2高一函数初步值域(教师版)

第5、6课时函数的值域教学目标：使学生掌握如何求二次函数、无理函数和分式函数的值域教学重点：联系图像求值域.教学难点：联系图像求值域.教学过程：[例1]求函数y= X在下列范围内的值域：(1)x€ [1 , 2] (2) x€[ —1, 2] (3) x€ [ —3, 2](4) x€ [a, 2] (5) x€[T , T + 2][例2]求函数y= . —x2+ 2x+ 3的值域.解：令t =—x2+ 2x+ 3，则:y= ,t 且t€ [0, 4]•••所求函数的值域为：[0 , 2][例3]求函数y= 2x—3+ 4x—13的值域.分析：对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.13 J------ 『+13解：T 4x—13> 0 • x€ [— , +m) 令t= , 4x—13 则得：x=厂• y = 2 t2+ t+ 7••• y= 1(t+ 1) 2+ 313 7••• x> —••• t> 0根据二次函数图象可得y€ [2 ,+s)[例4]求函数y= . x+ 4. x—4 —, x—4,x—4 的值域.解：y=( x— 4 + 2)—| x— 4 — 2 |f x> 82弓x—4 4< x v8• y€ [0 , 4][例5]求函数y=| x+ 1 | — | x —2 |的值域.分析：对于y=| x+ 1 | — | x— 2 |的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，| x+ 1 |表示在数轴上表示x的点到点一1的距离，| x— 2 |表示在数轴上表示x 的点到点2的距离，在数轴上任取三个点X A <—1,—1v X B v 2, x c> c,如图所示，可以看出 | X A+ 1 | — | X A— 2 |=—3A -1 吊2 C—3v| X B+ 1 | — | X R— 2 |v 3, | X c+ 1 | — | x。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

求函数定义域（1）函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；（2）常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；（3) 如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；（4）对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；（5）分段函数的定义域是各个区间的并集；（6）含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；（7）求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

函数的值域（第一课时）教案学校：宝鸡石油中学学科：高二文科组织者：史文刚三维目标：知识目标：1、理解函数值域的定义，并用集合来表示；2、常用函数值域，如给定区间二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等；3、掌握常用求函数值域的方法：配方法、换元法、基本不等式法、导数法.能力目标：通过小组合作、自主探究等多种学习方式进行复习，能灵活运用求值域的方法，迅速并熟练的求出函数值域.情感目标：发展学生的思维能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇丁•创新的精神.教学重、难点：教学重点：常用的求函数值域的方法.教学难点：能灵活运用求函数值域的方法来解决实际问题.教学准备：导学单、多媒体.教学方法：合作探究.设计意图：让学牛提前回家预习导学单，从而发现问题，带着问题在本节课中通过小组合作、自主探究等学习方式，及师生互动来解决问题.目的在于：培养他们的自主学习能力，让他们做课堂学习的主人，能在课堂畅所欲言, 各尽其能，从而激发他们学习的积极性和主动性以及竞争意识，同时发展他们的思维能力、提高他们的语言表达能力；让教师从“滔滔不绝”的演讲者变为“画龙点睛”的组织者.从而提高课堂教学效率，达到人人参与, 人人学有所获.教学过程：一、让学生回答预留的导读单上的“走进教材1”的问题（2分钟）：函数的值域定义与表示1、｛y\y = fM｝表示的是函数y二f （x）的什么？2、什么是函数的值域，怎样表示它呢？那么求函数值域的方法有哪些呢？为此我们今天来复习：函数的值域（板书）。

