九年级数学正多边形的画法

正多边形九年级知识点正多边形是指具有相等边长和相等内角的多边形。

在九年级几何学的学习中，正多边形是一个重要的知识点。

本文将介绍正多边形的定义、性质以及计算方法等相关知识。

1. 正多边形的定义正多边形是指所有边长和所有内角均相等的多边形。

常见的正多边形有正三角形、正四边形、正五边形等。

2. 正多边形的性质2.1 内角和外角和对于任意正多边形而言，其内角和与外角和之和均为360度。

以正五边形为例，其内角和为540度，外角和为360度。

2.2 内角的计算公式对于任意正n边形，其内角的度数可通过公式计算得出：内角度数 = (n - 2) × 180° / n2.3 外角的计算公式对于任意正n边形，其外角的度数可通过公式计算得出：外角度数 = 360° / n2.4 对边形和旋转对称性正多边形具有对边形，即对于任意一条边，其对边与其平行且长度相等。

而且，正多边形具有旋转对称性，即以任意顶点为中心旋转一定的角度后，其余顶点落在对应的位置上，形状保持不变。

3. 正多边形的计算3.1 边长的计算由于正多边形的边长相等，可以通过已知的其他参数计算出边长。

例如，已知正五边形的内角度数为108°，则可以使用内角度数计算公式来求得边长：边长 = (正五边形的内角度数所对应的直径长度) × (正五边形的外接圆半径)3.2 面积的计算正多边形的面积可以通过边长和高的计算公式得出。

例如，已知正六边形的边长为a，则可以使用边长和高的计算公式来求得面积：面积 = (正六边形的边长) × (正六边形的高) × 1/24. 正多边形的应用正多边形的概念和性质在实际生活中有广泛应用。

