怎样计算有几个三角形或者几条线段的方法

三年级全册奥数培训教材适合年级：小学三年级目录第一讲找规律填数（一）【专题精析】按一定规律排列起来的一列数叫做数列。

数列中从左到右第几个数叫做这个数列的第几项。

数列中项的个数可以无限多个，也可以有限多个。

如何寻找数列排列和变化规律，并依据这个规律来填写空缺的数呢？【例题精讲】按照数列的变化规律，在括号里面填上适当的数。

（）０，３，６，９，１２，（），（），２１；（）０，３，８，１５，（），３５，（），（）；（）１０００，９７０，２００，１８０，４０，３０，（），（）；（４）２，５，１１，２３，４７，（），（）；方法小结：【基础练习】找出各数列的规律，在括号里面填数。

1、（１）５，９，１３，１７，２１，（），（）；（２）１，２，４，７，１１，（），（）；2、（１）２，６，１８，（），１６２，（）；（）４，１２，３６，（），（），９７２；3、（１）１，２，５，１４，４１，（）；（２）２，３，５，８，１３，（），（）；【拓展提高】找出各数列的规律，在括号里面填数。

1、（１）５，７，１１，１７，２５，（）（２）２２４，１９４，１６４，１３４，（），（）；2、（１）８，３，９，４，１０，５，（），（）；（２）１，６，７，１２，１３，１８，（），（）；3、（１）１，２，４，４，９，８，１６，１６，（），（）；（２）３，１，６，３，１２，４，２４，７，（），（）；4、（１）１，２，３，４，５，１２，７，４８，（），（）；（２）１，８，２７，６４，（），（）；5、（１）１，３，８，２２，（），（），４４８；（２）２，５，１０，１７，２６，（）；？4521158？33339127436161958？13715543234536？17990675？849118第二讲 找规律填数（二）【专题精析】一些图形中的数，也是按一定规律排列的，我们学习丛图形的组合与数的变化中寻找规律，在图中空缺处填上适当的数。

【例题精讲】在下列各图形中寻找数的变化规律，然后在空白处填上适当的数。

[全]小学奥数18个解题方法解析（含例题）解题方法1--分类分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数、数个数的问题中，分类的方法是很常用的。

例1：可分为这样几类：（1）以A为左端点的线段共4条，分别是：AB，AC，AD，AE；（2）以B为左端点的线段共3条，分别是：BC，BD，BE；（3）以C为左端点的线段共2条，分别是：CD，CE；（4）以D为左端点的线段有1条，即DE。

一共有线段4+3+2+1=10（条）。

还可以把图中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。

（1）只含1条基本线段的，共4条：AB，BC，CD，DE；（2）含有2条基本线段的，共3条：AC，BD，CE；（3）含有3条基本线段的，共2条：AD，BE；（4）含有4条基本线段的，有1条，即AE。

例2：有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。

如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形？提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。

设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：①a、b只能取1～11的自然数；②三角形任意两边之和大于第三边。

1、11 ；一种2、11 ；2、10；二种3、11；3、10；3、9 ；三种4、11；4、10；4、9；4、8 ；四种5、11；5、10；5、9；5、8；5、7 ；五种6、11；6、10；6、9；6、8；6、7；6、6；六种7、11；7、10；7、9；7、8；7、7；五种8、11；8、10；8、9；8、8；四种9、11；9、10；9、9；三种10、11；10、10；二种11、11；一种总计：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种解题方法2--化大为小找规律对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。

三角形路径条数问题
三角形路径条数问题通常是指在给定一个由数字组成的三角形中，从顶部到底部的每一步可以选择向左下或右下移动，并且要求按照这种规则遍历整个三角形到达底部。

对于每一种可能的路径组合，计算从顶点到三角形底部的路径条数。

具体而言，若三角形大小为n（即有n层），那么从顶点到最底层共有2^（n-1）种不同的路径（不考虑路径上的数字影响选择，仅看路径方向的选择）。

但是，如果问题是求出所有路径中具有最大和的那一条路径，那就转化为动态规划的问题，目标不再是路径数量而是最优路径之和。

如果是要解决实际的三角形路径问题，其中每一步的选择受当前行内数字的影响（例如，在一些算法竞赛或者面试题中常出现的题目是选取路径时每次选中的数字会累加到总和中，要求找到使得总和最大的路径），则需要使用动态规划的方法来确定最佳路径及其对应的和。

动态规划的解决方案通常包括定义一个状态数组，其中每个状态表示到达某一行某个位置的最大路径和，然后通过迭代的方式根据上一行的状态更新本行的状态，最终得到的结果就是从顶点到底部的最佳路径的和。

至于具体的路径条数，如果不是最优路径问题，则需明确问题的具体描述。

1 二年级奥数(应用题)及答案：hello kitty爱美的hello kitty去商场买回来一面镜子.她要沿镜子的四边做一个铝合金的边框，请你帮助算一算，大约需要多少米长的铝合金材料?【解答】62 二年级奥数(应用题)及答案：称体重路路、文文、林林三人一起称体重，路路和文文一起称是47千克，文文和林林一起称是49千克，三人一起称是72千克。

