易拉罐形状和尺寸的最优设计.

易拉罐形状和尺寸的最优设计我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

摘要本文利用游标卡尺分别测出355毫升易拉罐的各项数据。

设易拉罐是一个圆柱体时，我们采用等厚度面积法将体积问题转化为面积问题，再运用极值的知识求出最优比例。

设易拉罐中心纵断面上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，我们通过对其厚度、材料的密度分布、易拉罐的预留体积做一系列假设，建立相应数学模型，运用LINGO、CAD等工具求出其最优设计。

对于易拉罐的设计，我们着重从经济、视觉、安全和消费者心理几个角度入手设计，并建立对应数学模型验证其可行性。

关键词：黄金分割率等厚度面积法一、问题重述二、模型假设1．不考虑易拉罐具体制作工艺，仅对形状、尺寸及重量等非工程及技术量作出相应的分析。

2022高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）C题:易拉罐形状和尺寸的
最优设计
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升
的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一
样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于
单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如
果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现
在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

具体说，请
你们完成以下的任务：
1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮
料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、
高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可
以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，
下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉
罐的形状和尺寸。

4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出
你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

易拉罐的形状和尺寸的最优设计摘要本文讨论了以假设易拉罐的上、下底面及侧面所用材料相同为前提，在相同体积情况下，哪种形状的易拉罐所用材料最少。

将易拉罐设计成正圆柱体，分析并建立了非线性规划模型，用连续函数求极值的方法，获得结果；探讨了易拉罐形状为由上面圆台和下面正圆柱体组成的最优化设计，建立了非线性规划模型,分别用隐函数求导数和拉格朗日乘子两种方法求解；最后采用相同体积时球体表面积最小这一数学结论，以及便于运输和放置的实际状况，我们把易拉罐形状设计为用两个平面截去顶部后的圆台，建立非线性规划模型。

也尝试用旋转曲线建立球体最优设计。

通过计算对比结果,第二种形状(目前使用易拉罐形状)是最优的。

本文还对模型进行了推广。

关键词: 非线性规划拉格朗日定理隐函数一．问题重述日常生活中，我们稍加留意就会发现很多的饮料罐(即易拉罐)形状和尺寸几乎都一样。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，单个易拉罐的生产，对资源充分利用，节约生产成本并不明显。

但如果生产的数量非常多的话，那么节约的钱就很可观了。

为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差异，为什么？假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种形状和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低，也就最合理。

需要研究的内容:(1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等。

(2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说明和验证所测量的相关数据。

（3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较。

(4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案。

进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程。

最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要易拉罐十分流行，对易拉罐的优化设计有重要的经济意义与实际意义。

对问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。

对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。

对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。

模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。

结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。

对问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。

对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。

另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。

对问题五，写出了我们对数学建模的体会文章。

关键词：易拉罐 最优设计 数学建模一、问题的提出每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年用易拉罐6070亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设计，节约一点用料，则总的节约就很大了。

为此提出下述问题：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

易拉罐形状和尺寸的最优设计组员：邢登峰，张娜，刘梦云摘要研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。

问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。

问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。

问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。

模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。

结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。

问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。

对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。

另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。

最后写出了我们对数学建模的体会文章。

关键词：易拉罐 最优设计 数学建模问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

易拉罐形状和尺寸的最优设计指导老师：宋跃武梁军李大伟，何安娜，任婧康摘要：为了最大限度地减少单罐质量、提高材料利用率、降低生产成本。

本文根据易拉罐实际测量的数据，按照数学建模问题的要求，分别给出正圆柱体易拉罐的最优设计和上部为圆台下部为圆柱时易拉罐的最优设计；然后，给出关于易拉罐形状和尺寸的的最优设计, 这个设计用料最省、外观精美和手握舒适。

