高一【数学(人教A版)】函数的性质综合-课件

奇函数
偶函数
2 知识回归
知识回顾 8：幂函数的图象与性质
8.1、五个幂函数的图象 (记忆五个幂函数的图象 ）
当 1, 2,3, 1 , 1 时，我们得到五个幂函数： 2
f
(x)
x
；
f
(x)
x2
；
f
(x)
x3
；
f
(x)
1
x2
；
f
(x)
x 1
2 知识回归
知识回顾 8：幂函数的图象与性质 8.2、五个幂函数的性质
3 典型例题讲与练
考点二：函数的值域
【典例
5】（2023·全国·高一专题练习）函数
f
(x)
8x x2
15 3x
4
的值域为（
）
A．
1 7
,
1 3
B．
8 7
,
2
C．
16 7
,
4
D．以上答案都不对
【详解】设题中函数为 y f x ，则 yx2 (3y 8)x 4y 15 0 ，
当 y 0 时， x 15 ；
2 知识回归
知识回顾 3：求函数解析式
（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），
可用待定系数法．
（2）换元法：主要用于解决已知 f g x 这类复合函数的解析式，求函数 f x
的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.
（3）配凑法：由已知条件 f g x F x ，可将F x 改写成关于 g x 的表达式，
特别地，当函数 f (x) 在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).

总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：

2
x
-1 -
在函数 y sin x, x [0, 2 ]的图象上，起关键作用的点有：
最高点：( ,1)
2
最低点：(32 , 1)
与x轴的交点：(0,0) ( ,0) (2 ,0)
2 正弦函数、余弦函数的性质
先观察区间[0, 2π]上的函数图象：
y
y cos x x [0, 2 ]
1-
-
-1
o
6
2 正弦函数、余弦函数的性质
周期函数定义： 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定
义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫 做周期函数. 非零常数T叫做这个函数的周期.
2 正弦函数、余弦函数的性质
思考：周期函数的周期是否是唯一的？ 正弦函数的周期可以是哪些？
课堂小结
一、本节课学习的新知识
二、本节课提升的核心素养
正弦函数图象
数据分析
余弦函数图象
直观想象 逻辑推理
五点作图法
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
数形结合 转化与化归 类比思想
01 基础作业：
.
02 能力提升：
.
03 拓展延伸：
.
2 正弦函数、余弦函数的性质
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -π
π
3π 5π x
-5π -3π
O
2π
Байду номын сангаас
4π
6π
-1
思考：观察上图, 正弦曲线每相隔 2 个单位重复出现. 其理论依据是什么？
当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现. 数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始” 的变化规律.

对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
A1 {t 0 t 0.5}
自变量的集合
S=350t 对应关系
B1 {S 0 S 175}
函数值的集合
对于 数集A1中 任一时刻t， 按照对应关系S 3，50t 在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至 少1天，至多不超过6天，公司确定工资标准 是每人每天350元，而且每周付一次工资
3
⑶当a 0时，求 f (a), f (a 1)的值。
例2下列哪个函数与 y = x 是同一函数？
⑴ y ( x)2;
⑵ y 3 x3;
⑶ y x2;
x2 ⑷ y .
x
当定义域、对应法则和值域完全一
致时，两个函数才相同.
牛刀小试：下列各组中的两个函数是否为 相同的函数？
⑴
y1
(
x
3)( x
（4）问题1和问题2中函数的对应关系相同，你 认为它们是同一个函数吗？你认为影响函数的要 素有哪些？
对于 数集A2中 任一个工作天数d， 按照对应关系W 3，50d 在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应
自变量 的集合
对应关系
函数值的 集合
问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日空 气质量指数变化图，如何根据改图确定这一 天内任一时刻t h的空气指数的值I
年份y
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
恩格尔系数r 36.69 36.81 38.17 35.69 32.15 33.53 33.87 29.89
2014
29.35
2015
28.57
表3.1-1某城镇居民恩格尔系数变化情况

第4章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
导问：创设情境，引入主题
给我一个支点，我能够撬动地球。
----阿基米德
给我一张足够大的纸，
我能够上月球，你信吗？
给你一张纸，你能折几次呢？
导问：创设情境，引入主题
如果你有一张面积无限、强度无
限，厚度为0.01毫米的纸，如果
折叠能力无限，那么多次对折，
纸张的厚度会变成多少呢？
导问：创设情境，引入主题
导问：创设情境，引入主题
问题1：一张薄薄的纸，却折叠出了惊天的气势，蕴含着神秘的数学知识。
若把纸张的初始厚度设为1，经过x次对折后， 纸张厚度y与对折次数x之间
的关系是什么？
对折次数
纸张厚度
每折叠一次，得到的纸张的厚度都约
0
1
1
为前一次的2倍.也就是每次的厚度相
比于折叠之前都增长了100%，我们称
这节课我们都学了什么？
R
对称性
定义域
定义
值域
指
数
函
数
奇偶性
图
性
象
质
非奇非偶函数
单调性
过定点（0，1）
在第一象限内“底大图高”
感谢凝听！
2
3
···
这个100%为增长率。
···
增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。
导问：创设情境，引入主题
问题2:《庄子·天下篇》 中写道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。“
设原长度为1，设
取ｘ天之后，剩
1
长度都变为前一天的
2
一半.也就是每天的长
3
度相比于前一天都衰
下y，请完成表格：
···