三个人的体重各是多少千克?【解析】路路+文文+林林=72千克路路+文文=47千克，则林林的体重为72-47=25(千克)文文+林林=49千克，则路路的体重为72-49=23(千克)文文的体重为49-25=24(千克)答：路路重23千克，文文重24千克，林林重25千克。

3 二年级奥数(应用题)及答案：小皮球商店新进6盒小皮球，连续5天，每天都卖出8个。

服务员重新整理一下，剩下的小皮球正好装满2盒。

原来每盒有几个小皮球?【解析】连续5天，每天都卖出8个则一共卖出5×8=40(个)。

新进6盒小皮球，剩下的正好装满2盒，则卖出6-2=4(盒);卖出40个，卖出4盒，则每盒有40÷4=10(个)答：原来每盒有10个小皮球。

4 二年级奥数(倒推法)及答案：吃巧克力妈妈买来一些巧克力，送给邻居小妹妹2块后拿回了家，小亚先吃了其中的一半，又给弟弟吃了剩下的一半，这时还有1块巧克力，妈妈一共买了多少块巧克力?【解析】弟弟吃了剩下的一半，这时还有1块巧克力。

剩下的一半是1块，则在弟弟吃之前，有1×2=2(块)，即小亚吃了一半后剩下2块，则小亚吃之前有2×2=4(块)又妈妈送给邻居的小妹妹2块后拿回了家，则一共有4+2=6(块)答：妈妈一共买了6块巧克力5 二年级奥数(倒推法)及答案：妈妈的年龄小红问妈妈多大年龄，妈妈说：把我的年龄加10，然后乘5，减25，再除以2，恰巧是100岁。

小红妈妈的年龄是多少?【解析】题目最后一步是除以2得100岁，说明除以2前就是100×2=200，减了25是200，那么不减25就是200+25=225，同理不用乘5就是225÷5=45，不加10就是35，这样，通过逐步倒推的方法就得到了小红妈妈的年龄是35岁，即(100×2+25)÷5-10=35(岁)答：小红妈妈的年龄是35岁。

分类数三角形个数
数三角形个数的具体方法如下：
1. 暴力枚举法：通过枚举每一个三角形的顶点，判断是否能够构成三角形，从而统计个数。

这种方法适用于小规模的三角形计数，但对于大规模的三角形计数则不太实用。

2. 组合计数法：利用组合数学的知识，将三角形的计数问题转化为选取一定数量的点，然后从中选出三个点构成三角形的问题。

具体来说，假设有n个顶点，选取3个顶点构成三角形的个数为C(n,3)。

但需要注意的是，这种方法只适用于顶点数量比较少的情况，因为顶点数量一旦增加，组合数就会非常大，计算难度也会增加。

3. 利用类型分类计数：将三角形分成不同的类型进行分类计数，然后将不同类型的三角形个数相加即可。

常见的分类包括等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。

这种方法需要对三角形的性质和构成规律有比较深入的了解，同时需要注意分类的准确性和完备性。

4. 利用图形转化：将原始图形转化为另一种具有更易于计数的形式，然后再进行计数。

例如，将正方形分成若干个小三角形、小正方形和小菱形，然后计算各种小图形的个数，最后将其相加即可得到三角形的个数。

这种方法需要灵活运用图形转化的思想，找到适合的转化方法。

以上方法仅供参考，具体应用时需根据实际情况选择合适的方法。

小学数学新版四年级上册小学数学版四年级上册八、平均数和条形统计图
巧数线段
让我按照一定的顺序去握，这
样就能够不重复、不遗漏。

（2）如果小组四个人握
手，每两个人只握一次手，一
共握多少次？
师：通过这节课的学习我
们就能解决这个问题。

二、自主探索、
合作交流
（一）自主探索数线段
1、出示线段
师：假如A、B、C、D四
人握手，A和B握手可以连成
一条线段、B和C握手可以连
成一条
线段、C和D握手可以连成一
条线段，这样就连成
这样一个图形，要求可以
握多少次手？实际上可以通
过数一共有多少条线段来解
决，
2、独立探索：数一数，
一共有几条线段？请同学们
用不同颜色的笔在图上表示
出来，思考一下，怎样数才能
保证不重复、不遗漏。

3、同桌交流：你是怎么
学生先独立探索，然
后同桌两人交流不同的数
法。

学生可能出现的不同
数法：
给学生自
主探索的时间
这一环节
里，设置了一
个可以让学生
独立探索，并
通过同桌合作
能够顺利完成
的问题。

4.1《认识三角形》（第1课时）教学设计（5篇）第一篇：4.1《认识三角形》(第1课时)教学设计第4章三角形 4.1.1 认识三角形〖教学目标〗1．了解三角形的概念。