关键词：目标函数条件极值易拉罐厚度单罐重量Optimal Design for the Shape and Size of CanLI Dawei, HE Anna, REN Jingkang Instructor：SONG Yuewu, Liang Jun （Sanjiang University，Jiangsu Nanjing 210012 ,China)Abstract: For the decreasing in the weight of a can and the increasing in the avail of material and the reducing in the cost of production, the optimal design for the shape and size of can is present in this paper. Firstly, the optimum design for the cylinder can is present by according to its measuring data and the demands of mathematical modeling. Secondly, the optimum design for the can of circular truncated top and columnar bottom is also present. Finally, the optimal design for the shape and size of can is proposed, and the superiorities of the proposed design in the avail of material and the handsome of form and the comfortable of handclasp are testified.Keywords: Target function; Conditional extremum; Can thickness; Can weight1 概述如何在易拉罐生产中最大限度地减轻单罐质量，提高材料利用率，降低生产成本，是企业追求的重要目标。

07级数学实验—探索实验报告学院：理学院专业：统计学班级：统计071姓名：高袁屠凤华姚鹏成治尧2010 年 1 月 3 日易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题 ——高袁 屠凤华 姚鹏 成治尧 统计071分工：高袁：编程屠凤华：数据测量和文章处理 姚鹏 成治尧：分析结论摘要饮料灌装是饮料生产中十分重要的一环，饮料灌装容器的设计不仅直接关系到生产企业的制造成本，同是也决定着饮料产品的品质和价值。

理想的饮料灌装容器应能起到以下作用：保护内在质量、免受物理损坏、使用方便、便于运输、和促进销售。

在日常生活中,我们总会买些易拉罐装的饮料和食品,殊不知,易拉罐的设计便包含了一定的物理、数学知识。

对易拉罐的设计，生产者总会考虑让它成本最低，并且功能最强。

如：设计一个体积固定为V 的圆柱形易拉罐，什么样的设计方案最优？首先我们根据测的一组数据得直径和高的比值接近黄金分割点。

本文基于用铝材料做成一个容积一定的圆柱形的容器用料最省问题，我们分析说明表面积最小是正圆柱体的最优设计。

再从实际情况出发，注意到罐的顶盖比其他部分都要厚，我们引入了厚度因子a,并结合模型<一>的结论r:h=1:4，考虑用材料的体积SV ，建立模型<二>，得出a=3.再以此为基础，建立模型<三>:Min S=[2H R ⨯⨯π+2R ⨯π+32r ⨯π+22)3.0()(h h r R +⨯+⨯π]b ⨯S.t. V=H R ⨯⨯2π+)(3133r R -⨯⨯πR=r+0.3h设定从顶盖到胖体部分的斜率为 a. 并代入工程生产中普遍认定的斜率0.3,运用Mathematica 软件求解，得出h=4r 的结论，这与我们在第一问中用游标卡尺所测得的数据吻合.对此时的SV 进行求偏导数,得出极值点为h=5.36221, r=1.49597, R=3.1046, H=10.8017.问题四我们用曲面积分思想建立了模型〈四〉：Min )(23220212002122R R r R R r R H R SV ---⨯⨯++⨯+⨯⨯=ππππb ⨯ S.t V=H R ⨯⨯2π+])()[(332032202R R h R R h R --+-⨯-⨯⨯ππ得出我们设计的易拉罐H=6.54 h=2.54 R=3.82 直径：高度=2R ：（H+h ）一、问题的提出：我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

易拉罐形状和尺寸的最优设计生活中像可口可乐、青岛啤酒这类饮料量约355毫升的易拉罐拥有相同的形状和尺寸，考虑到其销量可能大至几亿，甚至几十亿，那么我们认为指定形状后的最优设计就是最省料的设计。

