高三数学12月摸底考试试题 理

2023届河南省部分学校高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}e x B y y a ==+（a ∈R ），若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞【答案】D【分析】分别求出集合A 和集合B ，再由A B ⋂=∅进行求解.【详解】由已知，集合A 即函数y = 由不等式2320x x +-≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-，集合B 即函数e x y a =+的值域，因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+，所以函数e x y a =+的值域为(),a +∞，∴{}()e ,xB y y a a ∞==+=+，∵A B ⋂=∅，∴a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.2．已知复数z 满足(86i)512i z +=+，则z =（ ）A B ．1310C ．1714D ．1513【答案】B【分析】先由复数的运算化简z ，再计算模长.【详解】()512i (86i)11266i 5633i (86i)(86i)10050z +-++===+-，1310z === 故选：B3．已知直线12:210,:220l x y l x my --=++=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1B ．2C D 【答案】A【分析】根据直线平行求出m ，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为12l l ∥，所以40m +=，解得4m =-，经检验符合题意；所以2:210l x y -=， 所以1l 与2l之间的距离1d ===， 故选：A4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l 与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l 等于表高h 与天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为1θ和2θ，则()12tan θθ-=（ ） A ．1- B ．17-C ．13D ．1【答案】B【分析】根据已知条件得出12,tan tan θθ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知12tan 2,tan 3θθ==，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯故选：B.5．已知12,F F 是平面内两个不同的定点，P 为平面内的动点，则“12PF PF -的值为定值m ，且12m F F <”是“点P 的轨迹是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.【详解】“12PF PF -的值为定值m ，12m F F <”，若0m =，则P 点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P 的轨迹是双曲线”，则必有12,F F 是平面内两个不同的定点，且满足1212PF PF m F F -=<，故必要性成立； 故选：B6．已知()sin 2tan 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．26π0x y ++-= B ．23π0x y -+-= C ．426π0x y -+-= D ．426π0x y -++=【答案】C【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，结合π34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得切线方程. 【详解】()212cos 2cos f x x x'=+，2ππ12cos 2π42cos 4f ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭， 又πππsin tan 13424f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴所求切线方程为：π324y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即426π0x y -+-=.故选：C.7．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【分析】分别表示出A 、B 坐标，利用||||OA OB =求得3a b ，即可求出离心率.【详解】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的下焦点，不妨设()0,F c -，所以过Fy c =-，所以),0B .因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y x ca y x b⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：3ab .所以离心率c e a ====. 故选：C8．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．2cos2xB π326x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C π326x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π()=012f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式．【详解】依题意有2π11π5π2π1212ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=， 又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π02ϕ<<，得π=6ϕ，又π(0)sin =16f A =，得=2A ，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ．9．已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（ ）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据椭圆过点求出,a b ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解. 【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A -和(0,1)B ，所以224,1a b ==，可得223c a b - 所以1(3,0)F -，23)F ，设(,)P x y ，由题意直线AB 的方程为12xy +=-，即220x y ， 因为点P 在线段AB 上，所以(,)P x y 满足20,01x y -≤≤≤≤，则222212(,),)3(22)3PF PF x y x y x y y y ⋅=--⋅-=+-=-+-224115815()55y y y =-+=--，[0,1]y ∈，当45y =时，12min 11()5PF PF ⋅=-，当0y =时，12max ()1PF PF ⋅=， 所以12PF PF ⋅的取值范围为11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D10．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①0,()0x f x ∀><；②对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >恒成立．