例如，建筑设计中常常使用正多边形来构建稳定和美观的结构；工程测量中可以通过正多边形的性质来计算建筑物的面积等。

总结：正多边形是九年级几何学中的一个重要知识点。

通过本文的介绍，我们了解到正多边形的定义和性质，以及计算边长和面积的方法。

初三几何教案第七章：圆第36课时：画正多边形(一)教学目标：1、使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接或圆外切正多边形．2、使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形，在这个基础上能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形．3、通过画图培养学生的画图能力；4、通过画正方形到会画正八边形，通过画六边形到画三角形、正十二边形，培养学生观察、抽象、迁移能力．5、通过画图中需减小积累误差的思考与操作，培养学生解决实际问题的能力．教学重点：(1)用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接或圆外切正多边形；(2)用尺规作圆内接正方形和正六边形．教学难点：准确作图．教学过程：一、新课引入：前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边形．二、新课讲解：由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一，前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，所以想到只要知道外接圆半径R或内切圆半径r n，画出圆来，然后n等分圆周就能画出所需的正n边形．n等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简单易学，它是一种常用的方法．其根据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以使用量角器等分圆心角，可以达到把圆任意等分的目的，由于学生已具备使用量角器的能力，所以只要讲明根据，让学生动手操作即可．另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能任意等分圆，只适用于一些特殊情况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二边形都是由此作基础而画出来的．由于尺规作图在理论上准确，但在实际操作中有误差积累，如何减少误差使图形趋于准确？这是一个锻炼学生解决问题的好时机，应让学生亲手实验、观察对比，从而得出结论．(三)重点、难点的学习与目标完成过程复习提问：1．哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理？(安排中下生回答)2．哪位同学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质？(安排中下生回答：相等的圆心角所对的弧相等)现在我们要画半径为R的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启发？(安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为R的圆n等分，依次连结n个等分点就得正n边形)那么怎样把半径为R的圆n等分呢？从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发？大家相互间讨论．(安排中等生回答：把360°的圆心角n等分)如果要作半径2cm的正九边形，你打算如何作呢？大家互相讨论看看．(安排中等生回答：先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我们本堂课所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为2的内接正九边形．学生在画图实践中必然出现两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个40°的圆心角，然后在圆上依次截取40°圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的9等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正九边形的边长误差较大．对此学生必然迷惑不解，在此教师应肯定作法理论上的正确性，然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽可能准确的等于所画正九边形的边长．其二，若有可能，尽可能减少操作次数，减少产生误差的机会．大家想想如何画一个半径为2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先画半径2cm的圆，用量角器作90°的圆心角．)画出∠AOB=90°后，方法1，可依次作90°圆心角；方法2，用圆规依次截取等于AB的弧，大家观察有没有更好的方法？(安排中等生回答：将AO与BO边延长交⊙O于C、D)．正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用尺规能不能做出90°的圆心角呢？用尺规如何作半径为2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半径2cm的圆，然后画两条互相垂直的直径)请同学们用尺规画出半径为2cm的正方形．大家想想看，借助这个图形，能否作出⊙O的内接正八边形？同学们互相研究研究，(安排中上生回答：能，过圆心O作正方形各边的垂线与圆相交即得⊙O的八等分点)为什么？根据什么定理？(安排中上等生回答：垂径定理)还有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分线．)请同学们用此二法在图上画出正八边形．照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？(安排中下生回答：16边形等)综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……大家再思考一个问题：如何画半径为2cm的正六边形呢？你都有哪些方法？大家讨论．方法1．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画60°的圆心角，依次画下去即六等分圆周．方法2．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画出60°的圆心角，如果有同学想到方法3更好，若无则提示学生：前面在研究正多边形的有关计算时，得到正六边形的半径与边长有一种什么样的数量关系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同学可不用量角器，仅用尺规作出半径2cm的圆内接正六边形？(安排一名中等生到黑板画图，其余在下面画图)在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于误差积累AB≠FA，其二，首先画出⊙O的直径AD，然后分别以A、D为圆心，2cm长为半径画弧交⊙O于B、F、C、E．画出图形比较准确．请同学们用第二种方法画半径3cm的圆内接正六边形(安排学生在练习本上画)如果我们沿用由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形？(安排中下生回答：正十二边形，正二十四边形…)理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．大家再观察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形？(安排中等生回答：正三角形)画半径为2cm的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗？哪位同学有好方法？(安排举手同学回答：画出⊙O直径AB，以A为圆心，2cm为半径画弧交⊙O于C、D，连结B、D、C即可)请同学们按此法画半径为2cm的正三角形．请同学们思考一下如何用尺规画半径为2cm的正十二边形？在学生充分讨论研究的多种方案中送出：先作互相垂直的直径，然后分别以直径的四个端点为圆心2cm长为半径画弧，交⊙O的各点即得⊙O的12等分点．引导学生观察∠DOE=∠DOB-∠EOB∠DOB=90°，∠EOB=60°∴∠DOE=30°．∴ DE是⊙O内接正12边形一边．三、课堂小结：这堂课你学了哪些知识？(安排中等生回答：1．用量角器等分圆周作正n边形；2．用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形)四、布置作业教材P.168中练习1、2；P.173中13．。

初中数学——正多边形
考点一、正多边形和圆
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

考点二、与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

考点三、正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。

一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

考点四、弧长和扇形面积
1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180
r
n l π=2、扇形面积公式
lR R n S 2
13602==π扇其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积
rl r l S ππ=∙=22
1其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

