投资组合之——有效边界(Efficient frontier)

4、有效边界概念与最佳投资组合确定了解了在证券投资组合中通过预期收益R和风险指标均方差COV两个指标来研究分析收益与风险的相互关系，以求得在风险即定的前提下，为追求收益的最大化，或在收益即定的前提下，达到最大限度的规避风险。

这就是二维规划的含义。

用图表表示：此图的横轴表示证券组合的投资风险，纵轴表示为证券组合的预期收益水平，任何一种证券组合，都将在图表中找到所相对应的一点，全部证券组合，即构成图中ABCD所形成的阴影部分，代表人们面对的所有投资机会。

从中可以看出，越是处于图形上端的点。

所对应的预期收益就越大，反之则越小；而越是位于图形右边的点，所对应的投资风险就越大，反之则越小。

显然，A点代表了风险最小的证券组合，B点代表了预期收益最大的证券组合，除此之外，再也不可能存在其它比A点风险更小的和比B点预期收益更大的证券组合，从平面几何的筑图原理知道：这二维规划的可行性区域只能是在第二象限中，如果以360度为所有点的包容区域。

那么最佳的组合点必定都落在90度~180度之间。

如A点，它是证券组合中均方差最小的一点，即圆圈中180度此点必然可与纵轴相切，其它任何一点都只会加大风险度。

而图中B点，它是证券组合中预期收益最大的一点，即圆圈中90度此点必然可与横轴相切，其它任何一点都只会减少预期收益。

在圆内的任何一点，都可引伸出一条平行线在圆周上找到与其收益相对应的一点，但风险必然更大，即非有效组合。

同理，也可引伸出一条垂直线在圆周上找到与其风险相对应的一点，但收益必然更小，也非有效组合。

可见，只有落在AB曲线上的证券组合才是全部有效组合，AB曲线也是所有证券有效组合的有效边界，在有效边界以内的任何一点投资都是非有效的。

我们曾提到的风险厌恶者，即保守的投资者，可选择A点附近的有效组合，虽然收益值较小，但是COV同样也小。

反之，风险偏好者则可选择接近B点的有效组合，以搏取最大的收益值，同时承担相对应的高风险。

风险管理与金融机构（约翰·赫尔）一到五章名词解释整理第1章导言1. （风险）套利定价理论 arbitrage pricing theory投资回报与若干因子相关的理论。

（套利，arbitrage，利用若干种证券价格的不一致来获益的交易策略。

）2. 有效边界 efficient frontier投资者的预期回报与回报标准差之间的最佳替代关系。

3. 市场投资组合 market portfolio包含所有可能投资的资产组合。

4. 系统风险 systematic risk不能被分散的风险。

5. 非系统风险 nonsystematic risk可以被分散的风险6. 资产定价模型 capital asset pricing model关于资产预期回报与资产的beta系数之间关系的模型。

