八年级数学上册：三角形中几条重要线段练习

第11章《三角形》同步练习（§11.1 与三角形有关的线段A）班级学号姓名得分1、填空题：(1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做______；相邻两边的公共端点叫做______，相邻两边所组成的角叫做______，简称______．(2)如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作______，读作______．其中，顶点A所对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示；顶点C 所对的边______还可用______表示．(3)由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质______________________________．由它还可推出：三角形两边的差____________．(4)对于△ABC，若a≥b，则a＋b______c同时a－b______c；又可写成______＜c＜______．(5)若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是____________，其中x可以取的整数值为____________．2．已知：如图，试回答下列问题：(1)图中有______个三角形，它们分别是______________________________________.(2)以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________.(3)线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是________________________．(4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______．3．选择题：(1)下列各组线段能组成一个三角形的是( )．(A)3cm，3cm，6cm (B)2cm，3cm，6cm(C)5cm，8cm，12cm (D)4cm，7cm，11cm(2)现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取( )．(A)0.85m长的木条(B)0.15m长的木条(C)1m长的木条(D)0.5m长的木条(3)从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(4)若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )．(A)6＜l＜15 (B)6＜l＜16(C)11＜l＜13 (D)10＜l＜164.(1)一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．(2)已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．(3)一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长．(4)有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．5．(1)若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．(2)若三边分别为2，x－1，3，求x的范围．(3)若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．(4)等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．(5)等腰三角形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．6．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点．(1)通过度量AB 、CD 、DB 的长度，确定AB 与)(21DB CD 的大小关系.(2)试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的．7．已知：如图，P 是△ABC 内一点．请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．8．如图，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC ．第11章《三角形》同步练习（§11.1 与三角形有关的线段B ）班级 学号 姓名 得分1．填空题：(1)从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高．如图，若CD 是△ABC 中AB 边上的高，则∠ADC ______∠BDC ＝______，C 点到对边AB 的距离是______的长．(2)连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线． 如右图，若BE 是△ABC 中AC 边上的中线，则AE ______.______21EC(3)三角形一个角的______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是________________________________ ______________________________________． 如图，若AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ______∠CAD ＝21______或∠BAC ＝2______＝2______．2．已知：△GEF ，分别画出此三角形的高GH ，中线EM ，角平分线FN ．3．(1)分别画出△ABC 的三条高AD 、BE 、CF ．(∠A为锐角) (∠A为直角) (∠A为钝角)(2)这三条高AD、BE、CF所在的直线有怎样的位置关系?4．(1)分别画出△ABC的三条中线AD、BE、CF．(2)这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论?5．(1)分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF.(2)这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设△ABC的角平分线BE、CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中你能发现什么结论?6．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．7．(1)如果将一个三角形的三边的长确定，那么这个三角形的形状和大小就不会改变了，三角形的这个性质叫做________________________. (2)四边形是否具有这种性质? 8．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分(以下两问要求各画三个示意图)(1)已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形． (2)已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．9．不等边△ABC 的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．参考答案（§11.1 与三角形有关的线段A ）1．(1)不在同一直线上的，首尾顺次相接，三角形的边，三角形的顶点，三角形的内角，三角形的角．(2)△ABC ，三角形ABC ，BC ，a ；AC ，b ；AB ，c (3)三角形两边之和大于第三边，小于第三边． (4)＞，＜，a －b ，a ＋b(5)1cm ＜x ＜9cm ，2cm 、3cm 、4cm 、5cm 、6cm 、7cm 、8cm ． 2．(1)六，△ABC 、△ABD 、△ABE 、△ACD 、△ACE 、△ADE ． (2)△ABD 、△ACD 、△ADE ． (3)△ACE ，∠CAE ． (4)BC ：CD ：DE ．3．(1)C ，(2)D ，(3)A ，(4)D4．(1)6，6，6；(2)20cm ，22cm ；(3)12cm ，12cm ；(4)5cm ，5cm ，2cm ． 5．(1)3＜x ＜17；(2)2＜x ＜6；(3)10≤x ＜17；(4)4＜e ＜8； (5)3，3，4或4，4，2 6．(1))(21DB CD AB +>． (2)提示：对于△ADC ，∵AD ＋AC ＞DC ， ∴(AD ＋DB )＋AC ＞CD ＋DB ， 即AB ＋AC ＞CD ＋DB ．又∵AB ＝AC ，∴2AB ＞CD ＋DB ． 从而AB ＞21(CD ＋DB )． 7．提示：延长BP 交AC 于D ．∵在△ABD 中，AB ＋AD ＞BD ＝BP ＋PD ，① 在△DPC 中，DP ＋DC ＞PC ，② 由①、②，∴AB ＋(AD ＋DC )＋DP ＞BP ＋PC ＋DP ． 即AB ＋AC ＞PB ＋PC ．8．证明：延长BP 交AC 于D ，延长CE 交BD 于F ． 在△ABD 中，AB ＋AD ＞BD ． ① 在△FDC 中，FD ＋DC ＞FC ． ② 在△PEF 中，PF ＋FE ＞PE ． ③①＋②＋③得AB ＋AD ＋FD ＋DC ＋PF ＋FE ＞BD ＋FC ＋PE ， 即：AB ＋AC ＋PF ＋FD ＋FE ＞BP ＋PF ＋FD ＋FE ＋EC ＋PE ， 所以AB ＋AC ＞BP ＋PE ＋EC ．（§11.1 与三角形有关的线段B ）1．(1)垂线，顶点、垂足，＝，90°，高CD 的长． (2)所对的边的中点、线段，＝，AC(3)平分线，顶点、交点，一个角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段． ＝，∠BAC ，∠BAD ，∠DAC 2．略．3．(1)略，(2)三条高所在直线交于一点．4．(1)略，(2)三条中线交于一点，(3)BM ＝2ME ．5．(1)略，(2)三条角平分线交于一点，(3)点N 到△ABC 三边的距离相等． 6．提示：有两种情况，分别运用方程思想，设未知数求解．⎩⎨⎧===,11,8BC AC AB 或⎩⎨⎧===.7,10BC AC AB 7．(1)三角形的稳定性，(2)不具有稳定性．8．(1)(2)下列各图是答案的一部分：9．它的长为5，或4．提示：设S △ABC ＝S ，第三条高为h ，则△ABC 的三边长可表示为：hSS S 212242、、，列不等式得：12242212242SS h S S S +<<- ∴3＜h ＜6．。

与三角形有关的线段（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】2．三角形的分类(1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔA BC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠B AC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型二、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7, 即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB在△OAD 中有OA+OD ＞AD ，在△ODC 中有OD+OC ＞CD ，在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD ）＞AB+BC+CD+DA ，即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．类型三、三角形中重要线段4. （2016春•江阴市月考）如图，AD ⊥BC 于点D ，GC ⊥BC 于点C ，CF ⊥AB 于点F ，下列关于高的说法中错误的是（ ）A ．△ABC 中，AD 是BC 边上的高B ．△GBC 中，CF 是BG 边上的高C ．△ABC 中，GC 是BC 边上的高D ．△GBC 中，GC 是BC 边上的高【思路点拨】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案与解析】解：A 、△ABC 中，AD 是BC 边上的高正确，故本选项错误；B 、△GBC 中，CF 是BG 边上的高正确，故本选项错误；C 、△ABC 中，GC 是BC 边上的高错误，故本选项正确；D 、△GBC 中，GC 是BC 边上的高正确，故本选项错误．故选C ．【总结升华】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1.类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．与三角形有关的线段（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用他们摆成三角形的是( ).A．3cm ，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm ，6cm，11cm D．13cm ，12cm，20cm2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( ).A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2015春•常州期中）如果三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长可以是（）A． 6 B． 7 C． 8 D． 94．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( ).A．5m B．15m C．20m D．28m5．三角形的角平分线、中线和高都是( ).A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对6．下列说法不正确的是( ).A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部7．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是( ).A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．以上三种情况都有可能8．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ).A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短二、填空题9．（2016•金平区一模）如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有________性．10．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________．11. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________．12. 如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝12∠_______；BE是△ABC的中线，则_____＝_____＝12____ ；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．13. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．14.（2015春•焦作校级期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB=3，AC=4，则中线AD的取值范围是_____________.三、解答题15．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．16．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?17.（2014春•苏州期末）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．18.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD.3. 【答案】B；【解析】解：由题意，令第三边为x，则5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三边长为奇数，∴第三边长是3或5或7．∴三角形的第三边长可以为7．故选B．4. 【答案】D；【解析】因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故|6-12＜AB＜16+12 即4＜AB＜28故选D．5. 【答案】B.6. 【答案】C；【解析】三角形的三条高线不一定都在三角形内部.7. 【答案】C；【解析】中线把三角形分成面积相等的两个三角形.8. 【答案】A.二、填空题9. 【答案】稳定.10.【答案】5 cm或7 cm；【解析】三角形三边关系的应用.11.【答案】15cm或18cm；【解析】按腰为4 cm或7 cm分类讨论.12．【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC ⊥.13.【答案】15cm2，30cm2；【解析】S△ABE＝S△A CE＝15 cm2，S△AB C＝2 S△ABE＝30 cm2.14.【答案】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即1＜2AD＜7，＜AD＜．故答案为：＜AD＜．三、解答题15.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a ＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．16.【解析】解：AD、AF分别是△ABC，△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC，△ADC的中线，AG是△ABC，△ABD，△ACD，△ABG，△ACG，△ADG的高．17.【解析】解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．18.【解析】解：如图。