2．掌握一类图形中的三角形计数方法，渗透分类思想。

3．掌握三角形的内角和规律及其应用。

4．培养分析、归纳问题和逻辑推理能力，激发学生的创造思维和探索精神。

〖教材分析〗教材从观察小木屋屋顶框架图入手，要求学生找出四个不同的三角形，并说明这些图形有什么共同点。

考虑到学生的认知水平，设计用动画“画”三角形，学生“观察”，总结、归纳出三角形定义。

本课时内容是在学生已了解三角形内角和知识的基础上学习的，主要引导学生参与探索发现三角形的内角和规律，为灵活运用三角形内角和规律打下坚实的基础。

整个教学内容力图让学生通过“感知―概括―应用”的思维过程去发现知识、掌握规律，并通过师生间和生生间的多层次、多通道的主体信息交流，发展学生的逻辑推理能力。

〖教学设计〗三角形是生活中常见的几何图形，学生都认识，但是对定义的理解不够准确。

为加深学生的理解，教学中让学生从自己的认识出发，教师给予引导、明晰，再得到定义。

“三角形的计数”是本节难点，为让每个学生都得到经历数学思考的体验，采用小组活动的方式，使每个学生都得到训练，发展个性化的学习。

同时，结合学生的认知水平，制作课件，生动、形象地帮助学生学习，降低学习难度。

(一)创设情境，引入新课师：同学们认识三角形吗?生：认识。

师：在生活中见过应用三角形的例子吗?师：哪一位同学能举一些例子?生1：三角形的屋顶。

生2：自行车的三角架。

师：很好。

老师也给同学们准备了一些生活中应用三角形的例子，我们一起来看看。

(屏幕显示自拍照片：学校篮球架，建筑工地塔式吊车，加油站大跨度屋顶等。

)师：这些例子说明了三角形在我们的生活中随处可见。

为什么三角形具有这么多应用呢?等我们学完这一章后，同学们就会有更深的理解。

下面我们一起来认识三角形。

三角形由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

三角形具有稳定性 三角形内角和是180°组成三角形的两个条件： 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边三角形分类 按角来分锐角（0°<A<90°） 直角（90°） 钝角（90°<A<180°） 锐角三角形：三个角都是锐角直角三角形：有一个角是直角（其他两个角一定都是锐角） 钝角三角形：有一个角是钝角（其他两个角一定都是锐角）锐角三角形的三条高（三条虚线）直角三角形的三条高（一条虚线加两条直角顶点边底CBA三角形ABC:A边）钝角三角形的三条高（三条虚线）按边分底直角边CBA直角边CBCBA 底边等边三角形（三条边都相等，每个角都是等腰三角形（两条边相等，两个底角相等）※已知三角形两条边各长a、b（a>=b），求第三边长度c的范围方法：a-b<c<a+b例：已知一个三角形两边分别长5cm和9cm，第三边的长度范围是多少？解：9-5<c<9+5(没有等号) 4<c<14如果第三边长度是整数，那么第三边可能是5、6、7、8、9、10、11、12、13cm例：已知一个三角形两边分别长5cm和5cm，第三边的长度范围是多少？解：5-5<c<5+5(没有等号) 0<c<10如果第三边长度是整数，那么第三边可能是1、2、3、4、5、6、7、8、9cm※已知三条线段的长度，判断能不能组成三角形方法：将最短的两条线段长度相加，如果比最长的那条线段长，那么能组成三角形例：已知三条线段分别是7cm、4cm、2cm，它们能不能组成三角形？2+4<7 不能例：已知三条线段分别是5cm、5cm、5cm，它们能不能组成三角形？5+5>5 能（等边三角形/正三角形）例：已知三条线段分别是10cm、10cm、20cm，它们能不能组成三角形？10+10=20 不能※多边形内角和问题三角形：180°四边形：360°在四边形内部画一条线，将其分成两个三角形，内角和=180°×2=360°五边形:540°在五边形内部画两条线，将其分成三个三角形，内角和=180°×3=540°六边形:720°在六边形内部画三条线，将其分成四个三角形，内角和=180°×4=720°第八单元垂线与平行线1 认识射线和直线项目内容1.生活中有哪些物体可以近似地看成线段、射线、直线?2.笔直的马路给我们( )的形象,绷紧的琴弦可以近似地看作( ),电筒的光柱类似( )。

三角形三边关系三角形是几何图形中最基本也是最重要的图形之一。

三角形的三边关系是三角形性质的基石，掌握好这一基本概念对于理解其他几何概念非常重要。

本文将详细介绍三角形三边关系及其应用。

一、三角形三边关系的定义三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形。

根据三角形的定义，我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这种性质通常被称为“三角形三边关系”。

