参考论文1-易拉罐的最优设计

易拉罐形状和尺寸的最优设计（06全国一等奖）摘要任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，应该是某种意义下的最优设计.本文以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，解决了以下五个问题.对于问题一，我们测得易拉罐顶盖直径为5.9cm，顶盖到底面的高为12cm，侧面的高为12.3cm，中间胖的部分的直径为6.6cm、周长为20.8cm，并在网上查得侧面与顶盖、底面厚度之比为1:2.对于问题二，本文以易拉罐所耗材料的费用达到最小来考虑，由于易拉罐各部分单位面积的价格难以确定，本文通过各部分单位面积的价格与相应厚度的关系，将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积，罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件，所以我们建立了一个非线性优化模型.根据拉格朗日乘数法并用Matlab软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为半径和高之比是1:4，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸.对于问题三，本文运用问题二的方法建立了一个非线性优化模型，根据拉格朗日乘数法并用Matlab 软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为——上面部分为圆锥体（下底半径为3.45cm，高为3.09cm）、下面部分为圆柱体（高为8.45cm），其结果与本文所测量的易拉罐的形状和尺寸并不符合.然后本文通过合理性和可行性分析，发现本文求得的是耗用材料最省的最优设计，但从美感、物理、力学、工程或材料方面考虑，与实际的设计相比实用性稍差.对于问题四，本文从耗材上的节省，以及外形的美观和可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱体的易拉罐.运用问题二的方法建立了一个非线性规划模型，并通过Matlab 软件编程求得了比较合理的尺寸，求得：椭圆柱体上下底面的半径为 1.8h cm=，中间=，高为11.6r cm最胖部分的半径为3.6cm.另外，本文从不同的角度分析了这一设计的优缺点.对于问题五，我们根据做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文，阐述了什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点等.最后，本文对问题二、问题三、问题四的模型及结果进行了分析和评价.此外，对于问题四，我们求出了易拉罐为正椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.另外,从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的.关键词：易拉罐非线性优化模型拉格朗日乘数法正椭圆柱问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的.看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计.当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了.以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，现需解决五个问题，具体如下：问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是自己测量得到的，必须注明出处.问题二：⑴易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等.问题三：⑴易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体.什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸.问题四：通过对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计.问题五用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点.问题分析任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，要使易拉罐的设计达到最优即所耗材料费用应最省，因此我们可以将所耗材料费用看成是我们所要求的目标函数.材料费用通常是以单位面积来衡量的，从制造工艺的角度来看，侧面和顶盖、底面的造价是不同的，通常底面造价比侧面造价要高，这主要取决于底面比侧面厚度要大，因为如果底面和侧面一样薄，就很难将易拉罐拉开；如果侧面和底面一样厚，则浪费材料. 易拉罐总的费用应为顶盖、底面和侧面的面积乘以各自相应单位面积的造价，而底面和侧面的造价与其相应的厚度有关，厚度越大造价越高，反之，厚度越小造价越低.又表面积乘以厚度为体积，从而我们可以将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积.我们在全文数据库中查得：铝制易拉罐的罐体采用的生产工艺是一次成型的，它并不要从一块大的铝片上裁下材料[1].所以，我们不用考虑余料的问题，只需考虑现在所耗的材料.罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件.综合以上分析，对于问题二、问题三、问题四，我们可以建立一个以易拉罐所耗材料体积为目标函数，罐的容积为约束条件建立一个非线性优化模型.模型建立与求解1、对于问题一易拉罐的中心纵断面如下图所示，记为图①：图① 易拉罐的中心纵断面我们利用直尺、一条窄的无伸缩的薄纸条和游标卡尺测得：易拉罐侧面的高h 为12.3cm ，顶盖到底面的高1h 为12cm ，中间胖的部分的高2h 为10.2cm ，顶盖直径1d 为5.9cm ，中间胖的部分的直径2d 为6.6cm 、周长为20.8cm .在网上查得资料，侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2[2].⑴ 模型建立当易拉罐是一个正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图②（说明：侧面厚度和底面厚度应该是很薄的，为了方便图形的标识，就将其实际厚度扩大了很多倍）.底面厚度半径r图② 易拉罐的中心纵断面设易拉罐的侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，r 和h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 侧面所用材料的体积为：22[()]V r r d h ππ=--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；222[()]2()2V V V r r d h r d dπππ ∴=+ =--+-⨯侧材底且2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯综上，我们可以建立以下的数学模型：222min (,)[()]2()2(,)355..0,0V r h r r d h r d dV r h s t r h πππ =--+-⨯=⎧ ⎨>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈模型①⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以由拉格朗日乘数法[3]来求解.