若(0.1)(sin0.1)sin0.1,,(tan0.1)tan0.110f a f b c f ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据函数性质可知，()f x x在(0,)+∞上单调递减，又根据0,()0x f x ∀><，可构造函数()xf x ，且函数()xf x 为单调递减，又因为sin0.10.1tan0.1<<，即可得出a b c >>. 【详解】由题意可知，对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >，即()()f x f y x y> 所以函数()f x x在(0,)+∞上单调递减，即导函数2()()0xf x f x x -<'在(0,)+∞恒成立； 可得()()xf x f x '<；构造函数()()g x xf x =，则()()()2()0g x f x xf x f x ''=+<<， 所以，()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减；设函数()sin ,(0,1)h x x x x =-∈，则()cos 10h x x '=-<，即()h x 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0h h <=,即sin 0.10.1<； 设函数()tan ,(0,1)x x x x ϕ=-∈，则221()1tan 0cos x x xϕ'=-=-<， 即()ϕx 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0ϕϕ=<，即0.1tan 0.1<； 综上可知，sin0.10.1tan0.1<<，(sin 0.1)(0.1)(tan 0.1)g g g >> 即(0.1)(sin 0.1)sin 0.10.1(0.1)(tan 0.1)tan 0.110f f f f =>> 即得a b c >>. 故选：A.11．在四面体ABCD 中，,AB AC AB BD ⊥⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为30︒，二面角C AB D--为锐二面角，4,5,3AB AC BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．234153- B ．3C ．5D ．10【答案】C【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥D ABC -，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得30DBE ︒∠=，求出DE ，利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图，在长方体中，4,5,3AB AC BD ===， 过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ， 所以DBE ∠为二面角C AB D --的所成角，为锐角，DBE ∠为异面直线AC 与BD 的所成角，所以30DBE ︒∠=，所以1322DE BD ==. 由题意知，该四面体ABCD 为三棱锥D ABC -， 由1102ABCSAC AB =⋅=， 所以该三棱锥D ABC -的体积为113105332D ABC ABCV SDE -=⋅=⨯⨯=. 故选：C.12．将曲线221:1(0)169x y C x +=≤和曲线222:1(0)49x y C x +=>合成曲线E ．斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．曲线E 所围成图形的面积小于36 B ．曲线E 与其对称轴仅有两个交点 C ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上 D ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 【答案】D【分析】画出曲线表示的图形，分析AB 选项；选项C ，分析当0k =时，设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y ，然后根据题意分析点P 的轨迹总在某个椭圆上即可；选项D ，结合C 的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，化简分析即可解决问题. 【详解】选项A ：如图，曲线E 所围成图形在正方形PQGH 内部，由正方形PQGH 的面积为6636⨯=，所以曲线E 所围成图形的面积小于36，故A 正确； 由A 中图形可知，曲线E 关于x 轴对称，所以曲线E 与其对称轴仅有两个交点，故B 正确； 选项C ：设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y 1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 当0k =时，12120,x x y y <<=221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减的：22112202164x x x x -=⇒=- 所以222200200122222x x x x x x y y y y y -+⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎩， 又2222149x y +=，所以()22220000114992y y x x -+=⇔+= 故存在0k =，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上，C 正确选项D ： 由()00,P x y ，1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222121201649x x y y --+=即()()2212121201649y y y y x x --++=， 又12012122y y y y y k x x +=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2201212201649ky x x x x --+=， 即()222101294162x x y k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 又1202x x x +=， 所以若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上， 则0000(R)y k x k -∈为常数，即()222112012941622x x x x k k x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭--()()()()2221012121212941622x x kk x x x x k x x k x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--- ()()2222210121294162x x kk x x k x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=- ()22020112994162kk x kk x k x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-为定值， 因为分子分母12,x x 次数不同，故若上式为定值，则22020*******kk x kk x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即00990416kk kk +=+=，无解，假设不成立， 所以不存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 所以选项D 不正确； 故选：D.二、填空题13．已知向量,a b 满足||3,||1,||2a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为_______________． 