罗默《高级宏观经济学》(第1和2版)笔记和课后习题详解

罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义第1章索洛增长模型第一部分重难点解读“一旦人们开始思考（经济增长）问题，他将很难再顾及其他问题。

”——罗伯特·卢卡斯（Robert Lucas，1988）1.1模型假设投入与产出生产函数采取如下形式：()()()()(),Y t F K t A t L t =其中，t ：时间，A ：有效劳动．．．．——劳动增加型．．．．．的或哈罗德中性．．．．．。

生产函数生产函数是规模报酬不变的：()(),,F cK cAL cF K AL =，对于所有0c ≥规模不变结合两个不同的假设：第一是经济规模足够大，以至于专业化的收益已被全部利用。

第二是除资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。

把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数：()1,1,⎛⎫= ⎪⎝⎭K F F K AL AL AL定义/=k K AL ，/=y Y AL 以及()(),1=f k F k ，得：()=y f k 关于()f k 的假设：（1）()00=f ，()0'>f k ，()0''<f k （如何推导？比较重要！）（2）稻田条件（Inada condition）：()0lim →'=∞k f k ，()lim 0→∞'=k f k 柯布一道格拉斯函数：()()1,,01ααα-=<<F K AL K AL 。

根据规模报酬不变假设，整理可得：()α=f k k ，图示如图1.1所示。

图1.1柯布-道格拉斯生产函数生产投入的演化给定资本、劳动与知识的初始水平，劳动与知识以不变的增长率增长：()()∙=L t nL t ()()∙=A t gA t 其中，n 与g 是外生参数。

求解以上两微分方程，可得：()()0=ntL t L e()()0=gtA t A e 假设：用于投资的产出份额s 是外生且不变的，则有资本动态积累方程：()()()δ∙=-K t sY t K t 其中，δ为资本折旧率。

第5章实际经济周期理论1．假设价格有完全的伸缩性，并且，经济中产出的波动正如真实经济周期理论所说的是由于技术冲击所造成的。

那么：（1）如果央行保持货币供给不变，随着产出的波动，物价水平会发生什么变动？（2）如果央行调整货币供给以稳定物价水平，随着产出的波动，货币供给会发生什么变动？（3）经济学家观察到，货币供给的波动与产出的波动正相关，我们可以将此作为反对实际经济周期模型的证据，认为产出的波动源自货币供给的波动吗？答：实际经济周期理论假定物价具有完全的伸缩性，所以货币不具有实际影响，物价会随货币调整使货币市场保持均衡。

这意味着实际总供给和总需求决定利率和产量，物价则自由调整以保证货币市场出清。

（1）当产量增加时，实际货币余额需求会上升。

如果央行保持货币供给不变，则物价必须下降以使货币市场保持均衡。

反之，当产量减少时，实际货币余额需求会下降。

如果央行保持货币供给不变，则物价必须上升以使货币市场保持均衡。

所以，物价与产量反方向变动。

（2）假如央行通过调整货币供给以保证物价水平稳定，则当产量增加时，实际货币余额需求会上升，为使物价保持稳定，央行必须增加货币供给。

反之，当产量减少时，实际货币余额需求会下降，为使物价保持稳定，央行必须减少货币供给。

所以，货币供给和产出同方向变动。

（3）货币供给与产出呈正相关并不能否定实际经济周期模型。

如果央行执行（2）中的政策稳定物价，即使货币对产量没有任何影响，也将观察到货币与产量密切相关，只不过这一相关性来自于货币当局对产量波动的内生反应而已，并非货币供给影响到了产出。

2．简述实际经济周期（RBC）理论。

答：实际经济周期理论指把经济波动归因于实际因素（或供给方面的）冲击，而不是货币因素的一种经济周期理论。

实际周期理论是新古典宏观经济学的代表性理论之一，该理论认为经济波动之源是技术冲击，分析了波动传导以及货币与产出的关系。

（1）技术变革是引起经济波动的实际因素中至关重要的一个。

第9章投资1．存货投资的加速数模型与资本积累的可变加速数模型之间是什么关系？答：（1）存货投资的加速数模型与资本积累的可变加速数模型的含义①存货投资的加速数模型是描述收入变动或消费需求的变动引起存货投资变动的模型。

