数值分析1.误差分析

数值计算中的误差分析与修正方法引言：在现代科学和工程领域中，数值计算扮演着至关重要的角色，因为它能够为研究人员和工程师们提供精确、高效的解决复杂问题的手段。

然而，由于计算机的本质限制，数值计算常常会引入各种误差，从而影响计算结果的准确性和可靠性。

本文将探讨数值计算中常见的误差类型以及相应的分析和修正方法，旨在提高计算结果的精确性。

一、误差类型和来源1. 舍入误差：舍入误差是由于现代计算机内部对数字表示进行近似导致的。

由于计算机使用有限的二进制位数来表示实数，因此无法精确表示一些无理数或十进制小数。

这导致在执行算术运算时，结果会舍入到最接近的有效数字，从而引入舍入误差。

2. 截断误差：截断误差是由于截断或近似无限序列或函数而导致的。

例如，在数值积分中，将无限积分区间截断为有限部分，即使使用复杂的数值积分方法，仍然会产生截断误差。

3. 模型误差：模型误差是由于对实际问题建立的数学模型的简化或近似而引入的。

实际问题往往非常复杂，而为了进行数值计算，必须对问题进行适当建模。

然而，简化和近似会导致模型与真实情况之间存在差异，从而引入模型误差。

4. 数值不稳定性：数值计算中有些问题可能非常敏感，稍许输入变动可能会导致输出结果的巨大变化。

这种情况称为数值不稳定性。

例如，当计算具有较大条件数的线性系统或求根问题时，数值不稳定性可能会使结果产生较大的误差。

二、误差分析方法1. 误差界估计：误差界估计是一种常用的误差分析方法，它通过推导数值计算结果与真实结果之间的差距来提供一个误差界。

误差界估计方法利用数学技巧和数值分析原理，将误差的上界或下界与计算结果相关的因素联系起来，从而得到计算结果的误差范围。

2. 扩展精度计算：扩展精度计算是通过在计算过程中使用更高的精度，以减小舍入误差对最终结果的影响。

一种常见的方法是使用任意精度算法，例如多重精度算法。

这种方法的缺点是执行速度较慢，但可以显著减小舍入误差。

3. 自适应步长算法：自适应步长算法是为了减小截断误差而设计的一种方法。

数值分析中的误差分析与收敛性数值分析是一门研究利用计算机进行数学计算和问题求解的学科，它在科学计算、工程设计、金融分析等领域中具有广泛的应用。

然而，在数值计算过程中，由于计算机的有限精度和数值算法的近似性质，误差问题成为了一个不可避免的挑战。

因此，了解误差的来源和性质，以及数值计算方法的收敛性，对于保证计算结果的准确性和可靠性非常重要。

本文将探讨数值分析中的误差分析与收敛性问题。

1. 误差的来源及分类在数值计算中，误差可以分为四类：舍入误差、截断误差、模型误差和舍入误差。

舍入误差是由于计算机内部使用有限位数表示实数导致的误差，它来源于将实数近似为计算机可表示的数值。

截断误差是在计算过程中采取舍入法或截断法将无限级数或无限小量等进行有限近似所引入的误差。

模型误差是将实际问题用数学模型进行近似所引入的误差，它包括了模型的简化和不完全描述等因素。

舍入误差是由于使用有限位数存储和运算导致的误差。

2. 误差的度量方法误差的度量方法包括绝对误差和相对误差。

绝对误差是指数值近似解与真实解之间的差值，它可以用来度量数值计算的准确度。

相对误差是绝对误差除以真实解的绝对值后得到的比值，它可以用来度量数值计算的相对准确度。

通过对误差进行度量和分析，可以评估数值计算方法的准确性，并选择合适的数值方法来解决实际问题。

3. 收敛性在数值计算中，所谓的收敛性是指数值方法的逼近解序列以某种方式趋近于真实解。

一个数值方法是收敛的，意味着当步长趋于0时，逼近解趋近于真实解。

收敛性的评估是数值分析中一个重要的问题，它关系到数值方法的稳定性和可靠性。

常见的收敛性分析方法包括局部截断误差、阶、收敛速度等。

局部截断误差是用来评估数值方法在每个步长上的近似误差，阶是用来度量数值方法逼近真实解的速度。

4. 提高数值计算的准确性与可靠性为了提高数值计算的准确性与可靠性，我们可以采取多种方法。

首先，选择合适的数值方法和算法，确保其满足问题的数学性质和准确性要求。

第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。

误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。

相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。

常用计算。

相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。

绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。

从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。

关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10ma1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。