【答案】π3【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】()222||242431240a b a ba b a b a b a b +=⇒+=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒⋅=，()2222312a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-，设a b +与a b -的夹角为([0,π])θθ∈，()()22311cos 2242a b a b ab a b a bθ⋅-+--==⨯⋅-==+， 因为[0,π]θ∈， 所以π3θ=， 故答案为：π314．直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________． 【答案】2x =或43110x y +-=.【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由22(1)9x y ++=，得圆心为(1,0)C -，半径3r =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时直线恰好与圆相切，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，则3=，22(13)9(1)k k -=+，解得43k =-，所以直线l 的方程为41(2)3y x -=--，即43110x y +-=，综上，直线l 的方程为2x =或43110x y +-=， 故答案为：2x =或43110x y +-=.15．如图，直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，D 为C 上异于A ，B 的一点，若AD BD ⊥，则点D 到直线x t =的距离与p 的比值为__________．【答案】2【分析】根据题意得到,A B 的坐标，设(002D x px ，由题意可得1AD BD k k ⋅=-，列出方程即可得到结果.【详解】因为直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，不妨设((2,,2A t pt B t pt 且D 为C 上异于A ，B 的一点，由抛物线的对称性，不妨设(002D x px则00002222AD BD px pt px ptk k -+由AD BD ⊥000022221px pt px pt-+=-化简可得()()02021p x t x t -=--，因为0x t ≠，则02p t x =-即点D 到直线x t =的距离与p 的比值为02t x p-= 故答案为:216．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()e xg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围. 【详解】()e x f x ax '=-，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e x x g x x -'=， ∴当()(),00,1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x 图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >； 212x x ≥，212x x ∴≥； 当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2ttt t =，即2e 2e t t =，2e 2t∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===， ∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin a A c C b c B -=-． (1)求A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理可得到222a b c bc =+-，进而得到2cos 1A =，即可求出A 的大小； （2）根据三角形内角和为π，且ABC 为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将bc 转化为关于tan C 的函数即可求解．【详解】（1）由sin sin ()sin a A c C b c B -=-，则根据正弦定理有22()a c b c b -=-，即222a b c bc =+-， 又由余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得2cos 1A =， 所以在ABC 中，得π3A =；（2）由ABC 为锐角三角形，且π3A =，则有π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，即(1tan C ∈，所以根据正弦定理有π1sin sin sin 111322,2sin sin sin tan 22C C Cb Bc C C C C ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭====+∈ ⎪⎝⎭． 18．已知直线12:20,:20()l x ay l ax y a a -+=+-=∈R ，若1l 与2l 的交点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若圆22:220E x y mx ny +--=的圆心在直线y =上，且与曲线C 相交所得公共弦MN的长为m ，n 的值． 【答案】(1)224(2)x y x +=≠(2)1,m n =1,m n =-=【分析】（1）由12,l l 判断出点P 的轨迹为以AB 为直径的圆(除去点(2,0)B )，进而求其方程; （2）由圆E 的圆心的位置得m ,n 的关系,两个圆方程相减得MN 的方程,由弦长求m ,n . 【详解】（1）当0,2y x ==-故直线1:20l x ay -+=过定点(2,0)A -，直线2:l (2)0a x y -+=，当2,0x y ==，故其过定点(2,0)B ， 又110a a ⨯-⨯=,所以12l l ⊥,所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆， 当0a =时，两直线交点为()2,0A -，但交点P 无法与点B 重合， 故需除去点()2,0B其圆心为原点O ,半径为2r =,所以曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠； （2）由(1)知,曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠，又圆22:220E x y mx ny +--=的圆心为(,)E m n 在直线y =上,所以n =,0m ≠，两圆方程作差得两个圆的公共弦MN 的方程为224mx ny +=,即20mx -=,因为两个圆的公共弦MN 的长为原点O 到直线MN 的距离为1||d m ==,所以=解得1m =或1m =-,所以1,m n =1,mn =-=19．在正项数列{}n a 中，11a =，2n ∀≥，12113232n n a a a a n --+++=-． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b a =，221b a =-，且21ln ln 2ln n n n b b b +++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：221n n n T T T ++⋅<．【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析【分析】（1）由12113232n n a a a a n --+++=-可得到12121n n a n a n ++=-，根据累乘法求通项的方法，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由21ln ln 2ln n n n b b b +++=可知221n n n b b b ++⋅=，可判断数列{}n b 为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出n T ，2210n n n T T T ++⋅<-即可求证. 