加速数模型表明投资支出与产出变动成比例，而不受资本成本的影响。

I＝a（Y－Y－1）该模型的含义包括：第一，投资并不是产量（或收入）的绝对量的函数，而是产量变动的函数。

即投资变动取决于产量的变动，若产量的增加逐期保持不变（产量变动率为零），则投资总额也不变；第二，投资率变动的幅度大于产量（或收入）的变动率，产量的微小变化会引起投资率较大幅度的变化；第三，若要保持增长率不至于下降，产量必须持续按一定比率增长。

因为一旦产量的增长率变缓，投资增长率就会停止或下降。

即使产量未绝对地下降，而只是相对地放缓了增长速度，也可能引起投资缩减；第四，加速数与乘数一样都从两个方向发生作用。

即当产量增加时，投资的增长是加速的，当产量停止增长或减少时，投资的减少也是加速的；第五，要使加速原理发挥正常作用，只有在不存在过剩生产能力时才能实现。

存货投资水平与产出变动的联系，是增加经济整体易变性的重要渠道。

②可变加速数模型是用来解释企业如何计划其调整资本存量速度的。

资本存量K是预期产出Y、劳动力的实际工资率w和资本租金成本rc（实际利率＋折旧率）的函数。

它背后的基本观点是，现有资本存量与合意资本存量之间的差距越大，企业投资速度就越快。

根据可变加速数模型，企业在每一时期都打算填补合意资本存量与实际资本存量之间λ部分的差距。

上期结束时的资本存量表示为K－1，合意资本存量与实际资本存量之间的差距则表示为（K*－K－1）。

企业打算在上期资本存量K－1上增加差距（K*－K－1）的一部分，即λ（K*－K－1），以便使得当前时期结束时的实际资本存量K为：K＝K－1＋λ×（K*－K－1）（i）方程（i）表明了要将资本存量从K－1增加到K的水平，企业必须实现净投资量，I＝K －K－1，因此，可以写出净投资：I＝K－K－1＝λ（K*－K－1）（ii）它是净投资逐渐调整的表达式。

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。

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增长率的基本性质。

利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：（a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。

（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。

（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。

假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。

（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。

（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。

答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。

《高级宏观经济学》考研罗默版2021考研真题与习题1.10假定与习题1.9类似，资本和劳动按照边际产出支付报酬。

此夕卜，假设所有 资本收入用于储蓄,而所有劳动收入均用于消费。

因此K = @'（瓦汕）QK 圧-3K 。

（a ）证明该经济收敛于平衡增长路径。

（b ）在平衡增长路径上,k 大于、小于还是等于k 的黄金律水平？这一结论的直观 含义是什么?解：（a ）证明：由k 二K/AL,对其两边关于时间求导，可得：■K - 2 44L AL\ L AL 将护K 血）宓“⑷代入方程⑵，可得: K(AL)-K[LA-hAL]- •K7E K=[dF(K , ,4L}ldK \K-SKL _ A _ 云一"和兔Q 代入方程（i ），可得: 疋F(K,AL)肚K]K-&KH仝F （；r 九-洙十訓 (2) * =[广(4)-(" + £+可」' (3)当时，每单位有效劳动保持不变。

即[f' (k) - (n + g + 6)] = 0,因此平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本可以由[f * (k) - (n + g + 6)] = 0潜在地决定。

k二K/AL ,由于在平衡增长路径上k保持不变，因此，K必须与AL保持同样的增长速度。

AL的增长速度为n + g ,所以K的增长速度为n + g。

由于生产函数是规模报酬不变的，因此，在平衡增长路径上每单位有效劳动的产出增长速度也必须是n + g。

综上所述,可以发现所有变量增长速度均不变。

下面证明经济收敛于平衡增长路径。

在k二K时,f ' (k) - (n + g + 6) =0,此时经济处于平衡增长路径上。

如果k>亡，由于f '• ( k ) < 0 ,所以* < ° ,则经济向下偏离平衡增长路径；反之,如果k V If ,则“ 0 ,经济向上偏离平衡增长路径。

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4.1 对美国以外的其他国家进行与表4.1、表4.2或表4.3相类似的计算。

