投资组合有效边界计算

（一）两种证券投资组合曲线对于两种证券的组合，它们之间相关系数为10≤≤AB ρ，几种极端的相关系数的预期收益率曲线为：A rB r B ρAB =1ρAB =-1r A·A·B0 r BρAB =0图10—1：相关性与收益率下面我们用一个例子讨论一下两种证券组合时，组合P 的预期收益率P μ和收益率标准差P σ之间有什么样的关系。

例：假设有两种风险证券A 和B ，它们的收益率标准差σ和预期收益率μ分别为（5%，6%）和（15%，12%），可在σ、μ坐标上标出A 、B 所在的位置。

如果这两种证券的相关系数1=ρ，则组合的预期收益和标准差分别为：)()()(B B A A p r E x r E x r E +=B A A A P x x σσσ)1(-+=在投资比例0,0>>B A x x 时，B B A A P x x σσσ⋅+⋅=，组合的风险是两种证券风险的线性和。

投资比例0,1<>B A x x 时，组合卖空证券B ，用自有资金和卖空所得投入证券A ，小风险小收益。

根据前面两种证券组合的讨论可知，在AB AA B A B B A x x x σσσσσσ--=-=-=1 ,时，有零风险组合。

投资比例1,0><B A x x 时，组合卖空证券A ，用自有资金和卖空所得投入证券B ，大风险大收益。

利用例子中证券A 、B 的数据，可以得结果数据。

作图如下：所以，两种完全正相关的风险证券进行组合时，组合的预期收益与风险的平面图形只能是一条直线，这种组合后可能的预期收益率与标准差的点的轨迹称为组合的可行域。

由此类推，几种极端相关状态下的投资组合可行域为：a b P P P a:1=AB ρ b:0=AB ρ c:1-=AB ρ图10-2：两种证券的收益风险坐标曲线a,b,c 三图中的实线部分表示非卖空状态的组合可行集，虚线部分表示卖空状态下的可行集，a, c 两图表明，存在零风险组合，b 图存在最低风险组合。

概述：有效边界是用来描述一项投资组合的风险与回报之间的关系，在以风险为横轴，预期回报率为纵轴的坐标上显示为一条曲线，所有落在这条曲线上的风险回报组合都是在一定风险或最低风险下可以获得的最大回报。

基础：1、追求收益最大化的规律特征这一特征表现在：当风险水平相当时，理性投资者都偏好预期收益较高的交易。

在可能的范围内，投资者总是选择收益率最高的资产；但是另一方面，与之相对的市场资金需求者为了自身收益最大化的要求则要选择成本最低的融资方式。

2、厌恶风险的规律特征这一特征表现在，当预期收益相当时，理性投资者总是偏好风险较小的交易。

风险越大，风险补偿额也就越高。

3、求效用最大化追求效用最大化就是要选择能带来最大满足的风险与收益的资产组合。

效用由无差异曲线表示，可供选择的最佳风险与收益组合的集合由有效益边界表示，效用曲线与有效益边界的切点就是提供最大效用的资产组合。

（1）风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。

金融市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下，资金供应者对不同资金组合的满足程度无区别的，即同等效用水平曲线。

如下图是一组风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。

不同水平的曲线代表着效用的大小，水平越高，效用越大，这里曲线C显然代表这最大效用。

风险厌恶投资者的无差异曲线图曲线的凸向反映着资金供应者对风险的态度，由于X轴是风险变量，Y轴是预期收益变量，因此，曲线右凸反映风险厌恶偏好。

风险厌恶者要求风险与收益成正比，曲线越陡，风险增加对收益补偿要求越高，对风险的厌恶越强烈；曲线斜度越小，风险厌恶程度越弱。

风险中性的无差异曲线为水平线，风险偏好的无差异曲线为左凸曲线。

待续...参考文献：《证券投资学》第二版第10章证券组合管理。

第三部分证券组合的可⾏域和有效边界⼀、证券组合的可⾏域1、两种证券组合的可⾏域组合线――任何⼀个证券组合可以由组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的⼀点，这⼀点将随着组合的权数变化⽽变化，其轨迹将是经过A和B的⼀条连续曲线，这条曲线称为证券A和证券B的组合线。