【详解】（1）解：已知1211,23232n n a a a a n n --+++=≥-①， 则212312a a a -=⇒=，且11211,323212n n n a a a aa n n -+-++++=--②， -②①，得1212n n n a a an +-=-，整理得121,221n na n n a n ++=≥-， ∴3253a a =，3475a a =，，212325n n a n a n ---=-12123n n a n a n --=-，， 由累乘法可得()`2212133n n a n a n n a -=-=⇒≥， 又11a =，23a =，符合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可知111b a ==，221312b a =-=-=，因为21ln ln 2ln n n n b b b +++=，所以221n n n b b b ++⋅=，则数列{}n b 是首项为1，公比为212b b =的等比数列， ∴()1122112n n n T -==--，()()()222121212121n n n n n n T T T ++++∴⋅---=⋅--()2222222221221n n n n n ++++=--+--+20n =-<，即221n n nT T T ++⋅<，得证.20．在边长为2的正方形ABCD 外作等边BCQ △（如图1），将BCQ △沿BC 折起到PBC 处，使得PD =E 为AB 的中点（如图2）．(1)求证：平面PDE ⊥ 平面PCD ； (2)求二面角E PD A --的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 7【分析】取BC 中点为O ，建立以O 为原点的空间直角坐标系.（1）设平面PDE 法向量为m ，平面PCD 法向量为n ， 利用0m n ⋅=可证面面垂直.（2）求得平面P AD 的法向量t ，后用向量法可求得二面角E PD A --的余弦值，后可求得正弦值. 【详解】（1）因四边形ABCD 为正方形，则DC CB ⊥.又在三角形PCD 中，2PC CD ==，22PD =222PC CD PD +=， 则DC PC ⊥.又CB ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∩CBPC C =， 则DC ⊥平面PCD .取BC 中点为O ，AD 中点为F ，连接PO ，OF . 则//,,OF CD PO BC OF BC ⊥⊥.又PO ⊂平面PCD ，则DC PO ⊥， 得FO PO ⊥.故如图建立以O 为原点，以射线OB 方向为x 轴正方向，射线FO 方向为y 轴正方向， 射线OP 方向为z 轴正方向的空间直角坐标系.则()()()()()000120100100120,,，,,，,,，,,，,,O A B C D ----， (()003110,，,,P E -.得()()(103123113,,，,,，,,PC PD PE =--=---=--， 设平面PDE 法向量为()111,,m x y z =，则11111123030PD m x y z PE m x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取(123,,m =-.设PCD 法向量为()222,,x n y z =，则2222223030PD n x y z PC n x z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()3,0,1n =-. 因330m n ⋅=-+=，则平面PDE ⊥ 平面PCD .（2）由（1）分析可知，平面PDE 法向量为()123,,m =-. 又()123,,PA =--，设平面P AD 的法向量()333,,t x y z =， 则333332230230PD t x y z PA n x y z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()032,,t =-. 则434342714334227cos ,m t m t m t⋅====++⨯+⨯⋅，又由图可知二面角E PD A --平面角α为锐角，则427cos α=， 得二面角E PD A --的正弦值4271497sin α=-=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为7||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上． 【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程． （2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b -，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d ==， 2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=， 设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-， 将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ +=可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，∴3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，函数()()1g x x f x =+-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，()()122112x g x x g x x x λ->-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (2)15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】（1）先求出()f x 的导数()22x x af x x'++=，根据a 的取值范围进行分类讨论即可；（2）当120x x >，时，()()122112x g x x g x x x λ->-⇔()()21212111g x g x x x x x λ->-，去绝对值后，构造函数求解即可.【详解】（1）由已知，()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）的定义域为()0,∞+，()2221a x x a f x x x x++'=++=，①当0a ≥时，0f x在区间()0,∞+上恒成立，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，则220x x a ++=，180a ∆=->，解得10x =<（舍），20x >，∴当x ⎛∈ ⎝⎭时，220x x a ++<，∴()0f x '<， ∴()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，220x x a ++>，∴0f x ，∴()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 综上所述，当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. （2）当1a =时，()()221ln ln 1g x x x x x x x =+-++=--+，()0,x ∈+∞，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠， ()()122112x g x x g x x x λ->-等价于()()1221121212x g x x g x x x x x x x λ-->， 即()()21212111g x g x x x x x λ->-， 令()()g x h x x=，()0,x ∈+∞，则()()212111h x h x x x