高三数学下册3月联合考试试题2

中学2021届高三下学期3月月考数学试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写上在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．〕1.集合A＝，B＝{2，3，4，5}，那么A B＝_______．【答案】【解析】【分析】先求出集合，再求出集合即可得到答案．【详解】由题意得，∴．故答案为：．【点睛】此题考察集合的并集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题．z满足〔i是虚数单位〕，那么＝_______．【答案】1-i【解析】【分析】根据题意求出复数z，然后可求出．【详解】∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】解答此题的关键是求出复数的代数形式，然后再根据一共轭复数的概念求解，属于根底题．3.根据如下图的伪代码，当输出y的值是﹣1时，那么输入的x的值是_______．【答案】1【解析】【分析】根据图中给出的程序，将问题转化为分段函数的函数值求出自变量的取值即可．【详解】由题意得，当时，有，此方程无解；当时，有，解得．故答案为：1．【点睛】解答此题的关键是读懂程序的功能，然后将问题转化为函数值求自变量取值的问题求解，属于根底题．，，…，的方差为3，假设数据，，…，(a，b R)的方差为12，那么a的值是_______．【答案】【解析】由题意知，，解得.5.在区间(1，3)内任取1个数x，那么满足的概率是_______．【答案】【解析】【分析】解对数不等式求出中的取值范围，再根据长度型的几何概型概率求解即可得到答案．【详解】由得，解得．根据几何概型概率公式可得，所求概率为．故答案为：【点睛】此题考察长度型的几何概型概率的求法，解题的关键是读懂题意，然后根据线段的长度比得到所求的概率，属于根底题．，母线与底面所成角为，那么该圆锥的外表积为_______．【答案】【解析】【分析】设圆锥底面半径，那么母线长，高，那么，求出，，该圆锥的外表积为，由此能求出结果．【详解】解：圆锥的体积为，母线与底面所成角为，如图，设圆锥底面半径，那么母线长，高，，解得，，，该圆锥的外表积为．【点睛】此题考察圆锥的外表积的求法，考察圆锥的性质、体积、外表积等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．(A＞0，＞0，＜)的局部图象如下图，那么＝_______．【答案】【解析】【分析】先求出的值，然后通过代入最值点的方法求出的值；或者根据图象求出，再根据“五点法〞求出的值．【详解】方法1：由图象得，所以，故．又点为函数图象上的最高点，所以，故，又，所以．故答案为：．方法2：由图象得，所以．又由图象得点对应正弦函数图象“五点〞中的“第二点〞，所以，解得．故答案为：．【点睛】函数的图象求参数的方法：可由观察图象得到，进而得到的值．求的值的方法有两种，一是“代点〞法，即通过代入图象中的点的坐标并根据的取值范围求解；另一种方法是“五点法〞，即将作为一个整体，通过观察图象得到对应正弦函数图象中“五点〞中的第几点，然后得到等式求解．考察识图、用图的才能．的前n项和为，假设1≤≤3，3≤≤6，那么的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】先根据求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果．【详解】在等差数列中，，∴，又，∴．由得．∴，即，∴．即的取值范围是．故答案为：．【点睛】此题考察不等式性质的运用，解题的关键是注意灵敏变形、合理运用不等式的性质，属于根底题．9.如图，在△ABC中，AD＝DB，F在线段CD上，设，，，那么的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】由三点一共线以及，可得，利用根本不等式即可求得的最小值.【详解】,由图可知均为正数.又三点一共线，那么，那么.【点睛】〔1〕平面向量中三点一共线：假设,那么三点一共线的充要条件是.〔2〕“1〞的代换是根本不等式中构造的根本方法.为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，那么使不等式成立的最大正整数n的值是_______．【答案】6【解析】【分析】设等比数列{a n}的公比q，由于是正项的递增等比数列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2•a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a1，a5，利用通项公式可得q，a n．利用等比数列的求和公式可得数列{}的前n项和为T n．代入不等式2021|T n﹣1|＞1，化简即可得出．【详解】数列为正项的递增等比数列，，a2•a4=81=a1a5，即解得，那么公比，∴，那么，∴，即，得，此时正整数的最大值为6.故答案为6.【点睛】此题考察了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，假设cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，，那么双曲线的离心率等于_______．【答案】2【解析】【分析】由可得，故得，所以，再根据双曲线的定义得到，．然后在和中运用余弦定理并结合可得的关系，进而可得离心率．【详解】如图，由可得，∴，，由双曲线的定义可得，，∴在中由余弦定理得在中由余弦定理得，∵，∴，整理得，∴，解得或者〔舍去〕．∴双曲线的离心率等于2．故答案为：2．【点睛】此题考察双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的根本量〔〕来表示，然后根据余弦定理建立起间的关系式，再根据离心率的定义求解即可，属于中档题．12.，函数在区间上的最大值是2，那么__________．【答案】3或者【解析】当时，=函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，经检验，a=3满足题意.令，经检验a=5或者a=1都不满足题意.令，经检验不满足题意.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像得函数的最大值是.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，令,所以.综上所述，故填3或者.点睛：此题的难点在于通过函数的图像分析函数的性质. 此题绝对值里面是一个闭区间上的二次函数，要求它的最大值，所以要先画出二次函数的图像，再结合二次函数的图像分析出最大值的可能情况.13.在边长为8的正方形ABCD中，M是BC的中点，N是AD边上的一点，且DN＝3NA，假设对于常数m，在正方形ABCD的边上恰有6个不同的点P，使，那么实数m的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，按照点P在线段上进展逐段分析的取值范围及对应的解，然后取各个范围的交集即可得答案．【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如下图，那么．〔1〕当点P在AB上时，设，∴，∴，∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．〔2〕当点P在AD上时，设．∴，∴，∵，∴．∴当或者时有一解，当时有两解．〔3〕假设P在DC上，设，∴，∴，∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．〔4〕当点P在BC上时，设．∴，∴，∵，∴．∴当或者时有一解，当时有两解．综上，在正方形的四条边上有且只有6个不同的点P，使得成立，那么m 的取值范围是．故答案为：．【点睛】解答此题的关键有两个：一是正确理解题意，将问题转化为判断方程根的个数的问题求解；二是利用数形结合的思想进展求解，通过建立坐标系，将问题转化为函数的知识求解．难度较大．有两个不同的极值点，，假设不等式恒成立，那么实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围．【详解】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，那么，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．【点睛】此题考察导数在研究函数中的应用，表达了导数的工具性，解题的关键是得到的表达式．解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数值域的端点值来代替，属于根底题．二、解答题〔本大题一一共6小题，一共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内答题，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．〕.〔1〕求函数图象的对称中心；〔2〕在中，假设为锐角三角形且，求的取值范围.【答案】(1) ,(2)〔，2〕.【解析】试题分析：〔1〕先由两角和差公式化一 ,(2) 由得到角A，，最终得到要求结果.(1)解得，故对称中心为〔，1〕〔2〕由解得所以，又为锐角三角形，故所以的取值范围是〔，2〕.16.如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．〔1〕求证：AM∥平面PBC；〔2〕求证：BD⊥平面PBC．【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕取的中点，连，，可证得四边形为平行四边形，于是，然后根据线面平行的断定定理可得结论成立．〔2〕在等腰中梯形中，取的中点，连，，证得四边形为菱形，进而得．同理四边形为菱形，可得．再由平面平面得到平面，于是得，最后根据线面垂直的断定可得平面．【详解】证明：〔1〕如图，取的中点，连，，∵为的中点，为的中点，∴，．又，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面〔2〕如图，在等腰中梯形中，取的中点，连，．∵，，∴，，∴四边形为平行四边形．又，∴四边形为菱形，∴．同理，四边形为菱形，∴．∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴．∵，，∴平面．【点睛】此题考察线面关系的证明，解题的关键是根据所证的结论并结合三种平行〔垂直〕间的关系进展合理转化，以得到证题所需的条件，考察转化才能的运用和对根本断定方法、性质的掌握程度，属于根底题．17.如图，某人工景观湖外围有两条互相垂直的直线型公路l l，l2，且l l和l2交于点O．为了方便游客游览，方案修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB．景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O，半径为2百米的圆，且公路AB与圆O相切，圆心O到l l，l2的间隔均为5百米，设OAB＝，AB长为L百米．〔1〕求L关于的函数解析式；〔2〕当为何值时，公路AB的长度最短？【答案】〔1〕，.〔2〕当时，公路的长度最短【解析】【分析】〔1〕建立平面直角坐标系，得到直线方程为，然后根据直线与圆相切，得，再根据题意得到，于是，即为所求．〔2〕利用换元法求解，令，那么，且，于是，然后结合导数求解可得所求最值．【详解】〔1〕以点为坐标原点建立如下图的平面直角坐标系，那么．在直角中，，，所以直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以，因为点在直线的上方，所以，解得．因此L关于的函数解析式为，．〔2〕令，那么，且，所以，因为，所以在上单调递减，所以当，即时，获得最小值，且．故当时，公路的长度最短．【点睛】解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题，然后再结合直线和圆的位置关系得到所求解析式．对于最值的求法，可结合解析式的特点利用导数作为工具求解，其中令，得，将变量化一，为题目的求解提供了便利．考察应用意识和转化才能，属于根底题．18.过椭圆W：的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0，1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点〔不与A，B重合〕，且D点不与点0，﹣1重合．