二、三角形三边关系的证明证明三角形三边关系有多种方法，其中最经典的是利用“反证法”。

假设三角形三边a、b、c满足a<b+c，我们来证明这与假设矛盾。

假设反面成立，即a≥b+c，那么b+c≥a+c，即b≥a+c-c=a，这与题目中a>b矛盾。

因此，我们的假设是错误的，所以三角形三边关系成立。

三、三角形三边关系的几何应用三角形三边关系在几何学中有着广泛的应用。

例如，它可以用来判断三条线段能否组成一个三角形，或者比较两条线段的长度大小。

它还可以用于解决一些与三角形有关的实际问题，如测量不可直接测量的距离或高度等。

四、总结三角形三边关系是几何学中的一个基本概念，它反映了三角形中任意两边之和与第三边的关系。

这一性质不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在解决实际问题时也具有重要意义。

掌握好三角形三边关系对于理解其他几何概念也是非常有帮助的。

三角形三边的关系在几何学中，三角形是一种基本的图形，其三边之间的关系是构成三角形的核心要素。

本文将探讨三角形三边的关系，以及其在实际生活中的应用。

一、三角形三边的关系三角形三边的关系可以用以下三个基本定理来描述：1、三角形两边之和大于第三边。

这意味着，任意两边之和必须大于第三边，否则不能构成三角形。

2、三角形两边之差小于第三边。

这意味着，任意两边之差必须小于第三边，否则也不能构成三角形。

3、三角形的任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边。

这个定理实际上是前两个定理的组合。

几何图形的计数介绍几何图形的计数方法介绍几何图形的计数方法在数学竞赛试题和中考中,经常出现一些几何计数问题,在数学竞赛试题和中考中,经常出现一些几何计数问题,所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数.它的内容比较新颖有趣,为了准确计数,计算满足一定条件的图形的个数.它的内容比较新颖有趣,为了准确计数,必须要有一套计数的方法,否则越数头绪越杂乱,很难得出准确的结果.必须要有一套计数的方法,否则越数头绪越杂乱,很难得出准确的结果.本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法.本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法.学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法,学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法,更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用,如数形结合思想,分类讨论思想和感受到数学中的一些重要思想的运用,如数形结合思想,分类讨论思想和转化的思想,分类讨论思想在这里尤其突出,化的思想,分类讨论思想在这里尤其突出,我们所使用的所有计数方法都离不开分类.不开分类.下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧!下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧!介绍几何图形的计数方法例1你是怎样数的你是怎样数的(一)数线段数线段时,可以线段的左端点进行分类,数线段时,可以线段的左端点进行分类,逐类分别数出线段条数后相加条AB,AC,AD,AE,AF共5条BC,BD,BE,BF共4条共条注意:注意:这里涉及到数学中很重要的思想方分类的思想方法.法——分类的思想方法.在几何计数中怎分类的思想方法CD,CE,CF共3条共条样分类本例所介绍的是方法():):按照样分类本例所介绍的是方法(1):按照DE,DF共2条共条包含同一图形进行分类;(;(2)包含同一图形进行分类;()先划分出基EF共1条共条本图形,本图形,再按照包含基本图形的数目分合计有5+4+3+2+1=15(条)类.合计有(如果一条线段上有n+1个点包括两个端点)(或含有n个"基本线段"),那么如果一条线段上有个点(包括两个端点(或含有个基本线段"个点包括两个端点这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=个点把这条线段一共分成的线段总数为基础训练1.共有某(6+1)÷2=21(条).共有6某÷(n(n+1)2.介绍几何图形的计数方法(二)数角例2数角与数线段相似,数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边ED为一条边的角有:以OA为一条边的角有:为一条边的角有C∠AOB∠AOC∠AOD∠AOE共4个共个同样还有:同样还有:B∠BOC,∠BOD,∠BOE共3个,,共个∠COD,∠COE共2个共个OA∠DOE 共1个共个E合计有4+3+2+1=10(个)合计有(DC上面我们采用的方法是分类法这里采用的方法是"对应法"这里采用的方法是"对应法",这也是计数中E1D1B4某(4+1)÷2某÷常用的方法,这种方法实际上是数学的另一思常用的方法,C1=10想——转化思想的运用转化思想的运用B1使用对应法时,总是在原图形中(使用对应法时,总是在原图形中(有时需添加OA1A辅助线)辅助线)找出它的某一部分作对应图形(三)数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形(对应法)可用数线段的方法数如图所示的三角形(对应法)因为DE上有条线段因为上有15条线段,每条线段的两端点上有条线段,与点A相连可构成一个三角形,共有15个相连,与点相连,可构成一个三角形,共有个三角形,同样一边在BC上的三角形也有上的三角形也有15三角形,同样一边在上的三角形也有所以图中共有30个三角形个三角形.个,所以图中共有个三角形.本题的解决,本题的解决,既有分类法又有对应法介绍几何图形的计数方法基础训练5基础训练下图中共有个三角形A顶点为O,顶点为,且一边在AB上的三角形有上的三角形有3某÷一边在上的三角形有某4÷2=6(个);(一边在BC上的三角形有某5÷2=10(个);一边在上的三角形有4某÷(上的三角形有一边在AC上的三角形有某÷一边在上的三角形有3某4÷2=6(个),(再加△个三角形.再加△ABC,所以共有个三角形.,所以共有23个三角形OBMPQNDFHCC数长方形,(四)数长方形,平行四边形和正方形图中共有---------个长方形线段AM与AE对应着长方形对应着长方形AMPE,线段与对应着长方形,AM与AG对应着长方形对应着长方形AMQG,与对应着长方形AM与AB对应着长方形对应着长方形AMNB,与对应着长方形AM与EG对应着长方形对应着长方形EPQG,与对应着长方形AEGBAM与EB对应着长方形与对应着长方形对应着长方形EPNB,AM与GB对应着长方形对应着长方形GQNB.与对应着长方形就是说AM与AB边的条线段都分别对应着一个长方形,共6个长方形边的6条线段都分别对应着一个长方形就是说与边的条线段都分别对应着一个长方形,个长方形AD边上共有条线段,其余两条线段和MD也都分别对应着个长方形,边上共有3条线段也都分别对应着6个长方形边上共有条线段,其余两条线段AD和也都分别对应着个长方形,所以共有3某所以共有某6=18个长方形个长方形一般的,类似于这样的长方形(平行四边形),若其横边上共有条线段一般的,类似于这样的长方形(平行四边形),若其横边上共有n条线段,),若其横边上共有条线段,纵边上共有m条线段则图中共有长方形(平行四边形)个条线段,纵边上共有条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个例4横边上有8某条线段,条线段,横边上有某(8+1)÷2=36条线段,纵边上有某(7+1)÷2=28条线段,÷条线段纵边上有7某÷条线段所以共有36某个平行四边形.