λ->-恒成立 ()()()()2222212ln 1ln 2x x x x xg x g x x x x h x x x x ⎛⎫-----+ ⎪'---⎝⎭'===， 令()2ln 2F x x x =--，()0,x ∈+∞，则()21122x F x x x x-'=-=，令()0F x '=，解得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0F x '>，()Fx 在区间⎛ ⎝⎭单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0F x '<，()F x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，∴当()0,x ∈+∞时，()Fx的最大值为1152ln 20222F =--=--<⎝⎭， ∴当()0,x ∈+∞时，()215ln 2ln 2022F x x x =--≤--<，即()22ln 20x x h x x --'=<，∴()()g x h x x=在区间()0,∞+上单调递减，不妨设12x x <，∴1x ∀，2(0,)x ∈+∞，有()()12h x h x >，又∵1y x=在区间()0,∞+上单调递减， 1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，有1211x x >， ∴()()212111h x h x x x λ->-等价于()()121211h x x x x h λ⎛⎫->- ⎪⎝⎭， ∴()()2121h x x x h x λλ->-，设()()G x h x xλ=-，()0,x ∈+∞，则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，()()2121h x x x h x λλ->-等价于()()12G x G x >，即()G x 在(0,)+∞上单调递减，∴()()20G x h x xλ''=+≤，∴()2x h x λ'≤-，∴()222ln 2x x x F x xλ--≤-⋅=-， ∵当()0,x ∈+∞时，()F x的最大值为15ln 222F =--⎝⎭， ∴()F x -的最小值为15ln 222+，∴15ln 222λ≤+，综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将()()122112x g x x g x x x λ->-等价转换为()()21212111g x g x x x x x λ->-，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()g x h x x =，借助导数判断出函数()h x 的单调性去绝对值.。

数学高三上学期理数一轮摸底考试（12月)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·陕西月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·邵东月考) 是虚数单位，是实数集，，若，则（）A .B .C . 2D . -23. （2分）(2018·广州模拟) 如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A .B . 7C .D .4. （2分） (2018高三上·长沙月考) 已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为（）A .B . 2C .D . 35. （2分） (2019高一下·成都月考) 已知，则的值等于（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·天河模拟) 在同意直角坐标系中，函数的图像不可能的是（）A .B .C .D .7. （2分）(2019·鞍山模拟) 的展开式中的系数为（）A .B . 1024C . 4096D . 51208. （2分）(2018·河北模拟) 设，满足约束条件，则的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一下·滁州月考) 已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）．A . 3B . 15C . 48D . 6310. （2分） (2019高二上·宁波期末) 已知，则“ 且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2019高三上·哈尔滨月考) 将函数（）的图象向右平移个单位，得取函数的图象，若在上为减函数，则的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 512. （2分） (2017高一上·闽侯期中) 函数是定义在上的偶函数，且满足 .当时， .若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·唐山模拟) 已知向量 =(m，3)， =(m+2，1)，若=| |2 ，则在方向上的投影为________。

2021年高三12月模拟考试数学理试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A． {1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．设复数z满足z•i=xx﹣i，i为虚数单位，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知||=1，=（0，2），且•=1，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A．8万元B．10万元C．12万元D．15万5．已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）A．10 B．﹣10 C．6D．﹣66．已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2C．4D．7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣158．设a=loh，b=log，c=（）0.3则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c 9．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）A．B．C．1D．410．已知a、b、c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a、b、c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）的图象在[，]上递减C．f（x）的最大值为A D．f（x）的一个对称中心是点（，0）12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f （x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。

