三角形的三线定义
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利用三角形“三线”的性质解题
利用三角形“三线”的性质解题作者：吕绪东来源：《初中生(一年级)》2009年第03期三角形的高、角平分线和中线统称为三角形的“三线”.三角形的“三线”是三角形中的重要线段，它们在几何中有着广泛的应用.为了同学们更好地掌握“三线”，现举例说明.一、利用高解题例1 如图1，在△ABC中，O是高AD、BE的交点，观察图形，试猜想∠CAD和∠CBE 之间有怎样的数量关系，并说明你的结论的正确性.简析：∠CAD=∠CBE.这是因为AD、BE 分别是BC与AC边上的高，所以∠BDO=∠AEO=90°，又在△BDO和△AEO中，∠AOE=∠BOD，所以∠CAD=∠CBE.二、利用角平分线解题例2 如图2，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数.简析：因为BP平分∠ABC，∠ABC=80°，所以∠PBC=∠ABP=40°，同理∠PCB=∠ACP=25°，所以∠BPC=180°-40°-25°=115°.三、利用中线解题例3 如图3，在△ABC中，已知点D、E、F，分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC =4cm2，试求图中阴影部分的面积.简析：点 D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC =4cm2.根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分的性质可知，S△ABD=S△ACD=2cm2，S△BDE=S△CDE=1cm2，S△BEF=S△BCF =1cm2，即图中阴影部分的面积为 1cm2.例4 已知等腰三角形一个腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长.四、综合运用“三线”解题例5 如图5，在△ABC中，∠B=63°，∠C=51°， AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，求∠DAE的大小.注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
三线共点的证法
三线共点的证法三线共点是数学领域中一个重要的几何概念。
它起源于射影几何学，并在较晚的时期得到进一步的研究和证明。
本文将介绍三线共点的定义、性质以及其证法。
一、定义在平面几何中，给定一个三角形ABC，如果存在三条直线分别通过三个顶点A、B、C的对边中点，并且这三条直线的交点在一条直线上，那么我们称这三条直线共点，且该点被称为三线共点。
二、性质1. 三线共点是三角形的一个重要特殊性质，它有着以下性质：a) 三角形的三条三线可以是三角形内部对边的中点连线；b) 三线共点的点是三角形的一个重要几何中心，称为重心；c) 三线共点的点和三角形的三个顶点连线的交点构成的三角形和原始三角形全等。
2. 三线共点的证法有多种，下面将介绍两种常见的证法。
三、证法一：向量法三线共点可以通过向量法来进行证明。
给定三角形ABC，以三边向量AB、AC和BC作为初始向量。
由向量的平行和共线性质可知，三条代表这个三边向量的线段必定共点。
设三线共点的交点为点P。
利用向量运算和向量共线性的定义，我们可以证明点P会同时出现在每条向量线段上，从而证明了三线共点。
四、证法二：重心法三线共点也可以通过三角形的重心进行证明。
首先，找到三角形ABC的三条中线，即通过三个顶点A、B、C的对边中点的直线。
根据中线的性质，它们互相平行并且与对边的长度成比例。
将这三条中线延长，它们将相交于一个点，即三线共点的点P。
通过重心的性质以及实际的角度和长度计算，我们可以证明这个点P确实是三线共点。
五、总结三线共点是一个重要的几何概念，它指的是三角形的三条特殊线段共同交于一点的现象。
它常常被用于证明三角形的一些性质和定理。
本文通过向量法和重心法两种常见的证明方法，说明了三线共点的证法。
我们应该通过学习和理解这些证法，加深对于三线共点的理解，为进一步研究和应用提供基础。
通过对三线共点的研究，我们可以进一步探索其在几何学、射影几何学以及其他数学领域中的应用和意义，同时也可以拓宽我们对几何学的认识和理解。
三角形三线课件
三角形三线课件一、引言三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和应用。
在三角形中，三条边和三个角的关系密切相关，构成了三角形的基本要素。
本课件将重点介绍三角形的三条重要线段：中线、角平分线和垂线，以及它们在三角形中的应用和作用。
二、三角形的中线1.定义三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
每个三角形有三条中线，分别连接三个顶点和对边的中点。
2.性质（1）中线将对边平分：三角形的中线将对边平分成两个相等的线段。
（2）中线等于对边的一半：三角形的中线的长度等于其对边长度的一半。
3.应用（1）求三角形的中线长度：利用中线等于对边一半的性质，可以通过已知的对边长度求出中线的长度。
（2）证明三角形全等：通过证明两个三角形的中线相等，可以得出这两个三角形全等。
三、三角形的角平分线1.定义三角形的角平分线是从三角形的一个顶点出发，将顶点的角平分成两个相等的角的线段。
每个三角形有三条角平分线，分别从三个顶点出发。
2.性质（1）角平分线将角平分：三角形的角平分线将顶点的角平分成两个相等的角。
（2）角平分线相交于一点：三角形的三个角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心。
3.应用（1）求三角形的角平分线长度：利用角平分线的性质，可以通过已知的角的大小求出角平分线的长度。
（2）证明三角形相似：通过证明两个三角形的角平分线相等，可以得出这两个三角形相似。
四、三角形的垂线1.定义三角形的垂线是从三角形的一个顶点向对边所作的垂直线段。
每个三角形有三条垂线，分别从三个顶点向对边作垂线。
2.性质（1）垂线垂直于对边：三角形的垂线与对边垂直相交。
（2）垂线相交于一点：三角形的三个垂线相交于三角形外部的一点，称为外心。