描述了证券A和证券B所有可能的组合。

不同关联性下的组合线形状（掌握第（4）种，（1）（2）（3）是（4）的特殊形式――组合线的⼀般情况）（1）完全正相关下的组合线（ρAB=1）――连接AB两点的直线（2）完全负相关下的组合线（ρAB＝-1）――折线（3）不相关情形下的组合线（ρAB＝0）――⼀条经过A和B的双曲线（4）组合线的⼀般情形（0＜ρAB＜1）――⼀条双曲线。

相关系数决定结合线在A和B之间的弯曲程度，随着ρAB的增⼤，弯曲程度将降低。

当ρAB＝1时，弯曲程度最⼩，呈直线；当ρAB＝-1时，弯曲程度，呈折线；不相关是⼀种中间状态，⽐正完全相关弯曲程度⼤，⽐负完全相关弯曲程度⼩。

在不卖空的情况下，组合降低风险的程度由证券间的关联程度决定（相关系数越⼩，证券组合的风险越⼩，特别是负完全相关的情况下，可获得⽆风险组合。

）2、多种证券组合的可⾏域组合可⾏域――当由多种证券（不少于3个证券）构造证券组合时，组合可⾏域是所有合法证券组合构成的E-σ坐标系中的⼀个区域。

不允许卖空情况下，多种证券所能得到的所有合法组合将落⼊并填满坐标系中每两种证券的组合线围成的区域；允许卖空情况下，多种证券组合的可⾏域不再是有限区域，⽽是包含该有限区域的⼀个⽆限区域。

可⾏域的形状依赖于4个因素：可供选择的单个证券的特征E(ri)和si以及它们收益率之间的相互关系ρij，还依赖于投资组合中权数的约束。

可⾏域满⾜⼀个共同的特点：左边界必然向外凸或呈线性。

⼆、证券组合的有效边界（掌握4个概念）共同偏好规则：（1）如果两种证券组合具有相同的收益率⽅差和不同的期望收益率，即s2 A=s2B，⽽E（rA）≠E（rB），且E（rA）>E（rB），那么投资者选择期望收益率⾼的组合，即A；（2）如果两种证券组合具有相同的期望收益率和不同的收益率⽅差，即E（rA）=E（rB），⽽s2A≠s2B，且s2A（注意）：共同规则不能区分s2B有效证券组合――按照投资者的共同偏好规则，可以排除那些被所有投资者都认为差的组合，余下的这些组合称为有效证券组合。

投资学之最优投资组合与有效边界在投资的世界里，我们都希望能够找到那个“神奇的组合”，既能获得高额的回报，又能将风险控制在可承受的范围内。

这就引出了投资学中两个非常重要的概念：最优投资组合和有效边界。

要理解最优投资组合，我们首先得明白投资组合是什么。

简单来说，投资组合就是把不同的资产放在一起，比如股票、债券、基金、房地产等等。

而最优投资组合，就是在众多可能的组合中，能够给投资者带来最大收益同时承担最小风险的那个组合。

想象一下，你有一笔钱，你可以选择把它全部投资到一只股票上，也可以选择把它分散投资到多只股票、债券或者其他资产上。

如果只投资一只股票，一旦这只股票表现不佳，你的损失可能会很大；但如果把钱分散投资到多个资产上，即使其中一个资产表现不好，其他资产的表现可能会弥补一部分损失。

这就是投资组合的分散风险的作用。

那怎么才能找到最优投资组合呢？这就需要用到一些数学和统计学的方法。

比如说，我们要考虑每个资产的预期收益、风险（通常用标准差来衡量），以及不同资产之间的相关性。

如果两个资产的相关性很低，那么把它们组合在一起，就可以更好地降低风险。

举个例子，假设股票 A 的预期收益是 10%，标准差是 20%；股票 B 的预期收益是 8%，标准差是 15%。

如果这两只股票的相关性是 05，那么通过一定的计算，我们可以找到一个最优的投资比例，使得投资组合的风险和收益达到一个最佳的平衡。

说完最优投资组合，我们再来说说有效边界。

有效边界是投资组合的一个重要概念，它是由一系列最优投资组合构成的曲线。

在这个边界上的每一个点，都代表了一个在给定风险水平下能够获得最高预期收益的投资组合，或者在给定预期收益水平下能够承担最低风险的投资组合。

有效边界的形状通常是向上弯曲的。

这意味着，当你愿意承担更高的风险时，你能够获得更高的预期收益。

但是，风险增加的速度会逐渐加快，也就是说，要获得额外的一单位收益，你需要承担更多的风险。

那有效边界是怎么确定的呢？这需要对大量的投资组合进行计算和分析。

均值-方差模型理论及其在我国股票市场的应用一、引言均值-方差模型是现代投资组合理论的重要组成部分，它通过衡量资产的预期收益率和风险水平，援助投资者做出合理的资产配置决策。