过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．〔1〕求B点坐标和直线l1的方程；〔2〕比拟线段EF1和线段GF1的长度关系并给出证明．【答案】〔1〕，〔2〕【解析】【分析】〔1〕由题意得椭圆的左焦点，根据两点式可得直线的方程，然后通过解方程组可得点坐标．〔2〕当与轴垂直时易得．当不与轴垂直时，设的方程为，与椭圆方程联立消元后可得，，求出直线的方程后可得点的纵坐标和点G的纵坐标，计算可得，于是．【详解】〔1〕由题意可得椭圆的左焦点，所以直线的方程为，即．由，解得或者，所以点．〔2〕①当与轴垂直时，，两点与，两点重合，由椭圆的对称性，．②当不与轴垂直时，设的方程为，由消去整理得，显然．设，，那么，．由得，所以直线的方程为，令，得点的纵坐标，把代入上式得．由得，所以直线BC的方程为，令，得点G的纵坐标．把代入上式得．所以，又，即，即．【点睛】解答此题时注意两点：一是在解答〔2〕时可先根据直线与轴垂直的情况得到特殊位置的结果，然后再推广到一般求解．解题时还要注意转化思想方法的运用，即把判断线段长度的大小关系转化为判断线段两端点的纵坐标的关系处理．二是由于解题时涉及到大量的计算，所以要注意“设而不求〞、“整体代换〞等方法的运用．．〔Ⅰ〕当时，求证：；〔Ⅱ〕假如恒成立，务实数的最小值．【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕1.【解析】【分析】〔Ⅰ〕求得，利用导数证明在区间上单调递增，从而可得；〔Ⅱ〕讨论三种情况：当时，由〔Ⅰ〕知符合题意；当时，因为，先证明在区间上单调递增，可得符合题意；当时，存在唯一使得，任意时，，不合题意，综合即可得结果.【详解】〔Ⅰ〕因为，所以 .当时，恒成立，所以在区间上单调递增，所以.〔Ⅱ〕因为，所以.①当时，由〔Ⅰ〕知，对恒成立；②当时，因为，所以.因此在区间上单调递增，所以对恒成立；③当时，令，那么，因为，所以恒成立，因此在区间上单调递增，且，所以存在唯一使得，即.所以任意时，，所以在上单调递减.所以，不合题意.综上可知，的最小值为1.【点睛】此题主要考察利用导数研究不等式恒成立问题与不等式的证明问题，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比拟简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者者进一步利用导数证明.、满足：≥，且对一切k≥2，k，是与的等差中项，是与的等比中项．〔1〕假设，，求，的值；〔2〕求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；〔3〕记，当n≥2(n)时，指出与的大小关系并说明理由．【答案】〔1〕，.〔2〕见解析〔3〕【解析】【分析】〔1〕由题意得，解方程组可得所求．〔2〕证明结论“当为常数数列时，是公差为零的等差数列〞和“是等差数列时为常数数列〞同时成立即可．〔3〕由题意证得，进而得到，故得，然后通过数列求和可得结论成立．【详解】〔1〕由条件得，即，解得或者，又≥，所以．〔2〕〔充分性〕：当为常数数列时，是公差为零的等差数列,即充分性成立．〔必要性〕：因为，又当为等差数列时，对任意恒成立．所以，因为，所以，即，从而对恒成立，所以为常数列．综上可得是等差数列的充要条件是为常数数列．〔3〕因为任意，，又，所以．从而，即，那么，所以．【点睛】〔1〕证明充要条件时要分清充分性和必要性，然后结合推理进展证明即可．〔2〕此题难度较大，解题时要注意数列知识的综合运用，合理运用定义及求和的方法等知识求解，同时还要注意不等式的运用．附加题21.设二阶矩阵A，B满足，，求．【答案】【解析】【分析】设，然后根据得到关于参数的方程组，解方程组可得所求矩阵．【详解】设，因为，所以，即解得所以．【点睛】此题考察矩阵的计算，解题的关键是利用待定系数法和矩阵的乘法进展求解，属于根底题．xOy中，射线l：(x≥0)，曲线C1的参数方程为〔为参数〕，曲线C2的方程为；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．〔1〕写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；〔2〕射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求的值．【答案】〔1〕，〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据直线极坐标方程的形式可得射线，消去曲线参数方程中的参数可得普通方程；〔2〕将圆的普通方程化为极坐标方程，设点对应的极径分别为，然后根据求解可得所求．【详解】〔1〕依题意，因为射线，故射线消去方程中的参数可得，所以曲线的普通方程为：．〔2〕曲线的方程为，即，把代入上式可得曲线的极坐标方程为，设点对应的极径分别为，那么．【点睛】此题考察参数方程和极坐标方程，解题的关键是根据各种方程间的关系进展求解，同时还要注意在极坐标方程中用极径求弦长的方法，属于根底题．23.为迎接2022年冬奥会，组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训完毕以后对学生进展了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了理解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图．〔1〕从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；〔2〕从图中考核成绩满足X[70，79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足≤10的人数，求Y的分布列和数学期望．【答案】〔1〕〔2〕，分布列见解析【解析】【分析】〔1〕根据茎叶图得到成绩优秀的人数，然后根据古典概型概率公式求解即可．〔2〕根据题意先得到的所有可能取值，然后分别求出对应的概率，进而可得分布列和期望．【详解】〔1〕设该名学生考核成绩优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知在30名同学的成绩中，优秀的为：85,89,90,90,91,92,93，一共有7名同学，所以，所以可估计这名学生考核优秀的概率为．〔2〕由题意可得的所有可能取值为，因为成绩的学生一共有8人，其中满足的学生有人，所以，，，．所以随机变量的分布列为所以，即数学期望为．【点睛】解答此题的关键是从茎叶图中得到所需的有关数据，然后再根据概率的相关知识求解即可，属于根底题．24.．〔1〕求的值；〔2〕求的值．【答案】〔1〕1〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据赋值法求解，分别令和，再根据所得两式的特点求解．〔2〕由二项式展开式的通项公式可得，进而得，于是，进而得，然后求和可得所求结果．【详解】〔1〕令得令得所以〔2〕证明：由二项式展开式的通项公式可得，所以，所以，因此．故．【点睛】〔1〕求二巷展开式中的系数和时，常用的方法是赋值法，然后再结合所求值的式子的特点进展求解即可．〔2〕解答第二问的关键一是要注意组合数的运算，另一是求解时要根据式子的特点采用并项的方法进展求和．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

浙江省衢州第二中学2024届高三下学期3月月考数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设命题:p 函数()x xf x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝2．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知ABC △的面积是12,1AB =,BC =,则AC =（ ）A ．5B 1C ．5或1D5．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B C D ．147．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21B ．22C ．11D ．128．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B 等于（ ）A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<<D ．{}25x x -<<10．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．222+ 11．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．32y x =±B ．233y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±12．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省百校大联考2024学年高三下学期第三次月考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A ．2B ．14C ．116或2 D ．14或4 2．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-3．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．224．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．25．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<9．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x = B ．6y x = C ．(32=±y x D ．)31=±y x11．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<12．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省名校联盟2024年高考模拟卷（调研卷）数学（一）（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,1,1,3a b ==- ，则()()3a b a b +⋅-=（）A.-24B.-23C.-22D.-212.若函数()223x axf x -+=在区间()1,4内单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],4∞- B.[]4,16 C.()16,∞+ D.[)16,∞+3.第19届亚运会于2023年9月至10月在杭州举行，来自浙江某大学的4名男生和3名女生通过了志愿者的选拔，若从这7名大学生中选出2人或3人去某场馆担任英语翻译，并且至少要选中1名女生，则不同的挑选方案共有（）A.15种B.31种C.46种D.60种4.下图是2022年5月一2023年5月共13个月我国纯电动汽车月度销量及增长情况统计图（单位：万辆），则下列说法错误的是（）（注：同比：和上一年同期相比）A.2023年前5个月我国纯电动汽车的销量超过214万辆B.这13个月我国纯电动汽车月度销量的中位数为61.5万辆C.这13个月我国纯电动汽车月度销量的众数为52.2万辆D.和上一年同期相比，我国纯电动汽车月度销量有增有减5.已知F 为椭圆222:1(0)x C y a a +=>的右焦点，过原点的直线与C 相交于,A B 两点，且AF x ⊥轴，若35BF AF =，则C 的长轴长为（）A.3B.3C. D.36.过圆22:(1)1C x y ++=上的,A B 两点分别作圆C的切线，若两切线的交点M 恰好在直线:20l x y +-=上，则MC AB ⋅的最小值为（）A.2B.3C.7.已知数列{}n a 满足112nn aa n ++=+，则“数列{}n a 是等差数列”的充要条件可以是（）A.21a = B.252a =C.22a = D.23a =8.已知,αβ满足πππ2π,44αβ- ，且553π32cos 5,962sin252ααββ⎛⎫-+=+=- ⎪⎝⎭，则24πsin 994αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（）A.2B.2C.4D.4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知z 满足()5i1i 2iz z -=+-，则（）A.4i z =-+B.