所以共有某28=1008个平行四边形.个平行四边形介绍几何图形的计数方法雨露招生试题)如图,例6(雨露招生试题)如图,图中平行四边形的个数为思考:能否像例那样数平行四边形那样数平行四边形思考:能否像例4那样数平行四边形可以将图形分割成几部分,使每一部分都像例那样的图形可以将图形分割成几部分,使每一部分都像例4那样的图形但分割的块数越少越好假设分为如下图所示的两块,假设分为如下图所示的两块,那么每块中的平行四边形的个数都是2某2+1)4某4+1(()某=3022思考:原图中平行四边形的个数是否等于思考:原图中平行四边形的个数是否等于60思考:如最右侧的图形中也有个平行四边形个平行四边形,思考:如最右侧的图形中也有30个平行四边形,那么原图中平行四边形的个数是否是3某那么原图中平行四边形的个数是否是某30=90不是90,还应减去如下图所示的两个"田字格"中的各个平行四边形因为这18个个平行四边形,不是,还应减去如下图所示的两个"田字格"中的各9个平行四边形,因为这个平行四边形已经包含在前60个之中个之中.平行四边形已经包含在前个之中.所以,原图形中平行四边形的个数是90-所以,原图形中平行四边形的个数是-18=72..注意:在使用分类计数法时,一定要注意是否有遗漏或重复计数的!注意:在使用分类计数法时,一定要注意是否有遗漏或重复计数的!介绍几何图形的计数方法如左,右三图,各包含多少个正方形例5如左,中,右三图,各包含多少个正方形为便于叙述,我们设一个小正方形的边长为1,那么为便于叙述,我们设一个小正方形的边长为,左图中边长为1的正方形的个数是左图中边长为的正方形的个数是3某2=6某边长为2的正方形的个数是边长为的正方形的个数是2某1=2某所以左图中共有正方形3某2+2某1=8(个)某某(这里所采用的方法是分类中图中边长为1的正方形的个数是中图中边长为的正方形的个数是4某3=12某边长为2的正方形的个数是边长为的正方形的个数是边长为3的正方形的个数是边长为的正方形的个数是所以中图中共有正方形右图中边长为1的正方形的个数是右图中边长为的正方形的个数是边长为2的正方形的个数是边长为的正方形的个数是边长为3的正方形的个数是边长为的正方形的个数是边长为4的正方形的个数是边长为的正方形的个数是所以中图中共有正方形3某2=6某2某1=2某6某4=24某5某3=15某4某2=8某3某1=3某6某4+5某4+4某2+3某1=50(个)某某某某(法中的另一种,法中的另一种,是:(3)按照图形的大小分类)4某3+3某2+2某1=20(个)某某某(如果一横行有m个小正方形,一竖行有个假设m≥n)小正方形,如果一横行有个小正方形,一竖行有n个(假设个小正方形)小正方形,那么图中正方形的个数是mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)那么图中正方形的个数是介绍几何图形的计数方法例7你打算怎样数图中的三角形你打算怎样数图中的三角形FGCALKHDE5形状有某些相似的三角形有▁▁第1类:与三角形类与三角形ABE 形状有某些相似的三角形有▁▁个B形状有某些相似的三角形有▁▁个5形状有某些相似的三角形有▁▁第2类:与三角形类与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁个形状有某些相似的三角形有▁▁个10形状有某些相似的三角形有▁▁第3类:与三角形类与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁▁个形状有某些相似的三角形有▁▁个5第4类:与三角形形状有某些相似的三角形有▁▁类与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁个形状有某些相似的三角形有▁▁个5形状有某些相似的三角形有▁▁第5类:与三角形类与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁个形状有某些相似的三角形有▁▁个5形状有某些相似的三角形有▁▁第6类:与三角形类与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁个形状有某些相似的三角形有▁▁个所以图中的三角形共有35个所以图中的三角形共有35个35这里所采用的方法是分类法中的另一种,是:这里所采用的方法是分类法中的另一种,(4)按照图形的形状分类)也可以说是(5)按照图形所处的位置分类)介绍几何图形的计数方法例8(华罗庚金杯竞赛题)下图中有(华罗庚金杯竞赛题)个正方形,个正方形,有个三角形.个三角形.能否将图中的正方形分类,能否将图中的正方形分类,按照不同类型分别数出其中的正方形个数出其中的正方形个数分为两类,一类是有一组对边在水平方向的正分为两类,方形,方形,如左图这类正方形的个数是6某6+5某5+4某4+3某3+2某2+1某1=91某某某某某某除上一类为,共有95个正方形除上一类为,还有4个正方形共有个正方形这里所使用的方法是分类法中的()这里所使用的方法是分类法中的(4)按照图形的形状分类个直角边长为1的三角形有某某直角边长为的三角形有6某6某2=72个直角边长为2的三角形直角边长为的三角形1--2行8个2--3行6个3--4行2个4--5行8个,5--6行6个,共30个行个共个行个,行个,行个,行个行个共个行个直角边长为3的三角形1--2行4个,3--5行2个4--6行4个,共10个直角边长为的三角形行个3--6行2个行个思考:还有漏数的三角形吗思考:还有漏数的三角形吗直角边长为4的三角形直角边长为的三角形行个斜边长为2的三角形斜边长为的三角形1--3行各4个,共12个第4行3个行个共个的三角形第5行1个第6行4个,共计个行个行个共计20个思考:还有漏数的三角形吗思考:还有漏数的三角形吗1-6列依次列依次3+3+3+2+3+3=17(个)列依次(思考:还有漏数的三角形吗斜边长为4的三角形思考:还有漏数的三角形吗斜边长为的三角形1-4行1个,2-5行2个,行1个,共4个行个行个4-5行个个所以图中的三角形共计72+30+10+2+20+17+4=155(个)所以图中的三角形共计(这里用了分类法中的()按照图形的大小分类(之后又按图形所处位置分类)这里用了分类法中的(3)按照图形的大小分类(之后又按图形所处位置分类)介绍几何图形的计数方法计数方法:计数方法:1.分类计数法.(1)按照包含同一图形分类;)按照包含同一图形分类;(2)按照图形所包含的"基本图形"的个数分类.)按照图形所包含的"基本图形"的个数分类.(3)按照图形的大小分类;)按照图形的大小分类;(4)按照图形的形状分类;)按照图形的形状分类;(5)按照图形所处的位置分类.)按照图形所处的位置分类.2.对应计数法.几个计算公式:几个计算公式:n(n+1)1.线段,角的计数公式:.线段,角的计数公式:图形个数=课后反思总结22.长方形,平行四边形的计数公式:横边上共有n条线段,.长方形,平行四边形的计数公式:横边上共有条线段条线段,纵边上共有m条线段则图中共有长方形(平行四边形)个条线段,纵边上共有条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个3.正方形的计数公式:如果一横行有m个小正方形,一竖行有个(假.