引入参数λ，函数(,)(,)355r h V r h ϕ=-，令(,,)(,)(,)L r h V r h r h λλϕ=+材要求L 的极值，即其对r h λ、、的一阶偏导数为零，则：00(,)0V L rr r V L hh h L r h ϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪∂⎪∂∂=+=⎨∂∂∂⎪∂⎪==⎪∂⎩材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序1），求得：223:1:43.0460.4313(3.046)0.8626(3.046)0.431312.18.r h r d h d d d d d ==+=⨯+-⨯++⨯+；；即易拉罐是正圆柱体时的最优设计为：半径和高之比是1:4.我们所测量的易拉罐的顶盖直径为：5.9cm ，从顶盖到底面的高为：12cm ，从而我们所测的易拉罐的半径和高之比为：(5.92):121:4.0678÷≈因此，我们根据模型所求得的易拉罐的半径与我们测量得到的半径相差不大，且易拉罐的半径与高之比和我们所测的易拉罐的半径与高之比也基本吻合.⑶ 验证:1:4r h =使V 材达到最小要验证:1:4r h =使V 材达到最小，我们只需验证r 使V 材达到最小.由2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯,可得:24()V h d r d π=+- 2222[()]42()2()V V r r d d r d d r d ππππ∴=--⨯++-⨯-材 计算''V 材,通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序2），求得:2''75.3865d+24.7500d V =材，其中0d >，故''0V >材.又由于在前面我们已经求得 3.046r d =+，所以，这个 r 的确使V 材 达到局部最小, 因为临界点只有一个, 故也使V 材达到全局最小.3、对于问题三⑴ 模型建立当易拉罐的上面部分是圆台、下面部分是正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图③.半径高度1h半径2r图③ 易拉罐的中心纵断面设圆台上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，圆台的高为1h ，圆柱体的高为2h ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）厚度为d ，罐的容积为V ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，1r 、2r 、1h 和2h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 又由于圆台的表面积和体积可以表示如下：圆台的表面积22()S r rl Rl R π=+++圆台表，圆台的体积'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（其中，r R 、分别为圆台上底、下底半径，h 为圆台的高，l 为圆台的母线）可得：侧面所用材料的体积为：2212222[([()]V r r d r r d h πππ=+⨯+--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：2212[()]2V r r d d ππ=+-⨯底；1212(,,,)V r r h h V V ∴=+侧材底 且22211212221(2)[()()]()(2)3V h d r r d r r d r d h d ππ=-+-+-+-⨯-综上，我们可以建立以下的数学模型：121212121212min (,,,)(,,,)355..0,0,0,0V r r h h V r r h h s t r r h h =⎧ ⎨>>>>⎩材┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型③ ⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以用拉格朗日乘数法来解决这一问题. 引入参数λ，函数12121212(,,,)(,,,)355r r h h V r r h h ϕ=-，令121212121212(,,,,)(,,,)[(,,,)355]L r r h h V r r h h V r r h h λλ=+-材要求L 的极值，即其对1212,,,,r r h h λ的一阶偏导数为零，则：12121112221112220000(,,,)0V L r r r V L r r r V L h h h V L h h h L r r h h ϕλϕλϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂⎪==∂⎪⎩材材材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序3），求得两组可行解，具体如下所示： 1 4.211820119.10820r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解①12120 3.4527 3.08848.4498r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解②根据解①可以知道易拉罐是一个倒立的圆锥，显然不符合实际情况，故舍去这组解，我们取解②. 我们对结果保留两位小数，即圆台上底面半径为0，圆台的高为3.09cm ，圆台下底面半径也即圆柱体底面半径为3.45cm ，圆柱体的高为8.45cm ，此时易拉罐上面部分是一个圆锥体.⑶ 模型结果分析① 与实际测量的数据进行比较我们所测的顶盖直径为5.9cm ，中间胖的部分的直径为6.6cm ，侧面的高为12.3cm .根据我们的模型算得的结果与实际测的结果并不符合.② 合理性分析从耗用材料方面来说，我们建立的模型是耗用材料最省的最优设计.我们所求得的结果是满足材料最省的，由我们的模型在Matlab 下编程求得易拉罐耗用的材料体积为308.46d （d 为侧面厚度），而根据我们实际测量的数据求得易拉罐耗用的材料体积为357.45d ，故我们求得的易拉罐的最优设计比实际中的易拉罐耗用材料要省.③ 可行性分析根据我们求得的结果，易拉罐上面部分不是圆台而是一个圆锥体，这明显不符合实际，因为易拉罐的上顶面要留有拉环的位置.为什么我们求得的最优设计不符合实际的情况？主要原因有以下几点：第一，从美学角度上来讲.任何产品的设计都要注意包装要给人以美感，设计时要考虑消费者的审美习惯，使消费者能从包装中获得美的享受，并产生购买欲望.[4]我们根据实际测量的数据，发现易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：6.60.647110.2≈，很接近黄金分割率0.618.黄金分割率可以衡量平面图形美与不美，易拉罐下面部分的圆柱体的轴截面是矩形，如果它的轴截面的宽长之比满足黄金分割率，看起来就比较美观，说明这种设计并不是巧合，而是从外观的美感上作了研究的.而根据我们模型计算的结果，易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：21222 3.45270.59853.08848.4498r h h ⨯=≈++，这也很接近黄金分割率，满足了我们设计上美感的要求，从这一点上也可以说明我们的模型是有一定合理性的.但我们求的拉罐上面部分是一个圆锥体，从严格意义的美感上来讲不符合实际的情况.第二，从物理、力学、工程或材料方面考虑.[5]底面是上拱的底面，顶盖实际上也不是平面的，略有上拱，从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合) 很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学或材料方面的要求，必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.而我们的模型考虑的易拉罐的底面和顶部都是平面的，并且没有考虑坡度，实用性稍差.4、对于问题四⑴ 模型分析根据几何学原理，同体积的几何形状，以球体的表面积最小，也就是说容积一定时，做成球形时所耗用的材料最省.