7. 市场择时 market timing基金经理允许一下特殊的客户可以频繁地买入或者卖出基金的份额，或进行迟后交易来盈利。

8. 破产成本 bankruptcy cost在宣布破产后由于销售的损失、主要管理人员的离职及专业费用的增加所带来的成本，这些成本与引发破产的不利事件无关。

第2章银行1. 操作风险 operational risk不完善或有问题的内部程序、员工和信息科技系统以及外部事件所造成的损失。

2. 一级资本 tier 1capital股本以及类似来源的资本金。

3. 二级资本 tier 2 capital次级债务以及其他类似来源的资本金。

4. 道德风险 moral hazard某一被保主体因为保险合约的存在而改变自身行为举止所带来的风险。

5. 可转换债券 convertible bond可以在债券期限内的某个时刻转换为一定数量股票的公司债券。

6. 私募 private placement没向公众发行新发证券，而将证券卖给小数量金融机构的过程。

7. 公开发行 public offering向大众出售证券的过程。

Efficient Frontier表达式：实现投资组合多样化和风险控制的关键工具1. 介绍在投资领域，构建一个高效的投资组合是投资者们所追求的目标之一。

而要构建一个高效的投资组合，就需要借助于Efficient Frontier表达式来实现多样化和风险控制。

Efficient Frontier表达式是投资组合理论中的关键工具，它可以帮助投资者在投资决策中找到最佳的投资组合配置，从而在风险和回报之间找到最佳的平衡点。

2. Efficient Frontier表达式的基本概念Efficient Frontier表达式是由马科维茨在20世纪50年代提出的，它是指在给定一定的风险下，能够获得最高收益的投资组合。

具体来说，Efficient Frontier表达式通过计算不同资产之间的协方差和收益率的关系，来找到一组投资权重，使得在给定风险水平下能够达到最佳的收益。

从而帮助投资者在投资决策中选择最佳的投资组合配置，实现风险多样化和收益最大化。

3. 如何构建Efficient Frontier表达式要构建Efficient Frontier表达式，首先需要收集各种资产的历史数据，包括收益率和风险数据。

然后通过计算这些资产之间的协方差和收益率，可以构建出一个投资组合的收益-风险分布曲线。

在这条曲线上，Efficient Frontier表达式表示了在给定风险水平下能够获得的最高收益。

通过调整不同资产的权重，可以在Efficient Frontier上找到不同的投资组合配置，从而实现投资组合的多样化和风险控制。

4. Efficient Frontier表达式的应用Efficient Frontier表达式在实际投资中有着广泛的应用。

投资者可以根据自己的风险偏好和收益目标，通过Efficient Frontier表达式来选择最佳的投资组合配置。

通过对Efficient Frontier表达式的分析，投资者还可以了解到在不同风险水平下能够获得的最佳收益，从而更加全面地理解投资组合的潜在风险和回报。

确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换行动所产生的结果已知。

它排除了任何随机事件发生的可能性。

风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。

即对于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认识。

但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。

不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题。

即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种状态发生的概率不清楚。

自然状态：特定的会影响个体行为的所有外部环境因素。

自然状态的特征：自然状态集合是完全的、相互排斥的（即有且只有一种状态发生）自然状态的信念（belief）：个体会对每一种状态的出现赋予一个主观的判断，即某一特定状态s出现的概率P（s）满足：0≤p（s）≤1，这里的概率p（s）就是一个主观概率，也成为个体对自然的信念。

不同个体可能会对自然状态持有不同的信念，但我们通常假定所有的个体的信念相同，这样特定状态出现的概率就是唯一的。

数学期望最大化原则：数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。

这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确定情形下的推广。

期望效用原则：指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。

而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。

穷人与富人对于财富增加的边际效用是不一样的。

即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是递减的。

效用函数的表述和定义：不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅对自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。

因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（Lottery）或未定商品（contingent commodity。

股票投资中投资组合理论的应用分析投资组合理论主要包括以下几个方面的内容：1. 有效前沿（Efficient frontier）有效前沿是指投资组合在风险和收益之间达到最优平衡的曲线。

投资者可以通过选择不同的投资组合，以达到最佳收益和风险平衡的目标。

有效前沿可以帮助投资者优化投资组合并最大化回报。

2. 互不相关性（Diversification）互不相关性是指选择不同领域、不同行业、不同地理区域、不同市场的股票组成投资组合。

通过选择互不相关的资产，可以降低整个投资组合的系统性风险和波动性。

投资组合中包含的股票不应是同一种类的，应通过审慎选择使得投资组合中每只股票的贡献值可以得到充分利用。

3. 个股风险与系统风险（Systematic Risk vs. Idiosyncratic Risk）在投资中，股票的风险主要存在这两方面。

企业自身的风险，称之为独特风险，这类风险可以通过资产的均衡分散减少，使投资者获得更好的收益；由经济环境变化等不可预计的因素所导致的风险，所有股票都会有，称之为系统性风险，因此必须透过组合，通过分散投资降低它的影响。

在实际的股票投资中，应用投资组合理论可以帮助投资者降低风险、最大化收益，具体如下：1. 投资者可以通过分配资金到不同的公司和行业，提高整个投资组合的多样性，降低风险。

这可以通过选择来自不同行业、不同规模的公司的股票来实现。

2. 投资者应该通过合理的配置资产权重，构建一个最佳的投资组合，以获得最大的投资回报率。

同时，投资者应该充分考虑整体风险水平，并避免过度投资某个股票，以降低投资组合的波动性。

3. 投资者可以通过定期监管和重新平衡投资组合的持仓，以确保它们保持与市场的同步性。

如果某些股票的数量过于大或过小，则应重新平衡股票，以确保整个投资组合的风险和收益水平达到最佳。

综上所述，投资组合理论是股票投资中不可或缺的一部分，它可以通过选取不同的股票，分散投资风险，优化投资组合，以达到最佳的收益和风险控制。

有效边界和最优投资组合风险偏好与⽆差异曲线不同的投资者对收益的偏好和对风险的厌恶程度是有差异的，这⼀差异的存在⽆疑会影响到他们对于投资对象的选择。

因此，我们在寻找最优投资策略时必须把投资风险、收益和投资者偏好同时加以考虑。

风险偏好相对风险⽽⾔投资者对收益的偏好，有三种类型：喜好风险型，投资者为了获得较⾼投资收益，愿意承担相对较⾼的投资风险；厌恶风险型，投资者获得⼀定投资收益时，只愿意承担相对较低的投资风险；风险中性。