画正多边形(二)数学教案
标题：画正多边形（二）数学教案
一、课程目标
1. 学习并理解正多边形的概念和性质。

2. 掌握用直尺和圆规绘制正多边形的方法。

3. 培养学生的空间想象能力和动手操作能力。

二、教学内容
1. 正多边形的基本概念和性质
2. 绘制正多边形的方法
三、教学过程
1. 引入新课：通过回顾上节课的内容，引出正多边形的概念和性质。

2. 新知识讲解：
a. 正多边形的基本概念和性质：包括定义、内角和、外角和等。

b. 绘制正多边形的方法：详细讲解如何使用直尺和圆规绘制正多边形，可以通过演示或让学生自己尝试的方式进行。

3. 实践活动：让学生自己尝试绘制不同数量边的正多边形，巩固所学知识。

4. 总结与复习：总结本节课的主要内容，并对学生的实践活动进行反馈和评价。

四、作业布置
1. 完成课本上的练习题。

2. 自己尝试绘制更多的正多边形。

五、教学反思
分析学生在课堂上的反应和学习效果，思考如何改进教学方法和策略。

六、教学资源
提供一些相关的教具和参考资料，如直尺、圆规、正多边形的实物模型等。

七、拓展阅读
提供一些相关的课外读物或网站，供学生进一步了解正多边形的知识。

第二十讲正多边形3.7正多边形【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【基础知识】一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B 为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.【考点剖析】例1．正五边形的中心角等于（）A．18°B．36°C．54°D．72°【答案】D【解析】解：正五边形的中心角为360725︒︒=．故选D. 【点睛】本题考查正多边形的中心角，根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为360 n︒.例2．边长为a的正六边形的边心距等于（）A．32a B．2aC．a D．232a【答案】A【解析】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=16×360°=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=a，∵OM⊥AB，∴AM=BM=12a，在△OAM中，由勾股定理得：OM=22OA AM-=32a．故选A．【点睛】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键．例3．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则这个正n边形的中心角是60°，360606÷︒=n的值为6，故选C【点睛】考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.例4．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A．3:2B．1:3C．1:2D．2:3【答案】C【解析】如图所示，在圆内接正六边形ABCDEF中，60AOB∠=︒，AOB为正三角形，则内接正六边形的边长为R ，如图所示，在圆内接正方形ABCD 中，OA OD R ==，1360904AOD ∠=︒⨯=︒， 则内接正方形的边长为2sin 45R R =︒， ∴内接正六边形与内接正方形的边长之比为：1:2，故选：C ．【点睛】此题考查了圆内接正方形和圆内接正六边形的半径和边心距之间的关系，将问题转化为关于三角形的问题来解答是解题的关键．例5．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72︒，则该正多边形的边数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】解：设正多边形的边数为n ．由题意360n︒=72°， ∴n =5，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=360n︒． 例6．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ．3:2:1【答案】A【解析】 解：设圆的半径为R ，则正三角形的边心距为R×cos60°．四边形的边心距为R×cos45°，正六边形的边心距为R×cos30°．∴346::r r r 等于1:2:3 ．故选A ．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．例7．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 是CD 上的任意一点，则∠APB 的大小是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【解析】 解：连接OA 、OB 、如图所示：∵∠AOB ＝3606 ＝60°， ∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°， 故选：B ．【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．例8．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（）A5B．3C．5D．3【答案】B【解析】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∴AG＝BG，BH＝CH，∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，连接OA，OB角AC于N，则OB⊥AC，∠AOB＝60°，∵OA＝15cm，∴AN 3153（cm），∴AC＝2AN＝3cm），∴GH＝13AC＝53（cm），故选：B．【点睛】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题关键．例9．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环共需要的正五边形个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】如图，圆心角为∠1，∵五边形的内角和为：（5-2）×180°=3×180°=540°，∴五边形的每一个内角为：540°÷5=108°，∴∠1=108°×2-180°=216°-180°=36°，∵360°÷36°=10，∴要完成这一圆环共需10个全等的五边形，故选C．【点睛】本题考查了正五边形与圆的有关运算，解题的关键是正确的构造圆心角.例10．