单以材料最省为目标的话，易拉罐的最优设计就是球形.但是考虑实际情况，球形不容易运输、不能静止放置等等有太多的缺点，故我们舍去这种想法.根据球形和放置方便等情况，再考虑对称美，我们想到把球体上下各切掉相等的一部分，这样可以解决放置问题，用图形表示如下所示，记为图④：图④ 易拉罐的中心纵断面根据图形，我们可以看出来它的形状是矮胖形，十分不美观，且很不方便握拿.由以上的分析，我们就尝试把易拉罐做如下图所示的形状，记为图⑤：图⑤ 易拉罐的中心纵断面也就是一个椭圆体上下部分各切掉相等的一部分.再考虑美观，我们引入黄金分割，即我们可以让易拉罐的宽（这里我们取易拉罐最胖部分的直径，即为椭圆柱体的中心纵断面的短轴长）跟易拉罐的高之比等于黄金分割率.⑵ 模型建立设侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面积为S ，侧面的高为h ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材，椭圆柱体的中心纵断面的长半轴为a 、短半轴为b .其中，d 和V 是固定参数，r 、h 、a 、b 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ；我们又利用黄金分割的思想，令易拉罐的宽（这里我们取易拉罐中间最大值）与易拉罐的高之比等于黄金分割率，即：212b h =. 为了方便求椭圆柱的侧面积，我们以椭圆柱体的中心纵断面的长轴为x 轴、短轴为y 轴、以长轴和短轴的交点为原点建立直角坐标系，用下图表示,记为图⑥：a - x - 0 x a x 轴b -图⑥侧面积()xx S A x dx -=⎰ （其中，()A x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面的周长）罐的容积()xx V B x dx -=⎰ （其中，()B x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积）侧面所用材料的体积为V S d =⨯侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；(,,)V r a b V V ∴=+侧材底且355(V =毫升）综上，我们可以建立以下的数学模型：min (,,)(,)355..0,0,0V r a b V a b s t r a b =⎧ ⎨>>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型④ ⑶ 模型求解根据模型，在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序4），求得五组可行解，其中有两组解可以满足我们的情况，这两组解如下：6.2 3.7121234*()a cm b cm h cm r cm s d = ====、、、、立方厘米 ┈┈┈┈┈解③6.7 3.611.6 1.8271.5*()a cm b cm h cm r cm s d =====、、、、立方厘米 ┈┈┈解④⑷ 结果分析在五组解中我们选了两组能满足我们情况的解，即解③和解④.先分析解③.单从材料最省来考虑，那么解③是比较可行的，但是我们可以看到这种情况下半径只有1cm，考虑放置问题的可行性，这种情况是不利于放置的.再分析解④.虽然就用料方面比解③那种情况要多一些，但是它的底面半径有1.8cm，应该是比较有利于放置的.所以我们认为第二种情况更为可行，于是我们取第二种情况的数据.另外，根据我们所得到的五组实数解，不难发现长轴长与短轴长相差越远所用的材料越多；反之，它们相差越小时，所用的材料越少.那么当长轴与短轴长度相等时，所耗用的材料应该是最少的，这也就是当易拉罐是球形时,所用的材料是最小的，从而也验证了此结果的合理性.5、对于问题五对数学建模的体会及认识我们的日常生活中无时无处不存在数学建模问题，例如：如何有效控制病毒的传播、如何进行生产使获利最大、如何节约水资源等等都离不开数学建模.数学建模让我们切身感受到了科学知识提高生产效率、改善生活质量的伟大力量，提高了我们的科研能力和团队合作精神.通过实践数学建模，我们对什么是数学建模、它的关键步骤以及难点有了比较深刻的认识.一、什么是数学建模？数学建模是运用科学方法，通过观察和想象，对实际问题进行抽象、简化，反复探索、逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型.因此，数学建模不仅是一种定量解决实际问题的科学方法，而且还是一种从无到有的创新活动过程.二、数学建模的关键步骤数学建模的基本步骤可以用下图来表示，记为图⑦：否否图⑦数学建模的基本步骤图我们觉得在这7个基本步骤中关键的步骤有有以下3个：⑴模型假设模型假设是把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件.⑵模型建立模型建立是在模型假设的基础上，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻划实际问题的数学模型.⑶模型应用模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验.因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产科研中的特殊作用.三、数学建模的难点我们觉得数学建模的难点有3点，具体如下：⑴怎样针对实际的问题作出合理的假设.这是建模至关重要的一步，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设将很难转化成数学模型，即便转化成功也可能是一个复杂且难于求解的模型.⑵怎样采用合适的方法求解模型.对于较为复杂的问题，模型即使建出来但可能解不出来，所以，我们要选择合适的算法来求解模型.⑶怎样检验模型是正确合理的.如果模型不合理就没有其实用价值，就又得重新建立一个合理的模型.另外，我们觉得建一个合理的模型只依靠数学知识是远远不够的，必须对所研究问题的背景有很深入的了解，就拿本题的第三问来说，我们设计的易拉罐的确是用料最省的，可是其形状并不符合实际，这主要是我们对背景知识的了解并不够透彻，第三问不仅仅是要满足用料最省，还要从美感、物理、力学、工程或材料等方面来考虑.评价与推广对于问题二，在计算过程中我们考虑了制成易拉罐的铝片的厚度，用拉格朗日乘数法进行求解得到最优值，其误差很小，而且我们最后得出的结论具有普遍性.对于问题三，如果考虑易拉罐的厚度，在用拉格朗日乘数法进行求解时，由于所求的方程组太复杂，计算机运行时间太长，无法得到结果.根据分析，我们发现易拉罐的厚度对结果的影响不大，因此，我们在计算时可以忽略易拉罐的厚度进行近似求解，这一近似的求解误差也是非常的小.对于问题四，由于相同体积下球的表面积是最小的，根据这一条件，我们从耗用量上料的节省、美观及可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱的易拉罐.以椭圆柱为模型生产易拉罐，可以使厂家的生产成本减小，但是在装运方面与现在市场上的易拉罐形状比起来相对逊色很多,从而会增加装运成本.另外,我们求出了易拉罐为椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的. 经济学总是假设人们试图得到最偏好的结果，通常，我们可以模型化这个人试图最大化什么，例如欲望、货币、效用，这样我们就把人们的决策模型化为了最优化问题.。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：辽宁科技大学参赛队员(打印并签名) ：1. 李楠2. 孙浩3. 曹杰指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李华日期： 2006 年 9 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：易拉罐形状和尺寸的最优化模型研究摘要本文根据最优化理论与方法、解析几何知识，计算机编程、测量方法以及焊缝长度等基本理论知识解决了题目中所要求的问题。