八年级上册数学第十一章三角形11.1与三角形有关的线段配套练习题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知三条线段的长度比如下： ①2:3:4; ②1:2:3; ③2:4:6; ④3:3:6; ⑤6:6:10; ⑥6:8:10，其中能构成三角形的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．【解答】解： ①设三条线段的长分别为2x，3x，4x，则2x+3x>4x，故能构成三角形; ②设三条线段的长分别为x，2x，3x，则x+2x=3x，故不能构成三角形; ③设三条线段的长分别为2x，4x，6x，则2x+4x=6x，故不能构成三角形; ④设三条线段的长分别为3x，3x，6x，则3x+3x=6x，故不能构成三角形; ⑤设三条线段的长分别为6x，6x，10x，则6x+6x>10x，故能构成三角形; ⑥设三条线段的长分别为6x，8x，10x，则6x+8x>10x，故能构成三角形．故选C．2.已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边的长不可能是()A. 1cmB. 3cmC. 5cmD. 6cm【答案】A【解析】解：∵三角形的两边长分别为3cm和4cm，∴1<第三边的长<7，故该三角形第三边的长不可能是1cm．故选：A．直接利用三角形三边关系得出第三边长的取值范围进而得出答案．此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边长的取值范围是解题关键．3.如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列各式中错误的是()A. AE=CEB. ∠ADC=90∘C. ∠CAD=∠CBED. ∠ACB=2∠ACF【答案】C【解析】略4.下列说法正确的是()A. 所有的等腰三角形都是锐角三角形B. 等边三角形属于等腰三角形C. 不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D. 一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形【答案】B【解析】解：A、错误，内角为30°，30°，120°的等腰三角形是钝角三角形；B、正确，等边三角形属于等腰三角形；C、错误，内角为30°，30°，120°的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形；D、错误，内角为30°，30°，120°的三角形有两个锐角，是钝角三角形．故选：B．根据锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义一一判断即可．本题考查三角形的一个概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义，属于基础题，中考常考题型．5.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】略6.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在()A. A，C两点之间B. E，G两点之间C. B，F两点之间D. G，H两点之间【答案】B【解析】选项A，C，D中都构成了三角形，增加了稳定性;选项B中，木条钉在E，G两点之间，没有构成三角形．故选B．7.将一张三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能()A. 都是直角三角形B. 都是钝角三角形C. 都是锐角三角形D. 是一个直角三角形和一个钝角三角形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图.分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．，如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．，如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．，因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选C．8.如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．依据△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2<BC<11，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC=4，6，8，10．【解答】解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴2<BC<22−BC，解得2<BC<11，又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴AC=22−BC−22=10−12BC，为整数，∴BC边长为偶数，∴BC=4，6，8，10，故选：A．二、填空题（本大题共2小题，共6.0分）9.三角形的三条中线相交于一点，这个点一定在三角形的________，这个点叫做三角形的__________．【答案】内部；重心【解析】略10.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD边上一点．(1)以AC为边的三角形共有个，它们是;(2)∠1是△和△的内角;(3)在△ACE中，∠CAE的对边是．【答案】3△ACE，△ACD，△ACBBCECDECE【解析】略三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）11.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．(1)画出△ABC中BC边上的高AD;(2)画出△ABC中AC边上的中线BE;(3)直接写出△ABE的面积为．【答案】解：(1)如图所示，线段AD即为所求．(2)如图所示，线段BE即为所求．(3)4．【解析】(3)解：∵S△ABC=12BC⋅AD=12×4×4=8，∴△ABE的面积=12S△ABC=4．12.已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足(b−5)2+(c−7)2=0，a为方程|a−3|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．【答案】解：∵(b −5)2+(c −7)2=0，∴{b −5=0,c −7=0,解得{b =5,c =7,∵a 为方程|a −3|=2的解，∴a =5或1，当a =1，b =5，c =7时，三边长分别为1，5，7，1+5<7，不能组成三角形，故a =1不符合题意;当a =5，b =5，c =7时，三边长分别为5，5，7，5+5>7，能组成三角形，故a =5符合题意，∴△ABC 的周长=5+5+7=17．∵a =b =5，∴△ABC 是等腰三角形．【解析】要注意检验三边长能否构成三角形．13. 若△ABC 的三边长分别为m −2，2m +1，8．(1)求m 的取值范围；(2)若△ABC 的三边均为整数，求△ABC 的周长．【答案】解：(1)根据三角形的三边关系，{2m +1−(m −2)<82m +1+m −2>8， 解得：3<m <5；(2)因为△ABC 的三边均为整数，且3<m <5，所以m =4．所以，△ABC 的周长为：(m −2)+(2m +1)+8=3m +7=3×4+7=19．【解析】(1)直接利用三角形三边关系得出不等式组求出答案；(2)利用m 的取值范围得出m 的值，进而得出答案．此题主要考查了三角形三边关系，正确得出不等式组是解题关键．14.如图，已知P是△ABC内一点.求证：PA+PB+PC>1(AB+BC+AC)．2【答案】证明：在△ABP中，PA+PB>AB; ①在△PBC中，PB+PC>BC; ②在△PAC中，PA+PC>AC． ③ ①+ ②+ ③，得2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC，(AB+BC+AC)．即PA+PB+PC>12【解析】见答案15.在平面内，分别用3根、5根、6根⋯⋯火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢?通过尝试，列表如下：火柴棒根数356示意图形状等边三角形等腰三角形等边三角形(1)用4根火柴棒能搭成三角形吗?(2)用8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形?并画出它们的示意图．【答案】解：(1)用4根火柴棒不能搭成三角形．(2)用8根火柴棒能搭成一种三角形，示意图如图 ①所示;用12根火柴棒能搭成三种不同形状的三角形，即：(4,4，4)，(5,5，2)，(3,4，5)，示意图如图 ②所示．【解析】见答案。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题01与三角形有关的线段重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·西藏日喀则市·八年级期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1B．2C．8D．11【答案】C【详解】【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此根据选项即可判断.【详解】设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，观察只有C选项符合，故选C.【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键. 2．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）在三角形ABC中，AB=7，BC=2，并且AC的长为奇数，则AC=( )A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出AC的取值范围，再根据AC是奇数解答即可．详解：∵AB=7，BC=2，∴7+2=9，7-2=5，∴5＜AC＜9，∵AC为奇数，∴AC=7．故选C．点睛：本题主要考查了三角形的三边关系，熟记关系式求出AC的取值范围是解题的关键．3．（2021·湖南八年级期末）如图，AD是△ABC的中线，△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为( )A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．12 cm【答案】C【分析】根据三角形的周长和中线的定义进行解题．【详解】∵AD是△ABC的中线，∴BD=BC.∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB与AC的差值为6cm．故选C．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形是本题解题的关键．4．（2021·河北八年级期末）若实数m、n满足等式|m﹣=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )A．6B．8C．8或10D．10【答案】D【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【详解】解：∵=0，∴m-2=0，n-4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．5．（2021·武汉市武珞路中学八年级期中）已知三角形的两边分别为5和8，则此三角形的第三边可能是（）A．2B．3C．5D．13【答案】C【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．【详解】此三角形第三边的长为x，则8-5＜x＜8+5，即3＜x＜13，只有选项C符合题意．故选C．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6．（2021·河北八年级期末）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高【答案】C【分析】根据三角形高的定义分别进行判断.【详解】解:△ABC中，AC⊥BC,则AC是BC边上的高，所以A正确;△BCD中，DE⊥BC，则DE是BC边上的高，所以B正确;△ABE中，DE不是△ABE的高，所以C错误;△ACD中，CD⊥AB，则AD是CD边上的高，所以D正确.故答案为:C.【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高;三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.7．（2021·山东滨州市·八年级期末）三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A 表示（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．【详解】三角形根据边分类 ()ìïìííïîî不等边三角形两边相等的三角形等腰三角形三边相等的三角形等边三角形，∴图中小椭圆圈里的A 表示等边三角形．故选D ．【点睛】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．8．（2021·浙江八年级期末）已知三角形的三边长分别为2、x 、10，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边求出x 的取值范围,然后根据若x 为正整数,即可选择答案.【详解】10-2=8,10+2=12Q,812\<<,xQ若x为正整数,\的可能取值是9,10,11三个,故这样的三角形共有3个.x所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边;牢记三角形的三边关系定理是解答的关键,注意本题的隐含条件就是x为正整数. 9．（2021·湖南八年级期末）三角形的下列线段中将三角形的面积分成相等两部分的是( )A．中线B．角平分线C．高D．以上都对【答案】A【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【详解】∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了“三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形”的知识，本知识点是中学阶段解三角形的面积经常使用，一定要熟练掌握并灵活应用．10．（2021·河南八年级期末）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm 【答案】B【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【详解】+>，能构成三角形，不合题意；A．234+=，不能构成三角形，符合题意；B．123+>，能构成三角形，不合题意；C．435+>，能构成三角形，不合题意．D．456【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题关键在于看较小的两个数的和能否大于第三个数．11．（2021·湖南娄底市·八年级期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A．2、2、4B．2、6、3C．8、6、3D．11、4、6【答案】C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】根据三角形的三边关系，知A、2+2=4，不能组成三角形；B、3+2=5＜6，不能组成三角形；C、3+6＞8，能够组成三角形；D、4+6＜11，不能组成三角形．故选C．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．12．（2021·邯郸市第十一中学八年级期末）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ）A．B．C．D．【答案】D过A作河岸的垂线AH，在直线AH上取点I，使AI等于河宽，连接BI即可得出N，作出MN⊥a即可得到M，连接AM即可．【详解】解：根据河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直可知，只要AM＋BN最短就符合题意，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB 交河岸b于N，作MN垂直于河岸交河岸a于M点，连接AM．故选D．【点睛】本题考查了最短路线问题以及三角形三边关系定理的应用，关键是找出M、N的位置．13．（2021·河南八年级期末）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能【答案】C【分析】根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部(如图1)，钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部(如图2)，直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点上(如图3).故选C.【点睛】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键.14．（2021·重庆市两江中学校八年级月考）现有两根长度为3cm和8cm的木条，想制作一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，应该选择长度为（）的木条. A．11cm B．10cm C．5cm D．3cm【答案】B【分析】设木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：设木条的长度为xcm，则8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11，故她应该选择长度为10cm的木条．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．15．（2021·山东八年级期末）下列各组数中，不能成为三角形三条边长的数是（）A．5，10，12B．3，14，13C．4，12，12D．2，6，8【答案】D【分析】根据三角形三边关系判断即可．【详解】解：A、因为5+10＞12，所以本组数可以构成三角形．故本选项不符合题意；B、因为3+13＞14，所以本组数能构成三角形．故本选项不符合题意；C、因为4+12＞12，所以本组数能构成三角形．故本选项不符合题意；D、因为2+6=8，所以本组数不能构成三角形．故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．16．（2021·湖北八年级期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm，5cm，8cm B．3cm，3cm，6cmC．25cm，24cm，7cm D．1cm，2cm，3cm【答案】C【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边进行分析即可．【详解】A、2+5＜8，不能组成三角形；B、3+3=6，不能组成三角形；C、7+24＞25，能够组成三角形；D、1+2=3，不能组成三角形．故选：C．【点睛】此题考查三角形三边关系．解题关键在于掌握用两条较短的线段相加，如果大于最长哪条就能够组成三角形．V的边AB上的高线，下17．（2021·北京延庆区·八年级期末）如图，用三角板作ABC列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．【详解】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项正确；C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．18．（2021·山东临沂市·）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.【详解】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B .【点睛】此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况.19．（2020·四川七年级期末）如图，在ABC D 中，90CAB Ð=°，AD 是高，CF 是中线，BE 是角平分线，BE 交AD 于G ，交CF 于H ，下列说法正确的是（ ）①AEG AGE Ð=Ð②BH CH =③2EAG EBC Ð=Ð④ACF BCF S S D D =A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．②③④【答案】C【分析】①根据90CAB Ð=°，AD 是高，可得90AEG ABE Ð=°-Ð,90DGB DBG Ð=°-Ð,又因为BE 是角平分线，可得ABE DBE ÐÐ=，故能得到∠AEG=∠DGB ，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；②因为CF 是中线，BE 是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC ，故该说法错误；③90EAG DAB Ð+Ð=°,90DBA DAB Ð+Ð=°,可得∠EAG=∠DBA ，因为∠DBA=2∠EBC ，故能得到该说法正确；④根据中线平分面积，可得该说法正确．【详解】解：①∵90CAB Ð=°，AD 是高∴90AEG ABE Ð=°-Ð,90DGB DBGÐ=°-Ð∵BE 是角平分线∴ABE DBEÐÐ=∴∠AEG=∠DGB∵∠DGB=∠AGE∴AEG AGE Ð=Ð，故该说法正确；②因为CF 是中线，BE 是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC ，故该说法错误；③∵90EAG DAB Ð+Ð=°,90DBA DAB Ð+Ð=°∴∠EAG=∠DBA∵∠DBA=2∠EBC ，∴∠EAG=2∠EBC ，故该说法正确；④根据中线平分面积，可得ACF BCF S S D D =，故该说法正确．故选C ．【点睛】本题主要考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，熟练各线的特点和性质是解决本题的关键．20．（2021·河北八年级期末）如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝4cm 2，则S 阴影等于…（ ）A ．2cm 2B ．1cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】B【分析】根据三角形的中线将三角形面积平分这一结论解答即可．【详解】∵在△ABC 中，点D 是BC 的中点，∴12ABD ACD ABC S S S D D D == =2cm 2，∵在△ABD 和△ACD 中，点E 是AD 的中点，∴12BED ABD S S D D ==1 cm 2，12CED ACD S S D D ==1 cm 2，∴BEC S D =2 cm 2，∵在△BEC 中，点F 是CE 的中点，∴12BEF BEC S S D D ==1 cm 2，即S 阴影=1 cm 2故选：B ．【点睛】本题考查三角形的中线与三角形面积的关系，熟知三角形的中线将三角形面积平分这一结论是解答的关键．21．（2020·重庆八年级月考）在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（ ）A ．8B ．9.6C ．10D ．12【答案】B【分析】如图，作CE AB ^与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ^,再利用面积法求出EC 即可.【详解】如图，作CE AB ^与E.AD Q 是ABC D 的中线,BC =12,\BD=6,10,8,6,AB AD BD ===Q \ 222AB AD BD =+,90,ADB \Ð=o,AD BC \^11,22ABC S BC AD AB CE D ==Q g g g g 1289.6.10CE ´\==故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.22．（2021·湖北八年级期末）若a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足|a ﹣5|+(b ﹣3)2=0，则c 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A【分析】根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出c 的取值范围，然后解答即可．【详解】解：∵|a ﹣5|+(b ﹣3)2=0，∴a ﹣5=0，b ﹣3=0，解得a =5，b =3，∵5﹣3=2，5+3=8，∴2＜c ＜8，∴c 的值可以为7．故选：A ．【点睛】本题考查了非负数的性质以及三角形的三边关系．注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．23．（2021·湖北八年级期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A ．2cm ，3cm ，5cmB ．5cm ，6cm ，11cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．5cm ，6cm ，10cm 【答案】D【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【详解】解：A、2+3=5，不能构成三角形；B、5+6=11，不能构成三角形；C、3+4＜8，不能构成三角形；D、5+6＞10，能构成三角形．故选：D．【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数就可以．24．（2021·浙江八年级期末）已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（）A．4，4B．17，29C．3，12D．2，9【答案】D【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”进行判断即可．【详解】A、∵4＋4＝8，∴构不成三角形；B、29−17＝12＞8，∴构不成三角形；C、∵12−3＝9＞8，∴构不成三角形；D、9−2＝7＜8，9＋2＝11＞8，∴能够构成三角形，故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”是解题的关键．D的高的是（）25．（2021·湖北八年级期末）下面四个图形中，线段AD是ABCA．B．C ．D ．【答案】D【分析】根据三角形高的定义进行判断．【详解】解：线段AD 是△ABC 的高，则过点A 作对边BC 的垂线，则垂线段AD 为△ABC 的高．选项A 、B 、C 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．26．（2021·广州市番禺区新英才中英文学校八年级期末）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）A ．2，3，4B ．5，7，7C ．5，6，12D ．6，8，10【答案】C【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】A ．∵2＋3>4，∴能组成三角形，故A 错误；B ．∵5＋7＞7，∴不能组成三角形，故B 错误；C ．∵5＋6＜12，∴不能组成三角形，故C 正确；D ．∵6＋8>10，∴能组成三角形，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．27．（2021·全国八年级）AD 是ABC V 的高，80BAD Ð=°，20CAD Ð=°，则BAC Ð的度数为( )A ．100°B ．80°C ．60°D ．100°或60°【答案】D【分析】分高AD 在△ABC 内部和外部两种情况讨论求解即可．【详解】①如图1，当高AD 在△ABC 的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=80°+20°=100°；②如图2，当高AD 在△ABC 的外部时，∠BAC=∠BAD-∠CAD=80°-20°=60°，综上所述，∠BAC 的度数为100°或60°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．28．（2021·全国）如图所示，AD 为ABC V 的中线，DE AB ^于点E ，DF AC ^于点F ，6,8,3AB AC DE ===，则DF 等于( )A ．3B ．94C ．5D ．6【答案】B【分析】由AD 为中线得到ABD ADC S S =V V ，根据DE AB ^于点E ，DF AC ^于点F ，6,8,3AB AC DE ===列得1122AC DF AB DE ´=´，分别代入计算即可.【详解】解：Q 在ABC V 中，AD 为中线，∴ABD ADC S S =V V ，DE AB ∵⊥于E ，DF AC ^于,F 6AB = ，8AC =，3DE =，∴1122AC DF AB DE ´=´，∴1186322DF ´´=´´解得94DF =，故选：B.【点睛】此题考查三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形.29．（2021·全国八年级）如图，已知AD BC ^于点D ，BE AC ^于点E ，CF AB ^于点F ，则ABC V 中BC 边上的高是( )A ．CFB ．BEC ．CD D ．AD【答案】D【分析】从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可．【详解】A 、CF ⊥AB ，∴线段CF 是△ABC 中AB 边上的高，此选项不符合题意；B 、BE ⊥AC ，∴线段BE 是△ABC 中AC 边上的高，此选项不符合题意；C 、CD 不是△ABC 的高，此选项不符合题意；D 、AD ⊥BC ，∴线段AD 是△ABC 中BC 边上的高，此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的高．准确识图并熟记三角形高的定义是解题的关键．30．（2021·全国八年级）以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．6cm ，7cm ，8cmC ．1cm ，1cm ，3cmD ．4cm ，4cm ，9cm【答案】B【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】A 、235+=，不能组成三角形，故本选项错误；B 、678+>，能组成三角形，故本选项正确；C 、1123+=<，不能组成三角形，故本选项错误；D 、4489+=<，不能组成三角形，故本选项错误．故选：B ．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．31．（2021·全国）下列长度的三根小木棒不能构成三角形的是（ ）A ．1，1，1B ．3，4，5C ．2，2，3D ．1，1，2【答案】D【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：A ，111+>，能构成三角形；B ，345+>，能构成三角形；C ，223+>，能构成三角形；D ，112+=，不能构成三角形．故选D ．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．32．（2021·新疆喀什地区·八年级期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长不可能是（）．A ．3B ．5C ．7D ．11【答案】D【分析】根据三角形的三边关系解答．【详解】设三角形的第三边为x，则5-3<x<5+3，2<x<8，故选：D．【点睛】此题考查三角形三边关系：三角形任意两边的和都大于第三边，熟记关系是解题的关键．33．（2021·天津红桥区·八年级期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A．2cm，3cm，6cm B．3cm，4cm，8cmC．5cm，6cm，10cm D．5cm，6cm，11cm【答案】C【分析】根据三角形三边关系解答．【详解】A、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；B、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；C、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；D、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形；故选：C．【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．34．（2021·云南八年级期末）下列四个图形中，线段BE表示△ABC的高的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【详解】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．35．（2021·云南保山市·八年级期末）已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围．【详解】解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是1和4，∴4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5．故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．36．（2021·山东滨州市·八年级期末）若一个三角形的三边长分别为3，7，x，则x的值可能是（）A．6B．3C．2D．11【答案】A【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围，得到答案．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，7，x，即4＜x＜10，四个选项中，A中，4＜6＜10，符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．37．（2021·江苏八年级期末）已知实数x、y满足|x－4|+ ＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形周长是（）A．20或16B．20C．16D．18【答案】B【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论．【详解】由题意可知：x-4=0，y-8=0，∴x=4，y=8，当腰长为4，底边长为8时，∵4+4=8，∴不能围成三角形，当腰长为8，底边长为4时，∵4+8＞8，∴能围成三角形，∴周长为：8+8+4=20，故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根，以及三角形三边关系，解题的关键是正确理解非负性的意义，以及三角形三边关系，本题属于基础题型．38．（2021·广西钦州市·八年级期末）下列长度的三条线段中，有组成三角形的是（）A．3cm,4cm,9cm B．8cm,7cm,15cmC．12cm,13cm,24cm D．2cm,2cm,6cm【答案】C根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵3＋4=7<9，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；B、∵8＋7＝15，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；C、∵12+13=25>24，∴能构成三角形，故本选项符合题意；D、∵2＋2＝4＜6，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．39．（2021·广东八年级期末）如图，ABCV中，D、E分别是BC、AD的中点，若ABCV的面积是10，则ABE△的面积是（）A．54B．52C．5D．10【答案】B【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积.【详解】∵AD是BC上的中线，∴ S△ABD=S△ACD=12S△ABC ，∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴ S△ABE=S△BED=12S△ABD ，∴ S△ABE=14SΔABC，∵△ABC的面积是10，∴ S△ABE=14×10=52.【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相等.40．（2021·云南曲靖市·曲靖一中八年级期末）三角形的两边长分别是4和11，第三边+，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）长为34mA．B．C．D．【答案】A【分析】已知两边的长，第三边应该大于任意两边的差，而小于任意两边的和，列不等式进行求解后再进行判断即可．【详解】解：根据三角形的三边关系，得11-4＜3+4m＜11+4，解得1＜m＜3．故选：A．【点睛】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．41．（2021·江苏七年级期中）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（）A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定【答案】C【详解】a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．∵a，b，c是三角形的三边．∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．∴a2-2ab+b2-c2＜0．故选C．二、填空题42．（2021·富顺第二中学校八年级开学考试）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是_____．【答案】12cm．【详解】①当三边长分别为2，2，5时，因为2+2＜5，所以不符合题意；当三边长分别为2，5，5时，周长为2+5+5=12，故答案为12.43．（2021·湖北八年级期末）如图，△ABC中，D、E、F为BC、AD、BE的中点，若△CEF的面积是3，则△ABC的面积是________．【答案】12【分析】根据三角形的面积公式得到：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此进行答题即可．【详解】∵点F是BE的中点，∴S△EFC=12S△BCE．又∵点D是BC的中点，∴S△BDE=12S△BCE，S△ABD=12S△ABC，∴S△BDE=S△EFC=3，S△ABC=2S△ABD．又∵点E是AD的中点，∴S△BDE=12S△ABD，即S△ABD=2S△BDE=6，∴S△ABC=2S△ABD=12．故答案是12．【点睛】本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边与底边上的高乘积的一半；等底等高的两三角形面积相等，等高的两三角形面积的比等于底边的比．44．（2021·固阳县第三中学八年级期中）等腰三角形的边长分别为6和8，则周长为。