（课件1）二、让学生回答预留的导读单上的“走进教材2”的问题：（3分钟）必要的回顾与思考：高中阶段的几种重要函数的值域.1、一次函数y二kx+b（kHO）值域是什么？结果:思考：求函数值域首先应该考虑什么? 强调：函数的定义域. 三、师生共同解决预留的导读单上“师生互动”例题、习题：（33分钟） 常用的求函数值域的方法例1求函数y= x 2 -4% + 5 , x e [0,5]的值域.（5分钟）（课件2是函数图像）（1）学生分小组汇报结果.解：•・• y=Cr -2）2+l,开口向上・•・x=2为对称轴•・• 2e[0,5]・•・观察右图可知，f （2） =1为最小值,f （0）=5, f （5）=10..・；函数 y= x 2 -4x + 5, XG [0,5]的值域为:[1,10}方法：对于开口向上的二次函数，若对称轴在给定区间上，则在顶点处取得最小值，最大值为离对称轴较 远的区间的端点所对应的函数值；对于开口向下的二次函数，若对称轴在给定区间上，则在顶点处取得最大值, 最小值为离对称轴较远的区间的端点所对应的函数值，从而确定函数值域.（课件3）（2）思考：做例1时，所用的方法是什么？ 结果：配方法.变式：将例1中的皿[0,5]变成xe [-1,1）,求值域（5分钟）・思考：若对称轴不在二次函数的给定的定义域区间上时，怎样求函数值域？方法：对于开口向上的二次函数，若对称轴不在二次函数的给定区间上，则用函数的单调性来判断函数的 最大值和最小值，或者也可以通过计算端点所对应的函数值比较大小来确定最大值和最小值，也可以通过比较 区间端点离对称轴的远近来判断最大值和最小值，从而确定函数值域.（课件4）（5）思考：通过做例1和变式题，你发现了什么？总结：在求给定区间的二次函数值域时，要根据给定的区间和对称轴来综合考虑求值域.（课件5）例2：求函数y=-sin 2 x + sinx + 1的值域.(5分钟) 解：t=sinx,则 y 二一八+/ + 1底［一1,1］.( 1V 5 .・・° y=- t —— +—, 开口向下I 2丿41、R;2、{卅工0,且ywR };3、当 a>0, x--—时, 2a 值域为为(-00,丸］; 4a4、（0,+oo]； 4ac-b 2 当削用-冷时，值域・•・t=丄为对称轴，2・・・头［一1,1］，即f(|)=-为最大值，f(-l)=-l,f(l)=l.2 2 4故y 二sin ，兀+ sinx + l 的值域为：一1,丄. L 4」（1） 思考：做例2,要用什么方法？（换元法、配方法）（2） 思考：做本题时，要考虑什么？（正弦函数的值域）总结：（课件6）（1）上边两道例题都属于二次函数模形: 例 1： y = ax 2 + bx + c （a 0）（配方法）例 2： y = 0(x)2 + 妙(%) +(?(“ 0)(换元法)（2）有些二次函数直接给出了区间，而有些则隐含在题中，这就需要在做题前先找出定义域再来求值域.<1Y 则y=- 丿Vr = x 2-3>-3 ,即 te[-Voo)飞丿=8为最大值又 VyG (0,-Ho]/ 1、宀 3 故y 器 的值域为：（0,8].思考：换元法的用途是什么？强调：对于复合函数换元时，是将内函数用字母表示，一定要考虑内函数的值域，因为它将是新设函数的 定义域区间.（课件8）例3：求函数y=x+-的值域.（5分钟）（课件9）兀学牛做有困难，师牛一起做（教师变启发边写，学牛说）・方法一：解：由题意得：x{xxe R,x^o}练习：求函数y=— 12丿的值域.（5分钟）（课件7） 解:设心扌-3,是减函数当x>0时, 当且仅当x=2时成立;当x<0时, 当且仅当x=-2时成立;综上所述，y=x+—的值域为： （-oo,-4]u[4,+oo ）. 思考：此题的方法是什么？（运用基本不等式） 方法二:T x {.r|x wR 、x 土 ()}4 4 ・•・ f(-x)=-x+一=-(x+-)=-f(x) -X X・•・f(x)二x+土为奇函数，即关于原点对称•I 当 x<0 时，y 5-4综上所述，y=x+纟的值域为：(-co-4]u[4,+00).X总结：基本不等式法的函数模型：)“ + %、洞号).(课件10)变式1：求函数y 二77匚1 +〒1=的值域・(4分钟)Vx + 1变式2：求函数y=|?-x 2-3的值域・(4分钟)思考：变式2能用基本不等式法做吗?若不能，怎样做？(导数法) 简单介绍做法： 第一步：求导数； 第二步：求出单调增区间和单调减区间； 第三步：列表观察最大值和最小值； 第四步：写函数的值域.四、学习收获：(2分钟)1、 通过复习，你有哪些收获，还存在哪些疑问？2、 求值域的方法有：配方法、换元法、基本不等式法、导数法.3、 注意：(课件11)(1) 在求函数值域时，一道题可能有多种方法，或者几种方法相结合，所以在做题时一定要灵活运用.(2) 在求函数值域时，一定要判断清楚函数的给定的定义域区间，再进行解答.4、 三种方法模型：(课件12)1) y = ax 1 + bx + c{a 0)(配方法)2) .V = cif(x)2 + bf(x) + c(a 0)(换元法)3) y = ax + -(a.洞号)(基本不等式法)六、学以致用(课件13)《优化设计》第10页的例1-3・解：由题意得：7?,兀工0}当且仅当x=2时成立;2、反比例函数y = -（k^O）的值域是什么？X3、二次函数y=ax2 * 4 5 6+bx+c（a^0）的值域是什么？4、指数函数y=a x（a>0,且&工0）的值域是什么？5、对数函数y=log a x （a>0,且aHO）的值域是什么?JT6、三角函数y=sin x, y=cos x, y=tan x（xe /?,x+ kn,keZ）的值域分别是什么?。