如图，在正五边形ABCDE 中，连接AC ，以点A 为圆心，AB 为半径画弧交AC 于点F ，连接DF ，则FDC ∠的度数是( )A ．18︒B ．30C ．36︒D ．40︒【答案】C【分析】 根据正五边形每条边相等，每个内角相等可以证出四边形AEDF 是平行四边形，从而可求出FDC ∠的度数．【解析】解：在正五边形ABCDE 中，AB=BC=CD=DE=EA ，(52)180=1085ABC BCD CDE DEA EAB -⨯︒∠=∠=∠=∠=∠=︒， 所以180108362BAC ACB ︒-︒∠=∠==︒， 所以1083672EAC ∠=︒-︒=︒，因为10872180EAC DEA ∠+∠=︒+︒=︒，所以//AF ED ，又因为以点A 为圆心，AB 为半径画弧交AC 于点F ，所以AF= AB =DE ，所以四边形AEDF 是平行四边形，所以72EAC EDF ∠=∠=︒，所以1081087236FDC EDF ∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形、正五边形和圆的性质知识点，证出四边形AEDF 是平行四边形，求出EDF ∠的度数是解题的关键．例11．如图，PQR ∆是O 的内接正三角形，四边形ABCD 是O 的内接正方形，//BC QR ，则QOB ∠的度数是（ ）A ．30B ．20︒C ．18︒D ．15︒【答案】D【分析】 连接OA ．利用正多边形的性质以及垂径定理求出∠AOP ，∠AOB ，∠POQ 即可解决问题．【解析】解：连接OA ．∵△PQR 是等边三角形，∴PQ =PR ，∴OP ⊥QR ，∵AD ∥CB ∥QR ，∴OP ⊥AD ，∴PA =PD ，∴∠AOP=45°，∵△PQR 是等边三角形，四边形ABCD 是正方形，∴∠POQ=120°，∠AOB=90°，∴∠AOQ=120°-45°=75°，∴∠BOQ=∠AOB-∠AOQ=90°-75°=15°，故选：D ．【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，正方形的性质，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．例12．如图，A B C D E 、、、、是O 上的5等分点，连接AC CE EB BD DA 、、、、，得到一个五角星图形和五边形MNFGH ．有下列3个结论：①AO BE ⊥，②CGD COD CAD ∠=∠+∠，③BM MN NE ==．其中正确的结论是（ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③【答案】B【分析】 根据圆的性质得到AO ⊥BE ，故①正确；由A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的5等分点，得到弧CD 的度数，求得∠COD =72°，根据圆周角定理得到∠CAD =36°；连接CD 求得∠CGD =108°，于是得到∠CGD =∠COD +∠CAD ，故②正确；连接AB ，AE ，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】解：A 、B 、C 、D 、E 是O 上的5等分点，∴AB AE =，AO BE ∴⊥，故①正确； A 、B 、C 、D 、E 是O 上的5等分点，∴CD 的度数360725︒==︒， 72COD ∴∠=︒，2COD CAD ∠=∠，36CAD ∴∠=︒；连接CDA 、B 、C 、D 、E 是O 上的5等分点，∴AB DE BC CD ===，36BDC DCE CAD ∴∠=∠=∠=︒，108CGD ∴∠=︒，CGD COD CAD ∴∠=∠+∠，故②正确；连接AB ，AE ，则36BAM ABM EAN AEN ∠=∠=∠=∠=︒，AB AE =，()ABM AEN ASA ∴≅△△，BM EN AM AN ∴===，36MAN ∠=︒，AM MN ∴≠，③错误．故选：B ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．正十边形的中心角是（ ）A ．18°B ．36°C ．72°D ．144°【答案】B正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．【解析】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°故选：B【点睛】本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角．2．如图，正六边形ABCDEF内接于O，正六边形的周长是12，则O的半径是（）A．3 B．2 C．22D．23【答案】B【分析】根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再求出∠AOB=60°即可求出O的半径．【解析】解：如图，连结OA,OB,∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×16=60°，∴△AOB是等边三角形，∵正六边形的周长是12，∴AB=12×16=2,∴AO=BO=AB=2，【点睛】本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出∠AOB=60°是解答此题的关键.3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为( )A．60°B．72°C．78°D．144°【答案】B【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质得圆心角AOD∠的度数，再根据圆周角定理即可得.【解析】如图，连接OA、OE、OD由正五边形的性质得：1360725AOE DOE∠=∠=⨯︒=︒144AOD AOE DOE∴∠=∠+∠=︒由圆周角定理得：1722ABD AOD∠=∠=︒（一条弧所对圆周角等于其所对圆心角的一半）故选：B.【点睛】本题考查了正五边形的性质、圆周角定理，熟记性质和定理是解题关键.4．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（）A ．16B ．12C ．8D ．6【答案】C【分析】 利用正六边形的性质可得出：△BCD 与△BCF 同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．【解析】解：△BCD 与△BCF 同底，其高的比为：2：1，∵△BCD 的面积为4，∴△BCF 的面积为：8．故选：C ．【点睛】此题考查的是正多边形和圆的题目，利用正六边形的性质，得出△BCD 与△BCF 高的比是解题关键． 5．