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三角形三线精选习题一、高线1、如图:（1）在△ABC中，BC边上的高是______．(2)在△AEC中,AE边上的高是_________ ．（3）在△FEC中，EC边上的高是_________ ．(4)若AB=CD=2cm，AE=3cm,则S= _________ cm2,CE= _________ cm．△AEC1题图2、（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？(2）图中存在哪些相等角？2题图注意基本图形：双垂直图形．3、如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）试说明CD是△ABC的高；(2)如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．3题图12、如图在△ABC中，CD是高，点E、F、G分别在BC、AB、AC上，且EF⊥AB，∠1=∠2，试判断DG与BC的位置关系？并说明理由．二、中线4、如图，在三角形ABC中,AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？注意常考题型：周长差问题．5、如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm,求△ABD和△ADC的周长的差．11、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB 和AC的长．13、如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1)∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少?注意常考知识点：中线等分面积．三、角平分线14、已知△ABC中，∠ACB=90°,CD为AB边上的高，BE平分∠ABC,分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．15、如图△ABC中，∠A=20°,CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高,又有∠EDA=∠CDB,求∠B的大小．12、（2011•湖州）如图：CD平分∠ACB，DE∥AC且∠1=30°，则∠2= 度．23．、如图，BE 、CD 相交于点A ，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 的平分线。
F E D C B A E DC B AB 'C BA 专题四（第九讲）：三角形三线性质金牌数学专题系列 导入知识要点三角形的重要线段意义 图形表示法三角形 的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 D CB A1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的 线段 D CB A1.AE 是△ABC 的BC 上的中线.2.BE=EC=12BC. 三角形的 角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段21D CB A1.AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC.双基练习一、选择题：1.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( )A.是边BB ′上的中线B.是边BB ′上的高C.是∠BAB ′的角平分线D.以上三种性质合一(1) (2)(3) 2.如图2所示,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,则下列说法正确的是( )A.DE 是△BCD 的中线B.BD 是△ABC 的中线C.AD=DC,BD=ECD.∠C 的对边是DE3.如图3所示,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于( )小学时上课爱睡觉。
一次语文课老师布置作业写一篇作文，题目是《假如我是蜘蛛》。
F E DC B A 654321F E CB A 140︒80︒1 A.2cm 2B.1cm 2C.12cm 2 D.14cm 24.在△ABC,∠A=90°,角平分线AE 、中线AD 、高AH 的大小关系为( )A.AH<AE<ADB.AH<AD<AEC.AH ≤AD ≤AED.AH ≤AE ≤AD5.在△ABC 中,D 是BC 上的点,且BD:DC=2:1,S △ACD =12,那么S △ABC 等于( ) A.30 B.36 C.72 D.246.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形 7.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60° 8.已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75° B.48°,72°,60° C.48°,32°,38° D.40°,50°,90°9.已知△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A 的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160° 10.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形 11.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( )A.有两个锐角、一个钝角B.有两个钝角、一个锐角C.至少有两个钝角D.三个都可能是锐角 12.在△ABC 中,∠A=12∠B=13∠C,则此三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形13.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定14.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( ) A.30° B.60° C.90° D.120°15.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( ) A.90° B.110° C.100° D.120° 16.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )A.等腰直角三角形;B.一般的等腰三角形;C.等边三角形;D.等腰钝角三角形 17.如图1所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE 等于( )A.120°B.115°C.110°D.105°(1) (2) (3) 18.如图2所示,在△ABC 中,E,F 分别在AB,AC 上,则下列各式不能成立的是( )A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;B.∠2=∠5-∠A;C.∠5=∠1+∠4;D.∠1=∠ABC+∠4 二、填空题:1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度.2.等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________.3.在△ABC 中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE 分别是△ABC 的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为_________. 5.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.E D C A21C 'FE C A 6.在△ABC 中, 若∠A+∠B ＞∠C,则此三角形为_______三角形，若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B ＜∠C,则此三角形是_____三角形.7.