函数值域及最值的求法⒈配方法利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。

此方法一般可解决形如 y = a [f(x)]2 + b f(x) +c (a≠0)的函数的值域与最值。

例1、求函数 y = x2 - 6x + 2的值域。

解法一：∵y = x2 - 6x + 2＝( x - 3)2－7又∵( x - 3)2≥0∴( x - 3)2－7≥－7∴函数的值域是［－7，＋∞）＃这里用到了配方法求函数的值域。

解法二：二次函数y = x2 - 6x + 2是对称轴为x = 3，开口向上的抛物线，故当x = 3时，函数有最小值f(3)＝－7。

∴函数的值域是［－7，＋∞）这里运用了二次函数的图象和性质求值域。

一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域。

例如，在例1中将题目改为：y = sin2x - 6sinx + 2，则函数的值域就不是［－7，＋∞）了。

因为当x∈R时，sinx∈[- 1, 1]，而sinx取不到3，则函数值取不到－7。

解法一：∵y = sin2x - 6sinx + 2＝( sinx - 3)2 - 7 （配方法）Array又∵sinx∈[- 1, 1]，∴函数的值域是［－3，9］＃解法二：令sinx = t，则 y = t2t∈[ - 1, 1]它的图象是抛物线的一段（如图）∴函数的值域是［－3，9］＃在此方法中用到了数形结合的方法。

⒉反函数法由互为反函数的两个函数具有的性质，可以通过求反函数的定义域来确定已知函数的值域。

例2、求函数 y =234x x +- 的值域。

解：由于函数y = 234x x +-的映射是一一映射（证明略）故反函数存在，其反函数为y= 4231x x +-(x≠13) ∴函数的值域为{ y | y≠13，且y∈R}＃ 说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用于形如 y =ax b cx d++(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法（见方法5）。

第1讲 函数的定义域及值域【知识梳理】一．函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 二．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 三．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 四．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．【题型归纳全解】题型一 函数的概念例1. 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.题型二 求函数的解析式例2. (1)如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)B (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t 1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.(3)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2f (x )x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.题型三 求函数的定义域 例3. (1)函数f (x )＝ln (2＋x －x 2)|x |－x 的定义域为( )A ．(－1,2)B ．(－1,0)∪(0,2)C ．(－1,0)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，则函数g (x )＝f (2x )(x －1)0的定义域为________．答案 (1)C (2)[12，1)解析 (1)f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x －x 2>0，|x |－x ≠0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x <0，∴－1<x <0，∴f (x )的定义域为(－1,0)．(2)要使函数g (x )＝f (2x )(x －1)0有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤2x －1≠0，∴12≤x <1，故函数g (x )的定义域为[12，1)． 题型四 分段函数例4. (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为 ( )A ．2B ．1 C. 2 D ．－ 2 答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时， f M (x )＝2－x 2；当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.【课堂训练】1. 函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0ln (x ＋1)≠04－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2. (2012·江西)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D解析 由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3. 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4. 已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .5. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]答案 B解析 方法一 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ； 若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1，所以选B.6. 下表表示y答案 {2,3,4,5}解析 函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}． 7. 已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.答案 11解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.8. 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0.9. 已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10. 某人开汽车沿一条直线以60 km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象． 解x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤52150 52<t ≤72150－50(t －72) 72<t ≤132.图象如右图所示．【课下作业】1. 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4.2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3) 答案 A解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3， 解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－2x ，x <0，则关于x 的方程f (f (x ))＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上) 答案 ①②解析依题意，知函数f (x )>0， 又f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ee x ，x ≥0，e －2x ，x <0，依据y ＝f (f (x ))的大致图象(如右图所示)，知存在实数k ，使得方程f (f (x ))＋k ＝0恰有1个实根或恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根或恰有4个不相等的实根．4. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫 作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．5. 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．。

湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数—值域二．教学目标：1. 会求常见函数的值域；2. 掌握几种函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元法等。

（一）复习：（提问） 1．函数的三要素；2．函数的定义域：自变量x 的取值的集合；函数的值域：自变量x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。

（二）新课讲解：例1、试画出下列函数图象。

（1）f(x)=x+1, (2)f(x)=(x-1)2+1,[)1,3x ∈1．观察法求函数值域 例1．求下列函数值域：（1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）21y x =-{2,1,0,1,2}x ∈--（3）31y x =+ （4）1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（答案一[4,5]-）， （答案二{3,0,1}-）， （答案三(,1)(1,)-∞+∞），（答案四{1,0,1}-） 2．配方法求二次函数值域例2．已知函数223y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。

（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈．解：（1）∵2(1)4y x =+-∴min 4y =- ∴值域为[4,)-+∞．（2）∵223y x x =+-的图象如图， 当0x =时，min 3y =-，∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞． （3）根据图象可得： 当1x =-时，min 4y =-，当2x =时，max 5y =，∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-． （4）根据图象可得：当1x =时，min 0y =，当2x =时，max 5y =，∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]． 说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同；（2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。

练习：已知函数231213y x x =-+，求它在下列各区间上的值域： （1）[1,1]-； （2）[1,4]； （3）(1,3]． 3．部分分式法求分式函数的值域例3．求函数541x y x +=-的值域。

高一数学求函数值域的方法难度：高一数学中的函数是指一种依赖于某个变量或者变量集的关系式，它通常被用来描述一些实物或者抽象概念之间的相互关系。

在上述命题中，如果我们对该函数进行给定值的计算和运算，那么我们就能够得到该函数的函数值。

在数学中，函数值域通常被用来描述该函数能够生成的所有可能函数值的集合。

所以，如果我们在求函数的函数值域时想要得到一个准确的答案，那么我们就需要对该函数的定义域以及函数的具体形式进行有效的分析和推理。

本文就将为大家介绍一些高一数学求函数值域的方法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

方法一：利用求导法求函数的单调性在求函数值域时，我们可以先通过求函数的导数来了解该函数的单调性和函数的趋势变化。

具体来说，我们可以针对给定的函数f(x)，按照以下步骤来计算该函数的导数：（1）求f(x)的一次导数，并得到f'(x)的函数式；（2）求f'(x)的零点，并把零点作为x轴的分界点将其分为若干段；（3）对于每一段区间，我们都能够了解到函数的单调性和函数的趋势方向，并用函数的取值范围来描述函数值域的全貌。

方法二：利用函数的图像来判断函数值域另外，我们在求函数值域的过程中，还可以通过函数的图像来了解函数的特征和函数值域的大致范围。

一般来说，函数图像的变化趋势会反应出函数的单调性和函数值域的特征，这样我们就可以根据函数图像来作出一些初步的推测和估计。

对于一些简单函数来说，我们可以直接根据函数的定义域和对应关系来求出函数的值域，而对于一些复杂函数来说，我们则需要利用一些数学方法和技巧进行较为深入的计算和推理。

需要注意的是，在利用反函数来求解函数值域时，我们需要保证原函数是可逆的，并且反函数也是一个良好定义的函数。

另外，在具体计算时，我们还需要对反函数的定义域和值域进行适当的限定和分析，从而得到准确的计算结果。

总结：综上所述，高一数学求函数值域的方法有很多种，大家可以根据自己的需求和具体情况选择适合的方法来进行计算和推导。

高一数学函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x 中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。

函数值的集合{f(x│x∈A}叫做函数的值域。

（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x]的定义域为x∈（a,b ）求f(x 的定义域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，则 g(x 的值域即是 f(x 的定义域。

