3，概率为()()343370,1,2,3k k C C P X k k C -===， 所以随机变量X 分布列为：X123P13512351835435随机变量X 的数学期望为()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：57；127【点睛】本题考查利用古典概型求事件的概率，超几何分布，是中档题. 14.已知0x >，0y >，且11229x y x y+++=，则x y +的最大值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用基本不等式化已知等式为关于x y +的不等式，然后解不等式得结论． 【详解】∵0,0x y >>，21142292()2()2()()4x y x y x y x y x y x y x y x y xy x y +++++==++≥++=++++，当且仅当x y =时等号成立，22()9()40x y x y +-++≤，[2()1](4)0x y x y +-+-≤，142x y ≤+≤， 所以x y +的最大值为4，此时2x y ==．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，此时解题时是利用基本不等式得出不等关系然后解不等式得出结论．当然要注意等号成立的条件． 15.如图，在ABC 中，3BAC π∠=，3AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若ABC 的面积为332，则AP 的最小值为________．3【解析】 【分析】由三角形的面积公式可求得6AB AC ⋅=，设CP CD λ=，可得()314AP AC AB λλ=-+，结合12AP mAC AB =+可求得13m =，可得出1132AP AC AB =+，进而可得出222111cos 493AP AB AC AB AC BAC =++⋅∠，利用基本不等式可求得AP 的最小值.【详解】1333sin 242ABC S AB AC BAC AB AC ∆=⋅∠=⋅=，6AB AC ∴⋅=， 3AD DB =，34AD AB ∴=， 设CP CD λ=，()()314AP AC CP AC CD AC AD AC AC AB λλλλ∴=+=+=+-=-+，又12AP mAC AB =+，则13142m λλ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2313m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1132AP AC AB =+， 因此，22221111123493AP AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭2222111111cos 264933632AB AC AB AC BAC AB AC =++⋅∠≥⋅+⨯⨯ 1133AB AC =⋅+=，即3AP ≥， 当且仅当6AB AC ==时，等号成立，因此，AP 的最小值为33【点睛】本题考查线段长最值的求解，同时也考查了利用向量的线性运算求参数，也考查了基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.已知函数2()23cos 2sin 1f x x x x =+-. (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2,C ,24f A c π===，求ABC∆的面积.【答案】(1),,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；33+. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （x ）＝2sin （2x 6π-），利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间． （2）由题意可得sin （2A 6π-）＝1，结合范围2A 6π-∈（6π-，116π），可求A 的值，由正弦定理可得a ，由余弦定理b ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）∵()223213f x sinxcosx sin x =+-=sin2x ﹣cos2x ＝2sin （2x 6π-）， 令2k π2π-≤2x 6π-≤2k π2π+，k ∈Z ，解得k π6π-≤x ≤k π3π+，k ∈Z ， ∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6π-，k π3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2，∴sin （2A 6π-）＝1，∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理a csinA sinC=，可得a 322622c sinA sinC ⨯⋅===， ∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得6＝b 2+4﹣2122b ⨯⨯⨯，解得b ＝13+，（负值舍去）， ∴S △ABC 12=ab sin C 162=⨯⨯（13+）23322+⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 17.已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G ,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）π3（Ⅲ）不存在，见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）正三角形PAD 中PO ⊥AD ，由CD ⊥平面PAD 得到PO ⊥CD ，所以得到PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）以O 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面EFG 的法向量，和平面ABCD 的法向量，从而得到平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段PA 上存在满足题意的点M ，直线GM 与平面EFG 法向量的夹角为3π，设PM PA λ=，[]0,1λ∈，利用向量的夹角公式，得到关于λ的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点M .【详解】（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥CD .AD CD D =，AD CD ⊂，平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD .（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)O A B C D G P --，(1,3),(3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=-，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =所以00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20,230,y x y z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则 (3,01)m =，， 又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 所以()221cos 2311m n m nθ⋅===+⨯.