⽆差异曲线投资者⽆差异曲线是指能够给投资者带来相同满⾜程度的收益与风险的不同组合。

⽆差异曲线的斜率表⽰风险和收益之间的替代率，斜率越⾼，表明为了让投资者多冒同样的风险，必须给他提供的收益补偿也应越⾼，说明该投资者越厌恶风险。

同样，斜率越低，表明该投资者厌恶风险程度较轻。

2有效边界和最优投资组合编辑现实⽣活中证券种类繁多，可以构成⽆数组合，根据马柯维茨的有效集定理，可以确定最优投资组合的⽅法。

（1）可⾏集可⾏集是指由n种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实⽣活中所有可能的组合。

也就是说，所有可能的组合将位于可⾏集的内部或边界上。

⼀般来说，可⾏集的形状像伞状。

（2）有效集有效集是指能同时满⾜预期收益率最⼤，风险最⼩的投资组合的集合。

对于⼀个理性投资者⽽⾔，他们都是厌恶风险⽽偏好收益的。

对于同样的风险⽔平，他们将会选择能提供最⼤预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最⼩的组合。

能同时满⾜这两个条件的投资组合的集合就是有效集。

有效集曲线具有如下特点：有效集是⼀条向右上⽅倾斜的曲线，它反映了“⾼收益、⾼风险“的原则；有效集是⼀条向上凸的曲线有效集曲线上不可能有凹陷的地⽅。

点击查看相关图形（3）最优投资组合最优投资组合是投资者的⽆差别曲线和有效集的切点。

有效集向上凸的特性和⽆差异曲线向下凹的特性决定了有效集和⽆差异曲线的相切点只有⼀个，也就是说最优投资组合是唯⼀的。

对于投资者⽽⾔，有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的，⽽⽆差异曲线则是主观的，它是由投资者风险―收益偏好决定的。

投资组合中的可行集与有效边界问题研究王晓乐（常州工学院经济与管理学院，江苏常州213002）摘要：本文从从马科维茨的投资组合理论思想出发，在已有结论基础之上，利用均值方差模型分别研究了风险资产组合和引入无风险资产后各自有效边界的确定和解析表达式，随之引入CAPM模型着重分析了资本市场中，投资者如何确定投资组合来均衡收益与风险之间的关系。

文末就CAPM的有效性问题和股票收益与风险的关系这两个延伸问题进行了简单的探讨。

关键词：投资可行集有效边界CAPM模型一、引言（一）课题研究的背景面对五花八门的投资对象，大家都明白“鸡蛋不要都放在同一个篮子里”的简单道理，那么“鸡蛋”应该放在几个“篮子”里，这些“篮子”各有什么特点？在资本市场中，马科维茨的投资组合选择理论和在此基础上发展形成的CAPM模型，历来是投资者面对风险和收益决策投资组合的重要理论依据。

投资者在资本市场中，如何平衡风险与收益之间的关系，如何有效决策资产组合，这些都是关键问题。

（二）课题研究的价值投资有效组合，使资产风险合理分散化，通过充分利用数学知识，借助计量经济学的帮助，分析投资理论中的风险类型和收益模型，推导在各种风险资产组合中的可行集和有效边界，风险最小的情况下，使得投资组合获得最大利益，从而更好地服务于现代证券市场。

二、已有相关研究观点评介关于资产定价的原理和模型的研究，国内不乏众多学者。

合肥工业大学经济管理学院的邓英东教授（2004）在他的文章中评述：Markowitz的证券组合选择理论，在今天已经成为现代金融经济学的基石，人们在处理证券组合的收益-风险分析时，Markowitz理论始终是一种基本工具。

[1]东华大学理学院的陈静、胡良剑教授认为：金融决策的核心问题就是权衡证券收益与风险的问题。

[2]在论述有关CAPM模型的作用时，中国人民大学金融专业博士生导师吴晓求教授在他的文章里写道：CAPM给出了一个非常简单的结论，只有一种原因会使投资者得到更高回报，那就是投资高风险的股票。