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______. 8.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度. 9.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角. 10.如图3所示,∠1=_______. 11.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度. 12.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.13.∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.14.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________三、基础训练:1.如图所示,在△ABC 中,∠C-∠B=90°,AE 是∠BAC 的平分线,求∠AEC 的度数.2.在△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,△ABC 的周长为34cm,△ABD 的周长为30cm, 求AD 的长.3.如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.4321DCBA4.如图所示,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,AE 平分∠BAC(∠C>∠B), 试说明∠EAD=12(∠C-∠B).5.如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数.四、提高训练: 1.在△ABC 中,∠A=50°,高BE,CF 所在的直线交于点O,求∠BOC 的度数.2.如图所示,将△ABC 沿EF 折叠,使点C 落到点C ′处,试探求∠1,∠2与∠C 的关系.21D A CA43P21DC B A3.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=158°, 求∠EDF 的度数.4.如图，已知，在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ． （1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD ；（2）若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．五、探索发现:1. 如图5所示的是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案花盆的总数为s.按此规律推断s 与n 有什么关系,并求出当n=13时,s 的值.2. 如图所示,在△ABC 中,∠A=α,△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.(1)PC BA (2)PCBA(3)PCBAF E D C B An=2,s=3n=3,s=6n=4,s=9。
11.12 三角形三线应用专题教案 2022-2023学年人教版八年级数学上册一、教学目标1.理解三角形三线的概念及其应用场景。
2.掌握三角形三线的性质和定理。
3.能够利用三角形三线解决相关问题。
二、教学内容1.三角形三线的概念和组成部分。
2.三角形的中位线、高线、角平分线的定义和性质。
3.利用三角形三线解决实际问题。
三、教学过程步骤一：导入新知识1.在黑板上绘制一个三角形ABC，并画出其三条三线（中位线、高线、角平分线）。
2.引导学生观察和思考，让他们尝试猜测三线的性质和应用场景。
步骤二：学习三线的定义和性质1.学生自主阅读教材相关内容，了解三线的定义和组成部分。
2.教师给出三线的性质和定理，并通过具体的例子进行解释和说明。
–中位线：连接一个三角形两个顶点的中点，并平分第三个顶点的边。
–高线：从一个顶点引垂直于对边的线段。
–角平分线：从一个角的顶点引线段，使其等分两个邻角。
步骤三：学习三线的应用1.举例说明三线在实际问题中的应用。
–中位线：可以用来证明三角形的一个内角等于另两个内角之和。
–高线：可以用来证明三角形的两条边的比例关系。
–角平分线：可以用来证明三角形的一个内角等于另一个内角的两倍。
2.给学生一些练习题，让他们应用三线的性质解决问题。
步骤四：小结和拓展1.教师对本节课的内容进行小结，并强调三线的重要性和应用。
2.鼓励学生阅读相关的数学书籍或文献，进一步了解三线的应用领域。
四、教学评价与反馈1.教师观察学生在课堂上的表现，包括积极参与讨论、解题能力等，进行课堂评价。
2.教师布置相关习题作业，并及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学内容。
五、教学资源1.教材：人教版八年级数学上册。
2.课件：展示三角形三线的定义、性质以及应用场景。
3.黑板、粉笔。
六、教学反思本节课采用了导入新知识、学习三线的定义和性质、学习三线的应用、小结和拓展的教学方法。
通过引导学生观察、思考和运用所学知识解决问题，培养他们的逻辑思维和解决实际问题的能力。
等腰三角形三线合一专题训练1例1 如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。
求BC=AB+DC 。
变 1 如图，AB // CD，/ A = 90° AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是AD 边中点。
求证：CE丄BE。
变2：如图，四边形ABCD中，AD / BC, E是CD上一点，且AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证：AE丄BE; (2)求证：E是CD的中点；(3)求证：AD+BC=AB.A n变3:\ ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、AC 于M、N，求证：（1）DM = DN。
A⑵若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
|\/|⑴已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF , EF交BC于点D .求证：DE=DF .⑵已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点，PC L AB于D, PEL AC于E, ?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？变1若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为（）A 17B 22C 17 或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律1 1例1.在△ ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= —/ ACB BD与CE相交于点0,如图，/ B0C勺大小2 2与/A的大小有什么关系？1 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ BOC WZ A大小关系如何？3 31 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与Z A大小关系如何?n n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC —腰上的中线BD?各这个等腰三角形周长分成15和6两部分,利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断△ PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD^^ ABC的高，AB=AC △ ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。
三角形三线练习题三角形是几何学中的一个重要概念，常常涉及到许多与三角形相关的问题。
其中一个基本的概念就是三角形的三条特殊线段，分别是垂直线、中位线和角平分线。