答：可以到网上查找相关国家的数据进行计算。

4.2 对以下各项作出与表4.3相类似的计算：（a）雇员的薪水在国民收入中所占份额。

（b）劳动力参与率。

（c）联邦政府预算赤字在GDP中所占份额。

（d）标准普尔500种股票综合价格指数。

（e）穆迪Baa债券和Aaa债券收益率之差。

（f）10年期和3月期美国国库券收益率之差。

（g）美元对其他主要货币的加权平均汇率。

答：读者可以到网上查找相关国家的数据进行计算。

4.3 令A0表示第0期的A值，并令lnA的行为由方程（4.8）和（4.9）给定。

（a）把lnA1、lnA2和lnA3用lnA0、εA1、εA2、εA3、和g来表示。

（b）根据εA的期望为0这一事实，当给定lnA0、和g时，求lnA1、lnA2和lnA3的期望值。

答：（a）首先给出表示技术进步的公式，即方程（4.8）和（4.9）：lnAt=+gt+At （1）At=ρAAt-1+εA，t，-1<ρA<1 （2）令lnA0表示在时期0时的lnA值，结合公式（1），可以得到下面的公式：lnA0=+g?0+A0整理后求解A0：A0=lnA0-（3）在时期1，利用方程（1）和（2）可得到：lnA1=+g+A1 （4）A1=ρAA0+εA，1 （5）将方程（3）代入方程（5）得：（6）再将方程（6）代入方程（4）可得：（7）在时期2，结合方程（1）和（2）得：lnA2=+2g+A2 （8）A2=ρAA1+εA，2（9）将方程（6）代入方程（9）得：（10）再将方程（10）代入方程（8）可得：（11）在时期3，通过方程（1）和方程（2），可得：lnA3=+3g+A3 （12）A3=ρAA2+εA，3 （13）将方程（10）代入方程（13）可得：（14）再将方程（14）代入方程（12）得：（15）（b）通过方程（7）可以得到lnA1的期望值，即：上步用到了E? 1??ε A ，?=0。

罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题答案详解4目录第1章索洛增长模型 (5)第2章无限期界与世代交叠模型 (26)第3章新增长理论 (62)第4章真实经济周期理论 (101)第5章传统凯恩斯主义波动理论 (129)第6章不完全名义调整的微观经济基础 (149)第7章消费 (175)第8章投资................................................................................19S第9章失业 (219)第10章通货膨胀与货币政策 (244)第H章预算赤字与财政政策 (276)5第1童素洛增长模型1.1增长率的基本性质。

利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：(a)两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若Z(t)=x(()y(r),则Z(£)/z(£)=[%)/x(£)]+[F(0/y(o](b)两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若z(r)=x(,)〃("，则z(t)/z(t)=[x(t)/x(0]-[f(t)/r(t)](C)如果Z(r)=X(f)",则Z(r)/Z“)=a X(r)/X(r)证明：(a)因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式:Z(t)=dlnZ(f)=dln[.Y(t)y(/)J/(t)dt dt因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：ZU)d lnA(f)dlnX(f)dln-(t)Z(t)dt ck dz再简化为下面的结果：7")X{r.)Y{!)-----二-----+-----zu).¥(?)y(z)则得到(a)的结果*(b)因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：Z(f)dlnZ(f)dln[X(t)/F(t)]Z(f)—-dt--d^-因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：2(Z)_d_lnA'(f)-lny(f)]_dln.Y(t)din1(t)Z(t)dt dt dt再简化为下面的结果：Z(r).¥(/)y(z)2⑴~X(t)F(i)则得到(b)的结果，<c)因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：Z(f)dlnZ(f)dln[.¥(t)a]Z(t)=-dt-=dr又由于]n[x(/)u]=C lnX(»),其中〃是常数，有下面的结果：Z(t)d[alnX(t)]dln.Y(/).¥(t)Z(f)=dt=位~dz~=欠X(f)则得到(c)的结果。

