解析几何：圆的方程

(完整版)高中数学解析几何公式大全一、直线方程1. 点斜式：y y1 = m(x x1)，其中m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个点。

2. 斜截式：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

3. 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。

二、圆的方程1. 标准式：(x a)2 + (y b)2 = r2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

2. 一般式：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。

三、椭圆的方程1. 标准式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。

2. 一般式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。

四、双曲线的方程1. 标准式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。

2. 一般式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。

五、抛物线的方程1. 标准式：y2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。

2. 一般式：y2 = 4ax + b，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，b是抛物线在y轴上的截距。

六、直线与圆的位置关系1. 判定直线与圆的位置关系：计算直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系。

如果d < r，直线与圆相交；如果d = r，直线与圆相切；如果d > r，直线与圆相离。

2. 直线与圆的交点：解直线方程和圆的方程，得到两个交点的坐标。

七、直线与椭圆的位置关系1. 判定直线与椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程。

高二数学授课教案学生姓名授课教师班主任上课时间9 月 23 日时—时科目数学课题第1课时平面解析几何——直线与圆的方程学习目标1．回顾、加强空间坐标系、直线与圆的方程基础知识．2．巩固直线、圆的方程的主要求解方法．(重点)3．能够解决综合性解析几何问题．(难点)教学过程教学设计一、主干知识梳理1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa＋yb＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b，常设其方程为y kx b=+；2．知直线横截距x，常设其方程为x my x=+(它不适用于斜率为0的直线)；3．知直线过点00(,)x y，当斜率k存在时，常设其方程为00()y k x x y=-+，当斜率k不存在时，则其方程为x x=；4．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 5．与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时： (1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2. (2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1•k2＝－1.提醒:当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2. (2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒:应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等．4．圆的方程的三种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。

解析几何02 圆的方程一、具体目标：（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. （3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. （4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 二、知识概述：1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.①以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y)线C 上的充要条件是f(x 0 ,y 0)=02. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是. 特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程 ①与轴相切的圆方程C 0),(=y x f ),(y x M 0),(=y x f ),(y x 0),(=y x f 0),(=y x f ),(b a C r 222)()(r b y a x =-+-r 222r y x =+x 222)()(b b y a x =±+-)],(),(,[b a b a b r -=或圆心y 222)()(a b y a x =-+±)],(),(,[b a b a a r -=或圆心【考点讲解】①与轴轴都相切的圆方程3. 圆的一般方程： .当2240D E F +->时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点当2240D E F +-<时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：（为参数）.②方程表示圆的充要条件是：且且2240D E F +->.③圆的直径或方程：已知（用向量可征）. 4. 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．5. 点和圆的位置关系：给定点及圆.①在圆内()()22200x a y b r ⇔-+-<②在圆上 ③在圆外()()22200x a y b r ⇔-+->6. 直线和圆的位置关系： 设圆：()()()22200=0x a y b r r -+->； 直线：；圆心到直线的距离.①时，与相切； ②d r <时，与相交；x y 222)()(a a y a x =±+±)],(,[a a a r ±±=圆心022=++++F Ey Dx y x ⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C 2422FE D r -+=0422=-+F E D ⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x θ022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 0=B 0≠=C A 0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A ),(00y x M 222)()(:r b y a x C =-+-M C M C 22020)()r b y a x =-+-⇔（M C C l )0(022≠+=++B A C By Ax ),(b a C l 22BA CBb Aa d +++=r d =l C l C③d r >时，与相离.由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；0l ∆>⇔与相交；0l ∆<⇔与相离.7. 圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：. ①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a )(x 0 – a )+(y – b )(y 0 – b )=R 2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a ,b )则，联立求出切线方程. 8. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知的方程…① 又以ABCD 为圆为方程为…②…③，所以BC 的方程即①代①，①①相切即为所求.l C ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-0)()(222C Bx Ax r b y a x x y ∆l ⇔=∆0C C C 222r y x =+k r k kx y 21+±=022=++++F Ey Dx y x ),(00y x P 0220000=++++++F y y E x x Dy y x x 222r y x =+),(00y x P 200r y y x x =+⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ⇒k O Θ022=++++F Ey Dx y x 2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--4)()(222b y a x R A A -+-=BC)1.【2019优选题】点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【解析】设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 【答案】A2.【2018优选题】圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25 【解析】由圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，2a ，a >0. 又圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d ＝2a ＋2a ＋15≥4＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. 【答案】A3.【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【解析】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，根据题意，圆的方程可化为()2214x y ++=，所以圆的圆心为()0,1-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d==特殊三角形，可知AB ==【答案】4.【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），【真题分析】则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 【答案】2220x y x +-=5.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为________． 【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a = 【答案】36.【2017年高考天津卷文数】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为___________．【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-u u u r u u u r，1cos 2AC AF CAF AC AF ⋅∠===-⋅u u u r u u u ru u u r u u u r，解得m =C 与y轴得正半轴相切，则m =，所求圆的圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++=．【答案】22(1)(1x y ++=7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【解析】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值.理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO 由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x .因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .8.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 【解析】本题考查的是圆锥曲线中的定点问题和求圆的方程的问题，按题的指示有顺序的完成题的要求.（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭．由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r 22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．1.圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x【解析】将01222=--+x y x 整理成标准式可得：()2212x y -+=，可得圆的圆心坐标为（1，0）半径为2，关于直线对称的圆的圆心坐标为（-3，2），所以所求圆的方程为2)2()3(22=-++y x .【答案】C2.若△P AB 是圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝4的内接三角形，且P A ＝PB ，∠A PB ＝120°，则线段AB 的中点的轨迹方程为( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y －2)2＝2C ．(x －2)2＋(y －2)2＝3D ．x 2＋y 2＝1【解析】设线段AB 的中点为D ，则由题意，P A ＝PB ，∠APB ＝120°，所以∠ACB ＝120°，因为CB ＝2，所以CD ＝1，所以线段AB 的中点的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，所以线段AB 的中点的轨迹方程是：(x －2)2＋(y －2)2＝1. 【答案】A3.已知点，圆点是圆上任意一点，若为定值，则________. 【解析】设(,)P x y ，PAk PB =，则2222(2)(4)x y k x y++=-+，整理得(2,0),(4,0)A B -,16)()4(:22=+++b y x C P C PA PBb =【模拟考场】222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=，整理可得：22222248416011k k x y x k k +-+++=--，又P是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22488,1k k+=-可得2416=0k -，所以2224161k b k-=-，可得0b =. 【答案】04．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为______________． 【解析】将圆的方程配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，∵r 2＝1－34k 2≤1，∴r max ＝1，此时k ＝0.故圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1. 【答案】x 2＋(y ＋1)2＝15．过点(1,1),(1,1)A B --且圆心在直线20x y +-=上的圆方程是 .【解析】设圆的方程为()()222x a y b r -+-=，由题意可得：()()()()222222111120a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+-=⎨⎪+-=⎪⎩，解方程组可得112a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的方程为22(1)(1)4x y -+-=.【答案】22(1)(1)4x y -+-=6.已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且y 轴被圆C 截得的弦长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程． 【解析】(1)易得直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r .由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，且圆心C 在该条直线上，所以b ＝a －1.①又因为y 轴被圆C 所截得的弦长为43，所以r 2＝(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2.② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意；当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，整理得m 2－m (x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0. 将y ＝－x ＋m 代入(x －1)2＋y 2＝13，可得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，Δ＝－4(m 2－2m －25)，所以m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0，解得m ＝4或m ＝－3，经验证均满足Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.7.设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程【解析】配方得：[]2222(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦ .该方程表示圆，则有21670m m +->，得1(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2314x m y m=+⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得24(3)1y x =--， 由1(,1)7m ∈-得x =m +320,47⎛⎫∈⎪⎝⎭. ∴ 所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭8.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解析】（1）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =.（2）抛物线C 的焦点为(0,1)F -.设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-.直线OM 的方程为11y y x x =.令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-.同理得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ， 21212(1)x xDA DB n y y ⋅=++u u u r u u u r2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++24(1)n =-++. 令0DA DB ⋅=u u u r u u u r，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.9.【2018年高考全国①卷】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k+=+=+++=． 由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1． （2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【答案】（1）y =x –1；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．10.【2017年高考全国III 卷理数】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+.由22,2x my y x =+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-.又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==-，所以OA OB ⊥.故坐标原点O 在圆M 上. （2）由（1）可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+. 故圆心M 的坐标为()22,m m +，圆M 的半径r =由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r ，故()()()()121244220x x y y --+++=，即()()1212121242200x x x x y y y y -+++++=，由（1）可得12124,4y y x x =-=.所以2210m m --=，解得1m =或12m =-. 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M M 的方程为()()223110x y -+-=. 当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=，或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