3.应用（1）求三角形的垂线长度：利用垂线的性质，可以通过已知的对边长度求出垂线的长度。
（2）证明三角形直角：通过证明三角形的两条垂线相等，可以得出这个三角形是直角三角形。
五、总结三角形的三线：中线、角平分线和垂线，在三角形中起着重要的作用。
三线合一的判定方法
三线合一的判定方法
等腰三角形的“三线合一”是指其顶角的角平分线、底边的中线和底边的高互相重合。
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
以上定理是“三线合一”的逆定理，也可用于判定等腰三角形。
几何法巧解三角形“三线”问题(两篇)2024
引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。
其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。
通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。
本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。
首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。
连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。
首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。
通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。
首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。
然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。
4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。
三角形的三线
《三角形的高、中线、角平分线及稳定性》教案1
教学流程安排
教学过程设计
三角形的高、中线与角平分线定义
．高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直
AD是△ABC的边 = °
的边BC上的中线，则有中∠BAC的角平
3．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝
3．下列图中具有稳定性的有（）
见导学案的课后作业
教学反思
本节设计中三角形三线定义及稳定性的概括过程及小组合作交流的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，让学生畅所欲言，更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度及主动参与、合作交流的意识．
本节教学可以让学生充分展示自己的见解，教师只是一个“旁观者”。
4.1.5.三角形的三线整理
北师大版七年级（下册）
一课时
执教人:李先贵
1
重要 线段
概念 三角形中,连结 一个顶点和它 对边中的线段 一个内角的平分 线与它的对边相 交,这个角顶点与 交点之间的线段
从三角形一个顶点 向它的对边所在的 直线作垂线,顶点和 垂足之间的线段
条数
位置
3条 均在 内部
交点
交于一点 交点在在内部 交点叫重心
5
例2.如图,已知△ABC中,AB=AC,周长为16,BD为中线, BD将△ABC分 A 成差为2两个三角形.求△ABC的各边长.
解：设腰为x，底为y，由题意得：
2 x y 16 x y 2
2 x y 16 或 y x 2
x
x D
x 6 解1得： y 4
连接AD
∵ DE⊥AB, DF⊥AC, AM⊥BC ∴ SΔ ABD= SΔ ABC= ∵ SΔ ABD +SΔ ACD = SΔ ABC
AB DE 2 BC AM 2
SΔ ACD=AC Fra bibliotek DF 2∴ AB DE + AC DF = BC AM 2 2 2 AB DE AC DF BC AM ∵AB=BC=AC ∴DE+DF=AM
14 x 3 解2得： 20 y 3
∵ 4 + 6＞ 6 ∴ 三边分别为:4，6，6; B
y
C
∵ 14/3 + 14/3 ＞ 20/3
∴ 三边分别为:14/3，14/3，20/3; A D B C
6
∴ 三角形三边分别为:4，6，6或14/3, 14/3, 20/3. 练习.在Δ ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, Δ DBC的周长为 25cm,求Δ ADC的周长.
一课时
执教人:李先贵
1
重要 线段
概念 三角形中,连结 一个顶点和它 对边中的线段 一个内角的平分 线与它的对边相 交,这个角顶点与 交点之间的线段
从三角形一个顶点 向它的对边所在的 直线作垂线,顶点和 垂足之间的线段
条数
位置
3条 均在 内部
交点
交于一点 交点在在内部 交点叫重心
5
例2.如图,已知△ABC中,AB=AC,周长为16,BD为中线, BD将△ABC分 A 成差为2两个三角形.求△ABC的各边长.
解：设腰为x，底为y，由题意得：
2 x y 16 x y 2
2 x y 16 或 y x 2
x
x D
x 6 解1得： y 4
连接AD
∵ DE⊥AB, DF⊥AC, AM⊥BC ∴ SΔ ABD= SΔ ABC= ∵ SΔ ABD +SΔ ACD = SΔ ABC
AB DE 2 BC AM 2
SΔ ACD=AC Fra bibliotek DF 2∴ AB DE + AC DF = BC AM 2 2 2 AB DE AC DF BC AM ∵AB=BC=AC ∴DE+DF=AM
14 x 3 解2得： 20 y 3
∵ 4 + 6＞ 6 ∴ 三边分别为:4，6，6; B
y
C
∵ 14/3 + 14/3 ＞ 20/3
∴ 三边分别为:14/3，14/3，20/3; A D B C
6
∴ 三角形三边分别为:4，6，6或14/3, 14/3, 20/3. 练习.在Δ ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, Δ DBC的周长为 25cm,求Δ ADC的周长.
