易拉罐形状和尺寸的最优设计 (1)

淮海工学院毕业论文题目：易拉罐形状和尺寸的最优设计作者：吴杰学号：********** 系(院)：数理科学系专业班级：信息与计算科学032指导者：谭飞（高等数学教研室主任）评阅者：2007年5月连云港毕业论文中文摘要毕业论文文摘要目录1 引言 (1)1．1易拉罐的发展和前景 (1)1．2 实际调研 (2)1.3基本设计方案 (2)2可口可乐易拉罐的优化设计 (3)2．1模型的假设 (4)2．2数据测量 (4)2.3符号说明 (5)2．4 模型的建立与求解 (5)2．4．1 模型一的建立与求解 (5)2．4．2 模型二的建立与求解 (7)2．4．3 模型三的建立与求解 (9)2．5 模型的评价与推广 (11)结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)图1 罐体主要尺寸图 (4)图2 圆柱罐体剖面图 (5)图3 柱台罐体剖面图 (7)图 4 罐体受压性能图 (10)表 1 罐体主要尺寸 (4)表 2 罐体物理性能 (10)1 引言1．1易拉罐的发展和前景铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。

1963 年，易拉罐在美国得以发明，它继承了以往罐形的造型设计特点，在顶部设计了易拉环。

这是一次开启方式的革命，给人们带来了极大的方便和享受，因而很快得到普遍应用。

到了1980年，欧美市场基本上全都采用了这种铝罐作为啤酒和碳酸饮料的包装形式。

经过30多年来的发展已在全球形成庞大的生产规模，供求关系已出现严重的失衡。

即使是易拉罐技术发展最快，消费水平最高的美国，近年来罐厂生产能力的提高比消费需求增长快，生产能力年增2%，而需求量年增1%，同样出现年生产能力超过需求10亿只的局面。

随着设计和生产技术的进步，铝罐趋向轻量化，从最初的60克降到了1970年的21～15克左右。

国内的易拉罐业始于80年代，当时年产仅24亿只，随着原罐厂进行重大技术改造的完成以及国外罐业投资者的资本输入，到目前全国易拉罐年生产能力超过100亿只。

2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。

结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。

在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。

针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H=时，表面积最小。

一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2=。

R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24+==(h为H h R r圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5r→时H h R+≈，0材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。

原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。

在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。

通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。

进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。

为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。

此时，材料最省。

但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。

因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。

易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本文针对各问题中假设的易拉罐形状，通过构建以制造易拉罐所需材料的体积为目标函数，易拉罐容积等于所测数值为约束条件的数学模型，求解分析出实际中易拉罐形状设计的合理性，并找到了影响其形状的关键参数。

在问题一中，通过观察易拉罐实物，分析认为得出对后面模型建立和验证模型有帮助的物理量，并用直接测量和间接测量两种方法获得了比较精确的数据。

在约束条件——易拉罐容积的测量中，引入其质量和密度，用物理天平成功测出易拉罐容积为370.7ml。

在问题二中，首先针对最简化形状——圆柱体，建立了比较精确的模型一，通过Lingo软件求解出结果，进一步作出假设（侧壁厚度远小于罐体半径）并对模型一作一定的简化，运用拉格朗日乘数法，求得了模型的解析解。

在此基础上，通过将求得结果与实际数据相比较，分析出对形状的最优设计起关键作用的参数α（顶盖厚度与侧壁厚度比值）和β（底面厚度与侧壁厚度比值），并揭示出决定易拉罐形状的关系式：()=+r hαβ/1/。

在问题三中，针对易拉罐形状变为正圆台与正圆柱体的组合体，对模型一做了相应的改动，在运用几何知识求解目标函数中，引入圆台倾斜角的正切值s，对于分析罐体的承重和受压性能以及模型的进一步修正起到很好的帮助。

在此模型结果基础上，继续与实际数据比较，发现、决定。

易拉罐最优形状依然主要由参数αβ在问题四中，通过仔细观察易拉罐实物，认为之前的假设都比较粗糙，对问题二的模型作了三点改进，即充分考虑到圆台侧壁厚度与圆柱侧壁厚度不相同、易拉罐顶部和底部都有凸起、底部包含一个球冠，通过模型求解，得到了与实际数据更为吻合的最优形状。