以ab为直径的圆的方程公式在解析几何中，圆是一种特殊的几何图形，它由平面上与一个固定点的距离相等的所有点组成。

圆是几何学中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和应用。

以ab为直径的圆是指以线段ab为直径的圆。

在平面直角坐标系中，设圆心为O(x0, y0)，半径为r，则以ab为直径的圆的方程可以表示为：(x - x0)² + (y - y0)² = r²其中，x和y分别表示平面上任意一点的坐标。

方程左侧表示该点到圆心的距离的平方，右侧表示圆的半径的平方。

这个方程可以帮助我们判断一个点是否在以ab为直径的圆内。

如果一个点P(x, y)满足方程关系，即满足(x - x0)² + (y - y0)² = r²，那么它就在圆内；如果不满足这个关系，那么它就在圆外。

应用方程来解决问题时，我们可以通过给定圆心和半径的数值，计算出方程的具体形式，然后根据方程判断点的位置关系。

举个例子来说明。

假设圆心为O(2, 3)，半径为5，我们想要判断点P(4, 6)是否在以ab为直径的圆内。

根据方程(x - x0)² + (y - y0)² = r²，将圆心和半径的数值代入，得到方程 (x - 2)² + (y - 3)² = 25。

将点P的坐标代入，得到 (4 - 2)² + (6 - 3)² = 20。

由于方程左右两边不相等，所以点P不在以ab为直径的圆内。

除了判断点与圆的位置关系外，方程还可以用来求解与圆相关的问题。

例如，已知一个圆的圆心为O(1, 2)，半径为3，现在需要求解与该圆相切且斜率为k的直线的方程。

首先，我们可以利用圆的方程 (x - 1)² + (y - 2)² = 9，将直线的方程代入，得到 (x - 1)² + (kx - 2 + 2k)² = 9。