本文建立模型解决圆柱形及圆柱圆台组合形易拉罐的最优设计问题，并在节省材料和人性化的基础之上设计出一种新的易拉罐．1 对实际易拉罐的测量与统计取一个生活中常见的355毫升的易拉罐，采用15次测量求平均值的方法对真值进行估计，并根据样本数据取置信度为0.85，得到均值和置信区间如表1所示．表1 所测易拉罐的尺寸大小 /mm总高H 圆柱高h 圆柱外 直径D 圆台内 直径d 圆台 高l 壁厚b 下底 厚度c 上盖 厚度a 均值和置信区间123.38 ±0.034102.54 ±0.02966.00 ±0.03756.36 ±0.03512.80 ±0.0360.13 ±0.0130.13 ±0.0150.30 ±0.0142 圆柱形易拉罐的最优设计——模型一2.1模型建立：此时易拉罐的形状见图1，易拉罐的体积是一定的，现将易拉罐分成侧面、上底面和下底面三部分（下底面与侧壁同厚、上顶面厚度记为b β），分别计算三部分的用料体积并得出总体积为（注意到：b R b h ，，由此可得到用料的近似值）： 222222322(,)()[(1)]22(1)(1)(1)2(1)V R h V V V R b R h b b R b R R h b R bh bbR bR h b R bππβπππππππππ⎡⎤=++= +-+++β⎣⎦+ =++β+++β++β≈++β顶柱侧底又因为易拉罐的容积V 一定，即2R h V π=，所以建立以下条件极值优化模型[1]： 目0, 0m in (,)R h V R h >>约束条件： 2R h V π=图1 圆柱形易拉罐 2.2 模型求解：将2Vh Rπ=代入(,)V R h 得()22()2(1)VV R h R Rb R bRπππ=++β，，令32222[(1)](1)0dVVbb R R V dR R Rππ⎡⎤=+β-=+β-=⎣⎦，解R =因此，2(1(1)Vh Rπ==+β=+β，由于220d V dR>，故所得唯一驻点使目标函数取得最小值[2]．综上所述，当355毫升易拉罐简化为圆柱体时，从用料最省的角度进行易拉罐尺寸的最优化设计，其设计方案为：32.48R m m =,107.18h m m =，此时使用的原材料最少，为34262.83mm ．对比实测数据易知，将易拉罐简化为圆柱形进行最优设计所得尺寸与实测数据有一定的差异．3 圆台与圆柱组合形易拉罐的最优设计——模型二及模型三3.1模型二的建立：此时易拉罐的中心纵面图见图2，现将易拉罐分成圆柱部分的侧面、圆台部分的侧面、上底面和下底面四部分，分别计算三部分的用料体积并得出总体积为（注意到：b R b h ，，由此可得到用料的近似值）： 222222222223222(,,,)[()][(1)]11()()()()()3322()2V R r h l V V V V R b R h b b r b R l R b r b R b r b l R r R r R b r b b h b R bh R b bl R r b R b r b R bh lR b lrbππββππππππβπππππππβπππ=+++=+-++++⎡⎤+++++++-++⎣⎦=++++++++≈++++顶柱侧底台又因为易拉罐的容积V 一定，即()22213R h lRR r rV ππ+++=目标函数：0, 0,0,0min (,,,)R h r l V R r h l >>>> 约束条件：2221()3R h l R R r r V ππ+++=图2 圆台形纵面图3.2模型二求解：将()22213V l R r Rr h Rππ-++=代入(,,,)V R r h l 得到：()()222222(),,,,,()3bV bl RrR r VR r l h R r l Rb r b lb R r RRπππβπ++=++-++对l 求偏导，得：222()()()(2)33V b R r Rr b b R r R r R r lRRπππ∂++=-++=-+∂，因为()()203bR r R r Rπ-+>，所以函数()(,,,,,)V R r l h R r l 是关于l 的增函数，那么，l 越大，所用的材料就越多，因此0l =时，即为圆柱形易拉罐时用料最省．3.3模型二的改进及其求解-模型三结合实际生活中常见的易拉罐，它们的顶部确实加上一个圆台，然而通过这一问的解答， 圆台与圆柱相结合是达不到用材料最少的，我们便考虑到这样的设计涉及到易拉罐的坚固性、可使用性及美观性．利用物理知识可以知道，圆柱上加上一定斜率的圆台后能使罐顶达到一定的机械强度；可使用性指罐顶的半径必须达到一定长才能使人易于扳开拉环；美观程度可以用直径与高的比与黄金比例间的差距来衡量．根据这三个条件将该模型归结为一个有约束条件的非线性最优化问题．根据实际测量值，现假设圆台的夹角余切在0.3到0.4之间 ,[]0.56,0.70∈直径高(黄金比例为0.618)，圆台的顶盖半径大于24m m ．则建立非线性规划模型为：目标函数：0, 0,0,0min (,,,)R h r l V R r h l >>>>约束条件：2221()30.30.420.560.70,,,0R h l R Rr r V R r lRh l R r h l ππ+++=⎧⎪⎪-⎪≤≤⎪⎨⎪≤≤⎪+⎪⎪>⎩ 利用MATLAB7.1最优化工具箱中的fmincon 函数求解[3]，求解时要对模型做进一步的约束, 结合模型一的结果，我们取：32R ≥，24r ≥，R r >，107h ≥，12.1l ≥，规定步长为0.01m m ，经过搜索得到一个最优解：33.55,28.71,R mm r mm = = 107.00,h mm =12.10l m m =，此时上部是一个正圆台，下部是一个正圆柱体，用料为34471.60mm ．对比于实际数据和模型一的结果，显然更加接近实际值，这说明我们对模型二的改进是合理的．4 基于若干设计原则的新易拉罐的最优设计-模型四4.1模型的建立：在对两种简化后的易拉罐进行最优设计的分析后，我们综合考虑了易拉罐的形状、手感和观感方面对易拉罐进行重新设计．从形状来看，罐内装有大量液体，在运输过程中会对罐体壁产生很大的冲力，为了使罐体受力均匀，故将罐体壁设计成旋转体.同时为了降低罐底受到的较大压力，将下底面设计成凸起的形状.再结合球形用材少容积大的好处，我们将圆台设计为半球，即上盖变成了半球．从手感方面考虑，在成年人中，女性手掌的尺寸一般小于男性，这里我们以女性手掌尺寸为参考.当大拇指和中指这两个部位的距离达不到易拉罐横切面周长的一半时，则手感不佳且不易握牢.因此，当成年女性正常握持易拉罐时，其大拇指指尖到中指指尖间的圆弧长度应不小于罐身半周长.从观感来看，将易拉罐底面直径与高的比设置在黄金分割比的附近为佳，此处规定其值在0.56到0.70考虑以上各种因素，新设计的易拉罐形状见图3图3 新易拉罐形状图 图4 新易拉罐纵面图为减小冲力，罐内需留出少量空间，同时考虑底部有凸起的部分，因此将罐体容积设计成390毫升。

