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第2课时一元二次方程的解及其估算1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；（重点）2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．（难点）一、情景导入在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程x(x＋2)＝120，你能求出该方程的解吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的解下列哪些数是方程x2－6x ＋8＝0的根？0，1，2，3,4，5，6，7，8，9,10.解析:把0，1，2,3,4，5，6,7，8，9，10分别代入方程x2－6x ＋8＝0中，发现当x＝2和x＝4时，方程x2－6x＋8＝0成立，所以x＝2，x＝4是方程x2－6x＋8＝0的根．解：2,4是方程x2－6x＋8＝0的根．方法总结：(1）使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．(2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等,若相等,则这个数是一元二次方程的根;若不相等，则这个数不是一元二次方程的根．探究点二:估算一元二次方程的近似解请求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正数根（精确到0.1)．解析:先列表取值，初步确定正数根x在哪两个整数之间,然后再用类似的方法逐步确定出x的近似正数根．解：(1）列表，依次取x＝0，1,2，3，…x0123…x2－2x－1－1－2－12…由上表可发现，当2＜x＜3时，－1＜x2－2x－1＜2；（2）继续列表，依次取x＝2。
1，2.2，2.3,2。
4，2。
5，…x 2.1 2.2 2.3 2.42。
5…－2x－1－0.79－0。
56－0.31－0.040.25…由上表可发现，当 2.4＜x＜2.5时，－0.04＜x2－2x－1＜0。
25；(3)取x＝2.45,则x2－2x－1≈0。
1025.∴2。
4＜x＜2.45，∴x≈2。
4.方法总结：（1）利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等于0的未知数的大致取值范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止．(2）在估计一元二次方程根的取值范围时,当ax2＋bx＋c(a≠0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要,因为只有在这个范围内,才能存在使ax2＋bx＋c＝0成立的x 的值，即方程的根．三、板书设计一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法"：（1)先根据实际问题确定其解的大致范围；（2)再通过列表，具体计算,进行两边“夹逼"，逐步获得其近似解．“估算"在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛．在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法．教学设计上,强调自主学习，注重合作交流，在探究过程中获得数学活动的经验,提高探究、发现和创新的能力。
北师大初中数学
九年级
重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！
学生活动：请同学独立完成下列问题．
问题．如图，一个长为
________
中还有其它解吗？问题
）中还有x=-12为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：
B=1
，那么
+mx-6=0
-3x-1
_______
-1
，原式
2．a+c=b，a-b+c=0，把x=-1代入得
ax2+bx+c=a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c=0，
∴-1必是该方程的一根．
3．设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，
即当x2-1=0，x1=1，x2=-1；
当y2=-1时，x2-1=-1，x2=0，
∴x3=x4=0，
∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根．
4．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们
更理性地看待人生。
第2课时 一元二次方程的解及其估算教 学 目 标1、会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解．。
2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
重点：探索一元二次方程的解或近似解 难点：培养学生的估算意识和能力【教学过程】一、温故而知新 1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：_________________________. 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
(1)2x 2―x+1=0 (2)―x 2+1=0 (3)x 2―x=0 (4)- 3 x 2=0二、问题探究：探索1：上节我们列出了与地毯的花边宽度有关的方程。
地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18也就是：2x 2―13x+11=0 你能估算出地毯花边的宽度x 吗？（1）x 可能小于0吗？说说你的理由；_____________________________. （2）x 可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。
探索2：梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102，也就是x 0 0.5 1 1.5 2 2.52x 2-13x+11 备注备注x2+12x―15=0（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？（2）x的整数部分是_____？十分位是_______？x 0x2+12x-15所以___<x<___进一步计算xx2+12x-15所以___<x<___因此x 的整数部分是___,十分位是___.三、当堂训练：完成课本34页随堂练习四、学习体会：五、课后作业。
估计方程近似解的基本思想
“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛。
在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法。
其具体的指导思想是：
将一元二次方程变形为一般形式：ax2+bx+c=0，分别将x
1,x
2
代入等式左边，当获得的
值为一正、一负时，方程必定有一根x
0，而且x
1
＜x
＜x
2。
这是因为，当ax
1
2+bx
1
+c
＜0（或＞0）而ax
22+bx
2
+c＞0（或＜0）时，在x
1
到x
2
之间由小变大时，ax2+bx+c的值
也将由小于0（或大于0），逐步变成大于0（或小于0），其间ax2+bx+c的值必有为0的时候，此时的x值就是原方程的根x。
时间允许的前提下，建议老师们可以讲述如下例题，以让学生更好地理解估算的指导思想。
例：不解方程，估计方程x2-4x-1=0的根的大小（精确到0.1）。
解：分别取x=-0.3与x=-0.2时，有(-0.3)2-4×(-0.3)-1=0.09+1.2-1=0.29＞0，(-0.2)2-4×(-0.2)-1=-0.16＜0。
于是，方程x2-4x-1=0必有一根在－0.3和-0.2之间。
分别取x=4.2与x=4.3时，有4.22-4×4.2-1=-0.16＜0，4.32-4×4.3-1=0.29＞0。
于是，方程x2-4x-1=0必有一根在4.2和4.3之间。
注：如若不能选准所取的x的值，也就无法进行估算，因此，本例中x取的值－0.3、－0.2以及4.2、4.3，是在多次进行实验的基础上获得的。
在估算根的范围时，
要进一步提高精确度，这里可以分别考虑取x＝
22.0
3.0-
-
＝-0.25和取
x=
23.4
2.4+
=4.25时，x2-4x-1的正负情况，这样根的估计就缩小了范围，不断重复以上工作，精确度就会逐步提高。
当然，在估计之初，你是不可能得到这么好的数据的，你一般可以随便估计一个数，如0，发现0的时候，左边小于0，而x正得很多或者负得很多时，对应的左边的值大于0，因此可以再选取两个绝对值比较大的数，这样可以估计出两个根的范围，再逐步逼近。
