数学建模(2)

实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。

二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。

其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。

（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。

中国人口增长预测数学建模引言中国作为世界上人口最多的国家之一，人口增长一直是一个备受关注的问题。

人口数量的增长对于国家的经济、社会、环境等方面都有着重要的影响。

因此，预测中国人口的增长趋势对于未来的发展规划具有重要意义。

本文将介绍一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。

方法数据收集为了进行人口增长预测的数学建模，我们需要收集一系列历史人口数据。

这些数据可以从各种统计年鉴、人口普查、政府发布的数据等渠道获取。

通常，我们需要收集的数据包括中国的总人口数量、出生率、死亡率、迁入率和迁出率等。

建立数学模型基于收集到的数据，我们可以建立一个数学模型来描述中国人口的增长情况。

常用的数学模型包括指数增长模型、Logistic增长模型等。

在本文中，我们以Logistic增长模型为例。

Logistic增长模型基于以下假设： 1. 人口增长率与当前人口数量成正比； 2. 当人口数量接近一定的上限时，人口增长率会逐渐减小。

Logistic增长模型的公式可以表示为：dP/dt = r*P*(1-P/K)其中，P表示人口数量，t表示时间，r表示人口增长率，K表示人口的上限。

参数估计为了应用Logistic增长模型进行人口预测，我们需要估计模型中的参数。

参数估计可以通过拟合历史数据来完成。

常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计等。

模型验证一旦完成参数估计，我们可以使用模型预测未来的人口变化情况。

为了验证模型的准确性，我们可以将预测结果与实际观测数据进行比较。

如果预测结果与实际观测数据较为接近，说明模型具有较好的预测能力。

预测未来人口增长利用建立的数学模型和参数估计，我们可以进行未来人口增长的预测。

通过不同的假设和参数值，我们可以探讨不同因素对人口增长的影响。

例如，我们可以考虑不同的出生率和死亡率情况下的人口增长，或者研究不同人口政策下的人口增长趋势。

结论本文介绍了一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。

数学建模方法总结通过学习数学建模训练，对我的收益不逊于以前所学的文化知识，使我终生难忘。

而且，我觉得数学建模活动本身就是教学方法改革的一种探索，它打破常规的那种老师台上讲，学生听，一味钻研课本的传统模式，而采取提出问题，课堂讨论，带着问题去学习、不固定于基本教材，不拘泥于某种方法，激发学生的多种思维，增强其学习主动性，培养学生独立思考，积极思维的特性，这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识，形成自己的学习机制，逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。

这对于我们以后所从事的教育工作也是一个很好的启发。

总之，“一份耕耘，一份收获”。

作为一名对数学有着浓厚兴趣的学生，我深刻地感到了自己在程序的编制和软件应用以及自学能力，有了很大的提高，并将对我今后的专业学习有很大的帮助。

想到这里，我不由得被老师的良苦用心所感动，为我们创造了如此优越的学习条件，处处为学子着想。

因此，在今后的学习中，我会保持这种学习的劲头，刻苦努力，争取以更优异的成绩。

随着科学技术的飞速发展，人们越来越认识到数学科学的重要性：数学的思考方式具有根本的重要性，数学为组织和构造知识提供了方法，将它用于技术时能使科学家和工程师生产出系统的、能复制的、且可以传播的知识？数学科学对于经济竞争是必不可少的，数学科学是一种关键性的、普遍的、可实行的技术.在当今高科技与计算机技术日新月异且日益普及的社会里，高新技术的发展离不开数学的支持，没有良好的数学素养已无法实现工程技术的创新与突破。

因此，如何在数学教育的过程中培养人们的数学素养，让人们学会用数学的知识与方法去处理实际问题，值得数学工作者的思考。

大学生数学建模活动及全国大学生数学建模竞赛正是在这种形势下开展并发展起来的，其目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，拓宽学生的知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和教学方法的改革.这项极富意义的活动，大学组队参加了全国大学生数学建模竞赛。

高速公路道路交通事故分析预测模型队伍名称：舞动青春作者：队长：陈玉兴110712303测绘113成员：王岳110712324测绘113韦璞琪090718227港口1122012/5/6问题的提出基本情况：随着道路交通事业的发展，高速公路交通事故也在不断增加。

高速公路交通事故往往造成人员伤亡，车辆损毁，道路阻塞等严重后果，为探索高速公路道路交通事故发生的规律，分析现有道路交通条件下未来高速公路交通事故的发展趋势，以便及早采取措施进行预防，减少事故发生次数及损失程度，必须进行高速公路交通事故预测。

为了解决此问题，现利用已收集到的A省的高速公路交通事故数据，建立针对该省具体情况的数学模型，预测该省未来的交通事故情况，需要解决的问题：1、从A省高速公路交通事故四项指标的历史统计数据出发，对该省公路交通事故进行聚类分析研究，一期该省获得该省高速公路交通事故基于四项指标的时间、空间分布规律。