所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3. （Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ， 使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π， 即直线GM 与平面EFG 法向量m 所成的角为3π， 设PM PA λ=，[]0,1λ∈，,GM GP PM GP PA λ=+=+，所以)()2,4,231GM λλ=-- 所以23coscos ,32467GM m πκλ==-+，整理得22320λλ-+=，∆<0，方程无解，所以，不存在这样的点M .【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.18.椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长与其焦距相等，且四个顶点构成面积为2（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点1,0A 且斜率不为0的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，记MN 中点为B ，坐标原点为O ，直线BO 交椭圆于P 、Q 两点，当四边形MPNQ 215l 的方程．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）210x y +-=或210x y --=．【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意得出b c =，可得出2a b =，再由椭圆的四个顶点构成面积为22的菱形可求得a 、b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求得线段MN 的中点B 的坐标，进而可求得直线OB 的方程，将直线OB 的方程与椭圆的方程联立，求得PQ ，并计算出点M 、N 到直线BO 的距离，由此可求得四边形MPNQ 的面积关于m 的表达式，结合已知条件求出实数m 的值，由此可求得直线l 的方程.【详解】（Ⅰ）因为短轴长与其焦距相等，所以22b c =， 又222a b c =+，所以2ab c ==2a b =， 由于椭圆的四个顶点构成面积为222122222222a b ab b ⨯⨯=== 所以1b =，2a =故所求椭圆的标准方程为2212x y +=；（Ⅱ）设点M 、N 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，设直线MN 的方程为1x my =+，将直线MN 的方程与椭圆方程联立，得()22221221012x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩． ()()222442810m m m ∆=++=+>，由韦达定理得12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，设点B 坐标为(),B B x y ，则有12222B y y m y m +==-+，2212B B x my m =+=+， 因此2B OB B y mk x ==-，所以直线OB 的方程为2m y x =-， 将直线OB 的方程与椭圆方程联立，得()2222222222242224122m x y x m m x x m y y m ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪+⇒+=⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪+⎩⎩． 所以弦长2222222224422222m m PQ x y m m m +=+=+=+++ 不妨设点M 在直线:2m OB y x =-上方，则点N 在直线:2mOB y x =-下方， 点()11,M x y 到直线PQ 的距离为()2111112222122444m y m m my y mx y d m m m +++++===+++点()22,N x y 到直线PQ 的距离为2222222244my m mx y d m m +++==++．所以()()22222121212122222222224422444m y y m m m d d y y y y m m m m m +-++⎛⎫+==+-=-+ ⎪++⎝⎭+++221224m m +=+ 所以四边形MPNQ 面积为()2221222211411215222222222423m m m S PQ d d m m m m +++=⋅+=⨯==⇒=±+++． 因此，直线l 的方程为210x y +-=或210x y --=．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用四边形的面积求直线的方程，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题. 19.已知数列{}n a 满足()()()12311412316n n n n n a a a n a na -+-++++-+=．（1）求2a 的值； （2）若111nn i i i T a a =+=∑，则求出2020T 的值； （3）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，设112n a n n c b λ++=，若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）3；（2）20204041；（3）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件求出21n a n =-，再求2a 即可. （2）利用裂项求和得到21n nT n =+，再求2020T 即可. （3）根据题意得到13n n b -=，23n n n c λ=-⋅，又因为{}n c 是递减数列，得到1n n c c +<，从而得到*N n ∀∈，1223n λ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭恒成立，再求1223n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最大值即可得到答案.【详解】（1）由题意，数列{}n na 的前n 项和()()1416n n n n S +-=．当1n =时，有1111a S ⋅==，所以11a =． 当2n ≥时，()()()()114114566n n n n n n n n n na S S -+---=-=-()()()()()141145216nn n n n n n =+----=-⎡⎤⎣⎦．所以，当2n ≥时，21n a n =-又11a =符合2n ≥时n a 与n 的关系式，所以21n a n =-． 故2a 的值为3．（2）由（1）可知21n a n =-．则()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，所以12233114111111nn i i i n n T a a a a a a a a a a ++==++=++∑ 1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪-+⎝⎭． 所以2020T 的值为20204041． （3）由111b a ==，359==b a 得29q =．又1q >，所以3q =． 所以1113n n n b b q --==，11223n a n n n n c b λλ++==-⋅．因为{}n c 是递减数列，所以1n n c c +<，即112323n n n n λλ++-⋅<-⋅．化简得232n n λ⋅>．