复平面内z对应的点在第一象限C.17zz =D.z 的实部与虚部之积为-410.已知函数()π2cos 2(0)6f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在区间[]0,π上有且仅有一个零点，则ω的值可以为（）A.23B.56C.1112 D.131211.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图①所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图是如图②所示的五面体EFBCDA ，在图②中，四边形ABCD 为矩形，EF∥AB ，33,2,AB EF AD ADE === 与BCF 是全等的等边三角形，则（）A.五面体EFBCDA 的体积为3B.五面体EFBCDA 的表面积为6+C.AE 与平面ABCD 所成角为45D.当五面体EFBCDA 的各顶点都在球O 的球面上时，球O 的表面积为27π2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{,{2}M xy N x x ===∈>-N ∣∣，则M =__________，M N ⋂=__________.13.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,36π，侧面积为64π，则该圆台的高为__________.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点1F 作斜率为a b 的直线与C 的右支交于点P ，且点M 满足22212F M F P F F =+ ，且21F M FP ⊥，则C 的离心率是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()()22ln 21(0)f x x a x ax a =--->.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线l 的方程；（2）讨论()f x 的极值.16.（15分）如图，在三棱柱111ABC ABC -中，1AA ⊥平面1,,2,4,ABC AB AC AB AC AA D ⊥===是线段1BB 上的一个动点，,E F 分别是线段,BC AC 的中点，记平面DEF 与平面111ABC 的交线为l .（1）求证：EF ∥l ；（2）当二面角D EF C --的大小为120 时，求BD .17.（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了,A B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.（1）该校学生甲､乙､丙三人某周均从,A B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为112,,233，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；（2）该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为12.若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为14；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为23.求丁周日选择B 健身中心健身的概率；（3）现用健身指数[]()0,10k k ∈来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n .若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值.参考数据：2930310.980.557,0.980.545,0.980.535≈≈≈.18.（17分）已知平面上一动点P 到定点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比到定直线2023x =-的距离小40452，记动点P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）点()2,1,,AM N 为C 上的两个动点，若,,M N B 恰好为平行四边形MANB 的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形MANB 的面积为S ，求证：869S .19.（17分）给定正整数2n ，设集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k Mt t t t k n αα==∈= ∣.对于集合M 中的任意元素()12,,,n x x x β= 和()12,,,n y y y γ= ，记1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ .设A M ⊆，且集合(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣，对于A 中任意元素,i j αα，若,,1,,i j p i j a a i j =⎧⋅=⎨≠⎩，则称A 具有性质(),T n p .（1）若集合A 具有性质()2,1T ，试写出A 的表达式；（2）判断集合()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =是否具有性质()3,2T ？若具有，求3,1iji j a a =⋅∑的值；若不具有，请说明理由；（3）是否存在具有性质()4,Tp 的集合A ？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由.数学（一）一､选择题1.B 【解析】()()32,13,9(1a b +=+-=- ，10），()3,2a b -=-，所以(3)()a b a b +⋅- ()()1,103,223=-⋅-=-.故选B 项.2.A 【解析】因为()223xaxf x -+=在区间(1,4)内单调递减，所以函数22y x ax =-+在区间()1,4内单调递减，所以14a，解得a 4.故选A 项.3.C 【解析】至少要选中一名女生的对立事件是选中的全为男生，故所求挑选方案的种数为22337474C C C C 46-+-=.故选C项.4.B 【解析】2023年前5个月我国纯电动汽车的销量为28.737.64947.152.2214.6++++=万辆214>万辆，A 项正确；将这13个月纯电动汽车的月度销量由小到大依次排列为28.7,34.7,37.6,45.7,47.1，47.6,49,52.2,52.2,53.9,54.1,61.5,62.4，则中位数为其中第7个数据，即49万辆，B 项错误；这些数据中只有52.2出现2次，其他数据均只出现1次，故众数为52.2万辆，C 项正确；2023年1月的同比增长率为负数，故和上一年同期相比，我国纯电动汽车月度销量有增有减，D 项正确.故选B 项.5.B 【解析】设(),0Fc ，如图，记F '为C 的左焦点，连接AF '，则由椭圆的对称性可知AF BF '=，由35BF AF =，设3,5AF m BF m ==，则5AF m '=.又AF x ⊥轴，所以42FF m c =='=，即2c m =，所以22282,14,AF AF m a a c m ⎧+===='⎨-⎩解得,3,6a m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以C的长轴长为23a =.故选B 项.6.D【解析】因为圆C 的方程为22(1)1x y ++=，所以圆心()1,0C -，半径1r =.因为,MA MB 是圆C的两条切线，所以,MA AC MB BC ⊥⊥，由圆的知识可知,,,A M B C 四点共圆，且,AB MC MA MB ⊥=，所以14422MAC MC AB S MA AC MA ⋅==⨯⨯⨯= ，又MA =，所以当MC 最小，即MC l ⊥时，MC AB ⋅取得最小值，此时2MC ==，所以minmin ()2||MC AB MA ⋅===.故选D 项.7.B 【解析】由112n n a a n ++=+，得122n n a a n ++=+①，当2n 时，12n n a a n -+=②，由①-②得112n n a a +--=，即{}n a 的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，所以()()22221112122,2122k k a a k k a a a k k a -=+-=+-=+-=+-，若{}n a 为等差数列，则其公差显然为1，即211a a -=.又12224a a +=⨯=，所以1235,22a a ==，此时221112,222k k a k a k -=+=-，即12n a n =+，所以{}n a 为等差数列，即“数列{}n a 是等差数列”的充要条件可以是252a =.故选B 项.8.D 【解析】因为5962sin25ββ+=-，所以()53(2)2sin 250ββ-+--=，由53π32cos 52αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得53π3π32sin 5022αα⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2β-和3π2α-是方程532sin 50x x +-=的两个实数根.因为[]πππ,2π,,44αβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，所以3π2α-和2β-的取值范围都是ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，因为函数53,2sin y x y x ==在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上均单调递增，所以函数532sin y x x =+在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故方程532sin 50x x +-=在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只有一个根，所以3π22αβ-=-，所以3π22αβ+=，所以24π993αβ+=，所以24πππππππ62sin sin sin cos cos sin 9943434344αβ⎛⎫⎛⎫+-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D 项.二､选择题9.ACD【解析】设()i,z x y x y =+∈R ，则由已知得()()()5i 2ii 1i i 5x y x y +--=++，即()()i 12i x y x y x y --+=-++，所以1,2,x y x x y y -=-⎧⎨--=+⎩解得4,1,x y =-⎧⎨=⎩所以4i z =-+，则4i z =--，故A 项正确，B 项错误；()()4i 4i 17,zz z =-+--=的实部为-4，虚部为1，所以z 的实部与虚部之积为-4，故C ，D 项正确.故选ACD 项.10.BC【解析】因为0πx ，所以ππππ666x ωω++ .因为()f x 在区间[]0,π上有且仅有一个零点，所以πcos 16x ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有一个实数根，所以πππ3π6ω+< ，解得51766ω< .因为ππ63x - ，所以πππππ66636x ωωω-+++ ，因为()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以πππ36ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，即2ω ，且根据余弦函数的单调性可知ππ066ω⎰-+ ，解得01ω< .综上，ω的取πππ36ω+ ，值范围是5,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选BC 项.11.ACD 【解析】如图①，可将该五面体分割成四棱锥E AGJD -，直三棱柱EGJ FHI -，四棱锥F HBCI -三部分，由对称性可知四棱锥E AGJD -与四棱锥F HBCI -的体积相等，易求得EG EGJ==的边GJ 上的高h ==EFBCDA 的体积1111221221,A 32323VAG GJ h GJ h GH =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯=项正确.