卜人入州八九几市潮王学校松江区2021届高三数学12月一模考试试题〔含解析〕一.填空题〔本大题一一共12题，1-6每一小题4分，7-12每一小题5分，一共54分〕{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，那么A B ⋂=_____【答案】{}12，【解析】 【分析】求解不等式化简集合A ，再由交集的运算性质得答案． 【详解】由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂=故答案为{}1,2【点睛】此题考察了交集及其运算，是根底题． 的终边过点(4,3)P -，那么3sin()2πα+的值是_____________. 【答案】45- 【解析】 【分析】由题意可得x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，再由任意角的三角函数的定义可得4cos 5α=，由诱导公式化简，代入即可求解．【详解】解：∵角α的终边过点P 〔4，﹣3〕，那么x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，4cos 5α=， 34sin()cos 25παα+=-=-． 【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义，两点间的间隔公式的应用，属于根底题．3.设121iz i i-=++，那么||z =______. 【答案】1.分析：首先求得复数z ，然后求解其模即可.详解：由复数的运算法那么有：()()()()11122221112i i ii z i i i i i i i ----=+=+=+=++-， 那么：1z i ==.点睛：此题主要考察复数的运算法那么，复数模的计算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.4.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．【答案】40 【解析】 【分析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得()521035522rrrr r rC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1034r -=，解得2r所以系数225240C ⨯=【点睛】此题考察了二项式定理的简单应用，属于根底题．22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，假设椭圆上的点P 满足12||2||PF PF =，那么1||PF =________【答案】4 【解析】根据椭圆定义，得到1226PF PF a +==，再由题中条件，即可得出结果.【详解】由题意，在椭圆22194x y +=中，1226PF PF a +==，又122PF PF =，所以1362=PF ，因此14PF =. 故答案为：4【点睛】此题主要考察椭圆上的点到焦点的间隔，熟记椭圆的定义即可，属于根底题型.x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，那么实数m =________【答案】2- 【解析】 【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx ym 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】此题主要考察由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的断定条件，灵敏运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.(1,2)a =，(,3)b m =-，假设向量(2)a b -∥b ，那么实数m =________【答案】32- 【解析】 【分析】先由题意，得到2(12,8)-=-a b m ，根据向量一共线的坐标表示，得到()12(3)80-⨯--=m m ，求解，即可得出结果.【详解】因为向量(1,2)a =，(,3)b m =-，所以2(12,8)-=-a b m ，又(2)a b -∥b ，所以()12(3)80-⨯--=m m ，即230m +=，解得：32m =-. 故答案为：32-【点睛】此题主要考察由向量一共线求参数，熟记向量一共线的坐标表示即可，属于常考题型.()y f x =存在反函数1()y f x -=，假设函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，那么函数12()log y f x x -=+的图像必经过点________【答案】(4,3) 【解析】 【分析】先由题意，得到6(1)2=+f ，推出函数()y f x =的图像过点(1,4)，其反函数过点(4,1)，求出1(4)1-=f ，得到12(4)log 4123-+=+=f ，进而可求出结果.【详解】因为函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，所以6(1)2=+f ，因此(1)4f =，即函数()y f x =的图像过点(1,4)又()y f x =存在反函数1()y f x -=，所以1()y f x -=的图像过点(4,1)，即1(4)1-=f ，所以12(4)log 4123-+=+=f ，即函数12()log y f x x -=+的图像必经过点()4,3.故答案为：()4,3【点睛】此题主要考察反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型.{}n a 中，假设121lim()3n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，那么1a 的取值范围是________ 【答案】112(0,)(,)333【解析】 【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，得到1q <且0q ≠，1113=-a q ，分别讨论10q -<<，和01q <<，即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，那么其前n 项和为：11(1),11,1n n a q q S qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩， 假设1q=时，1211lim()lim 3→∞→∞++⋅⋅⋅+=≠n n n a a a na ， 假设1q ≠时，112(1)1lim()lim13→∞→∞-++⋅⋅⋅+==-n n n n a q a a a q ， 因此1q <且0q ≠，1113=-a q ，即()1113=-a q ， 所以当10q -<<时，()11121,333⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q ； 当01q <<时，()11110,33⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q .因此，1a 的取值范围是112(0,)(,)333. 故答案为：112(0,)(,)333【点睛】此题主要考察由等比数列的极限求参数的问题，熟记极限的运算法那么，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.ax by cx d+=+的大致图像如图，假设函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，那么:::a b c d =________【答案】2:1:1:1- 【解析】 【分析】先由函数图像，得到函数ax b y cx d+=+关于()1,2-对称，推出02c d a c-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，化原函数为2+=+cx by cx c，再由函数图像所过定点，即可求出参数，得出结果.【详解】由图像可得：函数ax by cx d+=+关于()1,2-对称， 所以有02c d a c-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，即2c d a c =⎧⎨=⎩，因此2++==++ax b cx by cx d cx c ， 又函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，所以1834bcc b c c ⎧=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪-+⎩，解得：11b c =-⎧⎨=⎩，因此12d a =⎧⎨=⎩，所以:::2:1:1:1=-a b c d.故答案为：2:1:1:1-【点睛】此题主要考察由函数图像求参数，熟记函数的对称性，以及待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型.,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，那么实数c 的最小值为________【答案】-【解析】 【分析】先由题意，根据根本不等式，得到12≤ab ，得出112-≤-ab ，再由221a b +=，得到()212+-=a b ab ，根据abc a b c =++得()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b ，根据题意得到(=+∈ta b ，由函数单调性，得到3=-y t t的最值，进而可求出结果.