所以*N n ∀∈，1223nλ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭恒成立．又1223n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是递减数列，所以1223n⎧⎫⎪⎪⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的最大值为第一项1121233a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭． 所以13λ>，即实数λ的取值范围是1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题为数列综合题，主要考查了裂项求和，同时考查了数列的单调性，属于中档题. 20.设R k ∈，设函数()1ln xf x x=-，()g x kx ke =-，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）若1k =-，记()()()F x f x g x =-，则判断函数()F x 在区间(e 上是否有零点； （Ⅱ）证明：对任意的R k ∈，函数()f x 的切线不可能是直线()y g x =；（Ⅲ）设()2ln n x x ke =--，试判断函数()()()h x x n x g x =+⎡⎤⎣⎦是否存在极小值，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）函数()F x 在区间(e 上有零点；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）存在，0k >且12k e≠．. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据零点存在定理判断；（Ⅱ）假设存在R k ∈，使得直线y kx ke =-是曲线()y f x =的切线，设切点横坐标为0x ，且()()00,,x e e ∈+∞，利用导数几何意义求出切线方程，由切线方程求切点坐标，求出如果存在，切线横坐标只能为e ，从而说明不存在；（Ⅲ）()22ln 2h x x x x kx kex =-+-，0x >，()()1ln 2h x x k x e '=-+-，令()()1ln 2m x x k x e =-+-，则()1212kx m x k x x-'=-=，()()0m e h e '==， 然后分类12k e =，102k e <<，12k e>，分别研究()h x 的最小值，得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）当1k =-时，函数()g x x e =-+， 令()()()1ln xF x f x g x x e x=-=+--，(x e ∈，则()120F e =-<，30Fe e e =>，故()10F F e ⋅<，又函数()F x 在区间(e 上的图象是连续不间断曲线， 故函数()F x 在区间(e 上有零点，（Ⅱ）证明：假设存在R k ∈，使得直线y kx ke =-是曲线()y f x =的切线， 设切点横坐标为0x ，且()()00,,x e e ∈+∞，22ln ()(1ln )xf x x -'=-,则切线()y f x =在点0x x =切线方程为()()()000y f x x x f x '=-+， 即()()0000220002ln 2ln 1ln ln 1ln 1x x x x x y x x x x --=-+---，从而()202ln ln 1x k x -=-，且()000202ln 1ln ln 1x x x x ke x x --+=---，消去k ，得002ln x e e x =-，故0x e =满足等式， 令()0002ln s x x e e x =-+，所以()001es x x '=+，故函数()0s x 在()0,e 和(),e +∞上单调递增，又函数()0s x 在0x e =时()0s e =，故方程002ln x e e x =-有唯一解0x e =， 又()()00,,x e e ∈+∞，故0x 不存在，即证．（Ⅲ）由于()2ln n x x ke =--，所以()()22ln 2ln 2h x x x x xg x ekx x x x kx kex =-+-=-+-，0x >，()()1ln 2h x x k x e '=-+-，令()()1ln 2m x x k x e =-+-，则()1212kx m x k x x-'=-=，()()0m e h e '==， （ⅰ）当0k ≤时，()m x '恒负，故当()00,x e ∈时，()0h x '>，()h x 递增，当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 递减，故()h x 在x e =处取得极大值，无极小值，不合题意； （ⅱ）0k >时，则()m x 在10,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，①若12k e =，12e k=， 故()h x '在()0,e 递减，在(),e +∞递增，故()0,x ∈+∞时，()0h x '≥，()h x 在()0,∞+递增，无极值，不合题意； ②当12k e>时，102e k <<，当1,2x e k ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()0h x '<，()h x 递减，在(),x e ∈+∞时()0h x '>，在()h x 递增，故()h x 在x e =处取极小值，符合题意， ③当102k e <<时，12e k >，故()m x 在10,2k ⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得当()0,x e ∈时，()0h x '>，当1,2x e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，∵()111122lnk k k e e m ke e kk ⎛⎫ ⎪=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，易证112k e k k >，令()112ln k k e m k e k =-，1,2k e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令12t e k =>，故()2ln n t e t t '=--则()1210n t e t'=--> 故()n t 在()2,e +∞递增，则()()()210n t n e n >>>，即102k e <<时，故在112k e k k ⎛⎫ ⎪⋅ ⎪ ⎪⎝⎭内存在0x ，使得()00m x =， 故()h x 在012x k ⎛⎫⋅⎪⎝⎭上递减，在()0,x +∞递增，故()h x 在0x x =处取得极小值． 综上，实数k 的范围是0k >且12k e≠． 【点睛】本题考查用导数研究函数的零点，考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的最值问题，解题关键是掌握导数与单调性的关系，极值与最值的定义，考查分类讨论思想，等价转化思想，考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，难度较大，属于困难题．。