五面体EFBCDA 的表面积()22112sin602223(1222S AD AD AB EF AB EG =⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⨯+⨯++ 3）6=+，B 项错误.设AE 与平面ABCD 所成角为θ，则sin 2h AE θ==，又θ为锐角，所以45θ= ，C 项正确.如图②，连接,AC BD 交于点1O ，因为四边形ABCD 为矩形，所以1O 为矩形ABCD 外接圆的圆心，连接1O O ，则1OO ⊥平面ABCD ，分别取,,EF AD BC 的中点,,M P Q ，根据几何体EFBCDA 的对称性可知，直线1O O 交EF 于点M .连接P Q ，则P Q ∥AB ，且1O 为P Q 的中点，因为EF ∥AB ，所以P Q∥EF ，连接,E P F Q ，在ADE 与BCF中，易知EP FQ ===，梯形EFQP 为等腰梯形，所以1M O PQ ⊥，且1MO =.设1O O m =，球O 的半径为R ，连接,O E O A ，当点O 在线段1OM 上时，由球的性质可知222R OE OA ==，易得12O A ==，则2222113)22m m ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时无解；当点O 在线段1M O的延长线上时，由球的性质可知2222131)22m m ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4m =.所以22278R OE ==，所以球O 的表面积227π4π2S R ==，D 项正确.故选ACD 项.三､填空题12.{}120,1,22x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】由题意得{}21232022M xx x x x ⎧⎫=-++=-⎨⎬⎩⎭∣ ，所以{}0,1,2M N ⋂=.13.【解析】由题意得圆台的上､下底面的半径分别为2，6，设圆台的母线长为l ，高为h ，则该圆台的侧面积()π2664πS l =⨯+⨯=侧，解得8l =，所以h ==14.53【解析】如图，直线1FP 的斜率为ab.由22212F M F P F F =+ ，得点M 为1PF 的中点，又21F M FP ⊥ ，所以2F M 是线段1FP 的垂直平分线，所以2122PF FF c ==，过点O 作1O N PF ⊥于点N ，由已知得1tan aNF O b∠=，所以1cos b NF O c ∠==，所以111sin cos tan b a aNF O NF O NF O c b c∠∠∠=⋅=⋅=，所以11sin ON a NF O OF c ∠==，即ON a =，所以1NF b ==，又ON ∥2M F ，所以121ONF F M F ∽，所以1122MF NF b ==，所以14PF b =，由双曲线的定义可得12422PF PF b c a -=-=，即2b c a =+，所以224()b c a =+，可得()2224()c a c a -=+，整理得223250c ac a --=，即23250e e --=，解得53e =或1e =-（舍去），又题中直线与C 的右支有交点，所以b a a b >，即22b a >，所以222c a a ->，即222c a >，所以222c a>，即e >所以C 的离心率为53.四､解答题15.解：（1）当1a =时，()22ln f x x x =-，所以()22ln24f =-，因为()22f x x x=-'，所以()2143f =-=-'，所以l 的方程为()2ln243(y x --=--2），即32ln 220x y +--=.（2）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()2112212x ax f x a ax x x'+-=---=-.因为0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭内单调递减，所以当1x a =时，()f x 取得极大值为1112ln 2f a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，无极小值.16.（1）证明：因为,E F 分别是线段,BC AC 的中点，所以EF∥AB .在三棱柱111ABC ABC -中，四边形11A ABB 为平行四边形，所以11AB ∥AB ，则EF ∥11AB ，因为EF ⊄平面11111,ABC AB ⊂平面111ABC ，所以EF ∥平面111ABC .因为EF ⊂平面DEF ，平面DEF ⋂平面111ABC l =，所以EF ∥l .（2）解：解法一：在直三棱柱111ABC ABC -中，1AA ⊥平面ABC ，所以11,A A A B A A AC ⊥⊥，又AC AB ⊥，所以1,,AB AC AA 两两垂直.以A 为坐标原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设,04BD t t =< ，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,),(1,1,0),(0,1,0)A B C D t E F 所以()()1,0,0,2,1,EF DF t =-=-- .设平面DEF 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n EF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,x x y tz -=⎧⎨-+-=⎩令1z =，得()0,,1n t = .平面CEF 的一个法向量为1(0,0AA = ，4），则111cos1202n AA n AA ⋅===⋅ ，解得t =或t =（舍去）.综上，当二面角D EF C --的大小为120 时，BD .解法二：作DG ∥AB ，交1AA 于点G ，连接GF .因为AB ∥EF ，所以DG ∥EF ，所以,,,D G F E 四点共面，所以平面DEF ⋂平面11ACC A GF =.因为11,,AB AC AB AA AA AC A ⊥⊥⋂=，所以AB ⊥平面11ACC A ，所以EF ⊥平面11ACC A ，所以,EF FC EF FG ⊥⊥，所以GFC ∠为二面角D EF C --的平面角.若120GFC ∠= ，则在Rt AGF 中，60GFA ∠= ，又1AF =，所以AG =又BD AG =，所以BD .17.解：（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率12P =⨯1211211271111113323323318⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）记事件C ：丁周六选择A 健身中心，事件D ：丁周日选择B 健身中心，则11321()(),()1,()124433P C P C P D C P D C ===-==-=∣∣由全概率公式得131113()()()()(242324P D P C P D C P C P D C =+=⨯+⨯=∣∣.故丁周日选择B 健身中心健身的概率为1324.（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为p ，则0.02p =，设抽取次数为X ，则X 的分布列为X123 1n -n Pp ()1p p -2(1)p p - 2(1)n p p --1(1)n p --故()()()2212(1)3(1)1(1n EX p p p p p p p n -=+-⨯+-⨯++-⨯-+- p ）1n n -⨯，又()()()()23111(1)2(1)3(1)1(1)n n p E X p p p p p p p p n p n --=-+-⨯+-⨯++-⨯-+-⨯ ，两式相减得()()2211(1)(1)(1)n n pE X p p p p p p p p p --=+-+-++-+- ，所以()()()2211(1)1(1)10.9811(1)(1)(1)110.02n n nn n p p E X p p p p p p -------=+-+-++-+-===-- ，而()10.980.02n E X -=在*n ∈N 时单调递增，结合2930310.980.557,0.980.545,0.98≈≈≈0.535，可知当29n =时，()22.15EX ≈；当30n =时，()22.75E X ≈；当31n =时，()E X ≈23.25.若抽取次数的期望值不超过23，则n 的最大值为30.18.（1）解：解法一：设(),Px y ，易知2023x >-，404520232x =+-，化简得22y x =，所以C 的方程为22y x =.解法二：因为点P 到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到定直线2023x =-的距离小40452，所以点P 到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到定直线12x =-的距离相等，由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以定点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点，定直线12x =-为准线的抛物线，所以C 的方程为22y x =.（2）证明：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的斜率为()0k k ≠，线段MN 的中点为Q ，因为平行四边形MANB 对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，所以线段MN 的中点Q 在直线y x =上，设()(),0Q m m m ≠，所以2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩所以()()()1212122y y y y x x -+=-，又1212122,,y y y y m k x x -+==-所以1km =，即1k m=.设直线MN 的方程为()1y m x m m -=-，即20x m y m m -+-=，联立220,2,x my m m y x ⎧-+-=⎨=⎩整理得222220y m y m m -+-=，所以2Δ840m m =->，解得02m <<，212122,22y y m y y m m +==-，则12MN y y =-=.=又点A 到直线MN的距离为d =，所以2AMN S S MN d ==⋅==.()222m m -+，记t 因为02m <<，所以(]0,1t ∈，所以()(]232224,0,1S t tt t t =-=-+∈.令()(]324,0,1f t t t t =-+∈，则()264f t t =-+'，令()0f t '=，可得3t =，当3t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()0,f t f t '>在区间(0，3⎫⎪⎪⎭内单调递增，当,13t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()f t '<()0,f t 在区间,13⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，所以当3t =，即13m =±时，()f t 取得最大值，即max 39S f ⎫==⎪⎪⎝⎭，所以9S .19.解：（1）由题意可知()2,1T表示集合A 有2个元素，且1,p =所以()(){}1,0,0,1A =.（2）对于{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =，则()()1,1,01,1,01102⋅=++=，同理(1,0,1)(1,0,1)(0,1,1)(0,1,1)2⋅=⋅=，而()()1,1,01,0,11001⋅=++=，同理(1,1,0)(0,1,1)(1,0,1)(0,1,1)1⋅=⋅=，所以A 具有性质()3,2T .且3,12221119i j i j a a =∑⋅=+++++=.（3）假设存在集合A 具有性质()4,T p ，易知集合A 中有4个元素且{0,1,2,3,4}p ∈.①若0p =，则(){}0,0,0,0A =，不符合4个元素，舍去；②若1p =，则()(){1,0,0,0,0,1,0,0A ⊆，()()0,0,1,0,0,0,0,1}，又()()1,0,0,00,1,0,00⋅=，所以不满足，舍去；③若2p =，则{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}A ⊆，又()()()1,1,0,00,0,1,11,0,1,0⋅=⋅()()()0,1,0,11,0,0,10,1,1,00=⋅=，所以这3组每组至多只能有一个包含于A ，所以A 至多只有3个元素，矛盾，舍去；④若3p =，则()(){1,1,1,0,1,1,0,1A ⊆，()()1,0,1,1,0,1,1,1}，又()()1,1,1,01,1,0,12⋅=，所以不满足，舍去；⑤若4p =，则(){}1,1,1,1A =，只有一个元素，舍去.。