正方形的计数公式:如果一横行有个小正方形一竖行有n个个小正方形,设m≥n)小正方形,那么图中正方形的个数是)小正方形,mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)=mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)某1某问题解答在/问题解答在介绍几何图形的计数方法成就测试答案1.3+2+1=6,∠A1OA4.2.6+5+4+3+2+1=21..,..A3.(4+3+2+1)某(4+3+3+1)=100..某).4.4某1+3某2+2某3+1某4=20.某某某某5..3经过AB到的有▁▁种爬法的有▁▁经过到F的有▁▁种爬法3经过AE到的有▁▁种爬法的有▁▁经过到F的有▁▁种爬法3经过AD到的有▁▁种爬法所以共9种爬法的有▁▁经过到F的有▁▁种爬法所以共种爬法6.如图,图中的长方体和正方体共有多少个.如图,图中的长方体和正方体共有多少个说出你是怎样数的.说出你是怎样数的.与数长方形和正方形的方法类似(3+2+1)某(2+1)某(2+1)=54某某长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个3某2某2+2某1某1=14某某某某正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁DBCDEABCDEGFFECAB7.如图,图中的三角形共有多少个请把它们都用记号表示出来..如图,图中的三角形共有多少个请把它们都用记号表示出来.A△ABC,△ABE,△ABN,△ABF,△△△△△(1)一边在上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁一边在AB上的三角形有△ADM,△ADC,△BDG,△BDC一边在上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁F△BCA,△BCD,△BCF,△BCG,△△(2)一边在上而另一边一边在BC上而另一边一边在DN△BEA,△BEN,△ECA,△ECM△△△不在AB上的三角形有上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁不在上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁G△CAB,△CAD,△CAE,△CAM,△M(3)一边在上而另一边既△CFB,△CFG,△AFB,△AFNB一边在CA上而另一边既一边在E不在AB上也不在上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁不在上也不在BC上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁共计8+5+3=16个吗共计个吗上也不在上的三角形有个吗(4)三边不在,BC,CA上的有△MNG三边不在AB三边不在上的有C所以图中的三角形共有8+5+3+1=17个个所以图中的三角形共有介绍几何图形的计数方法图中共有直线6条,设为a,b,c,d,e,f,每3条一组,列表如下图中共有直线条设为条一组,条一组abcabdabeabfacdaceacfadeadfaef计10组组bcdbcebcfbdebdfbef计6组组cdecdfcef计3组计组def计1组,合计组合计10+6+3+1=20组组但是经过同一点的三条直线不能围成三角形,但是经过同一点的三条直线不能围成三角形,所以图中的三角形共有20-所以图中的三角形共有-3=17(个)(这里采用的是对应法,这里采用的是对应法,但是也要注意计数中是否有遗漏或重复adebfc介绍几何图形的计数方法提高训练3.图中共有多少个三角形提高训练.图中共有多少个三角形显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,两类中三角形的个数相等.尖向上的三角形又可分为6类三角形的个数相等.尖向上的三角形又可分为类(1)最大的三角形个(即△ABC),)最大的三角形1个即,(2)第二大的三角形有1+2=3(个))((3)第三大的三角形有1+2+3=6(个))((4)第四大的三角形有1+2+3+4=10(个))((5)第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个))((6)最小的三角形有)1+2+3+4+5+6+3=24(个)(最后加的3个是哪个最后加的个是哪3个个是哪所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59(个)(所以尖向上的三角形共有图中共有三角形2某图中共有三角形某59=118(个)(介绍几何图形的计数方法提高训练4在8某8的方格棋盘中,取出一个由三个小方格组成的"L"形提高训练某的方格棋盘中,取出一个由三个小方格组成的""的方格棋盘中如图),一共有多少种不同的方法),一共有多少种不同的方法(如图),一共有多少种不同的方法注意:注意:数"不规则几何图形"的个数时,常用对应法不规则几何图形"的个数时,每一种取法,有一个点与之对应,第1步:找对应图形每一种取法,有一个点与之对应,步这就是图中的A点它是棋盘上横线与竖线的交点,这就是图中的点,它是棋盘上横线与竖线的交点,且不在棋盘边上.在棋盘边上.从下图可以看出,第2步:明确对应关系从下图可以看出,棋盘内的每一步个点对应着4个不同的取法个不同的取法(个点对应着个不同的取法("L"形的"角"在2某2正"形的"某正方形的不同"方形的不同"角"上).第3步:计算对应图形个数由于在8某8的棋盘上,内部有7某7=49(个)交叉点,步计算对应图形个数由于在某的棋盘上,内部有某(交叉点,的棋盘上故不同的取法共有49某第4步:按照对应关系,给出答案故不同的取法共有某4=196(种).步按照对应关系,给出答案故不同的取法共有(A介绍几何图形的计数方法提高训练5下图中的正方形被分成个相同的小正方形它们一共有16个顶点个顶点(提高训练下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有个顶点(共同的下图中的正方形被分成个相同的小正方形,顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点可以构成三角形.),以其中不在一条直线上的个点为顶点,顶点算一个),以其中不在一条直线上的个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个1.显然应先求出阴影三角形的面积.设原正方形的边长是3,则小正方形的边长是1,设原正方形的边长是,则小正方形的边长是,阴影三角形的面积是某2某3=32.思考图中怎样的三角形的面积等于3.思考图中怎样的三角形的面积等于的三角形的面积等于3((1)一边长,这边上的高是的三角形的面积等于(即形如图中阴影三角形).)一边长2,这边上的高是3的三角形的面积等于即形如图中阴影三角形).这时,长为2的边只能在原正方形的边上这样的三角形有2某某的边只能在原正方形的边上,这时,长为的边只能在原正方形的边上,这样的三角形有某4某4=32(个);(的三角形的面积等于3.(2)一边长,这边上的高是的三角形的面积等于.)一边长3,这边上的高是2的三角形的面积等于这时,长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线.这时,长为的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线.注意:不能与()这样的三角形有8某这样的三角形有某2=16(个)注意:不能与(1)中的三角形重复(所以这样的三角形共有32+16=48(个)所以这样的三角形共有(。