2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．175．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．116．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab=A ．13B ．13-C ．3D ．-37．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC 6πD 69．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表： 等待时间/分 [)0,5[)5,10[)10,15[)15,20[]20,25频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v ，且它们的夹角为120°，则向量2a b +v v 与向量a v 夹角的余弦值为________13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式）15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.AB平面PDC;（Ⅰ）求证://-的体积;（Ⅱ）当平面PBC⊥平面ABCD时，求四棱锥P ABCDP A B C D中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,BC垂直，并给出证明．．.18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间气温(单位：)[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =20．已知函数()()32111323a f x x a x x =-++-． （1）若函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程为9x ﹣y +b ＝0，求实数a ，b 的值； （2）若a ≤0，求f （x ）的单调减区间；（3）对一切实数a ∈（0，1），求f （x ）的极小值的最大值．2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)【解析】因为(){}|lg 22A x y x ∞==-=+（，），所以()2,3A B ⋂=，故选C.2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”⇔24004a a a ∆=-<⇔<<若“04a ≤≤”成立，“04a <<”不一定成立 反之，若“04a <<”成立，“04a ≤≤”一定成立所以“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的必要不充分条件. 所以A 选项是正确的. 故选A3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【解析】1241log 212y e -==<=<，ln3ln 1e >=，∴y z x <<． 故选：D.4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．17【解析】2,BD AD AF BD ==Q ，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点，由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+，解得7AB AD =， )22ABC1()sin 601217sin 6072DEF AD S S ︒︒∴==V V ， 故选D5．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-，∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+，∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数， 故选B 6．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab= A ．13B ．13- C ．3 D ．-3【解析】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B7．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈【解析】由图像可知2A =，1,4612T T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因为2T πω=，得到2ω= 代入,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭得sin 16πϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得23k πϕπ=-，取0k =，则3πϕ=-所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2cos 243f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()34y f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2sin 223sin 2343x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭⎝⎭ 2sin 223sin 22sin 223233233x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4sin 233x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4sin2x =，则22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，得4sin 2y x =的单调递增区间，得44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈.故选A 项.8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．6πD ．62π 【解析】由题中条件易得2PA PB PC ===，从而球O 的半径36222r =⨯=，体积3463V r ππ==， 故选：C ．9．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2【解析】由题意，画出函数2()43f x x x =-+的图象，如图所示，可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥，因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，则方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，设()2g t t bt c =++，则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<，即10b c ++=且0c >且2()()022b b b c -+⋅-+<且012b<-<，解得21b -<<-，即实数b 的取值范围是()2,1--， 故选B.第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．【解析】22.12,iz i i z i z i-⋅=-∴==-∴=Q 11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.