【详解】因为,0a b >，221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即12≤ab ，当且仅当a b =时，取等号；因此111122-≤-=-ab ， 又221ab +=，所以22212++=+a bab ab ，即()212+-=a b ab ，由abc a b c =++得1+=-a bc ab ，所以()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+ta b，因为+==≤=a b a b =时取等号. 所以(=+∈ta b ，又易知函数3=-yt t在(t ∈上单调递增，因此32=-≤=-y t t ，因此()()2233==≥=-+--+c a b t a b t即实数c 的最小值为-故答案为：-【点睛】此题主要考察由根本不等式求最值，熟记根本不等式即可，属于常考题型.1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ，集合{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素m 、n ，那么0m n ⋅=的概率为________【答案】851【解析】 【分析】 先以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到各顶点坐标，列举出集合M 中所有元素，以及满足条件的组合，根据古典概型的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立如以下图的平面直角坐标系， 因为正六边形的边长为1，所以易得：()11,0A -、212⎛- ⎝⎭A 、31,22⎛ ⎝⎭A 、()41,0A 、51,22⎛- ⎝⎭A 、61,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，因此125412⎛== ⎝⎭A A A A ，136432⎛== ⎝⎭A A A A ，()142,0=A A ，()412,0=-A A ，15243,2⎛== ⎝⎭A A A A ，16341,2⎛== ⎝⎭A A A A ，21451,22⎛==-- ⎝⎭A A A A ，()23651,0==A A A A ，(251,=A A ，(52=-A A ，(26350,==A AA A ，31463,22⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭A A A A ，()32561,0==-A A A A ，(361,=-A A ，(63=A A ，4251322⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭A A A A ，4361122⎛==- ⎝⎭A A A A ，(5362==A A A A ；一共18个向量. 因此{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j Ma a A A i j i j ===≠中含有18个不同的元素.又在M 中任取两个元素m 、n ，满足0m n ⋅=的有：13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；()2,0与()0,3-或者()0,3；()2,0-与()0,3-或者()0,3；()1,0与()0,3-或者()0,3；()1,0-与()0,3-或者()0,3；()1,3与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3--与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3-与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；()1,3-与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；一共24种选法，又由m 、n 的任意性，因此满足0m n ⋅=的情况一共有：222448=A 种；又在M 中任取两个元素m 、n ，一共有22182C A 种情况；因此，满足0m n ⋅=的概率为：2218248851==PC A . 故答案为：851【点睛】此题主要考察古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 二.选择题〔本大题一一共4题，每一小题5分，一共20分〕 13.l 是平面α的一条斜线，直线m α，那么〔〕A.存在唯一的一条直线m ，使得lm ⊥ B.存在无限多条直线m ，使得lm ⊥C.存在唯一的一条直线m ，使得l ∥mD.存在无限多条直线m ，使得l ∥m【答案】B 【解析】【分析】根据题意，作出图形，结合直线与直线，直线与平面位置关系，即可得出结果. 【详解】因为l 是平面α的一条斜线，直线m α，画出图形如下：显然在平面内必存在直线m 与直线l 垂直， 且平面内有无数条直线与直线m 平行， 故存在无限多条直线m ，使得l m ⊥.应选：B【点睛】此题主要考察直线与直线位置关系的断定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型.,x y ∈R ，那么“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的〔〕A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】假设2x y +>，那么x 、y 中至少有一个数大于1，即“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分条件， 反之，假设“x 、y 中至少有一个数大于1〞，那么x y +不一定大于2，如：2,1x y ==-；因此，“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分不必要条件.应选：A .,b c R ∈，使2++≤x bx c M 对任意的[]0,4x ∈恒成立，那么〔〕A.M 的最小值为1B.M 的最小值为2C.M 的最小值为4D.M 的最小值为8【答案】B 【解析】 【分析】先令2()f x x bx c =++，由题意，得到(0)(4)()2f M f Mbf M⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，推出2164222c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，三式相加得2221644-++++≤b c b c c M ，根据绝对值不等式的性质定理，得到22216416422-++++≥++b b c b c c b ，再由题中存在,b c R ∈，使结论成立，可得：只需2min44126≥++b M b ，进而可得出结果.【详解】因为2++≤x bx c M 对任意的[]0,4x ∈恒成立，令2()f x x bx c =++，那么只需(0)(4)()2f M f Mbf M⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，即21644c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，所以2164222c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，所以以上三式相加可得：2221644-++++≤b c b c c M ，由绝对值不等式的性质定理可得：22221642162224416-++++≥-++++=++b b b c b c c c b c c b ，因此只需()222min minmin 14416412822648⎛⎫⎛⎫≥++=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b M b b b 即2M≥.