第10章 通货膨胀与货币政策[视频讲解]第一部分 重难点解读10.1 通货膨胀、货币增长与利率通货膨胀与货币增长通货膨胀是用货币表示的货物与服务的平均价格的增加。

真实货币资产的需求为名义利率的减函数与真实工资的增函数，，，，货币市场的均衡条件为：价格水平由如下关系式给出：对于既定的与，价格水平可以随着货币供给的增加、利率的提高、产量的下降以及货币需求的下降而上升。

货币增长在决定通货膨胀中起重要的作用，货币增长的经验性方差解释了总需求增长的大部分变化。

(),L i Y 0i L <0Y L >(),ML i Y P =(),MP L i Y =i Y图10.1 货币增长与通货膨胀货币增长和利率假设货币供给并不影响真实产出或真实利率，真实利率是名义利率与预期通货膨胀之差，即费雪恒等式：价格表达式可改写成：假设与初始均以某个稳定的速率增长（使得不变），并且等于实际通货膨胀，如图10.2所示。

e i r π=+(),e M P L r Y π=+M P M P e π图10.2 货币增长中的增加效应两个结论：（1）由货币增长变化导致的通货膨胀的变化反映在一一对应的名义利率中，即著名的费雪效应。

（2）名义货币存量的较高增长率会减少真实货币存量。

货币增长的增加会提高预期通货膨胀，因而也提高了名义利率。

持有货币的机会成本的增加会减少个人所需持有的真实货币余额的数量，均衡要求的上升大于的，即这必定存在通货膨胀大于货币增长率的时期。

不完全的价格浮动情形在实践中，货币扩张的直接效应是降低短期名义利率。

货币扩张对名义利率的负效应便是著名的流动性效应。

流动性效应的传统解释是，货币扩张会减少真实利率。

如果价格并非完全浮动，货币存P M量的增加会提高产出——它要求真实利率下降。

10.2 货币政策与利率的期限结构在不同的时间期限上，利率之间的相互关系为利率的期限结构，有关那种关系的标准理论为期限结构的预期理论。

期限结构的预期理论考虑有关投资者决定在未来的个时期内如何投资1美元的问题。

罗默《高级宏观经济学》课件罗默的《高级宏观经济学》课件一、引言罗默的《高级宏观经济学》是一本在学术界广受推崇的经济学教材，深入浅出地介绍了宏观经济学的基本理论和分析方法。

本书共分为两个部分，第一部分主要讨论宏观经济学的微观基础，包括消费者行为、生产者行为、市场均衡和一般均衡等；第二部分则重点介绍宏观经济学的核心议题，如经济增长、失业、通货膨胀、经济周期等。