掌握和理解这三条线段的性质对于解决三角形相关题目非常有帮助。
在这篇文章中，我将为大家提供一些三角形三线的练习题，帮助大家加深对这些线段的认识和运用。
第一题：已知三角形ABC，AD是BC的中点，AE是BC的角平分线，EF是AB的垂直线段。
若DE的长度为6cm，求BC的长度。
解析：首先，根据题意，我们可以得到以下信息：- AD是BC的中点，即AD=DC。
- 公式角平分线的性质，我们可以得到AE:EC = AB:BC。
- 由垂直线的性质，我们可以得到EF ⊥ AB。
设BC的长度为x，则AD=DC=x/2。
根据角平分线的性质，我们可以得到AE：EC=AB:BC=AD:DC=1:1/2=2:1。
由此，我们可以设AE的长度为2y，EC的长度为y。
由垂直线的性质，我们可以得到EF ⊥ AB，即EF和AB垂直相交。
根据勾股定理，我们可以得到EF²+AF²=AE²，即EF²+y²=(2y)²，化简得到EF²+y²=4y²。
又由题意可知，DE是垂直线EF的一条段，即DE ⊥ EF。
因此，我们可以得到DE和EF垂直相交，那么我们可以运用勾股定理，得到EF²+DE²=DF²，即EF²+6²=DF²。
由此，我们得到EF²+6²=DF²=EF²+y²。
将上面两个等式相等，得到4y²=EF²+y²，整理得到3y²=EF²，化简可得EF = √3y。
又根据垂直线的性质，我们可以得到EF²+DF² = ED²。
引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。
其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。
通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。
本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。
首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。
连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。
首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。
通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。
首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。
然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。
4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。
三角形的三线在数学的世界里，三角形是一个基础且重要的图形。
而三角形的三线，即三角形的高线、中线和角平分线，更是深入理解三角形性质和解决相关问题的关键。
让我们先来聊聊三角形的高线。
高线，简单来说，就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高线。
每个三角形都有三条高线，并且这三条高线所在的直线会相交于一点。
锐角三角形的三条高线都在三角形的内部；直角三角形有两条高线就是它的两条直角边，另一条高线在三角形的内部；钝角三角形有两条高线在三角形的外部，一条在内部。
高线在计算三角形的面积时非常有用。
我们都知道三角形的面积等于底乘以高除以二，如果知道了三角形的底和对应的高，就能轻松算出它的面积。
接下来是中线。
中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。
一个三角形有三条中线，这三条中线也相交于一点，并且这个交点位于三角形的内部。
中线的一个重要性质是，它把三角形分成了两个面积相等的部分。
为什么呢？因为中线平分了对边，所以以中线为底边的两个小三角形，高是相同的，底边也相等，面积自然就相等了。
在解决一些与三角形面积相关的问题或者证明一些线段关系时，中线的这个性质常常能发挥很大的作用。
最后要说的是角平分线。
角平分线就是三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
每个三角形同样有三条角平分线，它们也相交于一点，这个点也在三角形的内部。
角平分线的一个重要性质是，角平分线上的点到角两边的距离相等。
这个性质在很多几何证明和计算中都是很关键的依据。
为了更好地理解三角形的三线，我们不妨通过一些具体的例子来看看。
假设我们有一个等边三角形，它的边长是 6 厘米。
由于等边三角形的三条边相等，三个角也相等，都是 60 度。
那么它的三条高线、中线和角平分线是重合的。
我们先求它的面积。
根据等边三角形的面积公式，面积等于根号 3 乘以边长的平方除以 4，计算可得面积约为 9 倍根号3 平方厘米。
1.三角形的三线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的_______，_叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线____________交_于一点，这点称为三角形的_________．_（2）在三角形中，一个角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线______________交__于一点，这点称为三角形的________．_ （3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的_______叫_做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高______________交__于一点，这点称为三角形的_______；_锐角三角形的三条高线及垂心都在其_______，_直角三角形的垂心是_______，_钝角三角形的垂心和两条高线在其_______．_一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（）A．AF、B．AF、C．AC、D．AF、CD、CE、CE、CD、CECDCDCE2．下列说法中正确的是（）A．三角形三条高所在的直线交于一点B．有且只有一条直线与已知直线平行C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离3．△ABC中BC边上的高作确的是（）A．B．C．D．4．如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的部，那么这个三角形是（）A．锐角B．直角C．钝角D．任意三角三角三角三角形形形形5．不一定在三角形部的线段是（）A．三角形的角平分B．三角形的中线线C．三角形的高D．以上皆不对6．已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm7．下列说法中正确的是（）A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形部B．三角形中至少有一个角不小于60°C．直角三角形仅有一条高D．三角形的外角大于任何一个角8．三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④9．（2015春?校级月考）下列说确的是（）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．①②B．②③C．③④D．②④二．填空题（共2小题）10．如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是cm．11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE=cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC=．三．解答题（共10小题）12．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD=∠ABD时，x=；当∠BAD=∠BDA时，x=．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．13．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE==．（2）∠BAD==．