人教版八年级数学上册《三角形的三边、高线、中线及角平分线》专项练习题-附含答案考点一三角形的稳定性考点二三角形的三边关系考点三三角形的高线考点四三角形的中线考点五三角形的角平分线考点一三角形的稳定性例题：（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用三角形的稳定性解答即可．【详解】解：对于A、C、D选项都含有三角形故利用了三角形的稳定性；而B选项中用到了四边形的不稳定性.故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性则说明物体中必然存在三角形是解题关键．【变式训练】1．（2022·吉林吉林·二模）如图人字梯中间设计一“拉杆” 在使用梯子时固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间线段最短C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短【答案】A【解析】【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形稳定性提高．【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定那么三角形的形状和大小就完全确定了三角形的这个特征叫做三角形的稳定性.故选A【点睛】本题考查三角形的稳定性理解这一点是本题的关键．2．（2022·广东·佛山市惠景中学七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形这样做的依据是三角形具有___．【答案】稳定性【解析】【分析】根据是三角形的稳定性即可求解．【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构这样设计的依据是三角形具有稳定性故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质掌握三角形具有稳定性是解题的关键．考点二三角形的三边关系例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列各组长度的线段为边能构成三角形的是（）．A．123B．345C．4511D．633【答案】B【解析】【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．【详解】解：A、1+2=3不符合题意；B、3+4>5符合题意；C、4+5<11不符合题意；D、3+3=6不符合题意；故选B．【点睛】本题考查构成三角形的条件熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）下列各组长度的三条线段能够组成三角形的是（）A．348B．5611C．5610D．1073【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系可直接进行排除选项．解：A、3+4＜8不符合三角形三边关系故不能构成三角形；B、5+6=11不符合三角形三边关系故不能构成三角形；C、5+6＞10符合三角形三边关系故能构成三角形；D、3+7=10不符合三角形三边关系故不能构成三角形；故选C．【点睛】本题主要考查三角形三边关系熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．2．（2022·海南·海口市第十四中学七年级阶段练习）在△ABC中三条边长分别为3和6第三边长为奇数那么第三边的长是()A．5或7B．7或9C．3或5D．9【答案】A【解析】【分析】先求出第三边长的取值范围再根据条件具体确定符合条件的值即可．【详解】解：因为三条边长分别为3和6所以6-3＜第三边＜6+3所以3＜第三边＜9因为第三边长为奇数∴第三边的长为5或7故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系掌握三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边是解题的关键．3．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）已知三角形三边长分别为3x14若x为正整数则这样的三角形个数为（）A．4B．5C．6D．7【解析】【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围进而可得出结论．【详解】解：三角形三边长分别为3x14x<<．x143143∴-<<+即1117x为正整数12x=13141516即这样的三角形有5个．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系熟知三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边是解答此题的关键．考点三三角形的高线例题：（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列各组图形中BD是ABC的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【详解】解：根据三角形高的定义可知只有选项B中的线段BD是∴ABC的高故选：B．【点睛】考查了三角形的高的概念掌握高的作法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图 CD ∴AB 于点D 已知∴ABC 是钝角 则（ ）A ．线段CD 是ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC 的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC 的BC 边上的高线 D ．线段AD 是ABC 的AC 边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线∴A 错误 不符合题意；∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线∴B 正确 符合题意；∴ 线段AD 是ACD 的CD 边上的高线∴C 错误 不符合题意；∴线段AD 是ACD 的CD 边上的高线∴D 错误 不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了三角形高线的理解 熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．2．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图 在直角三角形ABC 中 90ACB ∠=︒ AC ＝3BC ＝4 AB ＝5则点C 到AB 的距离为______．【答案】125【解析】【分析】根据面积相等即可求出点C 到AB 的距离．【详解】解：∴在直角三角形ABC 中 90ACB ∠=︒ ∴1122AC BC AB CD ⨯=⨯ ∴AC ＝3 BC ＝4 AB ＝5 ∴1134522CD ⨯⨯=⨯⨯ ∴CD =125故答案为：125． 【点睛】本题考查求直角三角形斜边上的高 用面积法列出关系式是解题关键．3．（2022·重庆·七年级期中）如图 点A 、点B 是直线l 上两点 10AB = 点M 在直线l 外 6MB = 8MA = 90AMB ∠=︒ 若点P 为直线l 上一动点 连接MP 则线段MP 的最小值是______．【答案】4.8【解析】【分析】根据垂线段最短可知：当MP AB ⊥时 MP 有最小值 再利用三角形的面积可列式计算求解MP 的最小值．【详解】解：当MP AB ⊥时 MP 有最小值10AB = 6MB = 8MA = 90AMB ∠=︒AB MP AM BM ∴⋅=⋅即1068MP =⨯解得 4.8MP =．故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查垂线段最短 三角形的面积 找到MP 最小时的P 点位置是解题的关键．考点四 三角形的中线例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图 已知BD 是∴ABC 的中线 AB ＝5 BC ＝3 且∴ABD 的周长为12 则∴BCD 的周长是_____．【答案】10【解析】【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD CD = 再根据三角形的周长公式即可求出结果．【详解】 解：BD 是ABC 的中线 即点D 是线段AC 的中点AD CD ∴=5AB = ABD △的周长为1212AB BD AD ∴++= 即512BD AD ++=解得：7BD AD +=7BD CD ∴+=则BCD △的周长是3710BC BD CD ++=+=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点 掌握线段中点的定义是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）在ABC 中 BC 边上的中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm AB 与AC 的和为11cm 则AC 的长为________．【答案】3cm 或8cm【解析】【分析】根据三角形的中线的定义可得BD CD = 然后求出ABD △与ADC 的周长差是AB 与AC 的差或AC 与AB 的差 然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1 图2∴AD 是BC 边上的中线∴BD CD =∴中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm∴()()5AB BD AD AC CD AD ++-++=或()()5AC CD AD AB BD AD ++-++=∴5AB AC -=或者5AC AB -=∴AB 与AC 的和为11cm∴11AB AC +=∴83AB AC =⎧⎨=⎩或38AB AC =⎧⎨=⎩故答案为：3cm 或8cm ．【点睛】本题考查了三角形的中线熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键．2．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级阶段练习）如图D E分别是∴ABC边AB BC上的点AD=2BD BE=CE设∴ADF的面积为S1∴FCE的面积为S2若S△ABC=16则S1－S2的值为_________．【答案】8 3【解析】【分析】S△ADF−S△CEF＝S△ABE−S△BCD所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可因为AD＝2BD BE＝CE且S△ABC＝16就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.【详解】解：∴BE＝CE∴BE＝12BC∴S△ABC＝16∴S△ABE＝12S△ABC＝8．∴AD＝2BD S△ABC＝16∴S△BCD＝13S△ABC＝163∴S△ABE−S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）−（S2＋S四边形BEFD）＝S1−S2＝8 3故答案为83．【点睛】本题考查三角形的面积关键知道当高相等时面积等于底边的比据此可求出三角形的面积然后求出差．3．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）如图AD 是∴ABC 的中线BE 是∴ABD 的中线EF ⊥BC 于点F．若24ABCS=BD =4则EF 长为___________．【答案】3【解析】【分析】因为S △ABD =12S △ABC S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC 再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∴AD 是∴ABC 的中线 S △ABC =24∴S △ABD =12S △ABC =12同理 BE 是∴ABD 的中线 612BDE ABD SS ==∴S △BDE =12BD •EF∴12BD •EF =6 即1462EF ⨯⨯= ∴EF =3．故答案为：3．【点睛】此题考查了三角形的面积 三角形的中线特点 理解三角形高的定义 根据三角形的面积公式求解 是解题的关键．考点五 三角形的角平分线例题：（2022·全国·八年级）如图 在ABC 中 90CAB ∠=︒ AD 是高 CF 是中线 BE 是角平分线 BE 交AD 于G 交CF 于H 下列说法正确的是（ ）①AEG AGE ∠=∠；②BH CH =；③2EAG EBC ∠=∠；④ACF BCF S S =A．①③B．①②③C．①③④D．②③④【答案】C【解析】【分析】①根据∴CAB=90° AD是高可得∴AEG=90°−∴ABE∴DGB=90°−∴DBG又因为BE是角平分线可得∴ABE=∴DBE故能得到∴AEG=∴DGB再根据对顶角相等即可求证该说法正确；②因为CF是中线BE是角平分线得不到∴HCB=∴HBC故该说法错误；③∴EAG+∴DAB=90° ∴DBA+∴DAB=90° 可得∴EAG=∴DBA因为∴DBA=2∴EBC故能得到该说法正确；④根据中线平分面积可得该说法正确．【详解】解：①∴∴CAB=90° AD是高∴∴AEG=90°−∴ABE∴DGB=90°−∴DBG∴BE是角平分线∴∴ABE=∴DBE∴∴AEG=∴DGB∴∴DGB=∴AGE∴∴AEG=∴AGE故该说法正确；②因为CF是中线BE是角平分线得不到∴HCB=∴HBC故该说法错误；③∴∴EAG+∴DAB=90° ∴DBA+∴DAB=90°∴∴EAG=∴DBA∴∴DBA=2∴EBC∴∴EAG=2∴EBC故该说法正确；④根据中线平分面积可得S△ACF=S△BCF故该说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高中线角平分线的性质解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图在∴ABC中∴C＝90° D E是AC上两点且AE＝DE BD平分∴EBC那么下列说法中不正确的是（）A．BE是∴ABD的中线B．BD是∴BCE的角平分线C．∴1＝∴2＝∴3D．S△AEB＝S△EDB【答案】C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A、∴AE＝DE∴BE是∴ABD的中线故本选项不符合题意；B、∴BD平分∴EBC∴BD是∴BCE的角平分线故本选项不符合题意；C、∴BD平分∴EBC∴∴2＝∴3但不能推出∴2、∴3和∴1相等故本选项符合题意；D、∴S△AEB＝12×AE×BC S△EDB＝12×DE×BC AE＝DE∴S△AEB＝S△EDB故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义熟练掌握三角形中连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）如图AD BE CF依次是ABC的高、中线和角平分线下列表达式中错误的是（ ）A ．AE ＝CEB ．∴ADC ＝90° C ．∴CAD ＝∴CBE D ．∴ACB ＝2∴ACF【答案】C【解析】【分析】 根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交 连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中 连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线 简称为高．求解即可．【详解】解：A 、BE 是△ABC 的中线 所以AE ＝CE 故本表达式正确；B 、AD 是△ABC 的高 所以∴ADC ＝90 故本表达式正确；C 、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∴CAD ＝∴CBE 故本表达式错误；D 、CF 是△ABC 的角平分线 所以∴ACB ＝2∴ACF 故本表达式正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义 是基础题 熟记定义是解题的关键．3．（2021·全国·八年级课时练习）填空：（1）如图（1）,,AD BE CF 是ABC 的三条中线 则2AB =______ BD =______ 12AE =______． （2）如图（2）,,AD BE CF 是ABC 的三条角平分线 则1∠=______ 132∠=______ 2ACB ∠=______．【答案】 AF 或BF CD AC 2∠ ABC ∠ 4∠【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 上的中点 进而得到答案．（2）根据角平分线定义 从一个角的顶点出发 把这个角分成两个相等的角的射线 叫做这个角的平分线即可解答．【详解】解：（1）∴CF 是AB 边上的中线∴AB ＝2AF ＝2BF ；∴AD 是BC 边上的中线∴BD ＝CD∴BE 是AC 边上的中线∴AE ＝12AC（2）∴AD 是BAC ∠的角平分线∴12∠=∠∴BE 是ABC ∠的角平分线 ∴132∠=ABC ∠ ∴CF 是ACB ∠的角平分线∴2ACB ∠=4∠．故答案为：AF 或BF ；CD ；AC ；2∠；ABC ∠；4∠【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．一、选择题1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）画ABC的BC边上的高正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用三角形的高线的定义判断即可．【详解】解：画△ABC的BC边上的高即过点A作BC边的垂线．∴只有选项A符合题意故选：A．【点睛】本题考查了三角形高线的画法从三角形的一个顶点向对边作垂线顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线锐角三角形的三条高线都在三角形的内部钝角三角形的高有两条在三角形的外部．直角三角形的高线有两条是三角形的直角边．2．（2022·山东潍坊·七年级期末）在数学实践课上小亮经研究发现：在如图所示的ABC中连接点A和BC上的一点D线段AD等分ABC的面积则AD是ABC的（）．A．高线B．中线C．角平分线D．对角线【答案】B【解析】【分析】直接利用三角形中线的性质即可得出结果．【详解】解：∴线段AD等分∴ABC的面积∴∴ABD的面积等于∴ACD的面积∴两个三角形的高为同一条高∴BD=CD∴AD为∴ABC的中线故选：B．【点睛】题目主要考查三角形中线的性质理解三角形中线将三角形分成两个面积相同的三角形是解题关键．3．（2022·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线” 故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短” 故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形利用的是“三角形的稳定性” 故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短” 故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图BD是ABC的边AC上的中线AE是ABD△的边BD上的中线BF是ABE△的边AE上的中线若ABC的面积是32则阴影部分的面积是（）A．9B．12C．18D．20【答案】B【解析】【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】∴BD是ABC的边AC上的中线∴11321622ABD BCD ABCS S S===⨯=△△∴AE是ABD△的边BD上的中线∴1116822ABE ADE ABDS S S===⨯=又∴BF 是ABE △的边AE 上的中线 则CF 是ACE 的边AE 上的中线 ∴118422BEF ABF ABE S S S ===⨯= 182CEF ACF ADE CED ACE S S S S S =====则4812BEF CEF S SS =+=+=阴影故选：B ．【点睛】 本题考查了中线的性质 清晰明确三角形之间的等量关系 进行等量代换是解题的关键．5．（2021·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC 小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC 边上的中线AD ②BC 边上的角平分线AE ③BC 边上的高AF ．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中 所有能够通过折纸折出的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】【分析】 根据三角形中线 角平分线和高的定义即可判断．【详解】沿着A 点和BC 中点的连线折叠 其折痕即为BC 边上的中线 故①符合题意；折叠后使B 点在AC 边上 且折痕通过A 点 则其折痕即为BC 边上的角平分线 故②符合题意； 折叠后使B 点在BC 边上 且折痕通过A 点 则其折痕即为BC 边上的高 故③符合题意；故选D ． 【点睛】本题考查三角形中线 角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．二、填空题6．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若ABC 的三条边长分别为3cm xcm 4cm 则x 的取值范围______．【答案】17x <<##71x >>【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行求解即可.【详解】解：根据“三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边”可得到4343x －＜＜＋∴17x ＜＜.故答案为：17x ＜＜.【点睛】本题主要考查三角形三边关系 熟记“三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边”是解答此类题目的关键.7．（2022·云南红河·八年级期末）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长 a b 、满足()2610a b -+-= c 为偶数则c =_______．【答案】6【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值 再根据三角形的任意两边之和大于第三边 两边之差小于第三边求出c 的取值范围 再根据c 是偶数求出c 的值．【详解】解：∴a b 满足()2610a b -+-=∴a -6=0 b -1=0解得a =6 b =1∴6-1=5 6+1=7∴5＜c ＜7又∴c 为偶数∴c =6故答案为：6【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方 解题的关键是明确题意 明确三角形三边的关系．8．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）随着人们物质生活的提高手机成为一种生活中不可缺少的东西手机很方便携带但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机这是利用了三角形的______.【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机这是利用了三角形的稳定性故答案为：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性解题的关键是掌握三角形具有稳定性．9．（2022·北京市师达中学七年级阶段练习）如图AB∴BD 于点B AC∴CD 于点C且AC 与BD 交于点E已知AE=10DE=5CD=4则AB 的长为_________．【答案】8【解析】【分析】根据三角形高的定义可判断出边上的高然后利用三角形面积求解即可．【详解】解：∴AB∴BD AC∴CD∴AB 是∴ADE 的边DE 上的高 CD 是边AE 上的高∴S △AED =1122DE AB AE CD ⋅=⋅ ∴10485AE CD AB DE ⋅⨯=== 故答案为：8．【点睛】本题考查三角形高的定义 三角形的面积等知识 掌握基本概念是解题关键 学会用面积法求线段的长． 10．（2022·全国·八年级专题练习）如图 在ABC 中 2AB AC == P 是BC 边上的任意一点 PE AB ⊥于点E PF AC ⊥于点F .若ABC S = 则PE PF +=______．【解析】【分析】 根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅ 结合已知条件 即可求得PE PF +的值． 【详解】解：如图 连接APPE AB ⊥于点E PF AC ⊥于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅2AB AC == ABC S =∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅PE PF =+=【点睛】本题考查了三角形的高掌握三角形的高的定义是解题的关键．三、解答题11．（2022·全国·八年级）在∴ABC中BC＝8AB＝1；(1)若AC是整数求AC的长；(2)已知BD是∴ABC的中线若∴ABD的周长为17求∴BCD的周长．【答案】(1)8(2)24【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边两边之差小于第三边”得7＜AC＜9根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是∴ABC的中线得AD＝CD根据∴ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝16即可得．(1)解：由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB∴7＜AC＜9∴AC是整数∴AC＝8．(2)解：如图所示∴BD是∴ABC的中线∴AD＝CD∴∴ABD的周长为17∴AB +AD +BD ＝17∴AB ＝1∴AD +BD ＝16∴∴BCD 的周长＝BC +BD +CD ＝BC +AD +CD ＝8+16＝24．【点睛】本题考查了三角形 解题的关键是掌握三角形三边的关系和三角形的中线．12．（2022·全国·八年级专题练习）已知：a 、b 、c 满足2(|0a c -=求：(1)a 、b 、c 的值；(2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形 求出三角形的周长；若不能构成三角形 请说明理由．【答案】(1)a = 5b = c =(2)能构成三角形 周长为(51【解析】【分析】（1）根据非负数之和等于零 则每个非负数等于零 分别建立方程求解即可；（2）先比较长三边的大小 再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．(1)解：∴(20a ≥ 0 0c -≥a 、b 、c 满足(20a c -=∴0a = 50b -= 0c -解得a = 5b = c =(2)解：∴81825<<∴5即a c b <<∴5=>∴能构成三角形三角形的周长)5551a b c =++===． 【点睛】本题考查了非负数的性质 二次根式有意义的条件和构成三角形的条件 解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．13．（2022·四川·威远中学校七年级期中）（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm 、7cm 则这个三角形的周长的取值范围是什么？（2）在等腰三角形ABC 中 AB ＝AC 周长为14cm BD 是AC 边上的中线 △ABD 比△BCD 周长长4cm 求△ABC 各边长．【答案】（1）14<c <22；（2）AB =6 AC =6 BC =2．【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系 先求出三角形第三边长的范围 即可求出周长范围．（2）根据三角形中线的定义可得,AD CD = 从而可得4,AB BC -=再根据ABC 的周长是14 以及,AB AC ＝ 可得214AB BC +=进行计算即可解答． 【详解】解：（1）设第三边长为x 根据三角形的三边关系得7474,x ∴-<<+3,x ∴<<11∴三角形的周长C 的取值范围为：1422.c <<（2）如图所示：∴BD是AC边上的中线,AD CD∴=∴△ABD比△BCD周长长4cm()()4,AB AD BD BC CD BD∴++-++=4,AB BC∴-=4,BC AB∴=-ABC的周长是1414,AB AC BC∴++=,AB AC＝214,AB BC∴+=2414,AB AB∴+-=6,AB∴=6,AB AC∴==2.BC∴=【点睛】本题主要考查了三角形三边关系等腰三角形的性质熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图在直角三角形ABC中∴BAC＝90° AD是BC边上的高CE 是AB边上的中线AB＝12cm BC＝20cm AC＝16cm求：（1）AD的长；（2）∴BCE的面积．【答案】（1）485；（2）48．【解析】【分析】（1）利用面积法得到12AD•BC＝12AB•AC然后把AB＝12cm BC＝20cm AC＝16cm代入可求出AD的长；（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 所以S △BCE ＝12S △ABC ．【详解】解：（1）∴∴BAC ＝90° AD 是BC 边上的高 ∴12AD •BC ＝12AB •AC∴AD ＝121620⨯＝485（cm ）；（2）∴CE 是AB 边上的中线∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×12×12×16＝48（cm 2）．【点睛】本题考查三角形中线的性质 涉及等积法 是重要考点 掌握相关知识是解题关键．15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图 在6×10的网格中 每一小格均为正方形且边长是1 已知∴ABC 的每个顶点都在格点上．(1)画出∴ABC 中BC 边上的高线AE ；(2)在∴ABC 中AB 边上取点D 连接CD 使3BCD ACD S S =△△；(3)直接写出∴BCD 的面积是__________．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)7.5【解析】【分析】（1）利用网格线过A 作BC 的垂线即可；（2）利用网格线的特点 取格点D 满足3BD AD = 则D 即为所求作的点；（3）利用三角形的面积公式直接计算即可．(1)解：如图 AE 即为BC 上的高．(2)如图 利用网格特点 可得3BD AD =∴D 即为所求作的点 满足3BCD ACD S S =△△．(3)1537.52BCD S =⨯⨯=． 【点睛】本题考查的是画三角形的高 三角形的面积的计算 熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键．16．（2022·江苏·沭阳县怀文中学七年级阶段练习）如图 在ABC 中 CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线 ,()BAC B ∠α∠βαβ==>．(1)若70,40αβ=︒=︒ 求DCE ∠的度数；(2)试用α、β的代数式表示DCE ∠的度数_________．【答案】(1)15DCE ∠=︒(2)2αβ-【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∴ACB 的值 再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∴DCE ． （2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1) 解：70BAC ∠=︒ 40B ∠=︒∴()180()180704070ACB BAC B ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒CE 是ACB ∠的平分线∴1352ACE ACB ∠=∠=︒．CD 是高线∴90ADC ∠=︒∴9020ACD BAC ∠=︒-∠=︒∴352015DCE ACE ACD ∠=∠-∠=︒-=︒︒．(2) 解：BAC α∠= B β∠=∴()180()180ACB BAC B αβ∠=︒-∠+∠=︒-+CE 是ACB ∠的平分线∴()1118090222ACE ACB αβαβ+∠=∠=⨯︒-+=︒-⎡⎤⎣⎦．CD 是高线∴90ADC ∠=︒∴9090ACD BAC α∠=︒-∠=︒- ∴909022DCE ACE ACD αβαβα+-∠=∠-∠=︒--︒+=．【点睛】本题主要考查角平分线 高线以及角的转换 掌握角平分线 高线的性质是解题的关键．17．（2022·上海·八年级专题练习）如图 ∴ABC 中 ∴BAC ＝60º AD 平分∴BAC 点E 在AB 上 EG ∴ADEF ∴AD 垂足为F ．(1)求∴1和∴2的度数．(2)联结DE 若S △ADE ＝S 梯形EFDG 猜想线段EG 的长和AF 的长有什么关系？说明理由．【答案】(1)30º；60º(2)相等 理由见解析【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义求得BAD ∠ 然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∴2 再利用平行线的性质即可求得∴1的度数．(2)根据S △ADE ＝S 梯形EFDG 可得AD =DF +EG 结合图形即可求解．(1)∴∴BAC ＝60º AD 平分∴BAC ∴1302BAD BAC ∠=∠=︒ 又∴EF ∴AD∴29060BAD ∠=︒-∠=︒ ∴EG ∴AD∴130BAD ∠=∠=︒．(2)相等． 理由如下： ∴EF ∴AD∴S △ADE =12AD EF ⋅ S 梯形EFDG =1()2DE EG EF +⋅ ∴S △ADE = S 梯形EFDG ∴12AD EF ⋅=1()2DE EG EF +⋅∴AD =DF +EG∴AD =AF +DF∴DF +EG =AF +DF即AF =EG ．【点睛】本题考查了平行线的性质 角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式 熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．18．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图 AD 是∴ABC 的边BC 上的中线 已知AB =5 AC =3． （1）边BC 的取值范围是 ；（2）∴ABD 与∴ACD 的周长之差为 ；（3）在∴ABC 中 若AB 边上的高为2 求AC 边上的高．【答案】（1）28BC <<；（2）2；（3）103h =． 【解析】【分析】 （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；（2）根据三角形中线将∴ABD 与∴ACD 的周长之差转换为AB 和AC 的差即可得出答案；（3）设AC 边上的高为h 根据三角形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∴∴ABC 中AB =5 AC =3∴5353BC -<<+即28BC <<故答案为：28BC <<；（2）∴∴ABD 的周长为AB AD BD ++∴ACD 的周长为AC AD CD ++∴AD 是∴ABC 的边BC 上的中线∴BD CD =∴AB AD BD ++-(AC AD CD ++)=532AB AC -=-=故答案为：2；（3）设AC 边上的高为h 根据题意得：11222AB AC h ⨯=⨯ 即1152322h ⨯⨯=⨯⨯ 解得103h =．【点睛】本题考查了三角形三边关系 三角形的中线 三角形的高等知识点 熟练掌握基础知识是解本题的关键．。

