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2019届高三摸底考试
数 学(文科)
得分：______________
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－4≤x －1≤4}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A ．2个
B ．3个
C ．1个
D ．无穷多个
2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．设i 为虚数单位，m ∈R ，“复数z ＝(m 2
－1)＋(m －1)i 是纯虚数”是“m ＝±1”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
4．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为
A ．22y ±x ＝0
B ．22x ±y ＝0
C ．8x ±y ＝0
D ．x ±8y ＝0
5．下列函数的最小正周期为π的是 A ．y ＝cos 2
x B ．y ＝|sin x
2|
C ．y ＝sin x
D ．y ＝tan x
2
6．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为
A.33
B.32
C.
23
3
D. 3 7．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x
－a －x
＋2 (a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝
A ．2 B.154 C.174
D ．a 2
8．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
9．已知某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是1
3，则在空
白的赋值框处应填入的关系式可以是
A ．y ＝x 3
B ．y ＝13x
C ．y ＝3x
D ．y ＝3－x
10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值
为12，则2a ＋3
b
的最小值为
A ．4 B.83 C.113 D.25
6
11．过点P ()－1，1作圆C ：()x －t 2
＋()y －t ＋22
＝1()t ∈R 的切线，切点分别为A 、
B ，则PA →·PB →
的最小值为
A.
103 B.403 C.21
4
D ．22－3 12．已知函数f ()x ＝
ln x ＋()
x －b 2
x
(b ∈R )．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，使得f (x )＞－
x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是
A.()－∞，2
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32
C.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，94 D.()－∞，3
选择题答题卡
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是________．
14．在△ABC 中，若∠B ＝60°，sin A ＝1
3，BC ＝2，则AC ＝________．
15．已知函数f ()x ＝⎩⎨
⎧||x ，x ≤m
x 2
－2mx ＋4m ，x >m
，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f ()x ＝b 有三个不同的零点，则m 的取值范围是________．
16．给出如下定理：“若Rt △ABC 斜边AB 上的高为h ，则有1h 2＝1CA 2＋1
CB
2”．在空间四面
体P －ABC 中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，类比上述定理，得到的正确结论是________________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x cos(2π－x )． (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；
(Ⅱ)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数y ＝f (x )＋cos2x 的最大值和最小值．
18.(本小题满分12分)
若数列{a n }是递增的等差数列，其中的a 3＝5，且a 1、a 2、a 5成等比数列． (Ⅰ)设b n ＝
1
（a n ＋1）（a n ＋1＋1）
，求数列{b n }的前n 项的和T n .
(Ⅱ)是否存在自然数m ，使得m －2
4 5 对一切n ∈N * 恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