（3）∠AFB==．（4）S△AEC=．14．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，（2）中的结论还正确吗？为什么？15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α，°∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．17．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．18．如图（1），AD是△ABC的高，如图（2），AE是△ABC的角平分线，如图（3），AF是△ABC的中线，完成下列填空：（1）如图（1），∠=∠=90°；S△ABC=；（2）如图（2），∠BAE=∠=∠；（3）如图（3），BF==；S△ABF=．19．如图，完成下面几何语言的表达．①∵AD是△ABC的高（已知）；∴AD⊥BC，∠==°．②∵AE是△ABC的中线（已知），∴==，=2=2；③∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠=∠=∠，∠=2∠=2∠．20．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD 于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：（1）当==时，有=；（2）当==时，有=；（3）当==时，有=；①当=时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；②若=，且AD=18，求AO．点评：本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”＜“”或“=”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为．（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．答案一．选择题（共9小题）1．（2015?州校级模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（）A．AF、CD、CEB．AF、CE、CDC．AC、CE、CDD．AF、CD、CE考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．解答：解：在△ABC中，BC边上的高是AF；在△BCE中，BE边上的高CE；在△ACD中，AC边上的高分别是CD；故选B点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键．2．（2015春?东平县校级期末）下列说法中正确的是（）A．三角形三条高所在的直线交于一点B．有且只有一条直线与已知直线平行C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：A正确，即三角形的垂心；B应有无数条因此错误；C在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行所以错误；D中语言错误线段不能叫距离．解答：解：B中应为：有无数条直线与已知直线平行，故B错；C中应为：在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C错，D中应写成垂线段长度；A正确．故选A．点评：本题考查了三角形的垂心知识和一些几何基础知识，做题时注意严格对比概念．3．（2015春?期末）△ABC中BC边上的高作确的是（）A．B．C．D．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．解答：解：为△ABC中BC边上的高的是D选项．故选D．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．4．（2015春?昌乐县期末）如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的部，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形高的定义知，若三角形的两条高都在三角形的部，则此三角形是锐角三角形．解答：解：利用三角形高线的位置关系得出：如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的部，那么这个三角形是锐角三角形．故选：A．点评：此题主要考查了三角形的高线性质，了解不同形状的三角形的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的部；直角三角形的三条高中，有两条是它的直角边，另一条在部；钝角三角形的三条高有两条在外部，一条在部．5．（2015春?沙河市期末）不一定在三角形部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．以上皆不对考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形的角平分线、中线、高线的定义解答即可．解答：解：三角形的角平分线、中线一定在三角形的部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形部的线段是三角形的高．故选C．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．6．（2015春?莘县期末）已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，∵△ABD比△ACD的周长大3cm，∴AB与AC的差为3cm．故选B．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB﹣AC是解题的关键．7．（2015春?崇安区期中）下列说法中正确的是（）A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形部B．三角形中至少有一个角不小于60°C．直角三角形仅有一条高D．三角形的外角大于任何一个角考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形角和定理；三角形的外角性质．分析：根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断A；根据三角形的角和定理判断B；根据三角形的高的定义及性质判断C；根据三角形外角的性质判断D．解答：解：A、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形部，故本选项错误；B、如果三角形中每一个角都小于60°，那么三个角的和小于180°，与三角形的角和定理相矛盾，故本选项正确；C、直角三角形有三条高，故本选项错误；D、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个角，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的角和定理，三角形外角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．8．（2015春?校级期中）三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形的中线、角平分线、高的定义对四个说法分析判断后利用排除法求解．解答：解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，说确；②三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故三条高必交于一点的说法错误；③三条角平分线必交于一点，说确；④锐角三角形的三条高在三角形部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形部．故三条高必在三角形的说法错误；故选：B．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个角的平分线与这个角的对边交于一点，则这个角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．熟记概念与性质是解题的关键．9．（2015春?