胁『NU 倒叫I、哥哥、赴平主员因柑旧部运己狲2022-2023学年2023届高王下学期3月质量检测考试数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟．2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号统写在答题卡土，并将条形码粘贴在�延卡土的指定位置．3.回答选择题时，逃出每小题答案后，用铅笔犯�题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮综干净后，再选涂其他答案标号。

回答非这捺题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷土元效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．－、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题绘出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的－1.已知全集U=R，集合A={x I x2 -3x<4} ,B= {xi !xi注2｝，则＜CuB>UA=A. (-2,4)B. (-4,2)C.(-2,2)D.(-4,4)2.已知复数Z1,zz满足I z1 I =3,z2 =2+i，则l z1 • z2 I=A. 3,/3B.2,/6C. 3,,/5D.63.已知抛物线C,x2=2户y(p＞们的焦点为F，准线为i，点P(x0,l)(x。

＞O）在抛物线C上，过P作t的垂线，垂足为Q，若IPOI=IPQI <O为坐标原点〉，则xo=A.2、/2 c.3./2B. 3 D.44.已知向盘a=(1,./2) ,b= (cos 0,sin 0) （其中8廷（0,2π忡，若a• b= I a I，则tan O=A.,/3./3c.τ D.,/6B.,/25.2023年考研成绩公布不久，对某校“软件工程”专业4盟主l组距参考的200名考生的成绩进行统计，可以得到如i到所｜0.021示的频率分布直方图，其中分组的区间为［340,360), 0.0125t[360,380),[380,400),[400,420］，同一组中的数据＿＿o:Q!I·－…． ． ．...... ,c ·------.............•用该组区间的中间值作代表值，则下列说法中不正确的是。

【新结构】湖北省高中名校联盟(圆创)2024届高三3月联合测评数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数，则()A.0B.2C.2iD.2.已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为()A.6B.3C.2D.03.画n条直线，将圆的内部区域最多分割成()A.部分B.部分C.部分D.部分4.某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：星期一二三四五六日时长分钟6015030601090120则()A.运动时长的第30百分位数是30B.运动时长的平均数为60C.运动时长的极差为120D.运动时长的众数为605.已知数列中，，，，则下列说法不正确的是()A. B.C.是等比数列D.6.若，则()A.88B.87C.86D.857.已知函数，，若有两个零点，则()A. B.C. D.8.以min M表示数集M中的最小值，已知不全为0的实数x，y，二元函数，则的最大值为()A.0B.C.1D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数为函数的一个极值点，则()A. B.C. D.10.已知抛物线，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设AB的中点为M，分别过A，B两点作抛物线的切线，相交于点P，则()A.点P必在抛物线的准线上B.C.面积的最小值为D.过M作直线PF的平行线交y轴于点N，则11.已知函数，则()A.当时，方程无解B.当时，存在实数k使得函数有两个零点C.若恒成立，则D.若方程有3个不等的实数解，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知数列中，，，，则的前n项和__________.13.已知直线与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，若，则实数__________.14.所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，且下底面边长为4，上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为2，则该拟柱体的体积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。

2023届湖北省七市(州)高三下学期3月联合统一调研测试数学试卷(word版)一、单选题(★) 1. 已知集合，，则的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4(★★) 2. 若，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（）A．B．60C．120D．240(★★) 4. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知，则的值为（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A．16B．12C．8D．4(★★★★) 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 下列命题中正确的是（）A．若样本数据，，，的样本方差为3，则数据，，，的方差为7 B．经验回归方程为时，变量x和y负相关C．对于随机事件A与B，，，若，则事件A与B相互独立D．若，则取最大值时(★★★) 10. 已知函数的部分图象如图所示，，则（）A．函数在上单调递减B．函数在上的值域为C．D．曲线在处的切线斜率为(★★★) 11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，点P为线段上的动点，则（）A．两条异面直线和所成的角为B．存在点P，使得平面C．对任意点P，平面平面D．点到直线的距离为4(★★★) 12. 已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（）A．若直线l与圆M相切，则B．当时，四边形的面积为C．直线经过一定点D．已知点，则为定值三、填空题(★) 13. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为 __________ ．(★★★)14. 现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球．第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为__________ ．(★★★) 15. 函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为 __________ ．(★★★) 16. 已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，则 __________ ．四、解答题(★★★) 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求B；(2)设，若点M是边上一点，，且，求的面积．(★★★) 18. 设数列的前n项和为．已知，，．(1)求证：数列是等差数列；(2)设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．(★★★) 19. 某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值．附：若随机变量X服从正态分布，则：，，．(★★★) 20. 如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，．(1)当时，求三棱柱的体积；(2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．(★★★★) 21. 已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l 交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．(1)求证：点R为线段的中点；(2)记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．(★★★★★) 22. 已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若有3个零点，，，其中．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．。

一、单选题1. 在某次电学物理实验中，经过电流计等相关仪器的测量近似得到：电流I （mA ）随时间t （m/s ）的变化关系为，其中，T 称为电路的时间常数．若在微型秒表的记录下该电路电流从减少到的时间间隔为6（m/s ），则该电路的时间常数约为（）参考数据：，结果精确到1m/sA ．10m/sB ．15m/sC ．20m/sD ．30m/s2. 已知向量，，则（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53. 复数满足，则( )A．B．C．D．4. 设数列的前项和为，若，且，，则（ ）A．B．C．D．5.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 给出命题：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；（2）设是不同的直线，是一个平面，若，，则；（3）已知表示两个不同平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的充要条件；（4）是两条异面直线，为空间一点, 过总可以作一个平面与之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是（ ）A．B．C．D．7. 已知函数，下列结论正确的是（ ）A．的图象是中心对称图形B．在区间上单调递增C．若方程有三个解，，则D．若方程有四个解，则8. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为质数两次的点数之差为偶数，则等于（ ）A．B．C．D．9. 下列关于点、直线、平面的说法，正确的是（ ）A ．若两平面有三个公共点，则它们一定重合B ．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内C．分别为不同的直线和平面，若，，若，则D．分别为不同的直线和平面，若，，若，则10.已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是，则抛物线的准线方程为（ ）山东省新高考联合质量测评2023届高三下学期3月联考数学试题二、多选题A．B．C．D．11. 若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）A．B．C．D．12. 如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（）A．B．C．D．13. 