本课件旨在帮助读者更好地理解和掌握罗默的《高级宏观经济学》的内容，为宏观经济学的学习和研究提供有益的参考。

二、微观基础1.消费者行为罗默认为，消费者行为是宏观经济学微观基础的重要组成部分。

消费者的目标是实现效用最大化，即在预算约束下，选择一组商品和服务，使得总效用达到最大。

为此，罗默介绍了无差异曲线、预算线等概念，以及如何通过求解拉格朗日函数来找到消费者最优消费组合的方法。

2.生产者行为生产者行为是宏观经济学微观基础的另一个重要组成部分。

罗默认为，生产者的目标是实现利润最大化，即在生产技术、要素价格和市场价格的约束下，选择一组生产要素和产量，使得总利润达到最大。

罗默详细介绍了生产函数、成本函数、利润函数等概念，以及如何通过求解拉格朗日函数来找到生产者最优生产组合的方法。

3.市场均衡和一般均衡罗默认为，市场均衡是宏观经济学的核心概念之一。

市场均衡指的是在某一市场价格下，市场需求等于市场供给。

罗默介绍了如何通过供求曲线来分析市场均衡，以及市场均衡的稳定性条件。

罗默还介绍了一般均衡理论，即在一个包含多个市场和多种商品的体系中，各个市场之间相互影响，形成一个稳定的均衡状态。

三、核心议题1.经济增长罗默认为，经济增长是宏观经济学研究的核心议题之一。

经济增长指的是一个国家或地区在一定时期内，实际产出水平持续提高的过程。

罗默详细介绍了经济增长的源泉，包括技术进步、资本积累、劳动力增长等，并分析了不同增长模型的特点和适用条件。

2.失业罗默认为，失业是宏观经济学的另一个核心议题。

第1章索洛增长模型1．在Solow模型中，假设一个经济体在初始时候处于稳定状态。

现在一场自然灾害夺去了一部分人的生命，但资本总量却在灾害中没有损失。

请问人均资本、人均产出在短期和长期的变化趋势。

答：（1）索洛增长模型的总量生产函数是Y＝F（K，L），或者以人均形式来表示为y ＝f（k）。

在短期，如果自然灾害夺取了部分人的生命，L下降，使k＝K/L上升了。

由总量形式的生产函数可知，劳动力减少，则总产出下降。

但是，由于人均资本存量水平上升了，工人人均产出将会增加。

（2）劳动力的减少意味着自然灾害后的人均资本存量高于灾害发生之前，而灾害前的经济处于稳定状态，所以灾害后的人均资本存量水平高于稳定状态水平。

如图1-1所示，灾害发生后的人均资本存量位于k*右边的某一个位置k1。

但是k1不是稳定状态，这时人均储蓄小于资本扩展化水平，所以资本深化为负，人均资本存量会降低，经济逐渐向稳定状态过渡。

因此，在长期中，人均资本存量下降到k*，经济重新达到稳定状态。

在这个过程中，由于人均资本存量一直在下降，所以人均产出也一直在下降。

在稳定状态，技术进步决定人均产出增长率，一旦经济恢复到稳定状态，人均产量仅由技术进步决定。

因此这和灾害发生前是一样的。

图1-1 资本存量恢复稳态水平2．某经济体的生产函数为：Y t＝（A t L t）αK t1－α，其中A t L t为效率劳动单位，如参数A t上升，则同样数量的劳动者可提供更多的效率劳动。

在每一期，消费者将s比例的产出投资于新资本，即I t＝sY t，资本运动方程为：K t＋1＝（1－δ）K t＋I t，其中δ为折旧率。

设劳动力与劳动生产率均以固定比率增长：L t＋1＝（1＋l）L t，A t＋1＝（1＋μ）A t。

试回答以下问题：（其中前4问反映的是卡尔多指出的经济增长进程的典型化事实）（1）设代表性竞争企业分别按实质工资W t和实质利息R t雇佣劳动和资本，写出企业的最优化问题，证明劳动和资本分配份额W t L t/Y t和R t K t/Y t在该经济中均为常数。

第4章跨国收入差距1．考虑两个经济（用i＝1，2表示），这两个经济由Y i（t）＝K i（t）θ和K•i（t）＝s i Y i （t）描述，其中θ＞1。

假设两个经济中K的初始值相同，但是s1＞s2。

证明Y1/Y2是连续增加的。

证明：将产出函数Y i（t）＝K i（t）θ代入资本累积方程K•i（t）＝s i Y i（t）得：K•i（t）＝s i K i（t）θ，θ＞1①在①式两边同时除以K i（t）以求出资本增长率的方程，即：g K，i（t）＝K•i（t）/K i（t）＝s i K i（t）θ－1②对②式求导数，求出资本增长率的增长率，即：g•K，i（t）/g K，i（t）＝（θ－1）g K，i（t）③式③简化为：g•K，i（t）＝（θ－1）[g K，i（t）]2④如图4-1所示。

图4-1 g K 的相图由于θ＞1，所以g K ，i 总是保持增长。

g K ，i 的初始值是由储蓄率和资本存量决定的，如式②所示。

因此，即使两个经济中K 的初始值相同，只要s 1＞s 2，则两个经济的初始资本存量的增长率g K ，i （0）便不同。

又因为g K ，i 的增长率是由g K ，i 决定的，所以，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率。