校级月考）下列说确的是（）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．①②B．②③C．③④D．②④考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．解答：解：①三角形的角平分线是线段，说法错误；②三角形的三条角平分线都在三角形部，且交于同一点，说确；③锐角三角形的三条高都在三角形部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形部．说法错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说确．故选D．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个角的平分线与这个角的对边交于一点，则这个角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．二．填空题（共2小题）10．（2014?模拟）如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是cm．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：2222根据三角形的中线定理：AB+BC=2（BE+AE），来求出BC的长度，然后再来求△ABC的周长．解答：解：∵在△ABC中，BE是边AC上的中线，2 ∴AB+BC 22=2（BE+AE2），AE=AC，∵AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，∴BC=（cm），∴AB+BC+AC=（cm），即△ABC的周长是cm．点评：本题主要考查了三角形的中线定理．11．（2014春?合川区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE=5cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC=60°．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据题意，E是边AC的中点，所以AE=AC，代入数据计算即可；根据角平分线的定义，∠ABC=2∠ABD，然后代入数据计算即可．解答：解：∵BE是AC边上的中线，AC=10cm，∴AE=AC=×10=5cm，∵BD平分∠ABC，∠ABD=30°，∴∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°．故答案为：5；60°．点评：本题主要考查了三角形中线的定义以及三角形角平分线的定义，熟记定义并灵活运用是解题的关键，是基础题．三．解答题（共10小题）12．（2015春?期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是20°；②当∠BAD=∠ABD时，x=120°；当∠BAD=∠BDA时，x=60°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．考点：三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形角和定理．专题：计算题．分析：利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．解答：解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案为：①20②120，60（2）①当点D在线段OB上时，若∠BAD=∠ABD，则x=20若∠BAD=∠BDA，则x=35若∠ADB=∠ABD，则x=50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125．点评：本题考查了三角形的角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角之和．13．（2014秋?剑川县期末）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE=CE=BC．（2）∠BAD=∠DAC=∠BAC．（3）∠AFB=∠AFC=90°．（4）S△AEC=3．考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．分析：分别根据三角形的中线、角平分线和高及三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：（1）∵AE是中线，∴BE=CE=BC．故答案为：CE，BC；（2）∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC．故答案为：∠DAC，∠BAC；（3）∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°．故答案为：∠AFC，90°；（4）∵AE是中线，AF是高，BE=2，AF=3，∴BE=CE=2，∴S△AEC=CE?AF=×2×3=3．故答案为：3．点评：本题考查的是三角形的中线、角平分线和高，熟知三角形的中线、角平分线和高的性质是解答此题的关键．14．（2012春?桑日县校级期中）如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，（2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形角和定理．专题：动点型．分析：（1）先根据三角形角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在△ADC中，利用三角形角和求出∠ADC的度数，从而可得∠DAE的度数．（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的角和定理可证明∠DA′E=（∠C﹣∠B）．解答：解：（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；∵AD是角平分线，∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C﹣（180°﹣∠B﹣∠C）]=（∠C﹣∠B）．（3）（2）中的结论仍正确．∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B﹣∠C）=90°+∠B﹣∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．点评：本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．15．（2012春?都江堰市校级期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α，°∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形角和定理．分析：（1）根据三角形的角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，然后根据∠DAE=∠BAD﹣∠BAE计算即可得解；（2）根据（1）的思路，把度数换为α、β，整理即可得解．解答：解：（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α，°∠C=β，°∴∠BAC=180°﹣α﹣°β，°∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣α，°∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α﹣°β）°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α﹣°（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α+°β，°=（β﹣α）°．点评：本题考查了三角形的角平分线，三角形的高线，以及三角形的角和定理，仔细分析图形，观察出∠DAE=∠BAD﹣∠BAE，然后分别表示出∠BAD与∠BAE是解题的关键．16．