论文主要建立了三个双目标优化模型，在一定的约束条件下，一个目标是表面积最小，达到原材料最省的目的。

另外一个目标是焊缝长度最短，达到易拉罐强度最大，寿命最长的目的。

传统的易拉罐是“三片式”，即由罐底、罐身、罐盖三部分组成，有3条焊缝，罐盖一条，罐底一条，罐身一条。

首先运用游标卡尺测量了355ml易拉罐的具体数据，并列表给出。

对于圆柱体形状的易拉罐，建立了两个变量的双目标优化模型，为模型I。

两个变量分别是圆柱体的半径和高。

目标函数分别是表面积函数和焊缝长度函数，表面积为圆柱体的侧面积+圆柱体的两个底面积；焊缝长度为圆柱体的高加上两个底面的周长。

产品创新设计作业——易拉罐的设计在现代生活中，易拉罐被广泛应用于各种饮料的包装。

然而，随着人们对环境保护的关注日益增加，那些传统易拉罐的设计和材料却逐渐成为了问题。

因此，为了更好地适应市场需求，提高易拉罐的使用体验并减少对环境的负担，我设计了一款全新的易拉罐。

首先，我将易拉罐的形状进行了改变。

传统的易拉罐在使用后变形成为了废品，很难再次利用。

而我设计的易拉罐具有可塑性，可以根据使用者的需求进行形状的调整。

例如，在瓶装饮料的市场需求日益增加的情况下，易拉罐可以通过拉伸来改变形状，成为可以重复使用的瓶装容器，从而延长其使用寿命。

其次，在易拉罐的材料选择上，我采用了可降解材料。

传统的易拉罐是由铝制成的，铝是一种不可降解的材料，在处理过程中会对环境造成污染。

而我选择了可降解的塑料材料作为易拉罐的主要材料，这种材料在不使用后能够迅速分解，对环境影响较小。

除了形状和材料的改变，我还在易拉罐的开口设计上进行了创新。

传统的易拉罐在打开时需要使用开瓶器等工具，不方便且容易造成伤害。

而我设计的易拉罐在开口部分采用了磁力设计，只需将一个特定的磁铁靠近易拉罐的开口，磁力就会引起开口部分的自动撕裂，方便快捷。

此外，在易拉罐的喝嘴设计上，我考虑了人们饮用饮料时的舒适感。

传统的易拉罐的喝嘴是比较硬的金属材质，喝起来不够舒适，容易磨伤嘴唇。

而我设计的易拉罐的喝嘴采用了软质材料，给人们更好的使用体验，同时也减少了使用过程中对嘴唇的伤害。

最后，为了增加易拉罐的储存和携带便利性，我在设计中加入了一些创新的功能。

例如，易拉罐可以通过连接器的设计，方便地进行扎堆储存，减少占用空间。

另外，易拉罐的底部设计了一些凹槽，可以用来固定杯托或者咖啡杯，使得使用者可以在不使用杯子的情况下直接喝饮料。

总结起来，我设计的易拉罐在形状、材料、开口、喝嘴和功能等方面进行了创新，旨在提高易拉罐的使用体验并减少对环境的负担。

通过这些创新设计，我相信这款全新的易拉罐能够更好地满足使用者的需求，并在市场上取得成功。

摘要本文讨论了以假设易拉罐的上、下底面及侧面所用材料相同为前提，在相同体积情况下，哪种形状的易拉罐所用材料最少。

将易拉罐设计成正圆柱体，分析并建立了非线性规划模型，用连续函数求极值的方法，获得结果；探讨了易拉罐形状为由上面圆台和下面正圆柱体组成的最优化设计，建立了非线性规划模型,分别用隐函数求导数和拉格朗日乘子两种方法求解；最后采用相同体积时球体表面积最小这一数学结论，以及便于运输和放置的实际状况，我们把易拉罐形状设计为用两个平面截去顶部后的圆台，建立非线性规划模型。

也尝试用旋转曲线建立球体最优设计。

通过计算对比结果,第二种形状(目前使用易拉罐形状)是最优的。

本文还对模型进行了推广。

关键词: 非线性规划拉格朗日定理隐函数一．问题重述日常生活中，我们稍加留意就会发现很多的饮料罐(即易拉罐)形状和尺寸几乎都一样。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，单个易拉罐的生产，对资源充分利用，节约生产成本并不明显。

但如果生产的数量非常多的话，那么节约的钱就很可观了。

为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差异，为什么？假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种形状和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低，也就最合理。