第02讲三角形的三条重要线段（4种题型）【知识梳理】一、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：二．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．【考点剖析】题型一、三角形的高例1．如图，△ABC中AB边上的高是（）A．线段AD B．线段AC C．线段CD D．线段BC【变式1】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是()．【变式2】如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．例2．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．例3．如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．（1）在△BOC中，OB边上的高是，OC边上的高是，BC边上的高是．（2）在△AOC中，OA边上的高是，OC边上的高是，AC边上的高是．（3）在△AOB中，OA边上的高是，OB边上的高是，AB边上的高是．题型二、三角形的中线例4．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是．【变式1】已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是．例5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC 的长．例6.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．题型三、三角形的三条重要线段例7．已知△ABC ，如图，过点A 画△ABC 的角平分线AD 、中线AE 和高线AF ．例8．在△ABC 中，线段AP ，AQ ，AR 分别是BC 边上的高线，中线和角平分线，则（ ） A ．AP ≤AQB ．AQ ≤ARC ．AP ＞ARD ．AP ＞AQ【变式】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（ ） ①△ABE 的面积＝△BCE 的面积； ②∠AFG ＝∠AGF ； ③∠FAG ＝2∠ACF ； ④AF ＝FB ．A ．①②③④B ．①②④C ．①②③D ．③④题型四：三角形面积例9．若△ABC 中，∠ACB 是钝角，AD 是BC 边上的高，若AD ＝2，BD ＝3，CD ＝1，则△ABC 的面积等于 ． 【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【变式2】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2022秋•苍南县期中）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（）A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD2．（2022秋•东阳市期中）已知，图中的虚线部分是小玉作的辅助线，则下列结论正确的是（）A．BD是边CB上的高B．BD是边AC上的高C．CD是边AB上的高D．CD是边AC上的高3．（2022秋•拱墅区月考）三角形三条中线（）A．交点在三角形外B．交点在三角形内C．交点在三角形顶点D．交点在三角形边上4．（2022秋•乐清市月考）如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm5．（2020秋•拱墅区期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（）A．中线B．高线C．角平分线D．某一边的垂直平分线6．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线7．（2022秋•义乌市校级月考）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（）A．16B．18C．20D．228．（2022秋•富阳区校级月考）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．59．（2022秋•临海市期末）如图，△ADC中DC边上的高是（）A．线段AB B．线段AD C．线段AC D．线段BC10．（2020秋•萧山区期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题）11．（2022秋•红花岗区期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△AEF＝4cm2，则△ABC的面积为cm2．12．（2022秋•临平区月考）如图，△ABC中，D是BC边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段AD 的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2＝3，则△ABC的面积为．13．（2022秋•诸暨市期中）如图，∠D＝∠E＝∠F AC＝90°，则线段是△ABC中AC边上的高．14．（2022秋•金东区校级月考）如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，BC＝3cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多．15．（2022秋•上城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点D在BC边上，作DE⊥AB 于E、DF⊥AC于F，若DE＝5cm，△ABC的面积为122cm2，则DF的长为．16．（2022秋•兰溪市期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△BEF＝4cm2，则S△ABC＝cm2．17．（2022秋•龙港市期中）如图所示，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD的中点．若△ABC的面积为4，则△AEC的面积为．18．（2022秋•余姚市期中）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则图中阴影部分△BEF的面积等于cm2．19．（2022秋•滨江区校级期中）如图，已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为．20．（2022•金华校级开学）如图，D、E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF 的面积为S1，△FCE的面积为S2，若S△ABC＝24，则S1﹣S2的值为．21．（2022秋•临平区月考）如图，△ABC中，D是AB的中点，且AE：CE＝2：1，S△CEP＝1，则S△ABC＝．22．（2022秋•钱塘区月考）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为．三．解答题（共3小题）23．（2022秋•桐乡市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D是BC上一点，连结AD．设：＝k，当AD分别满足下列条件时，求k的值．（1）AD为BC边上的中线；（2）AD为∠BAC的平分线．24．（2022秋•海曙区期中）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．（1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，求DC的长；（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．25．（2022秋•余姚市期中）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高．（1）若AE＝5cm，S△ABC＝30cm2．求DC的长．（2）若∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．。