线段OA 以点O 为旋转中心，逆时针旋转60°，得到1OA ，再将1OA 以点O 为旋转中心逆时针旋转60°得到2OA ，依此操作直到点n A 与点A 重合为止，顺次连接点A 、1A …1n A形成的多边形是（ ） A ．正四边形B ．正五边形C ．正六边形D ．正七边形【答案】C【分析】根据题意，直接画出相关的图形，直观就可以看出多边形形状．【解析】如下图：因为线段OA旋转过程，所形成的的轨迹是一个以点O为圆心，OA为半径的圆，每一次旋转60，所形成的的三角形为等边三角形，故当旋转六次的时候重合，成正六边形．故选：C【点睛】本题考查直角坐标系中点的运动所形成的图形判定，能根据相关条件画出图形是解题关键．6．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．23B．33C．43D．63【答案】B【解析】解：如图所示：作AD⊥BC与D，连接OB，∵△ABC是等边三角形，∴BD=CD，∠OBD=12∠ABC=30°，∴AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，∴OA=OB=2OD=2，∴AD=3，BD=3，∴BC=23，∴△ABC的面积=12BC•AD=12×23×3=33；故选B．7．下列关于正多边形的叙述，正确的是（）A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为720C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【答案】C【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义、多边形外角和定理、正多边形的性质对各选项逐一判断即可得答案．【解析】A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，D.∵正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，故选：C．【点睛】本题考查正多边形的性质、中心对称图形、轴对称图形的定义及多边形外角和定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．8．作⊙O的内接正六边形ABCDEF，甲、乙两人的作法分别是：甲：第一步：在⊙O上任取一点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F. 第二步：依次连接这六个点.乙：第一步：任作一直径AD．第二步：分别作OA，OD的中垂线与⊙O相交，交点从点A开始，依次为点B，C，E，F. 第三步：依次连接这六个点.对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲正确，乙错误B．甲、乙均错误C．甲错误，乙正确D．甲、乙均正确【答案】D【分析】根据等边三角形的判定与性质，正六边形的定义解答即可.【解析】（1）如图1，由作法知，△AOB, △BOC, △COD,△DOE,△EOF,△AOF都是等边三角形，∴∠ABO=∠CBO=60°,∴∠ABC=120°,同理可证：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°,∵AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴六边形ABCDEF是正六边形，故甲正确；（2）如图2，连接OB，OF，由作法知，OF=AF，AB=OB，∵OA=OF=OB，∴△AOF，△AOB是等边三角形，∴∠OAF=∠OAB=60°,AB=AF,∴∠BAF=120°,同理可证，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°,AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴六边形ABCDEF是正六边形，故乙正确.故选D.【点睛】本题考查了圆的知识，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，以及正六边形的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．PM AB交AF于M，作9．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，P是BC边上一动点，过点P作//的值为（）PN CD交DE于N，则PM PN//A．4 B．6 C．8 D．随着点P的移动而改变【答案】B【分析】作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解．【解析】解：如图，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，则有MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN，∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，∴GM=12AM，HP=12BP，PL=12PC，NK=12ND，∵AM=BP，PC=DN，∴MG+HP+PL+KN=2，GH=LK=2，∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3×2=6，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图(十六)，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为何？A．40 B．50 C．60 D．80【答案】A【解析】设圆心为O,择O为AE（直径）连接OD则OD为RT△ADE的中线∴△ODE的面积=5而正八边形ABCDEFGH 由8个△ODE组成，∴正八边形ABCDEFGH的面积=8×5=40故选A11．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝4x，y＝﹣4x与⊙O相交，以交点为顶点的八边形ABCDEFGH是正八边形，则此正八边形的面积为（）A．32 B．64 C．2D．2【答案】A【分析】连接AO，HO，由于点A在双曲线y=-4x上，得到S△AOM=12×|-4|=2，由于点H在双曲线y=4x上，得到S△HOM=12×4=2，求出S△AOH=4，则可求出正八边形的面积．【解析】解：连接AO ，HO ，∵点A 在双曲线y=-4x 上， ∴S △AOM =12×|-4|=2， ∵点H 在双曲线y=4x上， ∴S △HOM =12×4=2， ∴S △AOH =4，∴此正八边形的面积=8×4=32，故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，正多边形和圆，根据反比例函数系数k 的几何意义求出三角形AOH 的面积是解答此题的关键．