因此，有g K ，1（t ）＞g K ，2（t ），对于所有的t ＞0，两个国家的差距会越来越大。

将高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出相比，即：Y 1（t ）/Y 2（t ）＝[K 1（t ）/K 2（t ）]θ⑤对⑤两边取对数，然后求导，得：()()()()()()()()()()12121212,1,2//K K Y t Y t K t K t θY t Y t K t K t θg t g t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦ ⑥由⑥式可以发现，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率，且由于对于所有的t＞0，都有g K，1（t）＞g K，2（t）成立，并且两个国家的差距会越来越大，高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出之比Y1/Y2将持续上升，并且以上升的速度上升。

《高级宏观经济学》考研罗默版2021考研真题与习题1.10 假定与习题1.9类似，资本和劳动按照边际产出支付报酬。

此外，假设所有资本收入用于储蓄，而所有劳动收入均用于消费。

因此。

（a）证明该经济收敛于平衡增长路径。

（b）在平衡增长路径上，k大于、小于还是等于k的黄金律水平？这一结论的直观含义是什么？解：（a）证明：由k＝K/AL，对其两边关于时间求导，可得：（1）将，和代入方程（1），可得：（2）将代入方程（2），可得：（3）当时，每单位有效劳动保持不变。

即[f＇（k）－（n＋g＋δ）]＝0，因此平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本可以由[f＇（k）－（n＋g＋δ）]＝0潜在地决定。

k＝K/AL，由于在平衡增长路径上k保持不变，因此，K必须与AL保持同样的增长速度。

AL的增长速度为n＋g，所以K的增长速度为n＋g。

由于生产函数是规模报酬不变的，因此，在平衡增长路径上每单位有效劳动的产出增长速度也必须是n ＋g。

综上所述，可以发现所有变量增长速度均不变。

下面证明经济收敛于平衡增长路径。

在k＝k*时，f＇（k）－（n＋g＋δ）＝0，此时经济处于平衡增长路径上。

如果k ＞k*，由于f＂（k）＜0，所以，则经济向下偏离平衡增长路径；反之，如果k＜k*，则，经济向上偏离平衡增长路径。

所以，不管初始的k如何，经济都将收敛于平衡增长路径，此时，所有的经济变量都以不变的速率增长。

（b）满足黄金规则的资本水平是指使每单位有效劳动的消费最大时的资本水平，即f＇（k GR）＝（n＋g＋δ）。

此刻满足生产函数的斜率等于持平投资线的斜率。

而这正是经济收敛到均衡增长路径时k的水平，这时所有的资本收入被储蓄，所有的劳动收入被消费。

在本模型中，将资本的贡献（资本的边际产品乘以资本的数量）储蓄起来。

如果资本的贡献超过持平投资，即kf＇（k）＞（n＋g＋δ）k，则k上升；反之，如果kf＇（k）＜（n＋g＋δ）k，则k下降。

因此，经济收敛于kf＇（k）＝（n＋g＋δ）k，或者f＇（k）＝（n＋g＋δ）这一点上，此刻经济收敛于平衡增长路径。

罗默高级宏观经济学答案【篇一：罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章无限期界与世代交叠模型)】模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。

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*以成本r租借资本，并且拥有相同的a值。

（a）考虑一位厂商试图以最小成本生产y单位产出的问题。

证明k 的成本最小化水平??????*f??c?c?0?k??＜0csf?k*???n?g???kt?lt?1??1?n?lt唯一地被确定并独立于y，所有厂商??因此选择相同的k值。

（b）证明n个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用n个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。

证明：（a）题目的要求是厂商选择资本k和有效劳动al以最小化成本rk?wal，同时厂商受到生产函数y?alf?k?的约束。

这是一个典型的最优化问题。

min??wal?rks.t.?? y?alf?k?本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数：求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。

很明显，k的选择独立于y。

上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。

（b）因为每个厂商拥有同样的k和a，下面是n个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的a并且选择相同数量的k，k的决定独立于y的选择。

因此，如果单一厂商拥有l的劳动人数，则它也会生产y?alf?k?的产量。

这恰好是n个厂商成本最小化的总产量。

（2.43）设p1与p2表示两个时期的消费价格，w表示个人终生收入值，因此预算约束为pc11?p2c2?w。

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。

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1.1 增长率的基本性质。

利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t Y t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。

（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。

（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果：则得到（c ）的结果。

1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。

（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。

（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。

答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。