三角形三条重要线段测试姓名：1、下列说法中正确的是（）A．三角形三条高所在的直线交于一点B．有且只有一条直线与已知直线平行C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离2、三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个交点的位置在（）A．三角形内B．三角形外C．三角形边上D．要根据三角形的形状才能定3、．三角形三条高所在直线的交点一定在（）A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的内部或外部D．三角形的内部、外部或顶点4、．△ABC中，AD是BC边上的中线，下列五种说法：①AD把∠BAC分成相等的两部分；②AD 是线段BC分成相等的两部分；③AD把△ABC分成形状相同的两个三角形；④AD把△ABC分成周长相等的两个三角形；⑤AD把△ABC分成面积相等的两个三角形．其中正确的说法有个5、．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．6、在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．7、如图，（1）在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是．（2）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∠ABD2与∠ACD2的角平分线交于点D3，若∠BD3C的度数是n°，则∠A的度数是（用含n的代数式表示）．8、如图①路与②路公交车都是从体育馆到少年宫．（1）比较①路和②路这两条线路的长短；（2）小利坐出租车由体育馆去少年宫．假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米后每千米为1.8元，用式子表示出租车的收费p（元）与行驶路程s（千米s＞3）之间的关系；（3）若这段路程有4.5千米，小利身上有10元钱，够不够付车费？9、北京市为治理交通拥堵状况，鼓励市民乘坐公交车出行，从4月1日开始，北京市三环内的停车费第一小时为10元，比原先的每小时2元上涨8元，此后每小时15元，比之前上涨13元．设在这样的停车场停车x小时，需付费y元．（假定每辆车的停车时间均是整数小时）．分别写出4月1日前和4月1日后y与x间的函数关系式．概率专题测试姓名：1、一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球个数的2倍少5个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是（1）求袋中红球的个数；（2）求从袋中摸出一个球是白球的概率；（3）取走10个球（其中没有红球）后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率2、“五•一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得45元、30元、25元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书，如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元的购书券．（1）写出转动一次转盘获得45元购书券的概率；（2）转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算？请说明理由．3、桌面上有4张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”、“2”、“3”、“4”．先将卡片的背面朝上洗匀．（1）如果让小唐从中任意抽取一张，抽到奇数的概率是；（2）如果让小唐从中任意抽取两张，游戏规则规定：抽到的两张卡片上的数字之和为奇数，则小唐胜，否则小谢胜．你认为这个游戏公平吗？说出你的理由．4、一个布袋中有8个红球和16个白球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；（2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球．搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？（要求通过列式或列方程解答）5、如图所示，转盘被等分成八个扇形，并在上面依次标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数正好能被8整除的概率是多少（2）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为．（注：指针指在边缘处，要重新转，直至指到非边缘处）。

