三角形中几条重要线段.

《13.1.3三角形中几条重要线段》教学设计教学内容分析本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。

本节内容是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础。

故学好本节内容是十分必要的。

因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。

学习者分析学生对于三角形的高有一定的了解，但对于三角形的角平分线、中线还没有接触，因此及本课讲解时需要设计一些实际操作，让学生对这三条线的定义有清晰的印象.教学目标 1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线；2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质；3.明确重心的概念；4.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯；5.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识。

教学重点理解三角形的高、中线与角平分线的概念及其画法.教学难点钝角三角形高线的画法.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：如图，在△ABC中，一动点D在BC边上移动，从点B沿着BC边移动到点C,观察移动过程中形学生活动1：学生观察图片，动脑思考，并积极回答.成的无数条线段中，有没有特殊位置的线段?今天，我们一起来认识三角形中几条特殊的线段!活动意图说明：通过展示图片，引发学生思考，引出这节课要学的内容，调动学生学习的积极性. 环节二：三角形中的特殊线段教师活动2：角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，△ABC 中，∠1＝∠2，线段AD就是△ABC一条角平分线中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．如图，△ABC中，点E是BC的中点，线段AE 就是△ABC的一条中线．高线：学生活动2：学生听教师讲解，理解三角形中的特殊线段。

初中三角形总复习【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。

4.⋅S SABE∆基础。

5. 三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B分析：因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角，()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。

例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。

解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C例3. 如图，已知：在∆ABC 中，AB AC ≤12，求证：∠∠C B <12。

三角形中几条重要线段一、说教材（一）教材的地位和作用本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。

通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别。

通过学习作图、观察与探究，会发现三角形的三条高所在的直线、三条角平分线、三条中线都各自交于一点，这为以后三角形的内心、重心等知识的学习打下一定的基础，另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的垫脚石。

故学好本节内容是十分必要的。

因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。

（二）教学目标分析本节课的教学设计力图体现“尊重学生，注重发展”的教学理念，着重培养和发展学生基本作图能力、语言表达能力、观察能力等，根据这一目的确定本节教学目标为：二、说教法1、情境创设法利用人字型屋顶钢架的中柱，三角形状的风筝骨架等，引出三角形中的特殊线段，使数学能密切联系实际体现知识的形成和应用过程。

以实际问题为出发点和归宿，更能贴近学生生活，体现由具体到抽象再到具体的过程，以激发学生对学习本节内容的求知欲，培养他们运用所学知识解决问题的能力。

2、加强新旧知识的联系三角形的高、中线、角平分线与已学过的垂线、线段的中点，角的平分线有关，讲解时将新旧知识融合贯通，既利于学生掌握新知，又可帮他们形成一定的知识体系，进一步丰富了学生对图形的认识和感受。

3、加强学生学习的主动性与探究性在课堂中要充分调动学生自主学习的潜能，让他们自由探究图中的发现，从而发展他们的创新能力，让他们感受到成功的喜悦。

13.1.3 三角形中几条重要线段教学目标：知识与技能1.经历折纸，画图等实践过程认识三角形的高、中线、角平分线.2.会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线，通过画图了解三角形的三条高（及所在直线）交与一点，三角形的三条中线，三条角平分线等都交于一.过程与方法在探索三角形的高中线角平分线的过程中，让学生经历观察试验推理交流等活动，培养学生的空间观念和推理能力.情感、态度与价值观在学习过程中，培养学生的学习兴趣和良好的沟通能力.教学重点：三角形的高，中线，角平分线的概念，并了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点教学难点：三角形平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别，钝角三角形的高的画法. 教学过程：一、导入新课问题1 数一数，图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来.问题2 利用长为3.5.6.9的四条线段可以组成几个三角形？为什么？问题3 利用△ABC的一条边长为4cm，面积是24cm2这两个条件，你能求出什么结论？二、自学指导1.自学课本；2. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做三角形的中线.三角形三条中线交于一点，这个点就是三角形的重心.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.设计意图：通过设置富有阶梯形的自学指导，引导学生自主学习，发现问题，解决问题.注意事项：教师出示自学指导，让学生自学课，理解什么是三角形的高？什么是三角形的中线？什么是三角形的重心？什么是三角形的角平分线？三、自学检测1.过点A分别画下列三角形的高，中线，角平分线.2.上述三个图形中的∠B有什么不同？这三个三角形的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？设计意图：第1题着重考查学生的绘图动手能力；第2题着重对三角形三边关系的高进行分类汇总，总结规律.注意事项：第2题有一定难度，特别是钝角三角形，要在关键点对学生进行点拨.四、合作探究1. 如图，在△ABC中∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．【答案】∵∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣110°=40°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12×40°=20°，∵∠B=30°，AD是BC边上高线，∴∠BAD=90°﹣30°=60°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣20°=40°．2.如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？【答案】（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED=14S△ABC=14×60=15；∵BD=5，∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，即点E到BC边的距离为6．设计意图：老师大胆放手，学生分组合作探究，每个小组讨论完成后，给出答案并进行展示，让学生上台说明，培养学生总结能力，积极发言的良好习惯注意事项：在合作探究环节中，教师要关注学生在展示过程中出现的问题，并及时予以点拨.五、课堂小结问题1 本节课你学习了什么？问题2 本节课你有哪些收获？问题3 通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？设计意图：以上三个问题引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，进一步进行反思、提炼及知识的归纳，并纳入自己的知识结构中；注意事项：（1）每个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线.（2）三角形的三条高所在的直线交于一点，且锐角三角形的高交于三角形的内部，直角三角形在直角的顶点，钝角三角形在三角形外。