需要研究的内容:(1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等。

(2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说明和验证所测量的相关数据。

（3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较。

(4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案。

进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程。

最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

数学科学学院本科生学科论文课程名称：数学建模题目名称：易拉罐形状和尺寸的最优设计专业年级：学生学号：学生XX：论文成绩：2013年6月5日评价指标体系与得失分说明目录1.问题重述51.1背景资料与条件51.2需要解决的问题62.问题分析62.1问题的重要性分析（社会背景）62.2有关方面在这个问题上做过的研究72.3问题的思路分析73.基本假设73.1模型一：易拉罐整体厚度相同时的最优设计模型73.2模型二：易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型74.符号说明84.1模型一和模型二符号说明 (8)4.2 易拉罐测量数据85.模型的建立与求解95.1模型一的建立95.2模型二的建立106.模型的分析116.1假设的合理性分析116.2可靠性分析127.模型的检验128.模型的推广129.模型的评价与优化139.1模型的优缺点分析139.2模型的优化13参考文献14附件16易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要利用数学分析的方法，建立在同样容积和材料的易拉罐哪种情况下具有最小的面积的数学模型。

运用圆柱与正圆台最小面积的知识，结合图形得出一组解,通过进一步讨论、分析验证此解的合理性，最后利用LINGO软件求得其最优解，从而为生产易拉罐的公司设计出一个最佳生产方案。

在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。

针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比2:1R（H为圆柱的高,R为圆柱的半径）；模型二，设易拉H:=罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高6:1R时，表面积H:=最小。

一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案bR2:=。

H 在优化模型中，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO 对其进行分析，得出0R+rH时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，h,5.4→≈模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。

我们只要稍加留意就会发现销量最大的饮料、啤酒(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 饮料罐(易拉罐)的形状都是和可口可乐饮料罐的形状一样的。

看来，这并非偶然，应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的饮料罐来说，不同的设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组通过数学建模的方法来研究这个问题。

具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的饮料罐(易拉罐)，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如饮料罐的各部分的半径、罐的高度，各部分的厚度等，并记录下来，加以说明；2．设饮料罐是一个正圆柱体，怎样的优化设计，其结果可以合理地说明饮料量为355毫升的可口可乐饮料罐的形状，例如说，半径和高之比等等；3．设饮料罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

怎样的优化设计，其结果接近于饮料量为355毫升的可口可乐饮料罐的形状；4．用你们自己的设想，通过数学建模的方法做出你们的饮料罐形状(尺寸)的最优设计; 5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文阐述什么是数学建模以及你们认为数学建模过程中最为关键的步骤，或者最应该注意的问题。

(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)。

可口可乐易拉罐的制作简史: 1886年第一个可口可乐罐头由美国亚特兰大的药剂师John Stith Pemberton博士作为装加奎宁水的杜松子酒而发明的. 第一个罐装可口可乐(见下图)是1955年为了运给驻在日本和太平洋地区的美军人员而制作的.大致量一下知道其直径:高大约等于3.4/6.4 ≈ 0.53.后来才逐渐演变成(大约在1980年代)下面的形状简化假设:易拉罐用材的体积与其表面积成正比；忽略折边、粘结、涂层和抽真空等因素.简化模型 1分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体是有一定合理性的. 要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.实际上, 用几何语言来表述就是: 体积给定的直圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为多少?表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有22222(,)2 2[] , / .S r h r h r r r rh V r h h V r ππππππ=++=+== 于是我们可以建立以下的数学模型：0, 0min (,).. (,)0r h S r h s t g r h >>= 其中 S 是目标函数,2(,) 0g r h V r h π=-=是约束条件. V 是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 r, h .如果考虑材料厚度的话, 并假设所用材料与罐的表面积成正比, 那么其中心断面的图形如下: F={AbsoluteThickness[1],Line[{{-3.2,12.4},{-3.2,0},{3.2,0},{3.2,12.4},{-3.2,12.4},{-3,12.2},{-3,0.2},{3,0.2},{3,12.2},{-3,12.2}}]}mygrapg = Show[Graphics[F],AxesLabel->{x,y},AspectRatio->Automatic, PlotRange->{-1,12.9}]F={AbsoluteThickness[1],Line[{{-3,0.2},{-3,0},{3,0},{3,0.2},{3.2,0.2},{3.2,12.2},{3,12.2},{3,12.4},{-3,12.4},{-3,12.2},{-3.2,12.2},{-3.2,0.2},{-3,0.2},{-3,0},{3,0},{3,0.2},{3,12.2},{-3,12.2},{-3,0.2},{3,0.2}}]}mygrapg = Show[Graphics[F],AxesLabel->{x,y},AspectRatio->Automatic, PlotRange->{-1,12.9}]把 2/ h V r π= 代入 (,)S r h , 得到222()2[]2[]V V S r r r r r r ππππ=+=+ 求驻点(临界点,critical point)32220()2(2)(2)V V S r r r r r ππππ'==-=-0r =2000 2V V h r r d ππ======又由于 0032()2(2)0r r V S r r ππ''=+>, 00r >. 所以由泰勒(Taylor)公式20000()()()()()()2!f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-知道0r =是一个局部极小值点. 实际上,它也是全局最小值点, 因为驻点是唯一的. 最小面积为200()6S r r == 有没有直径等于高的易拉罐吗？没有!简化模型 2分析和假设：用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚, 因为要使劲拉), 假设除易拉罐的顶、底盖外, 罐的厚度相同, 记作α. 想象一下, 硬度b, 顶、底盖的厚度相同为b体现在同样材料的厚度上(前面的). 因此, 我们可以进行如下的数学建模. 这时必须考虑所用材料的体积.F={AbsoluteThickness[1],Line[{{-3.2,0},{3.2,0},{3.2,12.8},{-3.2,12.8},{-3.2,0},{3.2,0},{3,0.4},{3,12.4},{-3,12.4},{-3,0.4},{3,0.4}}]}mygrapg = Show[Graphics[F],AxesLabel->{x,y}, AspectRatio->Automatic, PlotRange->{-1,12.9}]明确变量和参数：设饮料罐的半径为r（因此，直径为d =2r）, 罐的高为h. 罐内体积为V. b为除顶、底盖外(即侧面体积)的材料的厚度. 其中 r, h 是自变量, 所用材料的体积SV是因变量,而 b 和V是固定参数, α是待定参数.饮料罐侧面所用材料的体积为22(,)(())S r h r b r h ππ=+- 饮料罐顶盖所用材料的体积为 2b r απ 饮料罐底部所用材料的体积为 2b r απ 所以, SV 和 V 分别为, 22223(,)(2)2() = 22 42SV r h b r b h r b b rhb r br b h b b ππαππαπαππα=+++++++ 2(,)V r h r h π=因为 b << r , 所以带 23, b b 的项可以忽略 (极其重要的合理假设或简化, 为什么?). 因此 2(,)(,)22SV r h S r h rhb r b ππα≈=+ 记 2(,) g r h r h V π=-.于是我们可以建立以下的数学模型：0, 0min (,).. (,)0r h S r h s t g r h >>=其中 S 是目标函数，(,)0g r h =是约束条件, V是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 r, h 和 α使得 r, h 和测量结果吻合. 这是一个求条件极值的问题.模型的求解：一种解法(从约束中解出一个变量，化约束(条件)极值问题为求一元函数的无约束(无条件)极值问题)从 2(,)0g r h r h V π=-= 解出 2/ h V r π=,代入 S , 使原问题化为：求 d : h 使 S 最小, 即, 求 r 使22(,()) [2]V S r h r b r rπα=+ 最小.求驻点: 令其导数为零得32222[(2](2)0.dS V b b r r V dr r rαπαπ=-=-= 解得驻点为r =, 因此222.Vh r d αααπ==== 测量数据大致为h/r=2, 即相当于=2α, 即顶、底盖的厚度是其他材料厚度的2倍.为验证这个 r 确实使 S 达到极小。

