三角形的“三线合一”

专题54 巧作三线合一构造全等三角形
【专题说明】
三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

【模型展示】
①若
AB=AC,,
①若
AB=AC, ,则
,;
①若AB=AC, ,
;
①
若
,则AB=AC, ;
①
若, ,则
①若
, 则
AB=AC,;
等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。

在等腰三角形中，虽然顶角的平分
线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分。

三线合一知识讲授等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。

2．“三线合一”定理在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。

简记为“三线合一”。

（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。

证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。

（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。

证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。

（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。

证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。

3．“三线合一”逆定理在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。

简言之：两线合一，必等腰。

（1）如图，在△ABC中，BD=CD，AD⊥BC，求证：AB=AC，∠BAD=∠CAD。

证明：∵BD=CD，AD⊥BC，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴AB=AC，∠BAD=∠CAD总结：在三角形中，高线和中线重合，则这条线也为角平分线，且三角形为等腰三角形。

等腰三角形三线合一性
求证: 等腰三角形顶角平分线所在直线垂直平分底边。

即：等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一。

首先，证明题第一步需要将文字化为已知、求、解、答，并画图。

已知：△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.
求：直线AD垂直平分BC.
D C
解：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
在△BAD和△CAD中，
∵ AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∴△BAD≌△CAD(SAS)
∴∠BDA=∠CDA=90°
∴AD⊥BC
∵BD=CD
∴AD平分BC
即：直线AD垂直平分BC
小结：此题利用全等证明了等腰三角形顶角平分线所在直线垂直平分底边这条性质，同时说明了等腰三角形的三线合一性。

结论可作为定理用。

三角形三线合一三角形三线合一 1三条线合一，即在等腰三角形中，顶角平分线、底边中线、底边高线，三条线重合。

比如，已知等腰三角形的中线和底边的高度相同，那么可以说这条线段就是底边对应顶点的角平分线。

应用三条线合一是等腰三角形。

分别是，一个与顶角、顶角平分线有关，另外两个与底边有关(不是腰，是等边三角形比较特殊)。

一个是底边的高度，一个是底边的中垂线。

这是等腰三角形的一个特殊性质，可以用来处理很多平面几何问题。

三线合一逆命题①如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

②如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

③如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

三角形三线合一 41.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。

2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合(简写成“三角形三线合一1”)。

3.等腰三角形两底角的平分线相等(两腰中线相等，两腰高度相等)。

4.等腰三角形底边上的中垂线与两个腰的距离相等。

5.等腰三角形的一个腰高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上的任意一点到两个腰的距离之和等于一个腰的高度(用等面积法证明)。

7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

但等边三角形(特殊的等腰三角形)有三条对称轴。

每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。

8.等腰三角形中腰长的平方等于底边高的平方加上底边平方的一半(勾股定理)。

9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高;腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。

所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。

必然三线合一。

今天主要举例说明一下等腰三角形三线合一，求解的问题。

并出几个变形题目，供大家练习，在从其他方面来解答等腰等腰三角形问题。

题：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上的点。

求证：PA^2=AB^2-PBPC。

证明：作高AD。

则由勾股定理，得AB^2-PA^2=BD^2+AD^2-( PD^2+AD^2)= BD^2-PD^2=(BD-PD)(BD+PD)=PB（BD+PD），因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC，所以BD+PD=DC+PD=PC，所以AB^2-PA^2=PBPC，所以PA^2=AB^2-PBPC。