浙教版八年级数学上册1.1.2三角形中的主要线段课时训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能2．如图，在△ABC中，AB边上的高为()A．CG B．BF C．BE D．AD3．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是()A．在△ABC中，AC是BC边上的高B．在△BCD中，DE是BC边上的高C．在△ABE中，DE是BE边上的高D．在△ACD中，AD是CD边上的高4．三角形中的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是()A．中线B．角平分线C．高线D．任意两边中点的连线5．如图，在△ABC中，AB＝2021，AC＝2019，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为()6. 如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4.则下列说法中正确的是()A．AD是△ABE的中线B．AE是△ABC的角平分线C．AF是△ACE的高线D．AE是△ABC的中线7．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是()A．45° B．54° C．40° D．50°8．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD上的一点，连结BE，CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为()A．2 B．4 C．6 D．7二．填空题（共6小题，4*6=24）9．如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有________个．10. 如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，AD＝________，BE＝_______.12．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为_______.13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是_________.14．如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是________ (填序号)．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E.若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．16．(8分) 如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，∠1＝∠2，则DF与AB有什么关系？并说明理由．17．(8分) 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13，BC＝12，AC＝5.(1)求△ABC的面积；(2)求CD的长．18．(10分) 如图，已知AD，AE分别是△ABC的高线和中线，且AB＝8 cm，AC＝5 cm.(1)△ABE的周长比△ACE的周长长多少？(2)△ABE与△ACE的面积有什么关系？请说明理由．19．(12分) 在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC的三边长．参考答案1-4CACA 5-8BBCB9. 610. DC ，EC11. ≤12. 39°13. 70°14. ③15. 解：∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD ，∵∠EDA ＝∠EAD ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∴AD 是△ABC 的角平分线.16. 解：DF ∥AB.理由：∵DE ∥AC ，∴∠1＝∠4，∵AD 是△ABC 角平分线，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴DF ∥AB.17. 解：(1)S △ABC ＝12AC·BC ＝30. (2)∵S △ABC ＝12AB·CD ，∴CD ＝2S △ABC AB ＝6013. 18. 解：(1)△ABE 的周长为AB ＋AE ＋BE ，△ACE 的周长为AC ＋AE ＋CE.因为AE 是△ABC 的中线，所以BE ＝CE. 所以(AB ＋AE ＋BE)－(AC ＋AE ＋CE)＝AB －AC ＝8－5＝3(cm)， 即△ABE 的周长比△ACE 的周长长3 cm.(2)相等．理由：因为AD 是△ABC 的高，所以AD 也是△ABE 与△ACE 的高，因为S △ABE ＝12BE·AD ，S △ACE ＝12CE·AD ，BE ＝CE ，所以S △ABE ＝S △ACE . 19. 解：设AB ＝AC ＝x cm ，则AD ＝DC ＝12x cm. ①若AB ＋AD ＝12 cm ，即x ＋12x ＝12，解得x ＝8. 所以AB ＝AC ＝8 cm ，DC ＝4 cm. 故BC ＝15－4＝11(cm)．此时AB ＋AC ＞BC ，三角形存在．所以△ABC 的三边长分别为8 cm ，8 cm ，11 cm.②若AB ＋AD ＝15 cm ，即x ＋12x ＝15，解得x ＝10. 所以DC ＝5 cm. 故BC ＝12－5＝7(cm)．显然此时三角形存在．所以△ABC 的三边长分别为10 cm ，10 cm ，7 cm.综上所述，△ABC 的三边长分别为8 cm ，8 cm ，11 cm 或10 cm ，10 cm ，7 cm.。

第5讲：三角形的三条重要的线段三角形三条重要的线段：(1)三角形的高：从三角的一个顶点向它的对边所在的直线作_______,顶点和_______之间的线段叫做三角形的高.（1）符号语言：___________________________练习：如图，在△ABC中，BC边上的高是________；在△AFC中，CF边上的高是________；在△ABE中，AB边上的高是_______三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心．(2)三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的___叫做三角形的___的角平分线如图：BD是ABC则有如下性质：________=___________思考：1.用几何符号语言描述三角形的角平分线定义；2.三角形的角平分线与角平分线有何区别?三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．(3)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它对边_____________的线段，叫做这个三角形的中线1.用几何符号语言描述三角形的中线定义；2.AD 是边BC 上的中线，那么ABD ∆与ADC ∆的面积相等吗？如何证明？PS :三角形中线分三角形面积相等的两个三角形例：在△ABC 中，D ，E 分别为BC 上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有（ ）A.4对B.5对C.6对D.7对三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部．【例1】如图，在ABC △中，AM 是中线，AD 是高线．（1）若AB 比AC 长5cm ，则ABM △的周长比ACM △的周长多cm ．（2）若AMC △的面积为102cm ，则ABC △的面积为 2cm ．（3）若AD 又是AMC △的角平分线，130AMB ∠=︒，求ACB ∠的度数．练习1：1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，则∠ =∠ =12∠ ；E 在AC 上，且AE=CE,则BE 是△ABC 的 ；CF 是△ABC 的高，则∠ =∠ =900，CF AB. 2、如图,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABC 的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若∠BAC=600,M D CB A则∠CAE= 3、如图，AB ⊥BD 于B, DC ⊥AC 于C,AC 与BD 交于点E,则△ADE 的边DE 上的高为 ，AE 上的高为4、如上图，BD=DE=EF=FC ，那么，AE 是_____的中线。