易拉罐最优设计模型（2006年全国一等奖）摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。

在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。

对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。

对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。

并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。

当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。

这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。

最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。

从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为：9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。

最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。

关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本文针对各问题中假设的易拉罐形状，通过构建以制造易拉罐所需材料的体积为目标函数，易拉罐容积等于所测数值为约束条件的数学模型，求解分析出实际中易拉罐形状设计的合理性，并找到了影响其形状的关键参数。

在问题一中，通过观察易拉罐实物，分析认为得出对后面模型建立和验证模型有帮助的物理量，并用直接测量和间接测量两种方法获得了比较精确的数据。

在约束条件——易拉罐容积的测量中，引入其质量和密度，用物理天平成功测出易拉罐容积为370.7ml。

在问题二中，首先针对最简化形状——圆柱体，建立了比较精确的模型一，通过Lingo软件求解出结果，进一步作出假设（侧壁厚度远小于罐体半径）并对模型一作一定的简化，运用拉格朗日乘数法，求得了模型的解析解。

在此基础上，通过将求得结果与实际数据相比较，分析出对形状的最优设计起关键作用的参数α（顶盖厚度与侧壁厚度比值）和β（底面厚度与侧壁厚度比值），并揭示出决定易拉罐形状的关系式：()=+r hαβ/1/。

在问题三中，针对易拉罐形状变为正圆台与正圆柱体的组合体，对模型一做了相应的改动，在运用几何知识求解目标函数中，引入圆台倾斜角的正切值s，对于分析罐体的承重和受压性能以及模型的进一步修正起到很好的帮助。

在此模型结果基础上，继续与实际数据比较，发现、决定。

易拉罐最优形状依然主要由参数αβ在问题四中，通过仔细观察易拉罐实物，认为之前的假设都比较粗糙，对问题二的模型作了三点改进，即充分考虑到圆台侧壁厚度与圆柱侧壁厚度不相同、易拉罐顶部和底部都有凸起、底部包含一个球冠，通过模型求解，得到了与实际数据更为吻合的最优形状。

一、问题重述 （略）二、模型假设与符号说明2.1模型假设（1）测量易拉罐容积时，不考虑由于开启而导致饮料挥发和降压膨胀等物理因素造成的饮料体积的变化。

（2）不考虑涂料对易拉罐侧壁厚度的影响。

（3）假设易拉罐各个表面的厚度为均匀的（不考虑拉环对其体积的影响）。

摘要本文针对常见的易拉罐(355毫升可口可乐)进行测量,在合理的假设下通过不断的优化建立最优易拉罐尺寸和外形的设计模型,并进行了相当程度的创新设计。

针对问题一，我们分别通过合理的方法测量计算得易拉罐的顶部，中间，和底部的直径，高度，顶部高度，以及罐侧，罐底，罐顶的厚度，并提供相应的测量方法。

针对问题二，我们本着由简单到复杂的演绎过程，逐步放宽条件和假设，依次得到相应的最优化模型。

首先考虑了最简单情况下的最优化问题（即假设易拉罐为正圆柱，罐顶罐底侧面材料相同且厚度一致，制作过程中没有材料的浪费）其次我们考虑了制作易拉罐铁皮切料过程中的问题，并在两种切料方法进行讨论。