三角形的三线
自学课本第4-5页的内容,完成下列问题：
1.三角形的高、中线、角平分线及重心是怎样 定义的 注意：①把定义中的关键词画出来；
②试用几何语言表述前三个定义. 2.怎样画三角形的高、中线、角平分线
如图,过△ABC的顶点
A
A,你能画出它对边BC上
的垂线段吗
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
社会文化
•人口统比收入 分配 •社会稳定 •生活方式的变 化 •教育水平 •消费
技术
•政府对研究的 投入
•政府和行业对 技术的重视
•新技术的发明 和进展
•技术传播的速 度
•折旧和报废速 度
OT机会与威胁分析方法一：波特五力模型
行业内竞争者的均衡 程度、增长速度、固 定成本比例、本行业 产品或服务的差异化 程度、退出壁垒等,决 定了一个行业内的竞 争激烈程度
进入本行业有哪些壁垒它们阻碍 新进入者的作用有多大本企业怎 样确定自己的地位 自己进入或 者阻止对手进入
构造SWOT矩阵
在构造SWOT过程中,将那些对公司发展有直接的、重要的、大量的、迫切的、 久远的影响因素优先排列出来,而将那些间接的、次要的、少许的、不急的、短 暂的影响因素排列在后面。
案例：1997年香港邮政对特快专递业务单元做的SWOT分析
根据SW分析,公司建立并维持自身的竞争优势
通过一定努力, 建立自身竞争 优势
竞争优势受到 削弱,寻找新的 策略增强自身 竞争优势
引起竞争者 注意,开始 作出反应
直接进攻企 业优势所在, 或采取更为 有力的策略
企业在维持竞争优势过 程中,必须深刻认识自 身的资源和能力,采取 适当的措施。因为一个
企业一旦在某一方面具 有了竞争优势,势必会 吸引到竞争对手的注意。
三角形的三线课件
巩固
如图，在△ABC中，∠1= ∠2 =300，则 ∠ACB= .
折叠 你会折叠出三角形的高、中线和角平分线吗？
高
中线
角平分线
三角板
刻度尺
量角器
一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？
探究 画出不同类型的三角形的
三条高、三条中线、三条角平分线.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
观察所画线段有什么位置关系？
B
C
重要线段之三：
概念
三角形的角平分线 A
B
DC
定义：三角形一个内角的平分线与它
的对边相交，这个角的顶点与交点之
间的线段叫三角形的角平分线.
三角形的角平分线 用几何语言表示
A
板书
∵AD是△ABC中
∠BAC的平分线(已知)
∴∠BAD=∠CAD
=
1 2
B
∠BAC
D
C
(三角形角平分线的定义)
或∠BAC=2∠BAD=2∠CAD 反之也成立
探究 画出三角形三边上的高
A A
F ●E
B
C●
D
B
你有什么发现？
A
DD C
三角形的三条高所在直线交于一点
F
B
C
E
探究 画出三角形三边上的中线
你有什么发现？
三角形的三条中线在三角形的内部交于一点.
什么是三角形的重心？
探究 画出三角形三个内角角的平分线
你有什么发现？
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.
3. 在△ABC中，∠ACB=90°，CB=6， CA=8， AB=10，则AB边上的高CD是多少？
拓展延伸
等腰三角形三线合一(一)2024
等腰三角形三线合一（一）引言概述：等腰三角形是一种特殊的三角形，其两条边长度相等。
在等腰三角形中，有一条特殊的线称为三角形的三线合一。
本文将详细介绍等腰三角形三线合一的相关概念和性质，为读者提供更深入的了解。
正文：一、三线的定义1. 等腰三角形的三线包括：高线、中线和角平分线。
2. 高线：等腰三角形的高线是由顶点垂直于底边所构成的线段。
3. 中线：等腰三角形的中线是由底边上一点连结对边中点所构成的线段。
4. 角平分线：等腰三角形的角平分线是由顶点连结底边上一点与等边边长的一半所构成的线段。
二、性质及关系1. 高线和底边是垂直的，即高线与底边成直角。
2. 中线和底边是平行的，且中线长度为底边长度的一半。
3. 角平分线将顶角平分为两个相等角。
4. 三线合一的交点称为三角形的垂心，垂心在等腰三角形的内部。
5. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
三、应用案例1. 在构造等腰三角形时，可以利用三线合一的性质来确定高线、中线和角平分线。
2. 利用三线合一，可以求解等腰三角形的各个角度和边长。
3. 在三角形几何问题中，三线合一也为解题提供了重要的线索。
四、证明和推论1. 可以通过垂心和三角形顶点构造直角三角形，进而证明三线合一的性质。
2. 利用三线合一的性质，可以推论等腰三角形的其他性质，如内角和、内切圆等。
五、简化计算和简便构造1. 三线合一为等腰三角形的计算和构造提供了简化的方法。
2. 利用三线合一的性质，可以简化解题过程，减少复杂的计算。
总结：等腰三角形的三线合一是三角形几何中重要的概念之一。
通过了解三线的定义、性质和关系，我们可以更好地理解等腰三角形的特性，并应用于计算和构造问题中。
通过证明和推论，我们可以进一步深入了解三线合一的原理和应用。
最后，三线合一为解题提供了简化的方法，方便我们在求解问题时进行计算和构造。