【解析】（1） 2.547.5812.5517.5222.519.520x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==；（2）222222(2.59.5)4(7.59.5)8(12.59.5)5(17.59.5)2(22.59.5)128.520s -⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯==12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v，且它们的夹角为120°，则向量2a b +vv 与向量a v 夹角的余弦值为________【解析】2a b +===r r ()112122cos 2,2a b a a b a a b a⎛⎫+- ⎪+<+>====+r r r g g g r r r r r r g13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.【解析】设球的半径为R ，圆柱底面半径为r ，正方体的棱长为a ， 由它们的表面积相等，则222466R r a ππ==，则222111::::466R r a ππ=， 即2223232321234::():(2):()6:4:3V V V R r a πππ==. 14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式） 【解析】因为0x >，0y >，141x y+=，则144()()559y x x y x y x y ++=++≥+=，（当且仅当3,6x y ==时取等号），9x y +≥，不等式280m m x y ---<恒成立，即：28m m x y -<+只需2289,890m m m m -<--<，则19m -<<，则m 的取值范围是(1,9)-.15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）【解析】根据题意得到分情况：当考生选择技术时，两个专业均可报考，再从剩下的6门课中选择两科即可，方法有2615C =种；当学生不选技术时，可以从物理化学中选择一科，再从历史，地理选一科，最后从政治生物中选择一科，有2228⨯⨯=种方法；当学生同时选物理化学时，还需要选择历史，地理中的一科，有2中选择，当学生同时选择历史，地理时，需要从物理化学中再选择一科，也有2种方法，共有4种；最终加到一起共有：15+8+4=27种.四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．【解析】()I Q 在ABC V 中，222a c b ac +=-．∴由余弦定理可得：2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，()0,B π∈Q ，23B π∴=()IIQ 由正弦定理可得：sin sin AD BDB BAD =∠， 31sin 12sin 423BD B BAD AD ⨯⋅∴∠===， ()0,BAD π∠∈Q ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，215cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=， ()15sin sin 22sin cos 8BAC BAD BAD BAD ∴∠=∠=∠⋅∠=17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.（Ⅰ）求证://AB 平面PDC ;（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积;（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明．．. 【解析】（Ⅰ）证明：∵AB ∥DC ，且DC ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ， ∴AB ∥平面PDC ；（Ⅱ）解：取BC 中点D ，∵PB=PC ，∴PD ⊥BC ， 又平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC∩平面ABCD=BC ， ∴PD ⊥平面ABCD ，则PD 为四棱锥P ﹣ABCD 的高， 在底面直角梯形ABCD 中，由AB=5，AD=4，DC=3， 得()1435162ABCD S =⨯⨯+=，且224(53)25+-=又PB=PC=3，∴PD=223(5)2-=． ∴13216233P ABCD V -=⨯⨯=； （Ⅲ）解：图中PA ⊥BC ． 证明如下：由（Ⅱ）知，PD ⊥BC ，作CG ⊥AB ，在直角三角形CGB 中，可得cos 5CBG ∠=， 在三角形ADB 中，由余弦定理可得22255(5)25520AD =+-⨯⨯⨯=， 则AD 2+BD 2=AB 2， ∴AD ⊥BC ，又AD∩PD=D ，∴BC ⊥平面PAD ，则PA ⊥BC ．18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？【解析】(Ⅰ)由题意知X 的可能取值为100，300，500，()2161000.290P X +===， ()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===，X ∴的分布列为：()1000.23000.45000.4340E X =⨯+⨯+⨯=．(Ⅱ)由题意知六月份这种饮料的进货量n 满足100500n ≤≤，当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=，若最高气温位于[)20,25，则()530023003900Y n n n =⨯+--=-， 若最高气温低于20，则()510021003300Y n n n =⨯+--=-，()()()20.49000.43000.24200.2E Y n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=+，此时，500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元， 当100300n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=， 若最高气温位于[)20,25，则532Y n n n =-=，若最高气温低于20，则()5100100300300Y n n =⨯---=-，()()()20.40.43000.260 1.4E Y n n n ∴=⨯++-⨯=+，此时，300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元，340n ∴=时，Y 的数学期望值为：4200.2340488+⨯=不是最大值， 500n =时，y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =【解析】（Ⅰ）由题意，得椭圆的半焦距1c =，右焦点()1,0F ，上顶点()0,M b ，所以直线MF 的斜率03tan 1014b k π-===--，解得1b =，由222a b c =+，得22a =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中12k =或，()1122,),,Ax y B x y （，由方程组22{12y kx mx y =++=得()222124220kxkmx m +++-=，所以2216880k m ∆=-+> ()*，于是有2121222422,1212km m x x x x k k --+==++ ， 所以()222222222422114821121212km m k AB k k m k k k --+⎛⎫=+-⨯=-+ ⎪+++⎝⎭，因为原点O 到直线y kx m =+的距离 21m d k=+所以()22221221212AOB S AB d m k m k ∆=⋅=-++ 222S =()22299AOB S m m ∆=- 当1k =时，()22233AOB S m m ∆=-232m =时AOB S ∆的最大值12S =，验证知()*成立；292m =当2k =时，所以当时AOB S ∆的最大值，验证知()*成立；所以12S S =。