再次，我们加入了制作费用，即各部分接缝的损失。

最后我们加入了罐底，罐顶，侧面，厚度不一致的考虑，得到了较为接近现实情况的优化模型。

针对问题三，即易拉罐是一个圆台加圆柱的组合情况，这与我们测得的实际情况较为相似,我进行了罐体抗压力, 罐内气体压强, 人体嘴形舒适度等方面考虑，肯定了圆台存在的意义.在体积不变的约束下建立了规划模型. 并通过MATLAB求解.针对问题四,我们综合了前面的优化过程,并在传统易拉罐模型的基础上对新型模型进行了进一步的优化创新, 虽然在体积一样的情况下圆柱是表面积最小的(证明见附录1),但从外形美观,原材料的节省,运输成本的节约方面看平面的柱体占有一定的优势,结合了以上两面的综合考虑,我们设计出了带弧度的底部上凸的正三棱体，并分别从形状和尺寸的确立、设计过程依据、总体成本估算、特殊形状成因、广告效应、材质选择以及运输成方面分别阐述了该模型超越传统模型的优势，以及新型模型本身的合理性与科学性。

通过运用弧形设计、弯曲表面效应、线性规划等的原理，对模型进行了的优化。

同时，针对新型模型本身我们不仅仅立足于科学的规划，而且着重考虑了人们的偏好以及舒适度，以使得易拉罐的新型更具有现实意义。

最后我们提出的一种有待进一步验证的蛋状易拉罐的方案，将易拉罐的设计意义和目的赋予了更加鲜明的民族色彩和文化内涵。

易拉罐形状和尺寸的最优设计收集资料：尹周才10090140数据处理：杨姣10090135编写论文：杨湘英10090138摘要:我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。

不难发现易拉罐的设计有一定的规律，其实这里面也蕴藏着数学的最优化思想。

不考虑其他因素，仅就易拉罐形状和尺寸变化，考虑其基本用料最省的数学结论，这样对实际易拉罐的设计有一定参考意义，所以我们的目的是在一定的体积条件下，运用最优化思想使我们所用的材料最省，即求表面积最小时易拉罐的各个参数大小。

我们先在网上查了355ml易拉罐的各部分数据，以该数据为参考，我们分别假设易拉罐为一个正圆柱体，通过数学极值思想算出大体数据，再考虑实际，假设易拉罐是由一个正圆台和一个正圆柱组成，再通过数值分析及空间几何的知识列出优化模型，再通过数学软件求解进行优化求解，得出结论。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

关键字：求极值一．提出问题随着科技的发展与社会的进步，工业竞争也日趋激烈，我国每年生产上百亿个易拉罐，生产同样容积的易拉罐，我们要使我们的成本用料最少，这样我们才能在竞争中占据优势，使我国在激烈的国际竞争中立于不败之地，为此，我们对易拉罐在形状和尺寸上进行最优化设计，需要研究的内容：1.取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；2.设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3.设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

⾼中数学建模论⽂-易拉罐形状和尺⼨的最优设计⽅案易拉罐形状和尺⼨的最优设计⽅案摘要：本⽂讨论的是兼顾圆台状易拉罐的不同壁厚，建⽴以易拉罐材料体积为⽬标函数，容积⼀定为约束条件的⾮线性规划模型。

通过⾮线性规划与条件极值求得结果。

在此基础上，引⼊了黄⾦分割点，环保以及材料最省，设计了⼀种兼顾各种优点的新型易拉罐，具有较强的实⽤性和推⼴性。

关键词：⾮线性规划条件极值正⽂⽣活中稍加留意就会发现销量很⼤的饮料的饮料罐的形状和尺⼨⼏乎相同。

看来，这并⾮偶然，⽽应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是⽣产⼏亿，甚⾄⼏⼗亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

⼀、提出问题1、问题为什么不同⼯⼚的易拉罐采⽤统⼀规格？2、易拉罐的圆柱底⾯圆的直径与圆柱的⾼的⽐是多少才为最优？从数学的⾓度怎样给予合理的解释？3、和现实中的实际情况有什么差异，为什么？⼆、模型假设与符号约定2.1模型假设1、易拉罐的容积是⼀定的；2、易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正⽐；3、各种易拉罐的上⾯的拉环⽣产成本固定，不受易拉罐形状和尺⼨的影响；4、⽹上查的数据真实可靠2.2符号约定三、问题分析与模型建⽴对于问题1：可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的⾼度、直径、顶⾯、底⾯、圆台侧⾯、圆柱侧⾯的厚度等相关数据.对于问题2：将易拉罐看成正圆柱体，考虑到易拉罐的侧壁、顶盖、底⾯的厚度均不相同且为常数，以圆柱体材料的体积作为⽬标函数，其容积等于定值作为约束条件，构建⾮线性规划模型并通过模型简化，得到解析的最优解，以此来探讨最优形状的设计。

此为模型1。

在此基础上，将易拉罐看成是圆台与圆柱的组合体。

此时⽬标函数——材料体积由圆柱体和圆台两部分体积构成，因此⽬标函数表达式变得⽐较复杂。

此时形状由圆柱的⾼和半径及圆台的⾼和上表⾯半径决定，以此作为决策变量对模型⼀稍作修改建⽴模型2。

易拉罐形状和尺寸的最优设计方案摘要：本文讨论的是在体积一定的情况下，满足成本最低即用料最省的易拉罐形状和尺寸的最优设计方案。

问题一，我们对十种常见饮料的易拉罐的罐体直径、圆台直径、罐体高度等八项指标进行了实际测量，得到了比较精确的数据。

问题二，将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情形；分别建立了以易拉罐表面积、材料体积以及材料体积和焊缝长度为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。