一、问题重述 （略）二、模型假设与符号说明2.1模型假设（1）测量易拉罐容积时，不考虑由于开启而导致饮料挥发和降压膨胀等物理因素造成的饮料体积的变化。

（2）不考虑涂料对易拉罐侧壁厚度的影响。

（3）假设易拉罐各个表面的厚度为均匀的（不考虑拉环对其体积的影响）。

淮海工学院毕业论文题目：易拉罐形状和尺寸的最优设计系(院)：数理科学系专业班级：信息与计算科学032毕业论文（设计）诚信声明本人声明：所呈交的毕业论文（设计）是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，论文中引用他人的文献、数据、图表、资料均已作明确标注，论文中的结论和成果为本人独立完成，真实可靠，不包含他人成果及已获得青岛农业大学或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。

与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

论文（设计）作者签名：日期：2013 年3月10 日毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文（设计）作者同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅。

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论文（设计）作者签名：日期：2013 年3 月10 日指导教师签名：日期：年月日毕业论文中文摘要毕业论文文摘要目录1 引言 (1)1．1易拉罐的发展和前景 (1)1．2 实际调研 (2)1.3基本设计方案 (2)2可口可乐易拉罐的优化设计 (3)2．1模型的假设 (4)2．2数据测量 (4)2.3符号说明 (5)2．4 模型的建立与求解 (5)2．4．1 模型一的建立与求解 (5)2．4．2 模型二的建立与求解 (7)2．4．3 模型三的建立与求解 (9)2．5 模型的评价与推广 (11)结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)图1 罐体主要尺寸图 (4)图2 圆柱罐体剖面图 (5)图3 柱台罐体剖面图 (7)图 4 罐体受压性能图 (10)表 1 罐体主要尺寸 (4)表 2 罐体物理性能 (10)1 引言1．1易拉罐的发展和前景铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。

易拉罐的形状和尺寸的最优设计摘要本文讨论了以假设易拉罐的上、下底面及侧面所用材料相同为前提，在相同体积情况下，哪种形状的易拉罐所用材料最少。

将易拉罐设计成正圆柱体，分析并建立了非线性规划模型，用连续函数求极值的方法，获得结果；探讨了易拉罐形状为由上面圆台和下面正圆柱体组成的最优化设计，建立了非线性规划模型,分别用隐函数求导数和拉格朗日乘子两种方法求解；最后采用相同体积时球体表面积最小这一数学结论，以及便于运输和放置的实际状况，我们把易拉罐形状设计为用两个平面截去顶部后的圆台，建立非线性规划模型。

也尝试用旋转曲线建立球体最优设计。

通过计算对比结果,第二种形状(目前使用易拉罐形状)是最优的。

本文还对模型进行了推广。

关键词: 非线性规划拉格朗日定理隐函数一．问题重述日常生活中，我们稍加留意就会发现很多的饮料罐(即易拉罐)形状和尺寸几乎都一样。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，单个易拉罐的生产，对资源充分利用，节约生产成本并不明显。

但如果生产的数量非常多的话，那么节约的钱就很可观了。

为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差异，为什么？假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种形状和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低，也就最合理。

需要研究的内容:(1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等。

(2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说明和验证所测量的相关数据。

（3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较。

(4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案。

进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程。

最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型钱益锋 罗坚坚 董龙寅(2006年获全国一等奖)摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最省。

首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。

模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，mmR 58.30=与市场上净含量为355ml 的测得的数据基本接近。

模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml进行验算，算得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高之和约为直径的两倍。

模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理，设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为0.618，建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。

关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台一、问题重述销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

这应该是某种意义下的最优设计，而不是偶然。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：837所属学校（请填写完整的全名）：深圳职业技术学院参赛队员(打印并签名) ：1. 赖竹山2. 刘南能3. 林惠聪指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：雷田礼日期： 2006 年 9 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO 实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。