2、根据高速公路交通事故的分布规律，构建高速公路交通事故发生次数、死亡人数、受伤人数、直接经济损失的预测模型。

相关信息五种因素引发交通事故具体如下：一、客观因素道路、气象等原因，也可引起事故发生。

二、车况不佳车辆技术状况不良，尤其是制动系统、转向系统、前桥、后桥有故障，没有及时检查、维修。

三、疏忽大意当事人由于心理或者生理方面的原因，没有正确观察和判断外界事物而造成精力分散、反应迟钝，表现为观望不周、措施不及或者不当。

还有当事人依靠自己的主观想象判断事务或者过高估计自己的技术，过分自信，对前方、左右车辆、行人形态、道路情况等，未判断清楚就盲目通行。

四、操作失误驾驶车辆的人员技术不熟练，经验不足，缺乏安全行车常识，未掌握复杂道路行车的特点，遇有突然情况惊慌失措，发生操作错误。

五、违反规定当事人由于不按交通法规和其他交通安全规定行车或者走路，致使交通事故发生。

如酒后开车、非驾驶人员开车、超速刑事、争道抢行、违章装载、行人不走人行横道等原因造成佛山事故的交通事故。

旅游线路优化设计摘要随着人们生活水平不断提高，越来越多的人会选择在节假日出去旅游。

然在旅游的之前人们往往会想，怎样才能花最少的费用、时间游览更多的地方，怎样设计路线才能在有限的费用、时间内游览更多的地方。

这就需要我们建立高效实用的数学模型来解决这些问题。

针对此，本文研究的是旅游线路优化问题。

首先，本文对旅游线路优化问题转化为纯数学模型。

这是典型的TSP问题，可以用图论中的狄克斯特拉算法。

为了简化问题，我们忽略了等车堵车以及天气等问题；针对第一问，我们将各地转化成图论上的点，将两地之间用线段连接，再对各条线段赋权值，由于这问要求费用最少，故权值定义为两地之间的最少费用然后列出影响旅游费用的时间，在规划出目标函数及约束条件。

搜集相关数据，用lingo软件得出结果。

然后，针对第二题，思路与第一问基本相同，所不同的是需要对两地之间的权值进行另外定义，因为此题要求在费用不限的情况下，求浏览十个景点所需的最少时间，故此题将权值定义为两地旅途过程所花费最少时间。

其次，对于第三题，约束条件有所变化，限制一定的费用，目标是游览跟多的景点数目。

对此我们将在个地所需最少费用列出，找出费用较多的地方，所得结果应尽量避免出现这几个地方，在此基础上我们同样列出目标函数及约束条件，再由lingo软件求解得出。

再次，对于第四题，与问题三类似，只不过约束条件是时间，想尽可能浏览更多地方。

对此我们将在各地的逗留时间以及在旅途上所花费的时间做了比较，得出所花时间较多的一些景点。

最后，对于第五题，它是问题三与四的综合，既要求费用的限制也要时间的限制，为此我们将限制条件增加，建立模型。

关键词：TSP优化问题图论狄克斯特拉算法 lingo随着人们生活水平的提高，旅游逐渐成为最热门的户外活动之一。

旅游可以给人们带来很多好处，在旅游的过程中，我们不仅可以感受大自然之美、放松心情，而且可以领略不同地方的文化气息、拓宽视野。

旅游者在今年十月一日8点之后从安徽芜湖出发，到全国一些著名景点旅游，最后回到芜湖。

关于某合成纤维强度与拉伸倍数线性关的系检验————数学建模(2)第二次作业一、问题重述:某合成纤维的强度y(N/mm2)与其拉伸倍数x有关，现测得试验数据如下表(1):某合成纤维的强度y与其拉伸倍数x试验数据表表（1）1.检验y和x之间是否存在显著的线性相关关系。

2.若存在，求y关于x的线性回归方程：y i=a+b x i。

二、求解过程1.强度yi关于拉伸倍数xi的散点图如下图（1）：图（1）2.样本相关系数计算 (1).计算公式r =nΣxy −ΣxΣynΣx 22nΣy 22(2)计算结果r =12∗382.17−3771.3612∗428.18−64.802∗ 12∗342.86−58.202=0.9859(3)结果分析r >0.8，说明该合成纤维强度y 与拉伸倍数x 成高度线性正相关关系。

2. 回归方程求解 (1).计算公式β1 =n ∑x i y i n i =1− ∑X i n i =1 ∑y i ni =1n x i2ni =1−∑x i n i =12某纤维强度y 关于拉伸倍数x 的散点图拉伸倍数x强度yβ 0=y −β1x (2).计算结果β 1= 12∗382.17−3771.3612∗428.18−64.802=0.8675β0=4.85−0.8675∗5.40=0.1655 (3).回归方程y i =0.1655+0.8675xi (4).回归前后图像对比图（2）回归系数β1=0.8675，表示拉伸倍数每增加一倍，该合成纤维强度增加0.08675。

三、 线性关系检验(1).提出假设123456789101112该纤维强度y 关于拉伸倍数x 的散点图及其线性回归方程拉伸倍数x强度yH0:β1=0线性关系不显著(2).计算检验统计量FF=SSR/1SSE/(n−2)= MSRMSE~F(1，n-2)F =58.89505/11.695902/(12−2)=347.2786(3).显著性水平α=0.05，根据分子自由度1和分母自由度12-2找出临界值Fα=4.965(4).F>Fα，拒绝H0，线性关系显著。