易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本文以用于制造易拉罐的原料总体积最省为优化目标，通过构建多元函数和建立非线性规划模型，利用热力学，材料力学，立体几何相关方面的知识对容积为355 ml 的易拉罐的形状与尺寸进行了优化设计，并在综合考虑各方面因素的情况下，构想出了一个外形较美观，手感较好，制造成品所需材料体积又较省的易拉罐模型。

问题一中，结合问题的特殊性，我们首先对实物体各部分的尺寸进行了详细测量，并在多次试验的基础上求取平均值，以达到测量的平均误差最小。

通过测量，我们发现易拉罐一些部位的厚度是不一致的，从而确定了应该以原料总体积最小作为优化目标，而不仅仅在于原料面积最小。

问题二中，我们按照此优化目标，建立了有条件约束的非线性规划模型，并结合原问题将其转化为我们熟悉的一元函数极值问题。

通过适当的运算，其解析解为：半径与高之比1: (1λ+2λ),再利用实测数据中的厚度来计算其数值结果为1:4.4，并用实测半径与高之比1:4.3来验证，两者非常接近，得出该模型是合理有效的。

问题三中，我们在模型一的基础上，考虑到二氧化碳气体的易挥发性，利用盖－吕萨克定律和碳酸化原理合理地为易拉罐内饮料设计了一个满足最大膨胀体积的空间,从而优化设计出了比模型一更加合理的易拉罐。

问题四中，我们再在模型二基础上重新构思了多种新形状的易拉罐，利用圆周定理综合分析考虑选出一种各方面较优的形状（圆柱与球缺组成的）用同样原理的模型优化其尺寸，同样利用LINGO 软件解得其尺寸及大致所需材料，经比较分析可得出这种形状的易拉罐较优，所需材料比同容积的其它形状的易拉罐少，各部分比例也较适中。

本文最大的特色是对原问题作出了合理假设，将实物体转化为几何图形，并尽量避开物理化学对我们建立数学模型的影响，通过对其形状从简单的到复杂的都得出类似的结论。

我们研究易拉罐的结构是由简易到复杂，层层递进地考察易拉罐的形状和尺寸，但始终没离开实测数据，时时回归实测数据以验证模型，得出与实际相吻合的结论。