专题11.4三角形三条重要线段（精选精练）（专项练习）一、单选题1．（2024七年级下·全国·专题练习）下列各图中，作ABC 边AC 边上的高，正确的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法中错误的是（）A ．BF CF =B ．90C CAD ∠+∠=︒C ．BAF CAF∠=∠D ．2ABC ABFS S =△△3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在ABC 中，34AB BC ==，，点D 是BC 中点，点P 是线段BC 上一个动点，若2,ACD S =则AP 的最小值是（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.54．（23-24八年级下·广东深圳·期中）下列说法中错误的是（）．A ．等边三角形是等腰三角形B ．三角形的高、中线、角平分线都是线段C ．等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合D ．钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，点G 是ABC 的重心，连接AG 并延长，交BC 边于点D ．若ABD ABC S kS =△△，则k =（）A ．2B ．13C ．12D ．236．（23-24七年级下·北京·期中）共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中AB ，CD 都与地面l 平行，CE 平分ACD ∠，52BAC ∠=︒，则当MAC ∠为（）度时，AM 与CB 平行．A ．69B ．64C ．59D ．527．（23-24七年级下·天津河西·期中）三角形ABC 三个顶点的坐标分别为()()()2,1,1,3,4,5A B C ---，则三角形ABC 的面积为（）A ．3B ．4C ．6D ．88．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形ABCD 的面积为20，E 点在BC 上，三角形ADE 的面积是三角形ABE 面积的2倍，BE 的长为2，EC 的长为5，那么三角形DEC 的面积为（）A ．1911B ．1811C ．1912D ．18129．（2024八年级·全国·竞赛）已知ABC 的三边长度各不相等，各边上的高都是整数，其中有两边上的高是4cm 和12cm ，则第三边上的高最长为（）．A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm10．（23-24八年级上·天津南开·期中）设ABC 的面积为1．如图①，11E D ，分别是AC BC ，的中点，1BE ，1AD 相交于点1O ，11BO D 与11AO E 的面积差记为1S ；如图②，2E ，2D 分别是AC BC ，的3等分点，2BE ，2AD 相交于点2O ，22BO D 与22AO E 的面积差记为2S ；如图③，3E ，3D 分别是AC BC ，的4等分点，3BE ，3AD 相交于点3O ，33BO D 与33AO E 的面积差记为3S …，依此类推，则2023S 的值为（）A ．20212023B ．20222023C ．20232024D ．1011101211．（21-22七年级下·河南开封·期中）如图ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，8AC =，BE 是ABC ∠的角平分线，AD 是BC 边的中线，EF AC ⊥于点E ，下列结论正确的有（）个①EF 为AEB △中AE 边上的高②线段AB 、AD 、AC 中，线段AC 的长度最短③若54AFE ∠=︒，则54BEC ∠=︒④D 到AB 的距离为2.4．A ．1B ．2C ．3D ．412．（20-21七年级下·广西南宁·期末）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，△MBC 中，M 是BC 上一点，则有ABM BMACM CM= ，如图②，△ABC 中，M 是BC 上一点，且BM ＝14BC ，N 是AC 的中点，若△ABC 的面积是1，则△ADN 的面积是（）A ．320B ．310C ．38D ．920二、填空题13．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，ABC 中，90ACB ∠>︒，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，垂足分别为D 、E 、F ，则线段是ABC 中AC 边上的高．14．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，4AC =，3BC =，则点C 到AB 边距离为．15．（14-15七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线BC 经过原点O ，点A 在x 轴上，AD BC ⊥于D ，若()3B m ，，(),5C n -，()40A ，，则AD BC ⋅=．16．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，AD 为ABC 的中线，13cm AB =，10cm AC =．若ACD 的周长28cm ，则ABD △的周长为．17．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，AD 是ABC 的中线，点E 在中线AD 上且2DE AE ＝，若ABC 的面积为6，则AEC △的面积为．18．（21-22八年级上·山东临沂·期中）如图，已知△ABC 三条中线相交于点O ，则△ABO 与△DBO 的面积之比为19．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在ABC 中，BD 是角平分线，BE 为中线，如果12AC =cm ，则AE =；如果80ABC ∠=︒，则ABD ∠=．20．（2020八年级·浙江杭州·专题练习）（2016育才月考）育才中学内有一块直角三角形空地△ABC ，如图所示，园艺师傅以角平分线AD 为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD 区域内种植了一串红，在△ADC 区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB =10m ，AC =4m ，则一串红与鸡冠花两种花草各种植的面积分别为．21．（22-23七年级下·辽宁阜新·期中）ABC 的面积为1．延长ABC 的边CB 到点1A ，使1A B BC =，延长边AC 到点1B ，使1B C AC =，延长边BA 到点1C ，使1C A AB =．连接11A B ，11B C ，11C A ．像这样，将ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到111A B C △，此时，我们称ABC 向外扩展了第一次．按这种方式扩展第二次得到222A B C △…，则202320232023A B C 的面积．22．（22-23七年级上·浙江金华·期末）一个长方形被分成四个部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ．（1）如图1，若被两条直线分成四个长方形，120S =，225S =，315S =，则4S =；（2）如图2，若被条线段分成四个三角形，在①1S 和2S ，②1S 和3S ，③1S 和4S ，④2S 和4S 中，已知则可以求出长方形的面积（填序号）．23．（21-22七年级下·江苏镇江·期末）一块三角形空地ABC ，三边长分别为20m 、30m 、40m ，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD ，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD 长的取值范围是．24．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知(),32A a a -+，()23,2B a a -+，()23,2C a a --三个点，下列四个命题：①若AB x 轴，则2a =；②若AB y ∥轴，则1a =；③若1a =，则A ，B ，C 三点在同一条直线上；④若1a >，三角形ABC 的面积等于8，则点C 的坐标为72,33⎛⎫⎪⎝⎭．其中真命题有．（填序号）三、解答题25．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出ABC 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高．26．（23-24七年级下·广西防城港·阶段练习）如图，直线a b ，直线AB 与a ，b 分别相交于点A ，B ，AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若165∠=︒，求2∠的度数；（2）若3,4,5AC AB BC ===，求直线a 与b 的距离．27．（23-24七年级下·江苏·周测）如图，在ABC 中，AB AC >，AD 是BC 边上的中线，ABD △和ADC △的周长之差为2，且AB 与AC 的和为14．（1）求AB 、AC 的长；（2）若90BAC ∠=︒，E 是AD 的中点，求CDE 的面积．28．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，AD 是ABC 的角平分线，P 是AD 延长线上的一点，PM AC ∥交BC 于点M ，PN AB ∥交BC 于点N ．试说明：PA 平分MPN ∠．29．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，D 为AC 的中点，12ABC BEDF S S =△四边形，则BEFC =________；（2）如图2，ABC 是直角三角形，90ABC ∠=︒，D 为AC 的中点，6,8AB BC ==，12ABC BEDF S S =△四边形，则BEFC=________；（3）如图3，在ABC 中，D 为AC 的中点，,AB a BC b ==，12ABC BEDF S S =△四边形，则BEFC =________．30．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形ABCD 内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．【问题思考】（1）如图1，AD 是ABC 的中线，试判断：ABD S _________ACD S （请填“>”、“<”或“=”）；（2）如图2，AD BC ∥，试判断：ABC S _________BCD S △（请填“>”、“<”或“=”）；【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形ABCD 内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线AC ，②作DE AC ∥交BC 的延长线于E ；③取BE 的中点M ，则直线AM 为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整：∵AC DE ∥，∴DAC S =△_________（由问题2的结论得）∴ABC DAC ABC ABCD S S S S +=+=△△△四边形_________，即ABCD S =四边形_________，∵M 是BE 的中点，∴ABM S = _________（由问题1的结论得）∴AM 平分ABE 的面积，即AM 平分四边形ABCD 的面积．【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线AC 和BD ；②取BD 的中点O ，③连接OA 、OC ；④过点O 作AC 的平行线与四边形ABCD 的边CD 交点于P ，则直线AP 则为所求直线．请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．参考答案：1．D【分析】本题考查的是三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握高的定义是解题的关键；过顶点B 向AC 边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高．【详解】A 、图中BE 不是ABC 边AC 边上的高，本选项不符合题意；B 、图中BE 不是ABC 边AC 边上的高，本选项不符合题意；C 、图中BE 不是ABC 边AC 边上的高，本选项不符合题意；D 、图中BE 是ABC 边AC 边上的高，本选项符合题意；故选：D ．2．C【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．根据上述知识逐项进行判断即可．【详解】解：∵AF 是ABC 的中线，BF CF ∴=，A 说法正确，不符合题意；AD 是高，90ADC ∴∠=︒，90C CAD ∴∠+∠=︒，B 说法正确，不符合题意；AE 是角平分线，BAE CAE ∴∠=∠，而BAF ∠与CAF ∠不一定相等，C 说法错误，符合题意；BF CF = ，2ABC ABF S S ∴=△△，D 说法正确，不符合题意；故选：C ．3．C【分析】本题主要考查了垂线段最短，求三角形的高，先由线段中点的定义得到122CD BC ==，再根据垂线段最短可得当⊥AP BC 时AP 有最小值，据此利用面积法求解即可．【详解】解：∵点D 是BC 中点，∴122CD BC ==，∵点P 是线段BC 上一个动点，∴当⊥AP BC 时AP 有最小值，∵2ACD S =，∴122AP CD ⋅=最小值，∴2AP =最小值，故选：C ．4．C【分析】本题主要考查了角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义，熟知相关知识是解题的关键．根据三角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义逐一判断即可．【详解】解：A 、等边三角形是等腰三角形，原说法正确，不符合题意；B 、三角形的高、中线、角平分线都是线段，原说法正确，不符合题意；C 、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，原说法错误，符合题意；D 、钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点，原说法正确，不符合题意；故选：C ．5．C【分析】本题考查的是三角形的重心的概念、三角形的中线性质．根据三角形的重心的概念得到点D 为CB 的中点，根据三角形中线的性质解答即可．【详解】解：∵点G 是ABC 的重心，∴点D 为CB 的中点，∴12ABD ABC S S =，∴12k =，故选：C ．6．B【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，角平分线的定义，由题意可得AB CD ，可得出180BAC ACD ∠+∠=︒，即可求出128ACD ∠=︒，由角平分线的定义可得出1642ACB ACD ∠=∠=︒，即可得出当64MAC ACB ∠=∠=︒时，AM 与CB 平行．【详解】解：∵AB ，CD 都与地面l 平行，∴AB CD ，∴180BAC ACD ∠+∠=︒，∵52BAC ∠=︒，∴128ACD ∠=︒，∵CE 平分ACD ∠，∴1642ACB ACD ∠=∠=︒，∴当64MAC ACB ∠=∠=︒时，AM 与CB 平行．故选：B ．7．B【分析】本题考查坐标与图形，三角形的面积．根据点的坐标，用割补法求解即可．【详解】解：如图，111342321244222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ．故选：B ．8．A【分析】本题考查了梯形、三角形的面积公式，平行线之间的距离处处相等，理解梯形、三角形的面积公式计算是解题的关键．【详解】解：∵四边形ABCD 是梯形，∴AD BC ∥，∴三角形ADE 边AD 上的高=三角形ABE 边BE 上的高（平行线之间的距离处处相等），又∵三角形ADE 的面积是三角形ABE 面积的2倍，BE 的长为2，∴24AD BE ==，∵梯形ABCD 的面积为20，EC 的长为5，∴梯形ABCD 的高()4020224511=锤++=，∴AD 和BC 之间的距离4011=，即三角形DEC 边EC 上的高4011=，∴三角形DEC 的面积9405211111=锤=，故选：A ．9．B 【分析】此题考查三角形三边关系．注意利用三角形面积的表示方法得到相关等式是解决本题的关键；首先设高为4和12的两边长分别为a ，b ，第三边为c ，根据111412222a b CF c ⨯=⨯=⨯⨯，得3a b =，12b CF c=，根据三角形的任意两边之和一定要大于第三边，求出c 边的高范围．【详解】设BC a =，AC b =，AB c =，3a b= 111412222a b CF c ⨯=⨯=⨯⨯，∴3a b =，12b CF c =， 33b b c b b -<<+，24b c b ∴<<，1236b c∴<<，即高为3到6之间，∴4CF =或5ABC 的三边长度各不相等，各边上的高都是整数，∴高不能为4，∴第三边上的高最长为()5cm ，故选：B10．D 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出11n n S n -=+，由题意求得1111111BO D AO E BCE ACD S S S S S =-=- ，根据点11E D ，分别是AC BC ，的中点，得到11122BCE ABC S S == ，11122ACD ABC S S == ，从而得出10S =，同理可得：22221113333BCE ACD ABC ABC ABC S S S S S =-=-== ，324S =，435S =，…，归纳出11n n S n -=+，代入数值即可得到答案．【详解】解：由题意得：11111BO D AO E S S S =- ()1111111111BO D AO E CE O D CE O D S S S S =+-+ 四边形四边形11BCE ACD S S =- ，点11E D ，分别是AC BC ，的中点，11122BCE ABC S S ∴== ，11122ACD ABC S S == ，1110BCE ACD S S S ∴=-= ，同理可得：22221113333BCE ACD ABC ABC ABC S S S S S =-=-== ，324S =，435S =，…，11n n S n -∴=+，202320231202210112023120241012S -∴===+，故选：D ．11．B【分析】由三角形的高的含义可判断①，由垂线段最短可判断②，由平行线的性质结合三角形的角平分线的含义可判断③，由等面积法可判断④，从而可得答案．【详解】解：EF 不是AEB △中AE 边上的高．故①不符合题意；线段AB 、AD 、AC 中，线段AC 的长度最短，理由垂线段最短．故②符合题意；∵EF BC ∥，∴54AFE ABC ∠=∠=︒，∵BE 平分ABC ∠，∴27EBC ∠=︒，∴63BEC ∠=︒．故③不符合题意；如图作DE AB ⊥于H ．由111222AB DH AC CD AC BC += ，∵AD 是BC 边的中线，∴1122AB DH AC CD = ，∵10AB =，6BC =，8AC =，∴110682DH =⨯⨯，解得 2.4DH =，故④符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的角平分线，中线，高的含义，垂线段最短，熟记概念并灵活运用是解本题的关键．12．B【分析】连接CD ，有中线的性质得S △ADN ＝S △CDN ，同理S △ABN ＝S △CBN ，设S △ADN ＝S △CDN ＝a ，则S △ABN ＝S △CBN ＝12，再求出S △CDM ＝34S △BCD ＝34×（12﹣a ）＝38﹣34a ，S △ACM ＝34S △ABC ＝34，然后由面积关系求出a 的值，即可解决问题．【详解】解：连接CD ，如图：∵N 是AC 的中点，∴ADN CDN S S ∆∆＝AN CN ＝1，∴S △ADN ＝S △CDN ，同理：S △ABN ＝S △CBN ，设S △ADN ＝S △CDN ＝a ，∵△ABC 的面积是1，∴S △ABN ＝S △CBN ＝12，∴S △BCD ＝S △ABD ＝12﹣a ，∵BM ＝14BC ，∴BM CM ＝13，∴BDM CDM S S ∆∆＝BM CM ＝13，ABM ACM S S ∆∆＝BM CM ＝13，∴S △CDM ＝3S △BDM ，S △ACM ＝3S △ABM ，∴S △CDM ＝34S △BCD ＝34×（12﹣a ）＝38﹣34a ，S △ACM ＝34S △ABC ＝34，∵S △ACM ＝S 四边形CMDN +S △ADN ＝S △CDM +S △CDN +S △ADN ，即：34＝38﹣34a +a +a ，解得：a ＝310，∴S △ADN ＝310，故选：B．【点睛】本题考查了中线的性质，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．13．BE /EB【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键．根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线作答即可．【详解】解：∵BE AC ⊥，∴线段BE 是ABC 中AC 边上的高，故答案为：BE ．14．125/225/2.4【分析】本题考查与三角形有关的线段，三角形的高，根据题意可得ABC 是直角三角形，设点C 到AB 边距离为h ，由三角形面积公式计算即可求解．【详解】解：在ABC 中，90ACB ∠=︒，∴ABC 是直角三角形，设点C 到AB 边距离为h ，1122ABC S AC BC AB h ∴=⋅=⋅ ，即345h ⨯=，125h ∴=，故答案为：125．15．32【分析】本题考查了坐标与图形性质，关键是根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积是解题关键．作三角形的高线，根据坐标求出BE 、OA 、OF 的长，利用面积法可以得出32AD BC ⋅=．【详解】解：过B 作BE x ⊥轴于E ，过C 作CF y ⊥轴于F ，(),3B m ，3BE ∴=．()4,0A ，4AO ∴=．(),5C n - ，5OF ∴=．1143622AOB S AO BE =⋅=⨯⨯= ，11451022AOC S AO OF =⋅=⨯⨯= ，61016AOB AOC S S ∴+=+= ．ABC AOB AOC S S S =+ ，1162BC AD ∴⋅=，32BC AD ∴⋅=，故答案为：32．16．31cm /31厘米【分析】本题考查了三角形的中线，以及线段的和差，找出线段之间的数量是解题关键．由题意可知，BD CD =，进而得出18cm AD CD +=，即可求出ABD △的周长．【详解】解：AD 为ABC 的中线，BD CD ∴=，10cm AC = ，ACD 的周长28cm ，18cm AD CD ∴+=，13cmAB =Q ABD ∴ 的周长()131831AB BD AD AB CD AD cm =++=++=+=，故答案为：31cm ．17．1【分析】本题考查了三角形中线、三等分线分三角形的面积，利用三角形中线分成的两个三角形面积相等以及三等分线分的三个三角形面积相等作答即可．【详解】解：AD 是ABC 的中线，ABC 的面积为6，ADC ∴ 的面积为：1632⨯=， 点E 在中线AD 上且2DE AE =，3AE AD ∴=，AEC 和ADC 同高，设高为h ，11,22AEC ADC S AE h S AD h ∴=⨯=⨯ ，112132AE h AEC AE ADC AD AD h ⨯∴===⨯ ，113133AEC ADC S S ∴==⨯= ；故答案为：1．18．21∶【分析】根据三角形的重心性质得21AO OD =∶∶，过点B 作BE AD ⊥交AD 的延长线与点G ，则BG 是ABO 和DBO 的高，根据三角形的面积公式即可得．【详解】解：由题可知，点O 是ABC 的重心，∴21AO OD =∶∶，如图所示，过点B 作BE AD ⊥交AD 的延长线与点G ，∴11==2122ABO DBO S S AO BG OD BG AO OD = ∶∶∶∶，故答案为：21∶．【点睛】本题考查了三角形的重心及重心性质，解题的关键是掌握这些知识点．19．6cm 40︒【分析】利用三角形的中线和角平分线定义可得答案．【详解】解：∵BE 为中线，12cm AC =，∴1112cm 6cm 22AE AC ==⨯=；∵BD 是角平分线，80ABC ∠=︒，∴1402ABD ABC ∠=∠=︒；故答案为：6cm ；40︒．【点睛】本题考查三角形的中线、角平线的定义；理解定义是解题的关键．20．2210040,77m m 【分析】根据题意，过点D 分别向AC AB 、两边作垂线，垂足为E F 、，由角平分线的性质定理可以得到DE DF =，那么ADC S △：ABD S =AC ：AB =2：5，所以求出ABC S 的面积便可以得到,ADC ABD S S 的面积；【详解】过点D 分别向AC AB 、两边作垂线，垂足为E F、 AD 是BAC ∠的角平分线∴DE DF=又 12ADC S DE AC =⋅ ，1=2ABD S DF AB ⋅ ∴ADC S △：ABD S =AC ：AB =2：5∴25,,77ADC ABC ABD ABC S S S S == 又 1=202ABC S AC AB ⋅=∴2240100,77ADC ABD S m S m == 故答案是：2210040,77m m .【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，能够根据角平分线的性质定理画出对应的辅助线是解决本题的关键.21．20237【分析】连接1CC ．利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，求出111A B C △，222A B C △，333A B C △的面积，探究规律，可得结论．【详解】解：连接1CC ．∵1C A AB =，1ACC A CB S S = ∵1BC AC =，∴111ACC B CC S S = ∴111C ACC B CC AB S S S == ，∴112C AB ABC S S = ，同法可证，11112A B A B C C C AB S S S == ，∴11111111177A B C AB A C C C C C B A B AB AB S S S S S S =+++== ，同理可得：222111277A B C A B C S S == ，332223377A B C A B C S S == ⋅⋅⋅，依此规律可得：20232023202320237AB C S = ，故答案为：20237．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．三角形的中线的性质：三角形的中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形．22．20②或④【分析】（1）要求的第四块的面积是x 平方厘米，根据225S =和315S =所在的长方形的长的比是5∶3，得出20:5:3x =，即可求解；（2）观察图形的特点，即可选择序号．【详解】（1）根据长方形的性质，得225S =和315S =所在的长方形的长的比是5∶3设要求的第四块的面积是x 平方厘米，则20:5:3x =，解得：12x =．所以420S =（2）②1S 和3S 的面积和，④2S 和4S 的面积和都为长方形面积的一半，所以，已知②或④则可以求出长方形的面积．故答案为：（1）20，（2）②或④【点睛】本题考查找到等宽的两个长方形及长方形被分割为三角形面积的特点，解题的关键是能够观察出图形的特点，找到等量关系．23．40163CD ≤≤/113163CD ≤≤【分析】分别求乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一，乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时CD 的值，即可求出CD 的取值范围．【详解】解∶当乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一时，即13ACD ABC S S = ，∴14033CD BC ==，当乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时，即23ACD ABDS S=，∴25ACD ABCS S=，∴2165CD BC==，∴当40163CD≤≤时，乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，故答案为∶4016 3CD≤≤．【点睛】本题考查了三角形面积的应用，掌握等高的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键．24．②③/③②【分析】①根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出a的值，再判断即可；②根据平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同求出a的值，再判断即可；③根据a＝1，求出A，B，C三点坐标即可判断；④根据B、C横坐标相同，可判断∥BC y轴，得出BC＝4，再表示出点A到BC的距离，再根据三角形ABC的面积等于8列出关系式求出a的值即可求出点C的坐标．【详解】解：①∵AB x轴，∴3a＋2＝a＋2，∴a＝0，故①错误；②∵AB y∥轴，∴−a＝2a−3，∴a＝1，故②正确；③∵a＝1，∴A（−1，5），B（−1，3），C（−1，−1），∵A、B、C三点的横坐标相同，∴A、B、C三点在同一条直线上，故③正确；④∵B（2a−3，a＋2），C（2a−3，a−2），∴∥BC y轴，∴BC＝4，∵A （−a ，3a ＋2），a ＞1，∴点A 到BC 的距离为2a −3−（−a ）＝3a −3，∵△ABC 的面积等于8，∴12×4×（3a −3）＝6a −6＝8，∴a ＝73，∴点C 的坐标为5133⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故④错误；综上分析可知，真命题为②③．故答案为：②③．【点睛】本题主要考查了点的坐标，三角形的面积，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，是解题的关键．25．见详解【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可【详解】如图AD 为中线，AE 为角平分线，AF 为高26．(1)25︒(2)125【分析】本题考查平行线的性质，等积法求线段的长：（1）根据垂直的定义，结合平行线的性质，进行求解即可；（2）设平行线间的距离为h ，等积法求出h 即可．【详解】（1）解：∵AC AB ⊥，∴2390∠+∠=︒，∵a b ，∴3165∠=∠=︒，∴2906525∠=︒-︒=︒；（2）设直线a 与b 的距离为h ，∵AC AB ⊥，∴1122ABC S AB AC BC h =⋅=⋅△，即：345h ⨯=，∴125h =；∴直线a 与b 的距离为125．27．(1)8AB =，6AC =(2)6CDE S =△【分析】本题考查了三角形的中线的性质：（1）根据三角形中线的定义可得BD CD =，再根据三角形的周长及题意可得2AB AC -=①，14AB AC +=②，由+①②可得216AB =，进而可求解；（2）根据三角形的中线的性质可得12ACD ABC S S = ，12CDE ACD S s = ，进而可求解；熟练掌握三角形的中线的性质是解题的关键．【详解】（1）解：AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，AB AC > ，ABD △和ADC △的周长之差为2，()2AB AD BD AC AD CD AB AC ∴++-++=-=①，AB 与AC 的和为14，即14AB AC +=②，+①②得：216AB =，解得：8AB =，146AC AB ∴=-=．（2）90,8,6BAC AB AC ==︒∠= ，11862422ABC S AB AC ∴=⋅=⨯⨯= ，AD 是BC 边上的中线，E 为AD 的中点，12ACD ABC S S ∴=，12CDE ACD S s = ，1124644CDE ABC S S ∴==⨯= ．28．见解析【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；由AD 是角平分线得BAD CAD ∠=∠；由两平行条件及等量代换可得APM APN ∠=∠，再由角平分线的定义即可证明结论．【详解】∵AD 是ABC 的角平分线，∴BAD CAD ∠=∠．∵PM AC PN AB ∥，∥，∴APM PAC APN PAB ∠=∠∠=∠，，∴APM APN ∠=∠，∴PA 平分MPN ∠．29．（1）1；（2）34；（3）a b【分析】本题考查了三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式；（1）过点D 作,DN BC DM AB ⊥⊥垂足分别为,N M ，根据三角形中点的性质可得12ABD BCD ABC S S S == ，根据已知得出DFC BED S S = ，进而根据三角形的面积公式，即可求解；（2）过点D 作,DN BC DM AB ⊥⊥垂足分别为,N M ，同（1）的方法即可求解；（3）过点D 作,DN BC DM AB ⊥⊥垂足分别为,N M ，同（1）的方法即可求解．【详解】解：（1）如图所示，过点D 作,DN BC DM AB ⊥⊥垂足分别为,N M ，依题意，ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，D 为AC 的中点，则DM DN =，∴12ABD BCD ABC S S S == ，∵12ABC BDF DFC BDF BED BEDF S S S S S S ==+=+ △四边形，∴DFC BEDS S = ∴1122BE MD FC DN ⨯=⨯，∴BE FC=∴1BE FC=；故答案为：1．（2）如图所示，过点D 作,DN BC DM AB ⊥⊥垂足分别为,N M ，6,8AB BC ==，∵D 为AC 的中点，∴12ABD BCD ABC S S S ==∴1122AB MD BC DN ⨯=⨯∴34DN MD =同（1）可得∴DFC BEDS S = ∴1122BE MD FC DN ⨯=⨯，∴34BE ND FC MD ==；故答案为：34．（3）如图所示，过点D 作,DN BC DM AB ⊥⊥垂足分别为,N M ，,AB a BC b ==，∵D 为AC 的中点，∴12ABD BCD ABCS S S == 1122a MD b DN⨯=⨯∴MD bDN a=同（1）可得∴DFC BEDS S = ∴1122BE MD FC DN ⨯=⨯，∴BE DNaFC MD b ==，故答案为：ab ．30．【问题思考】=，=；【深入思考】EAC S △；EAC S △；ABE S ；AEM S △；【推广探究】证明见解析【分析】本题考查三角形中线的性质、平行线的性质及三角形的面积，【问题思考】（1）根据三角形中线的性质及三角形的面积可得结论；（2）根据平行线的性质及三角形的面积可得结论；【深入思考】根据问题思考的结论即可得证；【推广探究】根据问题思考的结论即可得证；理解并掌握问题思考的结论并灵活运用是解题的关键．【问题思考】解：（1）∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，∴ABD △和ACD 等底同高，∴ABD ACD S S = ，故答案为：=；（2）∵AD BC ∥，∴ABC 和DBC △同底同高，∴ABC BCD S S = ，故答案为：=；【深入思考】证明：∵AC DE ∥，∴DAC EAC S S =△△（由问题2的结论得）∴ABC DAC ABC EAC ABCD S S S S S =+=+△△△△四边形，即ABE ABCD S S =△四边形，∵M 是BE 的中点，∴ABM AEM S S =△△（由问题1的结论得）∴AM 平分ABE 的面积，即AM 平分四边形ABCD 的面积；【推广探究】证明：∵点O 是BD 的中点，∴DAO BAO S S =△△，DCO BCO S S =△△，∵OP AC ，∴OAC PAC S S =△△，∴DAO BAO DCO BCO ABCD S S S S S =+++△△△△四边形，()2BAO BCO S S =+ 2OABCS =四边形()2BAC OAC S S =+ ()2BAC PAC S S =+ 2PABC S =四边形，∴2DAP ABCD PABC PABC PABC PABC S S S S S S =-=-=△四边形四边形四边形四边形四边形，∴直线AP 平分四边形ABCD 的面积，则直线AP 即为所求直线．。