.概述：有效边界是用来描述一项投资组合的风险与回报之间的关系，在以风险为横轴，预期回报率为纵轴的坐标上显示为一条曲线，所有落在这条曲线上的风险回报组合都是在一定风险或最低风险下可以获得的最大回报。

基础：1、追求收益最大化的规律特征这一特征表现在：当风险水平相当时，理性投资者都偏好预期收益较高的交易。

在可能的范围内，投资者总是选择收益率最高的资产；但是另一方面，与之相对的市场资金需求者为了自身收益最大化的要求则要选择成本最低的融资方式。

2、厌恶风险的规律特征这一特征表现在，当预期收益相当时，理性投资者总是偏好风险较小的交易。

风险越大，风险补偿额也就越高。

3、求效用最大化追求效用最大化就是要选择能带来最大满足的风险与收益的资产组合。

效用由无差异曲线表示，可供选择的最佳风险与收益组合的集合由有效益边界表示，效用曲线与有效益边界的切点就是提供最大效用的资产组合。

（1）风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。

金融市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下，资金供应者对不同资金组合的满足程度无区别的，即同等效用水平曲线。

如下图是一组风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。

不同水平的曲线代表着效用的大小，水平越高，效用越大，这里曲线C显然代表这最大效用。

风险厌恶投资者的无差异曲线图曲线的凸向反映着资金供应者对风险的态度，由于X轴是风险变量，Y轴是预期收益变量，因此，曲线右凸反映风险厌恶偏好。

风险厌恶者要求风险与收益成正比，曲线越陡，风险增加对收益补偿要求越高，对风险的厌恶越强烈；曲线斜度越小，风险厌恶程度越弱。

风险中性的无差异曲线为水平线，风险偏好的无差异曲线为左凸曲线。

待续...参考文献：《证券投资学》第二版第10章证券组合管理如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！精品。

数学模型论文题目多种种风险资产组合有效前沿系别班级姓名学号新疆农业大学数理学院目录摘要、关键词与定义 (3)多种种风险资产组合有效前沿的定义 (3)多种证券构成的投资组合的有效前沿推导原理： (3)部分选股数据处理及计算 (4)结论 (7)多种种风险资产组合有效前沿作者： 指导教师：摘要：针对投资者总希望用尽可能小的风险来获得尽可能大的收益，本文进行了有效组合的详细构建。

文章中通过抽样的方式选取几只有代表性的股票来构建中国股票市场的有效前沿。

关键词：投资组合；有效前沿；股票市场；预期收益。

证券投资组合有效前沿的定义：有效边界是组合证券资产选择的重要基础。

根据现代证券投资组合理论，理性的投资者应具有“非满足性”和“风险回避”这两个特征，即一定风险下的期望收益率最大化和一定收益下风险最下化。

在多种风险证券组合收益模型中，对于每一个给定的收益率水平，得到的对应投资组合的方差或标准差比在同样收益水平的任何组合的方差或标准差要来得小，称之为有效前沿。

在均值—方差坐标系当中，组合的前沿是抛物线；在标准差—均值坐标系中，则是一条双曲线。

收益率高于最小方差组合所对应的收益率的组合，位于组合前沿的上半部分，被称为有效前沿。

为了更加具体地描述有效前沿，我们将采取浅入深出的方式来阐述这一问题。

多种证券构成的投资组合的有效前沿推导原理： 设市场上有n 种证券，其收益率为x i （i=1,2…n ），x i 为随机变量。

用向量的形式可以表示为：x=(x 1, x 2….x n )T 其数学期望与方差为:E （x ）=[E(x1),E(x2),…E(x3)]=u=(u 1,u 2,…u n ) Var(x)=E((x-u)(x-u)T )=Σ=(σij )n*n设投资组合投资于第i 种证券的比例为ω（i=1,2，…n ）, 用向量表示为：ω=(ω1, ω2…ωn )T 这里Σωi=1令 1T ω=1 其中 1T =（1,1...1）这一组合的期望收益就是该组合所有证券期望收益的加权平均，即：E （ωT x ）=ωT E(x)= ωT u该投资组合的方差为：Var （ωT x ）=E((ωT x-E （ωT x ）)( ωT x-E(ωT ))= ωT Σω 为了计算证券的有效前沿，我们假设投资组合的期望收益率为已知量，即ωT u=a ， 且有 1T ω=1,在此已知条件下，求符合限定条件的ω，使得组合的风险ωT Σω最小。