12．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，5PB cm ，小正六边形的面积为24932cm ，则该圆的半径为（ ）cm .A B ．C ．7 D ．8【答案】D【分析】 设两个正六边形的中心为O ，连接OP ，OB ，过O 作OG ⊥PM ，OH ⊥AB ，先由正六边形的性质及邻补角性质得到△PMN 为等边三角形，再由小正六边形的面积求出边长，确定出PM 的长，进而可求出△PMN 的面积，然后利用垂径定理求出PG 的长，在直角△OPG 中，利用勾股定理求出OP 的长，设OB ＝xcm ，根据勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解即可得到结果．【解析】解：设两个正六边形的中心为O ，连接OP ，OB ，过O 作OG ⊥PM ，OH ⊥AB ，由题意得：∠MNP ＝∠NMP ＝∠MPN ＝60°，∵小正六边形的面积为2cm 2，∴cm ，即PM ＝，∴S △MPN 2，∵OG ⊥PM ，且O 为正六边形的中心，∴PG ＝12PM ，OG PM ＝72，在Rt △OPG 中，根据勾股定理得：OP 7cm ，设OB ＝xcm ，∵OH ⊥AB ，且O 为正六边形的中心，∴BH ＝12x ，OH ，∴PH ＝（5﹣12x ）cm ，在Rt △PHO 中，根据勾股定理得：OP 2）2+（5﹣12x ）2＝49，解得：x ＝8（负值舍去），则该圆的半径为8cm ．故选D.【点睛】此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质、灵活应用解直角三角形的知识是解本题的关键．二、填空题13．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠GBF=_______________度．【答案】22.5°【分析】正八边形内接于圆，可求得GF所对的圆心角为45°，进而可求得GF所对的圆周角的度数．【解析】解：∵多边形为正八边形∴正八边形ABCDEFGH内接于圆∴GF所对的圆心角为45°∴GF所对的圆周角∠GBF为22.5°故答案为：22.5°．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，解题的关键是掌握正多边形与圆的关系．14．如图，⊙O的半径为r，则它的内接正六边形ABCDEF的周长为____．【答案】6r【分析】连接,,OC OD 求解正六边形ABCDEF 的中心角，得到等边三角形可得答案．【解析】解：如图，连接,,OC OD 360,60,6OC OD COD ︒∴=∠==︒ COD ∴∆为等边三角形，,CD OC r ∴==∴ 内接正六边形ABCDEF 的周长为：6.r故答案为：6.r【点睛】本题考查的是正多边形与圆，掌握正多边形的中心角的计算是解题的关键．15．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，则∠CAD ＝_____．【答案】36°．【分析】由正五边形的性质得出∠BAE =15(5﹣2)×180°=108°，BC =CD =DE ，得出 BC =CD =DE ，由圆周角定理即可得出答案．【解析】∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，∴∠BAE =15(n ﹣2)×180°=15(5﹣2)×180°=108°，BC =CD =DE ， ∴BC =CD =DE ，∴∠CAD =13×108°=36°； 故答案为：36°．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用；熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键．16．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为_______．【答案】10【分析】连接AO,BO ，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．【解析】如图，连接AO,BO ，∴∠AOB=2∠ADB=36°∴这个正多边形的边数为36036=10 故答案为：10．【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．17．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为_____．【答案】3【分析】根据正六边的性质，正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可．【解析】解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，323 3【点睛】此题考查的是正六边形的性质和正三角形的性质，掌握正六边形的性质和正三角形的性质是解决此题的关键．18．如图，已知正六边形ABCDEF ，连接,AC CE ，则ECA ∠=_________°．【答案】60【分析】作出正六边形的外接圆，连接OE，OA则可知∠AOE=120°，从而可得∠ECA的度数.【解析】如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，作出正六边形ABCDEF的外接圆⊙O，连接OE，OA则∠AOE=26×360°=120°，∴∠ECA=12∠AOE=60°．故答案为：60【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是熟知正多边形的中心角的度数和圆周角之间的关系．19．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是⊙O上一点（P与C，D不重合），则∠CPD的度数是_____．【答案】30°或150°【分析】构造圆心角，分两种情况，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．【解析】解：连接OC，OD，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝3606＝60°，当点P不在CD上时，∠CPD＝12∠COD＝30°，当点P在CD上时，∠CPD＝180°﹣12∠COD＝180°﹣30°＝150°，故答案为：30°或150°．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解决本题的关键是要熟练掌握正多边形的有关概念和正多边的性质．