通过理论推导(拉格朗日乘数法)求得与关系的解析解分别为、、，并用实测数据进行验证，实测数据与理论结果吻合效果较好。

问题三，类似于问题二，我们也分上述三种情形分别建立非线性规划模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样本检验，说明实测数据与理论结果基本相符。

问题四，在问题三的基础上，我们引入黄金分割点，综合考虑压强、环保，同时兼顾材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，各项指标见正文表6。

问题五，根据数学建模的经历阐述了数学建模的含义、关键之处和难点。

本文对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。

关键词：非线性规划、拉格朗日乘数法、配对样本检验一、问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。

看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

1.取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；解答以下各问。

2. 设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。

3.设易拉罐的中心纵断面的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

易拉罐形状和尺寸的最优设计方案摘要：本文讨论的是兼顾圆台状易拉罐的不同壁厚，建立以易拉罐材料体积为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。

通过非线性规划与条件极值求得结果。

在此基础上，引入了黄金分割点，环保以及材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，具有较强的实用性和推广性。

关键词：非线性规划条件极值正文生活中稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。

看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

一、提出问题1、问题为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？2、易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？从数学的角度怎样给予合理的解释？3、和现实中的实际情况有什么差异，为什么？二、模型假设与符号约定2.1模型假设1、易拉罐的容积是一定的；2、易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正比；3、各种易拉罐的上面的拉环生产成本固定，不受易拉罐形状和尺寸的影响；4、网上查的数据真实可靠2.2符号约定2r圆台下表面的半径三、问题分析与模型建立对于问题1：可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高度、直径、顶面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度等相关数据.对于问题2：将易拉罐看成正圆柱体，考虑到易拉罐的侧壁、顶盖、底面的厚度均不相同且为常数，以圆柱体材料的体积作为目标函数，其容积等于定值作为约束条件，构建非线性规划模型并通过模型简化，得到解析的最优解，以此来探讨最优形状的设计。

此为模型1。

在此基础上，将易拉罐看成是圆台与圆柱的组合体。

此时目标函数——材料体积由圆柱体和圆台两部分体积构成，因此目标函数表达式变得比较复杂。

此时形状由圆柱的高和半径及圆台的高和上表面半径决定，以此作为决策变量对模型一稍作修改建立模型2。

对于问题3：在容积一定的条件下，球体是最节省材料的，然后同样考虑人们拿着易拉罐时的手感舒适度和放置时的稳定性。

易拉罐设计理念300字第一篇:易拉罐的上部拉开处有一小凹槽特殊作用：是方便把手指放下去把拉环拉起。

不然如果拉环和罐子贴在一起的话就很难拉起来了。

易拉罐大致的制作过程是先分别冲压做出瓶身和瓶盖两个部分，而瓶盖上的拉环又是另外冲压制成再卯上瓶盖的，拉坏撕开的形状也是预切割和冲压而成，灌入内容物之后将瓶身和瓶盖对齐，再经过翻边合二为一。

边缘部分除了是瓶身与瓶盖的契合结构，还有一圈凹陷的“缓冲地带”用于控制制造精度，因此拉环撕开的形状不可能贴边，不能切到凹陷的部分，更不可能破开边缘切到侧面，这样会给制造带来不必要的工艺困难和成本的提高。

同时易拉罐大批量出厂需要累叠运输，所以会有上下对应的扣合造型，完整的圆形自然是首选，所以边缘不应该也没有必要做多余的动作。

第二篇：众所周知，听装（易拉罐装）饮料拉环处罐口设计不贴边，导致饮料很不容易喝干净，还有值得注意的是，拉环口附近还会有一圈贴合造型的或凹或凸的造型，这个造型用于加强瓶盖的强度，不至于撕开时导致变形，所以这里有这个结构的话就更加不可能贴着边撕开了。

另外，翻边不仅仅保证了瓶身和瓶盖的严密结合，同时也使得边缘圆滑顺畅，正如瓷器边缘微微的弧度，保证了饮用时嘴唇的舒适体验。

假如撕开的形状贴着边甚至破至侧面，反而会在撕开后形成容易接触到的锋利边缘，增加了割伤的几率，比起那喝不到的几毫升，这样显然得不偿失。

面对工艺引起的不可避免的影响，少喝几毫升自然也就不那么重要了。

第三篇:在做易拉罐包装设计时首页我们要注意外观设计，虽然易拉罐的大致形象不能颠覆改变，但是我们可以从尺寸容量大小和形状入手进行加工设计，一个好的易拉罐设计肯定是有它的特殊之处，才能给人耳目一新的感觉。

再就是要做好易拉罐外观的图文设计，产品的logo的主图当然是要体现的，如何布局排版是我们要考虑进去的，不要一味的用老式的布局，老套没新鲜感，个性大胆一点的设计，效果可能会更好一些，但是一定要有美感。

还有是设计中的色彩搭配，要根据产品进行合理配色，比如说蔬菜要以绿色为主，牛奶以白色为主；在运用色彩的时候可以适当的去夸张表现一下，可能更好的引起注意，但是注意尺度，不要引起不适而伤害到客户。