八年级数学：三角形中的线段专题三角形的中线和中位线是三角形中的两条重要线段，也是初中几何中两个易混的概念。

一、考点精讲精练考点1、三角形、分类例1、三角形是( )A、连接任意三点组成的图形;B、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形;C、由三条线段组成的图形;D、以上说法均不对。

例2、如图所示，以BC为边的三角形共有( )例题2图A、1个B、2个C、3个D、4个例3、下列说法正确的有( )①等腰三角形是等边三角形; ②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;③等腰三角形至少有两边相等; ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

A.①②B.①③④C.③④D.①②④例4、若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形的三边分别为?例5、△ABC的周长为22cm，AB边比AC边长2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长。

举一反三：1、三角形按边分类可分为( )A、等腰三角形和等边三角形;B、钝角三角形、锐角三角形和直角三角形;C、等腰三角形和不等边三角形;D、等边三角形和不等边三角形。

2、一位同学用三根木棒拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是( )第2题图A、①B、②C、③D、④3、三角形的周长为12，且三边a,b,c有如下关系a=b+1,b=c+1,则a,b,c的长分别为多少?4、△ABC周长为120，已知CB比CA长28，CB比AB短4，求三边长各为多少?5、已知△ABC的周长为38cm.最长边与最短边之差为7cm，最长边与最短边之和为27cm，求△ABC各边的长。

考点2、三角形的高、中线、角平分线：例1、如图，BO、CO分别平分&ang;ABC与&ang;ACB，MN∥BC，若AB=36，AC=24，则△AMN的周长是( )例题1图A、60B、66C、72D、78例2、三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是()A、中线B、角平分线C、高线D、中位线例3、如图，直角三角形ABC中，&ang;C=90&deg;，若AC=&quot;3&quot; cm，BC=&quot;4&quot; cm，AB=&quot;5&quot; cm，则点C到AB的最短距离等于cm。