设、，则“且”是“”的条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要14. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，且为线段上的动点（不含端点），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，15. 已知是纯虚数，是实数，那么（ ）A．B ．C．D．16. 已知双曲线经过抛物线的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线的离心率是A ．2B．C．D．17. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为，，则（ ）A．B ．以AB 为直径的圆与直线相切C．的最小值D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上18. 已知函数，则（）A．曲线的对称轴为B ．在区间上单调递增C．的最大值为D．在区间上的所有零点之和为19. 已知函数，.若存在，使得对任意，，则（）A．任意B．任意C．存在，使得在上有且仅有2个零点D ．存在，使得在上单调递减20. 已知函数，下列说法正确的是（）A．在上单调递增B．存在唯一的零点，且C．过原点可作曲线的两条切线D．若有两个不等实根，则21. 已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有（）A．是周期为的周期函数B．当时，C．若在上单调递减，则D．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是22. 如图，在正方体中，E，F，G分别为AB，BC，的中点，则下列说法中正确的是（）A．B．平面C．直线与所成角的余弦值为D．若，棱台的表面积为23. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且.则下列结论正确的是（）三、填空题四、解答题A．三棱锥的体积为定值B．当向运动时，二面角逐渐变小C ．在平面内的射影长为D．当与重合时，异面直线与所成的角为24. 为调研某地空气质量，测得该地连续10天PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：）的日均值，依次为，则（ ）A ．中位数为31或33B ．第60百分位数与众数相同C ．前4天的极差大于后4天的极差D ．前4天的方差小于后4天的方差25. 椭圆的焦距为4，则m 的值为___________.26. 若直线被直线：与：截得的线段长为，则直线的倾斜角的值为______．27. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．28. 若点在直线上，则的值等于______________ .29. 已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，下列命题正确的序号是___．①若，，则； ②若，，则；③若，，则； ④若，，则．30. 已知，，则______．31. 写出一个定义在R上且值域为的奇函数___________.32. 已知，则__________.33. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.34.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求五、解答题35.如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE ⊥平面 ABCD ，AB =AE =2DF ，AE DF.(1)证明：平面AEC ⊥平面 CEF ；(2)求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.36.已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值37. 已知函数.（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标.38. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．39. 当m取哪些值时，直线与椭圆有一个交点？两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．40. 某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.(Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望； (Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?41. 为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为，求的分布列及均值．42. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于 2021 年 1 月 15 日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定. 某中学研究型学习小组调查研究 “中学生每日使用手机的时间”. 从该校中随机调查了 100 名学生，得到如下统计表:时间tmin人数1036341064(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数 (同一组数据用该组区间的中点值作代表);(2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选 3 人，记这 3 人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.43. 2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者，得到其平均每月的志愿服务时长（单位：小时）频数分布表如下：500名志愿者平均每月的志愿服务时长频数分布表：服务时长频数1050100190904020（1）在答题卡上作出这500名志愿者平均每月的志愿服务时长的频率分布直方图；（2）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）.44. 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示.六、解答题(1)求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；(2)在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．45. 已知四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为直角梯形，，，，.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.46.记是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数，使得对任意的、，都有.（1）设函数，，判断函数是否属于？并说明理由；（2）已知函数，求证：方程的解至多一个；（3）设函数，，且，试求实数的取值范围.47.如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的，其中，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.48. 已知数列，是其前项和，且满足.(1)求证:数列是等比数列；(2)设，且为数列的前项和，求数列的前项和.49.如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，为线段上一点.七、解答题(1)求证：；(2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.50. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．51. 现有甲乙两个项目，对甲、乙两个项目分别投资2万元，甲项目一年后利润是万元、万元、万元的概率分别是、、；乙项目的利润随乙项目的价格变化而变化，乙项目在一年内，价格最多可进行两次调整，每次调整的概率为，设乙项目一年内价格调整次数为，取、、时，一年后利润分别是万元、万元、万元.设、分别表示对甲、乙两个项目各投资万元一年后的利润.（1）写出、的概率分布列和数学期望；（2）当时，求的取值范围.52. 第五代移动通信技术（英语：或，简称或技术）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继、和系统之后的延伸.的性能目标是高数据速率减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接.某大学为了解学生对“”相关知识的了解程度，随机抽取名学生参与测试，并将得分绘制成如下频数分布表：得分男性人数女性人数（1）将学生对“”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于分）和“不太了解”（得分低于分）两类，完成列联表，并判断是否有的把握认为“学生对“”的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（2）以这名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率.现从该校学生中，有放回的抽取次，每次抽取名学生，设抽到“比较了解”的学生的人数为，求的分布列和数学期望.附：（）.临界值表：八、解答题53. 学校体育节的投篮比赛中，10名学生的投中个数（每人投10个球）统计表如下：编号12345678910投中个数79898107769(1)求这10名学生投中球的个数的方差；(2)从投进9个球和10个球的学生中选2人接受采访，求这2人恰好是投进9个球和10个球各1人的概率.54. 甲､乙两人进行一次乒乓球比赛，比赛最多打5个回合，先胜3回合者胜出且比赛结束.在每回合比赛中，先发球者获胜的概率为0.6，胜者获得下一回合先发球的资格.已知第1回合中，甲先发球.(1)求比赛只进行了3回合的概率；(2)设比赛共进行了X 回合，求X 的数学期望.55. 王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，，56. 某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的 提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求：(1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？(2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？57. 如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点.(1)当时，求线段的值；(2)若为正三角形，求四边形面积的最大值.58. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，,点为的中点.(1)证明：；(2)设点在线段上，且平面，若平面平面，求二面角的大小.59. 在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的值．(2)求的取值范围．60.已知椭圆的离心率为，以椭圆中心为圆心，长半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左顶点为，右顶点为，右焦点，是椭圆位于轴上方部分的一个动点，以点为圆心，过点的圆与轴相交，交点在右边，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线，交直线于点，判断是否为定值，并给出证明.61. 如图，已知椭圆C：的离心率为，并且椭圆经过点P(1，)，直线的方程为x＝4．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆内一点E(1，0)，过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，交直线于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．62. 三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.(1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明；(2)求二面角的正弦值.。