(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。

一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。

一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。

二、实例例1 设x*＝ ＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。

1. 计算11n x nI ex e dx -=⎰(n=0,1,2,……)并估计误差。

由分部积分可得计算n I 的递推公式111101,1,2,e 1.nn x I nI n I e dx e ---=-=⎧⎪⎨==-⎪⎩⎰……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 12,,I I …的值。

要算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和21(1)(1)1(1),2!!ke k ---≈+-+++…并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差14711|0.3679|108!4R e --=-≤<⨯.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。

当初值取为000.6321I I ≈= 时，用（1）式递推的计算公式为 010.6321A 1nn I I nI -⎧=⎨=-⎩ （），n=1,2，…。

计算结果见表1的n I 列。

用0I 近似0I 产生的误差000E I I =- 就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.表1 计算结果从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。

实际上，由积分估值得111110001011(im )(max)11x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++⎰⎰ （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。

这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n nE I I =- 满足关系1,1,2,n n E nE n -=-=….由此容易推得0(1)!n n E n E =-，这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。

例如，n=8，若401||102E -=⨯，则80||8!||2E E =⨯>。

数值分析实验误差分析一、引言数值分析是研究用数值方法处理数学问题的学科。

在数值计算中，由于测量误差、近似误差、截断误差和舍入误差等因素的影响，计算的结果与实际值可能存在一定程度的误差。

因此，在进行数值分析实验时，正确评估误差是非常重要的。

本文将从误差类型、误差分析方法等方面进行详细介绍。

二、误差类型1.测量误差。

由于测量仪器的制造、使用环境等因素的影响，测量结果与实际值之间存在偏差，这就是测量误差。

常见的测量误差有系统误差和随机误差。

其中，系统误差是由测量仪器本身的固有误差造成的偏差，随机误差则是由于测量仪器使用条件的不同而产生的偏差。

2.近似误差。

由于迫于计算机存储空间和运算精度的限制，数值计算中通常采用有限的、近似的算法来求解问题。

因此，近似误差是计算方法本身的误差所引起的。

3.截断误差。

因为在有限步数之内求解无限级数或积分等问题是不可能的，所以在实际计算中只能取一定的计算级数或增量来作为代替。

这样，在运算的过程中，我们总是保留最后一位是四舍五入到一定的位数。

这样，由于省略了无限级数的其余项，计算结果与实际值之间产生的误差就是截断误差。

4.舍入误差。

计算机表示数字的位数是有限的，当我们将一个实数舍入到有限的位数时，就会导致计算结果与实际值之间的差距，这就是舍入误差。

三、误差分析方法误差分析是数值分析实验中最基本的计算过程之一，而误差分析所依据的便是数学中的数值分析的基本原理。

对于数值分析实验中所产生的误差而言，目前主要有以下几种误差分析方法：维恩积分估计法、泰勒展开法、拉格朗日插值法等。

1.维恩积分估计法。

利用维恩积分估计法，可以粗略地估计出误差大小的上下限。

该方法的基本思想是：先根据计算结果求出解析解，然后在得到的解析解处求出其导数或高阶导数，再根据误差项的表达式，得到误差估计表达式，从而计算误差的上下界。

2.泰勒展开法。

利用泰勒展开法，可以把计算值的误差展开成某一阶导数之差的形式。

通过泰勒展开公式对计算结果做二阶近似展开，然后把相应的二阶导数用实际值代替即可。

数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概 括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算 与数值分析三个基本内容。

在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推 与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。

一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面: (一) 误差计算1截断误差的计算绝对误差、相对误 差和误差限的计算直接利用公式即可 基本的计算公式是:① e(x)= x * — x A x = dx② e r (x)超竝他x xx③ e( f (x)) f (x)dx f (x)e(x) ④ e r (f (x)) d(lnf (x))e( f *, X 2)) f x 1 (为,X 2)dx 1 f x 2(X 1, X 2)dx 2 f x 1 (为,x ?)e(xj f x 2 区,x ? )e(x 2)⑥(f(x 1,X 2))(f(x1,x2))f (X 1,X 2)截断误差根据泰勒余项进行计算。

E)/ \(x) n 1 基本的冋题是(n 1)!例1. 1 :计算e 的近似值，使其误差不超过10解：令 f(x)=e (0 1)，已知&求n 。

e x 1 xx 2 x"2 当x=1时, ,而 f (k)(x)=e x ,f n x n! 1(n故 R n (1)L 2! n!3。

(n 1)! (k) (0)=e 0=1。

xen 1x (0 1)! 1 e-6。

由麦克劳林公式，可知1) (0 1)(n 1)!当n = 9时，R(1)v10 -6,符合要求。

此时, e ~ 2.718 285。

2、绝对误差、相对误差及误差限计算注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据 误差的关系 而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定 义式e r (x)葩或—，xx这样计算简单。