2015年小学奥数计数专题——几何计数1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?8．图中共有多少个三角形?9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?11．在图中，共有多少个不同的三角形?12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?16．数一数下列图形中各有多少条线段.17．数出下图中总共有多少个角.18．数一数下图中总共有多少个角？19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？20．如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？21．如右图中，共有多少个角？22．在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少? 37421812523．由20个边长为1的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。

三角形（一）——与三角形有关的线段第一部分：知识梳理知识点一、三角形的定义不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

1、组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

2、三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b 表示,顶点A所对的边BC可用a表示.知识点二、三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边.三角形的任意两边之差小于第三边。

知识点三、三角形的高从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

三角形的三条高相交于一点知识点四、三角形的中线连接三角形的与对边的线段，叫做三角形的中线三角的三条中线相交于一点拓展：三角形中线分三角形面积相等的两个三角形知识点五、三角形的角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点提示：1、三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部；2、而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

知识点六、三角形的稳定性三角形具有稳定性第二部分：例题精讲例题1.一个等腰三角形的周长为32cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6cm.求各边长.例题2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。

例题3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例题4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例题5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。

二年级奥数举一反三 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-第一讲找规律填数【研究目标】我们经常会看到按一定规律排列起来的一列数，如果要在一列数后面再写几个数，就要仔细观察这列数中已出现的几个数之间有什么规律，找准了规律，就能按规律下去填数了。