2023北京汇文中学高三3月月考数学一､选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，那么（ ）()(){|210}A x x x =∈+-<Z {}2,1B =--A B ⋃=A. B. {}2,1,0,1--{}2,1,0--C. D.{}2,1--{}1-【答案】B 【解析】【分析】求解一元二次不等式从而求解集合，再根据并集的定义求解. A A B ⋃【详解】由，得， ()(){|210}A x x x =∈+-<Z {}1,0A =-结合，可知. {}2,1B =--{}2,1,0A B =-- 故选：B . 2. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）0a b >>A. B.C. D.a b <11a b>1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln ln a b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A 、B ，再根据指数函数的性质判断C ，根据对数函数的性质判断D ； 【详解】解：因为，所以，故A 错误；0a b >>0a b >>因为，所以，故B 错误；0a b >>11ab<因为，且在定义域上单调递减，所以，故C 错误；0a b >>12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，且在定义域上单调递增，所以，故D 正确；0a b >>ln y x =()0,∞+ln ln a b >故选：D3. 如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）．(2,0)a =(1,1)b =A. B. C. D.||a b |=|a b ⋅= ()a b b -⊥v v v a b【答案】C 【解析】【详解】由平面向量，知：(2,0)a = (1,1)b =在中，，A ||2a = ||b =r∴，故错误；||||a b ≠A 在中，，故错误；B 2a b ⋅=B 在中，，C (1,1)a b -=-∴，()110a b b -⋅=-=∴，故正确；()a b b -⊥C 在中，∵， D 2011≠∴与不平行，故错误．a bD 综上所述． 故选．C 4. 已知直线m ，n 和平面，如果，那么“m ⊥n”是“m ⊥”的（ ） αn ⊂ααA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】若，则，即必要性成立，m α⊥m n ⊥当时，不一定成立，必须垂直平面内的两条相交直线，即充分性不成立， m n ⊥m α⊥m α故“”是“”的必要不充分条件， m n ⊥m α⊥故选：．B 5. 在等比数列中，，，则等于（ ） {}n a 13a =1239a a a ++=456a a a ++A. 9 B. 72C. 9或70D. 9或72-【答案】D 【解析】【分析】利用等比数列的性质求出公比，即可求出的值. 456a a a ++【详解】由题意，，N n *∈在等比数列中，，， {}n a 13a =1239a a a ++=设公比为，q ，即，解得或，21119a a q a q ∴++=23339q q ++=2q =-1q =∴，()334561239a a a a a q a q ++=++=当时，， 1q =4569a a a ++=当时，.2q =45672a a a ++=-故选：D.6. 下列函数中,定义域为的奇函数是 R A. B. C. D.21y x =+tan y x =2x y =sin y x x =+【答案】D 【解析】【详解】定义域为R,所以舍去B,又为偶函数,为非奇非偶函数, 21y x =+y =2x 故选：D.7. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）2221(0)y x b b-=>(2,0)A. B.0x ±=0y ±=C. D.30x y ±=30x y ±=【答案】B 【解析】【分析】求出的值即得解. b【详解】解：由题得，21+4,b b =∴=所以双曲线的渐近线方程为. y x ==0y ±=故选：B8. 在空间直角坐标系中，正四面体的顶点、分别在轴，轴上移动．若该正四O xyz --P ABC A B x y 面体的棱长是，则的取值范围是( )． 2||OPA. B.C.D.1]-+[1,3]1,2]-1]【答案】A 【解析】【分析】固定正四面体的位置，原点在以为直径的球面上运动,由此根据球的性质可以-P ABC O AB 得到答案.【详解】如图所示，若固定正四面体的位置， -P ABC 则原点在以为直径的球面上运动， O AB 设的中点为， AB M则PM ==所以原点到点的最近距离等于减去球的半径， O P PM M 最大距离是加上球的半径， PM M，11OP -≤≤即的取值范围是． ||OP 1]-+故选:．A9. 如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么()sin (0)f x x x ωωω=+>的值为（ ）．()()()()1239f f f f ++++LA. 1B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出，再结合函数式计算作答. ()f x ω【详解】依题意，，函数的周期，而，则，π()2sin(3f x x ω=+()f x 4T =0ω>2ππ2T ω==，ππ()2sin(23f x x =+，， 5π11π(1)(3)2sin2sin 066f f +=+=4π7π(2)(4)2sin 2sin 033f f +=+=所以. ()()()()5π1239(1)2[(1)(2)(3)(4)](1)2sin 16f f f f f f f f f f ++++=++++===L 故选：A10. 如图，已知正方体的棱长为，、分别是棱、上的动点，设1111ABCD A B C D -1E F AD 11B C AE x =，.若棱与平面有公共点，则的取值范围是（ ）1B F y =1DD BEF x y +A. B.C.D.[]1,213,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,1【答案】A 【解析】【分析】取特殊值和，进行验证，结合排除法可得出结论.1x y ==0x =1y =【详解】由题意，若，则棱与平面交于点，符合题意，此时； 1x y ==1DD BEF D 2x y +=若，，则棱与平面交于线段，符合题意，此时. 1x =0y =1DD BEF 1DD 1x y +=排除B 、C 、D 选项. 故选：A ．【点睛】本题考查线面位置关系，考查特殊值法的运用，属于中档题．二､填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11. 复数____． 1i1i+=-【答案】 i 【解析】【分析】利用复数的代数形式的四则运算法则求解．【详解】． ()()()21i 1i2i i 1i 1i 1i 11++===--++故答案为：．i 12. 在的展开式中，常数项是__________（用数字作答）． 261()x x-【答案】15 【解析】【分析】求出通项，令由此求得展开式中常数项． ()36161 rr r r T C x -+=-，3662r r -==，【详解】在的展开式中，通项 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2612316611 r r r rr r r r T C x x C x （），---+=-=-令 ．故展开式中常数项是 ， 3662r r -==，()2261 15 C -=，故答案为 15．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 13. 若，则______ ;lg 2lg 21a -==a 【答案】40 【解析】 【分析】利用对数的运算公式，，直接求值即可.log log na a n M M =log log log ()a a a M N MN +=【详解】lg 2lg 21a -=Qlg 2lg 21lg 4lg10lg 40a ∴=+=+=40a ∴=故答案为：4014. 在中，角的对边分别为，若，，，则ABC ,,A B C ,,a b c 3c =π3C =sin 2sin B A ==a __________．【解析】【分析】由正弦定理得到，再由余弦定理求出的值. 2b a =a 【详解】由正弦定理得：，2b a =再有余弦定理得：，22222225591cos 22242a b c a c a C ab a a a +---====⨯⋅解得：. a =故答案为：15. 设函数其中.()3,log ,,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩0a >①若，则______；3a =()9f f =⎡⎤⎣⎦②若函数有两个零点，则的取值范围是______. ()2y f x =-a 【答案】 ①.②.[)4,9【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出与y ＝2的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．()y f x =()2y f x =-【详解】解：①当时， 3a =()33,log ,3,x f x x x ≤≤=>⎪⎩则， ()39log 92f ==∴()()92f f f ⎡⎤⎣⎦==②分别画出与y ＝2的图象，如图所示，()y f x =函数有两个零点，结合图象可得4≤a ＜9， ()2y f x =-故a 的取值范围是. [)4,9；.[)4,9【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．注意要利用数形结合．三､解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16. 如图，在四边形中，，，，.ABCD //ABCD AB =CD =cos A =1cos 3ADB ∠=（1）求； cos BDC ∠（2）求的长. BC 【答案】（12. 【解析】【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值； sin A sin ADB ∠cos cosBDC ABD ∠=∠（2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. ABD △BD BCD △BC 【详解】（1）因为，，则、均为锐角，cos A =1cos 3ADB ∠=A ADB ∠所以，，，sin A ==sin ADB ∠==()()cos cos cos sin sin cos cos ABD A ADB A ADB A ADB A ADB π∠=--∠=-+∠=∠-∠，13==，则，因此，； //AB CD Q BDC ABD ∠=∠cos cos BDC ABD ∠=∠=（2）在中，由正弦定理可得，ABD △sin sin AB BDADB A=∠可得，sin 3sin AB ABD ADB===∠在中，由余弦定理可得，BCD△2222cos 962311BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⋅=因此，.BC =【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； a b c （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.17. 如图，在四棱锥中，O 是边的中点，底面．在底面P ABCD -AD PO ⊥,1ABCD PO =ABCD 中，．//,,1,2BC AD CD AD BC CDAD ⊥===（1）求证：平面；//AB POC（2）求二面角的余弦值． B AP D --【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】【分析】（1）证明后可证线面平行；//AB OC （2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．