2024年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将答题卡交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；2．本卷共9小题，每小题共5分，共45分。

参考公式：·如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足()z 1-i =1+，则z =（）A ．1i-B ．1i+C ．22i-D ．22i+2．已知,a b ∈R ，则“b a >”是“22a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能为（）A ．()sin522x xx f x -=-B ．()cos522x xx f x -=+C ．()cos522x xx f x -=-D ．()sin522x xx f x -=-4．已知函数()1x f x x e =-，若0.61212,log 29a f b f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，134c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n N ==+∈，则5a =（）A ．6B ．9C ．11D ．146．下列说法正确的是（）A ．一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17；B ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到24.712χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验()0.05 3.841x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；C ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；D ．若随机变量,ξη满足32ηξ=-，则()()32D D ηξ=-．7．如图是函数()()sin 0,0,22f x K x K ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象，A 是图象的一个最高点，D 是图象与y 轴的交点，,B C 是图象与x 轴的交点，且()0,1,D ABC -△的面积等于2π，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；B ．函数()f x 的最小正周期为2π；C ．函数()f x 的图象可由()2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到；D ．函数()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦。

天津市红桥区2020届高三第二次模拟考试试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答题时，务必将『答案』涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利！ 参考公式：柱体的体积公式ShV =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式ShV 31=锥体 ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 球的体积公式 334R V π=球 ，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷 注意事项：1．每小题选出『答案』后，用铅笔把答题卡上对应题目的『答案』标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他『答案』标号。

2．本卷共9题，每小题5分，共45分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(A) {}1,0,1- (B) {}1,0 (C) {}1,0-(D) {}2,1,0,1-（2）若数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，且333a S =，则公比=q(A) 21-(B) 21(A) b a c >>(B) a b c >>(C) c b a >>(D) a c b >>（4）设0log :2<x p ，12:1<-x q ，则p 是q 的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件（6）已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是(A) π32(B) π34（7）将函数x x y cos 3sin -=的图像沿x 轴向右平移)0(>m m 个单位长度，所得函数的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是(A) 12π-(B)12π(C) 6π- (D) 6π（8）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为)1,2(--，则双曲线的焦距为(A) 22(B) 32(A) ()0,∞- (B) ()+∞,1(C) ()0,1(D) []1,0二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （10）若i 为虚单位，则复数=-2)1(3i ______.（11）某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有______.（12）已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是______.（15）已知b a ,是单位向量，且0=⋅b a ，若向量c 满足1=--b a c ，则c 的最大值是______.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为32和43，且各次射击互相独立. （Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；（Ⅱ）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望.（18）（本小题满分15分）四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且 2==AB PA ，3=AD ，E 是线段BC 上的动点，F 是线段PE 的中点.4=x .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PM PB PA 、、的斜率分别为321k k k 、、.问：是否存在常数λ，使得321k k k λ=+？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.（20）（本小题满分51分）函数ax x x f -=ln )(，R ∈a . （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知e x =1和2x 是函数)(x f 的两个不同的零点，求a 的值并证明：232e x >.（其中e 为自然对数的底数）——★ 参 考 答 案 ★——一、选择题 每题5分二、填空题 每题5分 10.i 2311. 150 12. 10 13. 31- 14. 34-=x y 15. 12+三、解答题...............................................13分。