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：先根据三角形的中线的定义求出BC=2BD=2CD，再根据三角形周长的定义得出AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，进而求出即可．解答：解：∵AD是△ABC的中线，∴BC=2BD=2CD，∵△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，∴AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，∴（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）﹣（AB+BC+AC）=8+7﹣9，∴2AD=6，∴AD=3．点评：本题考查了三角形的中线，三角形的周长，关键是求出2AD=（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）﹣（AB+BC+AC）=6．17．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：先根据三角形的角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠DAC=∠BAC，而∠EAC=90°﹣∠C，然后利用∠DAE=∠DAC﹣∠EAC进行计算即可．由三角形外角的性质求得∠AFO=80°，利用三角形角和定理得到∠AOF=50°，所以对顶角相等：∠BOE=∠AOF=50°．解答：解：①在△ABC中，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°．∵AE是的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°∴在△ADC中，∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=180°﹣90°﹣60°=30°∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣30°=10°．②∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40°，∴∠FBC=∠ABC=20°，又∵∠C=60°，∴∠AFO=80°，∴∠AOF=180°﹣80°﹣50°=50°，∴∠BOE=∠AOF=50°．点评：考查了三角形的角和定理：三角形的角和为180°．也考查了三角形的高线与角平分线的性质．18．如图（1），AD是△ABC的高，如图（2），AE是△ABC的角平分线，如图（3），AF是△ABC的中线，完成下列填空：（1）如图（1），∠ADB=∠ADC=90°；S△ABC=；（2）如图（2），∠BAE=∠EAC=∠BAC；（3）如图（3），BF=FC=BC；S△ABF=S△AFC．．考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形角和定理．分析：（1）根据三角形的高的概念即可完成填空；（2）根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；（3）根据三角形的中线的概念即可完成填空．解答：解：（1）如图（1），∠ADB=∠ADC=90°；S△ABC=；（2）如图（2），∠BAE=∠EAC=∠BAC；（3）如图（3），BF=FC=BC；S△ABF=S△AFC．故答案为：ADB；ADC；；EAC；BAC；FC；BC；S△AFC．点评：此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．19．如图，完成下面几何语言的表达．①∵AD是△ABC的高（已知）；∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°．②∵AE是△ABC的中线（已知），∴BE=CE=BC，BC=2BE=2CE；③∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠BAF=∠CAF=∠BAC，∠BAC=2∠BAF=2∠CAF．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：①根据三角形的定义和垂直的定义解答；②根据三角形的中线的定义和线段的中点的定义解答；③根据三角形的角平分线和角平分线的定义解答．解答：解：①∵AD是△ABC的高（已知）；∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°．②∵AE是△ABC的中线（已知），∴BE=CE=BC，BC=2BE=2CE；③∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠BAF=∠CAF=∠BAC，∠BA=2∠BAF=2∠CAF．故答案为：ADB，∠ADC，90，BE，CE，BC，BC，BE，CE，BAF，CAF，BAC，BCA，BAF，CAF．点评：本题考查了三角形的角平分线，中线，高，熟记各定义是解题的关键．20．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：（1）当==时，有=；（2）当==时，有=；（3）当==时，有=；①当=时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；②若=，且AD=18，求AO．考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：规律型．分析：①过D作DF∥BE，即求AE：AD，因为当=时，可以根据平行线分线段成比例，及线段相互间的关系即可得出．②利用①中方法得出AE：（AE+2EF）=1：8，进而得出AE：EF=2：7，以及==得出答案即可．解答：解：①过D作DF∥BE，∴AO：AD=AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF=EF=0.5EC．∵=，∴AE：（AE+2EF）=1：（1+n）．∴AE：EF=2：n．∴AE：AF=2：（n+2）．∴=；②过D作DF∥BE，∴AO：AD=AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF=EF=0.5EC．∵=，∴AE：（AE+2EF）=1：8，∴AE：EF=2：7，∴==，∵AD=18，∴AO=4．点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理性质，根据已知熟练将比例是变形得出是解题关键．21．（2015春?迁安市期末）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积=△ACD的面积（填“＞”＜“”或“=”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为20．（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．考点：三角形的面积．分析：（1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以S△ABD=S△ACD；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；（3）连结AO，由AD：DB=1：3，得到S△ADO=S△BDO，同理可得S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得列方程组即可得到结果．解答：解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD=CD，∴，，∴S△ABD=S△ACD，故答案为：=；（2）解方程组得，∴S△AOD=S△BOD=10，∴S四边形ADOB=S△AOD+S△AOE=10+10=20，故答案为：得，20；（3）如图3，连结AO，∵AD：DB=1：3，∴S△ADO=S△BDO，∵CE：AE=1：2，∴S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得：S△ABE=S△ABC=40，S△ADC=S△ABC=15，可列方程组为：，解得：，∴S四边形ADOE=S△ADO+S△AEO=x+2y=13．.点评：本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．.。