,,OB OD OP ,,x y z 【详解】（1）由题意，又，所以是平行四边形，所以， BC OA =//BC OA BCOA //AB OC 又平面，平面，所以平面；AB ⊄POC OC ⊂POC //AB POC （2），所以是平行四边形，所以，，而，,//BC OD BC OD =BCDO //OB DC OB CD =CD AD ⊥所以，OB AD ⊥以为轴建立空间直角坐标系，如图，,,OB OD OP ,,x y z 则，，，，，(1,0,0)B (0,1,0)A -(0,0,1)P (1,1,0)AB = (0,1,1)=AP 设平面的一个法向量为，则ABP (,,)n x y z =，取，则，即， 00n AB x y n AP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩1x =1,1y z =-=(1,1,1)n =- 易知平面的一个法向量是，APD (1,0,0)m =所以cos ,m n m n m n⋅<>===所以二面角． B AP D --【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18. 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下： 20以下 [)20,30 [)30,40 [)40,50 [)50,60[]60,7070以上 使用人数312 17 6 4 2 0 未使用人数 0314363（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；[)30,50（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人[]50,70X 中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；[)50,60X （Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【答案】；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 17100【解析】 【分析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； X （Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人， 所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为． 17100P =（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，X , ()124236C C 115C P X ===, ()214236C C 325C P X ===. ()304236C C 135C P X ===所以的分布列为XX 1 2 3P 15 35 15所以的数学期望为. X 1311232555EX =⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，3121764244+++++=所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为. 4450002200100⨯=【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题． 19.已知函数．2()()x k f x x k e =-（Ⅰ）求的单调区间；()f x （Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围． (0,)x ∈+∞()f x 1ek 【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当0k >()f x (,)k -∞-(,)k +∞(,)k k -时，的单调递减区间是和：单调递减区间是．0k <()f x (,)k -∞(,)k -+∞(,)k k -（Ⅱ） ． 102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】【详解】，令，当时，的情况如下： 221()()x k f x x k e k -'=()0,f x x k ='=±0k >(),()f x f x ' x (,)k -∞-k - (,)k k - k (,)k +∞ ()f x '+0 -0 + ()f x 214k e -所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与()f x (,)k -∞-(,)k +∞(,)k k -0k <()f x 的情况如下：()f x ' x (,)k -∞k (,)k k - k - (,)k -+∞ ()f x '-0 + 0 - ()f x 0 214k e -所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是．()f x (,)k -∞(,)k -+∞(,)k k -（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知0k >11(1)k k f k e e++=>1(0,),().x f x e ∀∈+∞≤0k <在上的最大值是所以等价于， 解得()f x (0,)+∞24()k f k e -=1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤24()k f k e-=1e ≤故当时，的取值范围是． 10.2k -≤<1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤k 102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 20. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． 2222:1(0)x y E a b a b+=>>(0,1)A （1）求椭圆E 的方程；（2）过点作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点(2,1)P -M ，N ，当时，求k 的值．||2MN =【答案】（1） 2214x y +=（2）4k =-【解析】【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩a （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直()11,B x y ()22,C x y 线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；AB AC M x N x N M MN x x =-【小问1详解】解：依题意可得，，1b =2c =222c a b =-所以，所以椭圆方程为； 2a =2214x y +=【小问2详解】解：依题意过点的直线为，设、，不妨令()2,1P -()12y k x -=+()11,B x y ()22,C x y 1222x x -≤<≤，由，消去整理得， ()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩y ()()22221416816160k x k k x k k +++++=所以，解得，()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>0k <所以，， 212216814k k x x k ++=-+2122161614k k x x k+⋅=+直线的方程为，令，解得， AB 1111y y x x --=0y =111M x x y =-直线的方程为，令，解得， AC 2211y y x x --=0y =221N x x y =-所以 212111N M x x MN x x y y =-=--- ()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++， ()()12212222x x k x x -==++所以，()()122122x x k x x -=++()212124k x x x x =+++⎡⎤⎣⎦ 22221616168241414k k k k k kk ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得，解得4k =4k =-21. 设数列.如果，且当时，()12:,,,2n A a a a n ≥ {}()1,2,,1,2,,i a n i n ∈= i j ≠，则称数列A 具有性质.对于具有性质的数列A ，定义数列，()1,i j a a i j n ≠≤≤P P ()121:,,,n T A t t t - 其中. ()111,,1,2,,10,k k k k k a a t k n a a ++⎧==-⎨⎩ ＜＞（1）对，写出所有具有性质的数列A ；():0,1,1T A P （2）对数列，其中，证明：存在具有性质的数列()121:,,,2n E e e e n -≥ {}()0,11,2,,1i e i n ∈=- P A ，使得与为同一个数列；()T A E（3）对具有性质的数列A ，若且数列满足P ()115n a a n -=≥()T A ()0,,1,2,,11,i i t i n i ⎧==-⎨⎩ 为奇数为偶数，证明：这样的数列A 有偶数个.【答案】（1）、、4,1,2,33,1,2,42,1,3,4（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义，得到且，，，确定，按照()T A 4n =12a a >23a a <34a a <21a =14a =或分别讨论可得答案；44a =（2）设数列：中恰有项为1，在按照、、三种情况分别讨E 121,,,n e e e - s 0s =1s n =-01s n <<-论可证结论；（3）按照的奇偶分类讨论，结合数列的定义可证结论.n ()T A 【小问1详解】因为，所以，则():0,1,1T A 13-=n 4n =因为，，，所以，，， 10t =21t =31t =12a a >23a a <34a a <又，{1,2,3,4}(1,2,3,4)i a i ∈=所以，或，21a =14a =44a =当时，，14a =342,3a a ==当时，或，44a =133,2a a ==132,3a a ==综上所述：所有具有性质的数列A 为：、、.P 4,1,2,33,1,2,42,1,3,4【小问2详解】由于数列：，其中， E 121,,,n e e e - {0,1}i e ∈(1,2,3,1,2)i n n =-≥ 不妨设数列：中恰有项为1，E 121,,,n e e e - s 若，则符合题意，0s =:,1,,1A n n - 若，则符合题意，1s n =-:1,2,,A n 若，则设这项分别为， 01s n <<-s 12,,,s k k k e e e 12()s k k k << 构造数列，令分别为， 12:,,,n A a a a L 1211,,1,s k k k a a a +++ 1,2,,n s n s n -+-+ 数列的其余各项分别为， A 12,,,n s m m m a a a - 12()n s m m m -<<< ,1,,1n s n s --- 经检验数列符合题意.A 【小问3详解】对于符合题意的数列，1,2:,,(5)n A a a a n ≥ ①当为奇数时，存在数列符合题意，n 11:,,,n n A a a a -'且数列与不同，与相同， A A '()T A ()T A '按这样的方式可由数列构造出数列， A 'A 所以为奇数时，这样的数列有偶数个， n A 当时，这样的数列也有偶数个， 3n =A ②当为偶数时，n 如果是数列中不相邻的两项，交换与得到数列符合题意， ,1n n -A n n 1-A '且数列与不同，与相同， A A '()T A ()T A '按这样的方式可由数列构造出数列， A 'A 所以这样的数列有偶数个，A 如果是数列中相邻的两项，由题设知，必有，，， ,1n n -A 1n a n -=1n a n =-12a n =-除这三项外，是一个项的符合题意的数列， 232,,,n a a a - 3n -A 由①可知，这样的数列有偶数个， A 综上，这样的数列有偶数个.A 【点睛】关键点点睛：正确理解数列的定义，并利用定义求解是解题关键. ()T A。