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§4空间图形的基本关系与公理

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高二数学必修二导学案 使用时间：2013年8月30日 1 §4空间图形的基本关系与公理
【使用说明与学法指导】
1、精读课本P22--P26，用红笔勾画，再针对导学案自主二次阅读并回答（用时15分钟）。

2、自主课：自主完成自测及合作探究，再合作交流统一答案。

展示课：展示时每题下面必写小结与思路。

【课标要求】
知识与技能：借助长方体模型，直观认识和理解空间点、线、面的关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理。

过程与方法：空间想象与实际物体的结合分析问题。

情感与价值观：激情地投入到学习中，珍惜现在的每一分每一秒，体验学习的快乐。

【自主完成】
1、空间图形是由一些基本图形：点、线、面所组成，则归纳点、线、面之间的各种位置关系如下：
位置关系
文字语言 图形语言 符号语言 点与直线 点A 在直线l 上
点A 在直线l 外
点与平面
点A 在平面α内
点A 在平面α外
直线与直线
平行直线
相交直线
异面直线
直线与平面
直线l 在面α内
直线l 在面α外
高二数学必修二导学案 姓名：
平面与平面
面βα，相交于l
平面βα，平行
§4.2 空间图形的公理
【问题导学】
1、试用集合（符号）语言完成下题
如图，平面ABEF 记做α，平面ABCD 记作β，则
F E （1）、B______α,D_____β
A B (2)、_____BC BE _____,AB AF =⋂=⋂
D C (3)、___=⋂βα
（4）、AB_____α,AB_____β ,CD_____α, CD_____β
2、请你用尺子与你的桌面做下面实验并回答下面问题，理解并记忆
（1）、如果一直线与一平面有一个公共点，那么这条直线在平面内吗？有两个公共点呢？___________ ; ____________________
公理1:文字语言：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(2)、过一个点有几个平面？过两个点呢？过在同一直线上的三个点有几个平面？过不在同一直线上的三点有几个平面？_______;_________;________;_________.
公理2：文字语言：
___________________________________________________________________________
3、把你的三角尺的一角立在课桌上，三角尺所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？_________________________________________________
公理3：文字语言：__________________________________________________ 符号表示：_______________________
高二数学必修二导学案 使用时间：2013年8月30日
3 4、两直线的位置关系有哪些？结合课本，说明如何判断两直线是异面直线的位置关系？ 异面直线是_______________________________________________，
异面直线a,b 所成的角定义：________________________________________________: 异面直线所成角的范围：___________________________
5、公理4：________________________________________________________
等角定理：__________________________________________________________
【合作探究】
1、在长方体ABCD-1111D C B A 中，简记1AC ，试做下面问题：
1D 1C
1A 1B
D C
A B
找出几组平行、相交、异面直线
平行：_____________________________________
相交：_____________________________________
异面：______________________________________
2、三条两两相交的直线可能是______________个平面。

3、a,b 两条直线平行于平面 ，则a,b 的位置关系（ ）
A 、平行
B 、相交
C 、异面
D 、可能相交、异面、平行
4、课本P25页证明过程：
5、作业：P26 练习2 3题 A 组 5题。

合集下载

空间图形的公理(公理1,2,3)

空间图形的公理(公理1,2,3)


B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
2. 下列命题中正确的是（ B ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形 C ．若 A ， B ， C ， D 既在平面 α 内，又在平面 β 内， 则平面 α 和平面 β 重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形

B
A l ,B l ,A ,B l

作用： 判定直线是否在平面内．
思考5：观察长方体，你发现长方体的两个平面有
什么位置关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．

B
提示：不只相交于一点B，如下图所示：

B
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且 P l


P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1．下列说法中正确的是( D )
A．经过三点确定一个平面
空间点线面的位置关系(优质课)

空间点线面的位置关系(优质课)


α
a
b 记作：a//b
β
a Ob
记作：abO
③异面直线——不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。
b
a γ
可编辑ppt
7
小结 点、线、面之间的位置关系及语言表达
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
D'
C'
观察：在右图的长方体中，
BB'// AA',DD'// AA'，那么 A '
B'
BB'与DD'平行吗？
D
C
A
B
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …
之间有何关系？
abcde
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.
D1
C1
A1
B1
D C
A
B
可编辑ppt
2
平面的概念与画法
几何里的平面是无限延展的.
常常把水平的平面画成锐角为450， 横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.
表示①平面α、平面β、平面γ；
②用表示平行四边形的四个顶点
或两个相对顶点的字母来表示，
(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点. ×
(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个
平面. √
(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面. √
空间图形的基本关系与公理

空间图形的基本关系与公理


6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，
则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是
.
解析：如图所示，取CC1的中点N，连结MN，DN，
则MN AD，
∴四边形AMND为平行四边形， ∴AM DN，∴∠B1DN即为异面直线所成角.
连结B1N，设正方体棱长为a，则B1D＝ a， DN＝ a，B1N＝ a，
∴cos∠B1DN＝
＝
.
如图，四边形ABEF和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC AD,BE FA，
G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
[思路点拨]
(2)法一：证明D点在EF、CH确定的平面内. 法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，
们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.证明共线问题的常用方法 (1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上； (2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交 两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个 适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的
公共点.
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点，问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的位置关系的简单命题．
热 点 提 示
1.以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力.
2.通过判断位置关系，考查空间想像能力.
3.应用公理、定理证明点共线、线共面等问题. 4.多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中.
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理

高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理

第十二页，共42页。
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。