结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。

在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。

针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H =（H 为圆柱的高，R 为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H =时，表面积最小。

一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b 倍时，最优设计方案为:2R H b =。

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型查建飞 郑娴雅 金兰贞 (2006年获全国二等奖)摘要:目前，易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。

而资源是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。

本文着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。

首先对雪碧、可口可乐、蓝带啤酒等易拉罐容器进行测量，获取实测值。

针对易拉罐现有形状和尺寸等数据，进行综合分析，建立了逐渐改进的三个数学模型。

模型Ⅰ:把易拉罐近似地看成一个正圆柱体，在易拉罐的容积一定时，以材料最省为目标，用求极值的方法求得易拉罐高度h 与底面半径r 之间的关系为()r h 21αα+=，用实测值进行验证发现比较吻合，但还是有一定误差存在，因此进一步建立模型Ⅱ进行分析。

模型Ⅱ:进一步考虑易拉罐的形状，即罐体上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，利用线性规划方法求得此时易拉罐的最优设计。

通过对模型Ⅰ中的圆柱型易拉罐的对比，所得模型与实测值更加吻合。

模型Ⅲ：以材料最省为主要目的，兼顾易拉罐的舒适度进行设计，建立模型，并给出具体的设计方案。

最后结合本模型的建立过程写对数学建模的认识与数学建模过程的难点。

关键词：最优设计 形状与尺寸 合适度一、问题重述生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。

这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

请通过数学建模来分析上述情况并回答如下问题：（1）取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，请注明出处。

（2）设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

易拉罐形状和尺寸的最优设计方案摘要：本文讨论的是在体积一定的情况下，满足成本最低即用料最省的易拉罐形状和尺寸的最优设计方案。

问题一，我们对十种常见饮料的易拉罐的罐体直径、圆台直径、罐体高度等八项指标进行了实际测量，得到了比较精确的数据。

问题二，将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情形；分别建立了以易拉罐表面积、材料体积以及材料体积和焊缝长度为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。

通过理论推导(拉格朗日乘数法)求得与关系的解析解分别为、、，并用实测数据进行验证，实测数据与理论结果吻合效果较好。

问题三，类似于问题二，我们也分上述三种情形分别建立非线性规划模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样本检验，说明实测数据与理论结果基本相符。

问题四，在问题三的基础上，我们引入黄金分割点，综合考虑压强、环保，同时兼顾材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，各项指标见正文表6。

问题五，根据数学建模的经历阐述了数学建模的含义、关键之处和难点。

本文对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。

关键词：非线性规划、拉格朗日乘数法、配对样本检验一、问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。

看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

1.取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；解答以下各问。

2. 设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。

3.设易拉罐的中心纵断面的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。

结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。

在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。

针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H=时，表面积最小。

一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2=。

R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24+==(h为H h R r圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5r→时H h R+≈，0材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。

原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。

在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。

通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。

进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。

为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。

此时，材料最省。

但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。

因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。

易拉罐形状和尺寸的最优设计摘 要本文研究的是易拉罐形状和尺寸的最优设计。

对于问题1我们利用游标卡尺对饮料量为355毫升的蓝带“纯爽”牌啤酒的建立了规划模型，目标函数关系式为：22123min 2S w R w RH w R πππ=+⋅+得到高与半径比为： 3.476H R =与我们所测量的尺寸（559.351.3328.119=）比较接近，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸，但不能说明其形状。

对于问题3在圆台上底面半径一定的情况下，形状为黄金分割比且用铝量最小是它的最优设计，建立目标函数关系式：()2223221min 2S R r l R Rh r πωπωπωπω=++++得到高与半径之比为： 12 3.417h h R +=其结果从形状和尺寸都能比较合理的说明我们所测量的数据。

对于问题4我们将开口设计成为旋合式瓶盖，并且得到一组新的尺寸，虽然成本可能偏高，但它比现有易拉罐更为方便和卫生。

最后我们通过做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验写下了自己的感受。

关键词：易拉罐 规划模型 黄金分割 Lingo一、问题的提出我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

对于易拉罐的形状和尺寸的最优设计我们提出了以下问题：1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2. 设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。