变式一：如图2，D是等腰△ABC底边BC延长线上的点，AB=AC=CD=2BC，则AD：BC=______。

（答案：√10）变式二：已知等腰△ABC中，AB=AC，P是底边BC延长线上的点。

求证：PA^2=AB^2+PBPC。

（提示：作△ABC的高AD）变式三：已知等腰Rt△ABC中，AB=AC=2√2，∠BAC=90°，P 是BC上的点，Q是BC延长线上的点，且∠PAQ=90°，如果PQ=5，则PB=______.(答案：1)初中英语下册期末复习第11单元重点知识汇总Unit11 How was your school trip?【重点单词】milk v.挤奶cow n.奶牛milk a cow 给奶牛挤奶horse n.马ride a horse 骑马feed v.喂养；饲养feed chickens 喂鸡farmer n.农民；农场主quite adv.相当；安全quite a lot(of…) 许多anything pron.（常用于否定句或疑问句）任何东西；任何事物grow v.种植；生长；发育farm n.农场；务农；种田pick v.采；摘excellent adj.极好的；优秀的countryside n.乡村；农村in the countryside 在乡下；在农村yesterday n.昨天flower n.花worry v.担心；担忧luckily adv.幸运地；好运地sun n.太阳museum n.博物馆fire n.火灾fire station 消防站painting n.油画；绘画exciting adj.使人兴奋的；令人激动的lovely adj.可爱的expensive adj.昂贵的cheap adj.廉价的；便宜的slow adj.缓慢的；迟缓的fast adv&adj快地（的）robot n.机器人guide n.导游；向导gift n.礼物；赠品all in all 总的说来everything pron.一切；所有事物interested adj.感兴趣的be interested in 对……感兴趣dark adj.黑暗的；昏暗的hear(heard）v.听到；听见【重点短语】1. school trip 学校旅行2. go for a walk 去散步3. milk a cow 挤牛奶4. ride a horse 骑马5. feed chickens 喂鸡6. talk with a farmer 与农民交谈7. take some photos 照相8. ask some questions 问一些问题9. grow apples 种苹果10. show sb. around splace. 带某人逛某地11. learn a lot 学到许多12. pick some strawberries 摘草莓13. last week 上周14．In the countryside 在乡村15. visit my grandparents 拜访我的祖父母16. go fishing 去钓鱼17. sound good 听起来很好18. climb the mountains 去爬山19. play some games 玩一些游戏20. visit a museum 参观博物馆21. visit a fire station 参观消防站22.draw pictures 画画23. go on a school trip 去旅行24 visit the science museum 参观科技博物馆25. how to make a model robot 如何制作机器人模型26. gift shop 礼品店27. buy sth for sb. 为某人买某物28. all in all 总得来说29. be interested in... 对…感兴趣30. be expensive 昂贵的31. not...at all 一点儿也不【重点句型】1.—Did you see any cows?你见到奶牛了吗一Yes, I did. I saw quite a lot.我见到了而且见到了很多很多2.—Did Carol take any photos?罗尔拍照片了吗？—Yes, she did.是的，她拍了。

三角形顶点和中点连线的定义和性质
(1)等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．
(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．
(3)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
如下：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小(等边三角形）。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

介绍
三角形重心是三角形三条中线的交点。

当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）。

三线合一是哪三线
三线合一是高、中线、角平分线。

平面几何中把三角形的高、中线、角平分线叫做三线，三线合一就是说这三条线重合。

三角形高的位置
总的来说，三角形的三条高所在的直线相交于一点。

锐角三角形：三条高都在三角形的内部。

交点也在三角形的内部。

直角三角形：两条高分别在两条直角边上，另一条高在三角形的内部。

交点是直角的顶点。

钝角三角形：钝角的两边上的高在三角形外部。

交点在三角形的外部。

三角形的中线
三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段。

每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部。

在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心。

三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。

三角形角平分线
三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。

（也叫三角形的内角平分线。

）由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。

由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

且任意三角形的角平分线都在三角形内部。

三角形三条角平分线永久交三角形内部于一点，这个点我们称之为内心。

等腰三角形三线合一典型题型等腰三角形是数学中常见的一个重要概念，它具有许多有趣的性质和特点。

其中，等腰三角形的三线合一是一个典型的题型，也是解决等腰三角形相关问题的重要方法之一。

本文将对等腰三角形和三线合一的典型题型进行探讨和解析。

1. 等腰三角形的定义及性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下性质：性质1：等腰三角形的底角相等。

性质2：等腰三角形的两条等边平分顶角。

性质3：等腰三角形的高线、角平分线、中线三条线段重合。

2. 三线合一的概念及应用三线合一是指等腰三角形的高线、角平分线和中线三条线段重合的现象。

在解决等腰三角形相关问题时，可以利用三线合一来简化计算和推导过程。

3. 三线合一的推导过程考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，线段BE是底边AC的中线，线段CF是顶角A的角平分线，线段AD是高线。

我们需要证明BE、CF和AD三条线段重合。

证明思路：首先，连接线段AE和线段AF，并延长线段AF相交线段AD于点G，线段AE与线段DC相交于点H。

根据等腰三角形的性质，可知线段AG与线段AH相等。

同时，由于线段CF是角平分线，所以角BAF 与角CAF相等，进而线段AF与线段GF相等。

再根据等腰三角形的性质，可以得出线段AF与线段FE相等。

于是，我们可以得出线段EF 与线段AG、线段AH相等。

又因为线段BE是底边AC的中线，所以线段EF与线段BE相等。

综上所述，我们得出线段BE、CF和AD三条线段重合。

4. 三线合一的应用示例现给定等腰三角形ABC，其中AB=AC=8cm，顶角A的角平分线与底边BC的交点为D，底边BC上一点为E。

求证：线段DE是等腰三角形ABC的高线。

解题过程：根据题意，我们已知AB=AC，即等腰三角形的两条边相等。

又因为顶角A的角平分线与底边的交点D恰好是底边BC上的一点，所以DE与BC相交于一点。

为了证明线段DE是等腰三角形ABC的高线，我们需要证明线段DE与等腰三角形的两边垂直。

三角形中点的定理
中点的性质是：
1、等腰三角形三线合一（底边中点），直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
2、三角形的中位线(三角形两边的中点的连线)平行且等于第三边的一半。

在线段AC上，若AF=CF，则F为AC中点，反之亦然。

扩展资料：
几何中的著名定理：
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）
2、射影定理（欧几里德定理）
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分。

4、四边形两边中心的连线与两条对角线中心的连线交于一点。

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点。