三角形中几条重要线段观课报告一、中线：中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。

对于任意三角形ABC，中线可以分为三条：从顶点A到对边BC的中点M的线段AM，从顶点B到对边AC的中点N的线段BN，以及从顶点C到对边AB的中点P的线段CP。

中线具有以下性质：1. 三条中线交于一个点，称为三角形的重心G。

重心G是三角形内部的一个点，它到三角形的三个顶点的距离相等，即GA=GB=GC。

2. 重心G将每条中线划分为两个部分，其中一部分的长度是另一部分的两倍。

例如，在三角形ABC中，若AG=2GM，则BG=2GN，CP=2PG。

3. 重心G将三角形划分为六个小三角形，这些小三角形的面积相等。

这意味着三角形ABC的面积等于三角形AGB、三角形BGC和三角形CGA的面积之和。

二、角平分线：角平分线是指从一个三角形的顶点出发，将对角划分成两个相等的角的线段。

对于任意三角形ABC，角平分线可以分为三条：从顶点A 出发，将角BAC平分成两个相等的角的线段AD，从顶点B出发，将角ABC平分成两个相等的角的线段BE，以及从顶点C出发，将角ACB平分成两个相等的角的线段CF。

角平分线具有以下性质：1. 三条角平分线交于一个点，称为三角形的内心I。

内心I是三角形内部的一个点，它到三角形的三个边的距离相等，即IA=IB=IC。

2. 内心I将每条角平分线划分为两个部分，其中一部分的长度是另一部分的两倍。

例如，在三角形ABC中，若AD=2DM，则BE=2EN，CF=2FN。

3. 内心I到三角形的三个顶点的连线与三角形的三条边相交于三个点，分别为D、E和F。

这些点将三角形划分为三个小三角形，这些小三角形的面积之和等于三角形ABC的面积。

三、高线：高线是从一个三角形的顶点，垂直地与对边相交的线段。

对于任意三角形ABC，高线可以分为三条：从顶点A出发，垂直于对边BC的线段AH，从顶点B出发，垂直于对边AC的线段BK，以及从顶点C 出发，垂直于对边AB的线段CL。

教学设计织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中把握三大概念。

2学法课前进行预习，明确学习目标，了解所需掌握的知识，课上在教师的组织、引导、点拨下折纸和画图形等实践过程等活动，从而真正理解和掌握三角形的高、中线与角平分线等概念。

五、教学重点及难点教学重点：理解三角形的高、中线及角平分线概念及画法。

教学难点：钝角三角形的高的画法及不同类型的三角形高线的位置关系。

六、课时设计：1课时教学过程教师活动学生活动预设设计意图一、知识回顾：出示课件，结合图形回顾已学知识：1垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

2线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点。

3角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

4 同学们还记得“过一点画已知直线的垂线”的作法吗画法（提问演示）学生回答回顾旧知识，为本节课学习三角形中几条重要线段作铺垫。

二、探究新知探究一：三角形的高让学生找出概念，然后探究以下问题：1出示课件，先演示画三角形的一条高后提问：学生动手操作，先独立思考后与同桌相互交流让学生通过观察、归纳、总结出三角形高三、课堂练习1、下图作三角形中的高正确的是（ ）2、在❒ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若❒ABC 的面积是4，则❒ABD 的面积为3、角平分线的理解：∵BE 是△ABC 的角平分线 ∴ = =21∠ABC ∵CF 是△ABC 的角平分线 ∴∠ACB= =学生独立完成解答，教师提问学生对本节知识进行巩固练习，学以致用四、课堂小结1、谈谈本节课学习了什么内容2、你有什么收获学生畅所欲言，谈谈本节课学到了哪些知识， 需要注意什么问题。

师生互相交流本节课的内容及应用需要注意的问题。

三角形的“三线”（一）引言概述:在几何学中，三角形是一种常见的图形，由三条边和三个角所确定。

而在三角形的研究中，有三条特别重要的线段，它们被称为三角形的“三线”。

这三条线分别是：三角形的中线、三角形的角平分线和三角形的高线。

本文将对这三条线段进行详细的阐述和解释。

正文:第一节: 三角形的中线1. 中线的定义: 三角形的中线是连接三角形一个顶点与该顶点对边中点的线段。

2. 中线的性质:a. 中线互相平分: 三角形的三条中线互相平分。

b. 中线长度关系: 三角形的中线长度满足中线长度的关系公式。

c. 重心: 三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。

d. 重心的性质: 重心到各顶点的距离与中线的长度成正比。

第二节: 三角形的角平分线1. 角平分线的定义: 三角形的角平分线是从三角形一个顶点出发，将该顶点的相邻两个角平分的线段。

2. 角平分线的性质:a. 角平分线相交于内切圆心: 三角形的三条角平分线交于一点，该点是三角形内切圆的圆心。

b. 角平分线长度关系: 三角形的角平分线长度满足角平分线长度的关系公式。

c. 角平分线与边的关系: 角平分线将相对顶点的边等分为两段。

第三节: 三角形的高线1. 高线的定义: 三角形的高线是从三角形一个顶点出发，垂直于该顶点所对边的线段。

2. 高线的性质:a. 高线相交于垂心: 三角形的三条高线交于一点，该点被称为三角形的垂心。

b. 高线长度关系: 三角形的高线长度满足高线长度的关系公式。

c. 垂心与外心关系: 三角形的垂心和外心在同一条直线上。

第四节: 三角形三线的关系1. 三角形三线的共点性: 三角形的三条中线、角平分线和高线交于一点，该点被称为三角形的费马点或第一等心点。

2. 三线长度比较: 三角形三线的长度具有特定的大小关系。

3. 三线与特殊点的关系: 三角形的三线与其它特殊点（如垂心、内心、外心）之间存在一定的关联。

第五节: 应用举例1. 实际应用中的三线: 三角形的三线在几何学和实际问题中有广泛的应用。