(1) f ( x a) f ( x a)
1
(2) f ( x a)
f ( x)
(3) f ( x a) f ( x)
T=2a
T=2a
T=2a
？ 回顾
奇函数和偶函数的定义是什么?
•
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，
且f(-x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
7
2
PART 1 周期函数
周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个
非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且
f(x+T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零
常数T叫做这个函数的周期。
最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存
在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
•
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，
且f(-x)＝-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
PART 4 正余弦函数的奇偶性
• 正弦函数y=sinx满足x∈R, sin(-x)=-sinx，所以
正弦函数是奇函数.
• 余弦函数y=cosx满足x∈R, cos(-x)=cosx，所以
(2) y=cos2x，x∈R；
1

(3) y=2sin( − )，x∈R
2
6
例题探究 P201
例 求下列函数的周期
(1) y=3sinx，x∈R；
(2) y=cos2x，x∈R；
1

(3) y=2sin( − )，x∈R
2
6
？ 思考
回顾例题的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中

23
33
4.变式:求函数y sin( 1 x ), x [ , ]的单调递增区间.
23
解 : y sin( 1 x ) sin(1 x ),
23
23
令z 1 x , x [2 ,2 ], 则z [ 4 , 2 ].
23
33
因为y
sin
z,
z
[
4
,
2
]的单调递减区间是[
4
时取得最小值
1;
7.最大值与最小值
由余弦函数的图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数当且仅当 x _2_k__,_k____Z__ 时取得最大值1,
当且仅当x _____2_k__,_k___Z_时取得最小值 1.
8. 正弦函数、余弦函数的图象和性质
函 数 y sin x, x R
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z ) 上都单调递减,
其值从1减小到－1.
7.最大值与最小值
正弦函数图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数当且仅当
x
2k , k Z
_2__________
时取得最大值 1,
当且仅当
x
2k , k Z
___2__________
5
)在区间[0,
]上的单调递增区间为(
)
3
A.[5 ,11 ]
12 12
5
、B.[0, 12 ]

调递减区间.
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
②运用单调性比较大小关系.
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整
π
π
体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< 2 ＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导


π
3π
故单调递减区间为2kπ－2，2kπ＋ 2 ，k∈Z.


题型三 正切函数图象与性质的综合应用
π
π
= tan +
例3. （1）求函数
2
3
的定义域、周期及单调区间.
解：自变量x的取值应满足
π

2
π
+ ≠kπ
3
π
+ ，
2
∈
1
即 ≠2k+ 3 ， ∈
1
所以，函数的定义域是 | ≠ 2 + 3 ， ∈
得－4＋kπ≤2－3≤3＋kπ(k∈Z)，
π
4π
解得6＋2kπ≤x≤ 3 ＋2kπ(k∈Z).
π

4π
所以不等式－1≤f(x)≤ 3的解集是x6＋2kπ≤x≤ 3 ＋2kπ，k∈Z .


解答正切函数图象与性质问题的注意点
kπ
，0
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是 2
(k∈Z)，不存在对称轴.
2
2
3 2
5
1
− + 2＜＜ + 2， ∈
3

【对点练清】 1．下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是
A．A＝R ，B＝R ，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R ，B＝R ，f：x→y＝x－1 2
()
D．A＝Z ，B＝Z ，f：x→y＝ 2x－1
解析： A 错误，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任意 x∈A，y 值不 唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A，在 B 中找不到与之相对 应的数．D 错误，－1∈A，在 B 中找不到与之相对应的数． 答案：B
区间可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义
名称
区间
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
_[a_，___b_]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，_b_)_
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，_b_)_
续表
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
函数的定义域． 推理素养.
4.能够正确使用区间表示数集.
பைடு நூலகம்
知识点一 函数的有关概念 (一)教材梳理填空 1．函数的概念：
定义
一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 _唯__一__确__定__的__数__y_和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集 合B的一个函数
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加 的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以 是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变 量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研 究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．

(1)y=sin
-
1 2
x+ 3
,x∈R;
T= 2π =4π 1 2
(2)y=|cos 2x|,x∈R.
y
T=
π 2o2来自x22．已知 f(x)＝2cosπx，则 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝________. 3
解析：易知f(x)的最小正周期T＝6，则有 f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
+
π 18
(k∈Z )时，ymax=2
x= kπ-
π 12
(k∈Z )时，ymin=-2
令3x+
π 3
=
2kπ
-
π 2
5π x=kπ + 12
(k∈Z )时，ymax=4
x=
2kπ 3
-
5π 18
(k∈Z )时，ymin=-2
二.周期函数的概念
由正、余弦函数的图象可知, 正、余弦曲线每相隔2π个单位重复出 现， 这一规律的理论依据是什么？
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
【答案】A
【解析】因为 f x x cos x sin x ，则 f x x cos x sin x f x ，即题中
所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项 CD 错误；且x 时，
y cos sin 0 ，据此可知选项 B 错误，故选 A。
于是
2sin
1 2
x
π 6
2π
2
sin
1 2
x
π 6
，
原函数的周期为4π
所以