本文将对均值-方差模型的理论基础及其在我国股票市场的应用进行探讨。

二、均值-方差模型的理论基础1.1 均值-方差模型的基本原理均值-方差模型是由美国经济学家马科维茨于1952年提出的一种金融投资组合选择方法。

其基本原理是通过计算资产的预期收益率和风险，以追求投资组合风险最小的预期收益率。

1.2 组合的风险与收益干系均值-方差模型假设资产的收益率听从正态分布，并通过方差衡量风险。

通过构建不同权重的资产组合，可以寻找到预期收益率最高，且方差最小的组合。

1.3 投资组合的有效边界均值-方差模型还引入了有效边界的观点。

有效边界是指在给定预期收益率水平下，最小化投资组合方差的全部可能投资组合的集合。

通过有效边界，投资者可以在风险和收益之间找到合适的平衡点。

三、均值-方差模型在我国股票市场的应用2.1 资产预期收益率的计算在我国股票市场，资产预期收益率可以通过对历史数据进行分析和对市场进步趋势的猜测来确定。

常用的方法包括股票收益率的历史平均值、市盈率、市净率等指标计算。

2.2 风险的器量均值-方差模型中，风险通过资产的方差来器量。

在我国股票市场，常用的风险器量方法有股票收益率的历史标准差、波动率等。

2.3 投资组合优化利用均值-方差模型，投资者可以计算不同权重下投资组合的预期收益和风险水平，并找到有效边界上的最优投资组合。

通过优化投资组合，投资者可以实现风险最小化与收益最大化的目标。

2.4 风险偏好和投资组合选择投资者的风险偏好对投资组合的选择有着重要影响。

依据投资者的风险承受能力和投资目标，可以选择不同风险水平下的投资组合，以达到最佳配置效果。

2.5 动态调整与重平衡在实际投资过程中，市场波动和投资者风险偏好的变化可能导致投资组合的变动。

投资组合中的可行集与有效边界问题研究王晓乐（工学院经济与管理学院，213002）摘要：本文从从马科维茨的投资组合理论思想出发，在已有结论基础之上，利用均值方差模型分别研究了风险资产组合和引入无风险资产后各自有效边界的确定和解析表达式，随之引入CAPM模型着重分析了资本市场中，投资者如何确定投资组合来均衡收益与风险之间的关系。

文末就CAPM的有效性问题和股票收益与风险的关系这两个延伸问题进行了简单的探讨。

关键词：投资可行集有效边界CAPM模型一、引言（一）课题研究的背景面对五花八门的投资对象，大家都明白“鸡蛋不要都放在同一个篮子里”的简单道理，那么“鸡蛋”应该放在几个“篮子”里，这些“篮子”各有什么特点？在资本市场中，马科维茨的投资组合选择理论和在此基础上发展形成的CAPM模型，历来是投资者面对风险和收益决策投资组合的重要理论依据。

投资者在资本市场中，如何平衡风险与收益之间的关系，如何有效决策资产组合，这些都是关键问题。

（二）课题研究的价值投资有效组合，使资产风险合理分散化，通过充分利用数学知识，借助计量经济学的帮助，分析投资理论中的风险类型和收益模型，推导在各种风险资产组合中的可行集和有效边界，风险最小的情况下，使得投资组合获得最大利益，从而更好地服务于现代证券市场。

二、已有相关研究观点评介关于资产定价的原理和模型的研究，国不乏众多学者。

工业大学经济管理学院的邓英东教授（2004）在他的文章中评述：Markowitz的证券组合选择理论，在今天已经成为现代金融经济学的基石，人们在处理证券组合的收益-风险分析时，Markowitz理论始终是一种基本工具。

[1]东华大学理学院的静、胡良剑教授认为：金融决策的核心问题就是权衡证券收益与风险的问题。

[2]在论述有关CAPM模型的作用时，中国人民大学金融专业博士生导师吴晓求教授在他的文章里写道：CAPM给出了一个非常简单的结论，只有一种原因会使投资者得到更高回报，那就是投资高风险的股票。