20．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是_____．【答案】4﹣2【解析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M 的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B ，M 间的距离大于等于4-22小于等于4，由此即可判断．【解析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M 的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B ，M 间的距离大于等于4-22小于等于4，∴B ，M 之间距离的最小值是4-22．故答案为：4-22．【点睛】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M 的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．三、解答题21．如图，已知在正五边形ABCDE 中，M 是CD 的中点．求证：AM CD ⊥.【答案】证明见解析.【分析】连接AC 、AD ，根据正五边形的性质可证ABC AED ∆≅∆，得到AC AD =，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得结论.证明：连接AC 、AD ，∵五边形ABCDE 为正五边形，∴B E ∠=∠，AB BC AE ED ===，∴ABC AED ∆≅∆，∴AC AD =，∴ACD ∆为等腰三角形，M 为CD 中点，∴AM CD ⊥.【点睛】本题考查了正五边形的性质、三角形全等的判定和性质以及等腰三角形三线合一的性质，熟知正五边形的性质是解答此题的关键．22．如图，ABCDE 是O 的内接正五边形．求证：AE BD .【答案】证明见解析【分析】根据正五边形的性质求出108A ABC C ∠==∠=∠，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD 的度数，进而可得出∠ABD 的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．【解析】证明：∵ABCDE 是正五边形，∴()521801085A ABC C -⋅∠===∠=∠.又∵BC CD =，∴180108362CBD CDB-∠=∠==，∴1083672ABD∠=-=，∴10872180A ABD∠+∠=+=，∴AE BD.【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质是解答此题的关键．23．已知已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（1）在图①中，以AB为边作等边三角形；（2）在图②中，作一个含30°的直角三角形．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）连接AD，BE交于点O，即可得到所求三角形；（2）连接AC，CF，即可得到所求三角形；【解析】（1）如图①所示：∆AOB即为所求三角形；（2）如图②所示：∆ACF即为所求三角形．【点睛】本题主要考查正六边形的性质，熟练掌握正六边形的每条边都相等，每个内角都等于120°，是解题的关键．24．如图，正五边形ABCDE内接于O，P为DE上的一点（点P不与点,D E重合），求CPD∠的余角的度数．【答案】54°【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【解析】如图，连接,OC OD．∵五边形ABCDE是正五边形，∴360725COD︒∠==︒，∴1362CPD COD∠=∠=︒，∴90°-36°=54°，∴CPD∠的余角的度数为54°．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为CD的中点，连接AM，BM．（1）求证：AM BM=；（2）求AM的度数．【答案】（1）见解析；（2）135°【分析】（1）根据正方形的性质得到AD＝BC，求得AD BC=，由M为CD的中点，得到DM CM=，于是得到结论；（2）连接OM，OA，OB，求得∠AOB＝90°，求得∠AOM＝∠BOM＝12（360°﹣90°）＝135°，即可得到结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴AD BC=，∵M为CD的中点，∴DM CM=，∴DM AD CM BC+=+，∴AM BM=;（2）解：连接OM，OA，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠AOB＝90°，AM BM=,∴∠AOM＝∠BOM＝12（360°﹣90°）＝135°，∴AM的度数时135°．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．26．如图，圆O的半径为1，六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，从A，B，C，D，E，F六点中任意取两点，并连接成线段．()1求线段长为2的概率；()23【答案】（1）15；（2）25【分析】（1）连接AE，过点F作FN⊥AE于点N，得出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=BC=CD=DE=EF=AE=1，∠FAE=30°，由直角三角形的性质得出33，同理：330个等可能的结果，线段长为2的结果有6个，由概率公式即可得出结果；（2）由树状图可知，共有30312个，由概率公式即可得出结果．【解析】解：()1连接AE，过点F作FN AE⊥于点N，如图1所示：圆O 的半径为1，六边形ABCDEF 是圆O 的内接正六边形， 360606AOB ︒∴∠==︒，1OA OB ==，120AFE ∠=︒，2AD =， AOB ∴是等边三角形，1OA AB BC CD DE EF AE ∴=======，30FAE ∴∠=︒，32AN ∴=， 3AE ∴=同理：3AC =，画树状图如图2所示：共有30个等可能的结果，线段长为2的结果有6个，∴线段长为2的概率为61305=； ()2由树状图可知，共有30312个， ∴3122305=． 【点睛】 本题主要考查了树状图法求概率、正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE 的长和画出树状图是解题的关键．27．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．。