按规律填数不是很容易就能填对的，要运用数的顺序和加、减、乘、除的知识，通过仔细观察，根据同组数列的顺序和前后、上下之间的相互关系，才能找出数与数之间的排列规律。

例题1：按规律填数（1）2、3、5、8、13、（）、（）（2）2、3、5、8、12、（）、（）例题2：找出下面数的规律，按规律在（）里填数。

（1）1、2、4、8、（）、（）（2）30、8、25、9、20、10、（）、（）（3）1、2、3、5、8、（）、（）例题3：仔细观察，找出规律填数。

（1）1 7 4 6 （2）7 1 2 52 6 5 5 4 6 9 88 1 （） 2 15 13 （）21例题44 6 9 135 9 15 23例题5：找规律，在空白（7 6 （） 7｜｜｜｜4 3 4 （）/＼ /＼ /＼ /＼5 2 4 1 4 46 8课堂练习：练习一：（1）5、10、20、（）、（）、160（2）1、4、5、9、（）、（）、（）（3）47、29、18、11、（）、（）、（）、（）（4）99、（）、（）、（）、15、8、7、1练习二：1.找规律填数（1）1、50、2、45、3、40、（）、（）、（）（2）13、7、11、6、9、5、（）、（）2.找规律在（）里填上合适的数（1）3、4、7、11、（）、（）（2）40、16、20、8、10、4、（）、（）练习三：找规律填数1. 4 1 3 65 7 1 1（） 2 8 21.找规律，在下图“”处填上合适的数2. 找规律，在下图空白处填上合适的数课外练习：练习一：（1）3、9、12、（）、（）、（）（2）2、（）、8、（）、32、（）、128练习二：找出规律填数（1）15、5、12、5、9、5、（）、（）（2）5、9、10、8、15、7、（）、（）第二讲间隔趣谈【研究目标】两根绳子连起来只要打一个结，两根绳子结成一个圆需要打两个结，一根绳子剪4次被剪成5段等等，这是日常中比较特殊的的问题。

在梯形里画一条线段，分成两个三角形，有几种分法？在梯形里画一条线段，分成两个三角形，有几种分法？三角形的认识三角形是由三条线段围成的封闭图形。

围成三角形的每条线段叫做三角形的边。

每两条线段的交点叫做三角形的顶点。

在梯形里画两条线段，把他们分成三个三角形，画法有几种无数种啊。

在下面梯形上画一条线段,把它分成两个三角形。

已知a<1，解关于x的不等式：ax/x-2>1在一个梯形里画两条线，把它分成三角形有几种画法2种，对角点连接有13种第一，画2条对角线，1种画法第二，以其中一角为起点，画1对角线，然后再该对角线的其中1边再画一条线，1个角有2种画法，4角共8种画法第三，以梯形的任意一边的两端画线交汇在该边的对边任意一点，4边共4种画法梯形中画一条线段可以分成三角形和梯形吗可以有几种等腰三角形能够被一条线段分成两个等腰三角形（1）等腰直角三角形（2）顶角是108度的等腰三角形（3）顶角是36度的等腰三角形画一条线段，将平行四边形分成两个形状，大小完全相同的三角形，有几种画法有无数种画法设平行四边形对角线交点为O过O任意作线段交平行四边形一组对边则此线段将原来的平行四边形分为两个大小形状完全相同的梯形.这样的线段可以画无数条,所以画法有无数种（自己画个图看看就一目了然了,呵呵）如有疑问请追问，满意请采纳！画一条线把等腰梯形分成两个相等的三角形用一根宽度和等腰梯形的上面的宽一样粗的直线画。

求采纳用一条线段把一个平行四边形分一个直角三角形和一个直角梯形，共有几种分法？共有3种，前两种很简单第3种是在一个平行四边形四个内角中，两个大于90度的内角顶点，每个顶点都可以作两条对边的垂线，共有四条，这四条垂线段任意一条都可以将平行四边形分成一个直角三角形和一个直角梯形。

怎样计算有几个三角形或者几条线段的方法：
1、有几条线段：
方法一：一个一个数，
①先数一格为一段的线段，共有（4）条；
②两段合成一条线段的有（3）条；
③三段合成一条线段的有（2）条；
④四段合成一条线段的有（1）条；
⑤总条数＝4＋3＋2＋1＝10条；
方法二：端点数×段数÷2
①先数端点，共有（5）个端点，再数分成几段，共分（4）段，
②计算：5点×4段÷2＝20÷2＝10条
2、计算有几个角：方法和上面一样
点数：5个（A、B、C、D、E）；
段数：可以看成分了4段。

用上面方法计算：
共有角：5点×4段÷2＝20÷2＝10（个）
3、有几个三角形：也是和上面一样的方法。

①
先数点数：共有A、B、C、D、E、F（6）个点，中间分成（5）段
共有三角形：（点数）6×（段数）5÷2＝30÷2＝15（个）
②
这样中间再加一条线，把大三角形分成上下两部分，每层计算方法仍然和上面一样，算出一层有几个后，有几层就再乘以几：
先算上面一层（△OGH）：点数6×段数5÷2＝30÷2＝15（个），因为分成了上下两层，所以结果是：15×2＝30（个）。