②已知f(x 的定义域为x∈（a,b ）求f[g(x]的定义域,方法是：由a 求得x 的范围，即为 f[g(x] 的定义域。

3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。

（三）确定函数的值域的原则1、当数y=f(x 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。

2、当函数y=f(x 图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。

3、当函数y=f(x 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域：函数y=kx +b y=ax2+b x+cy=ax y=logax值域 R a>0a<0{y|y ∈R{y|y>R0}且y≠0}4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）（2）(3y=lg(a x-kb x (a,b>0且a,b≠1，k∈R[解析]（1）依题有∴函数的定义域为(2依题意有∴函数的定义域为（3）要使函数有意义，则a x-kb x>0，即①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则定义域为{x|}(Ⅱ若0 ，则，定义域为 {x| }(Ⅲ若a=b>0，则当0 时定义域为 R ；当k ≥ 1 时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组。

函数初步一、 教学目标1． 理解映射、函数的概念 2． 了解求函数解析式的几种方法 3． 会求具体函数、抽象函数定义域二、 教学重难点重点：求函数解析式、定义域的方法 难点：复合函数解析式、抽象函数定义域问题三、 基础知识必备（一）映射的定义：映射定义：设A,B 是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个．．．．元素，在集合B 中都有唯一．．元素与之对应，这样的对应叫做从集合A 到．集合B 的映射，记作：B A f →:(注：A 中元素必须取完，B 中元素可以取完，也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多;注意关键词)在映射B A f →:中，集合A 叫做映射的定义域，与A 中元素x 对应的B 中元素y 叫x 的象，记作：)(x f y =，x 叫做y 的原象。

补充：映射有“三性”：①“有序性”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的. （二）函数的概念： 1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2. 映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。

由映射的概念可知，函数本质上是定义在两个非空数集上的一类特殊的映射：当A 、B 是两个非空数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，并记作y =f (x )，其中x ∈A ，y ∈B ．原象的集合A 叫做函数的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C ⊆B ．3．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.（三）函数的表示法 1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 3．对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y四、 典型例题分析 考点一：映射与函数（一）映射例1. ①A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；②*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；③{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应_____是A 到B 的映射． 例2.已知映射B A f →:,其中A B R ==,对应法则x x y f 2:2+-=,对于实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 ( )A.1>kB.1≥kC. 1<kD. 1≤k练习: 1.已知}{,,A a b c =，}{0,1B =，映射:f A B →.满足：()()()f a f b f c =，则这样的映射有（ ）个A. 0B. 2C. 3D. 42、给定映射),(),(y x y x y x f -+→，则点（1,2）在f 下的象是 点（1,2）的原象是（二） 函数概念例3. 下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)(2)(3)(4)例4. 函数的图象与直线的公共点数目是( )A ．B ．C ．或D ．或（三）复合函数与分段函数例5. 设231,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩,22,1()2,1x x g x x ⎧-≤=⎨>⎩求1[(3)],[()]2f g g f -的值例6. 已知函数2,[1,1](),[1,1]x f x x x ∈-⎧=⎨∉-⎩，若[()]2f f x =，则x 的取值范围是( )A ．φB ．[－1,1]C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．{}2[1,1]-例7. 设函数()21|||4|f x x x ＝＋－－. 解不等式()2f x ＞ ；练习：1.已知21()(1)x f x f x +⎧=⎨+⎩11x x ≥<，求)2(-f2. 已知函数 221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =,则实数a 等于（ ）A.21 B. 54C. 2D. 9 考点二：函数的定义域求函数的定义域（x 的取值范围）的方法①如果)(x f 为分式，其定义域是使分母不为0的实数集；②如果)(x f 是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子不小于0的实数集合；③如果)(x f 是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；④0)(x x f =的定义域是}.0|{≠∈x R x ⑤实际问题中要考虑实际意义； (一)给出函数解析式，求其定义域 例8. ① 21)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③xx x f -++=211)( ④14)(2--=x x f练习：求下列函数的定义域373132+++-=x x y例9. 求下列函数的定义域，并用区间法表示： （1）2143)(2-+--=x x x x f （2）=)(x f x11111++（3） x x x x f -+=0)1()(（二）抽象函数的定义域：例10. 已知函数()f x 的定义域是[]0,9，求函数()2f x 的定义域例11. 已知函数()32f x +的定义域是(],3-∞，求函数()f x 的定义域。