应选：B【点睛】此题主要考察求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于常考题型.{1,2,3,,10}M =⋅⋅⋅，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，那么10S =〔〕A.45B.1012C.2036D.9217【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先确定()M A 可能取的值是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，再得到对应的个数，根据错位相减法，即可求出结果. 【详解】因为集合{1,2,3,,10}M=⋅⋅⋅，集合A M ⊆，()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集，由题意可得：()M A 可能取的值是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10， 那么一共有92个1；82个2；72个3；62个4；……，02个10； 因此98760102223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ， 所以1098711022223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ，两式作差得101098761102(12)222222101012--=------⋅⋅⋅-+=-+-S112122036=-+=-，所以102036=S .应选：C【点睛】此题主要考察含n 个元素的集合的子集的应用，以及数列的求和，熟记错位相减法求和，会求集合的子集个数即可，属于常考题型.三.解答题〔本大题一一共5题，一共14+14+14+16+18=76分〕 17.如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA的中点.〔1〕求圆锥的侧面积和体积； 〔2〕求异面直线CD 与AB 所成角的大小.〔结果用反三角函数表示〕【答案】〔1〕侧面积，体积8π；〔2〕14.【解析】 【分析】〔1〕根据圆锥的侧面积公式，以及体积公式，结合题中数据，即可得出结果；〔2〕先由题意，得到OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出()2,1,3=--CD ，()0,4,0AB =，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】〔1〕因为圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，所以其母线长为==PA因此圆锥的侧面积为122π=⋅⋅⋅=S PA OA ； 体积为：2183ππ=⋅⋅⋅=VOA PO ； 〔2〕由题意，易得：OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如以下图的空间直角坐标系，那么(2,0,0)C ，(0,2,0)A -，(0,2,0)B ，(0,0,6)P ，又点D 是母线PA 的中点，所以(0,1,3)-D ，因此()2,1,3=--CD ，()0,4,0AB =，记异面直线CD 与AB 所成角的大小为θ，所以cos cos ,14θ⋅-=<>===CD AB CD AB CD AB，因此，异面直线CD 与AB所成角的大小为.【点睛】此题主要考察求圆锥的侧面积与体积，以及异面直线所成的角，熟记圆锥的侧面积公式与体积公式，以及空间向量的方法求异面直线所成的角即可，属于常考题型.2()cos 2sin f x x x x =-.〔1〕求()f x 的最大值； 〔2〕在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设()0f A =，b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长.【答案】〔1〕最大值为1；〔2〕2a =.【解析】 【分析】〔1〕先将函数解析式化简整理，得到()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，即可得出最大值；〔2〕先由题意得到1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出3A π=；由b 、a 、c 成等差数列，得:2a b c =+；由2AB AC ⋅=得4bc =，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】〔1〕2()cos 2sin 2(1cos2)2cos21=-=--=+-f x x x x x x x x2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由x ∈R 可得26π+∈x R ，因此1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以max ()211=-=f x ；〔2〕由()0f A =得2sin 2106π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A ，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0A π<<，所以132666πππ<+<A ，因此5266ππ+=A ，所以3A π=；由b 、a 、c 成等差数列，可得:2a b c =+； 又2AB AC⋅=，所以1cos 22==bc A bc ，即4bc =， 由余弦定理可得：222222cos ()22cos 412=+-=+--=-a b c bc A b c bc bc A a ，解得：2a=.【点睛】此题主要考察求正弦型函数的最大值，以及解三角形，熟记正弦函数的性质，以及余弦定理即可，属于常考题型.19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的间隔〔并结合车速转化为所需时间是〕，当此间隔等于HY 间隔时就开场HY 提醒，等于危险间隔时就自动刹车，某种算法〔如以下图所示〕将HY 时间是划分为4段，分别为准备时间是0t 、人的反响时间是1t 、系统反响时间是2t 、制动时间是3t ，相应的间隔分别为0d 、1d 、2d 、3d ，当车速为v 〔米/秒〕，且[0,33,3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表〔其中系数k 随地面湿滑等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈〕.〔1〕请写出HY 间隔d 〔米〕与车速v 〔米/秒〕之间的函数关系式()d v ，并求0.9k=时，假设汽车到达HY 间隔时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，那么汽车撞上固定障碍物的最短时间是〔准确〔2〕假设要求汽车不管在何种路面情况下行驶，HY 间隔均小于80米，那么汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？【答案】〔1〕22020v d v k=++，最短时间是3.1秒〔2〕汽车的行驶速度应限制在20米/秒，合72千米/小时 【解析】 【分析】〔1〕根据题意，得到0123=+++dd d d d ，结合题中数据，即可得出函数关系式；再由0.9k =，得到汽车撞上固定障碍物的最短时间是20118==++d v tv v ，根据根本不等式，即可求出最值； 〔2〕根据题意，得到当0.5k =时，HY 间隔最大，推出222020802010++≤++<v v v v k ，求解即可得出结果.【详解】〔1〕由题意：HY 间隔201232020=+++=++v d d d d d v k ，当0.9k =时，22018=++v d v ，那么汽车撞上固定障碍物的最短时间是为：20111 3.118==++≥=≈d v tv v 秒； 〔2〕由题意可得：2208020v d v k=++<，因为[0.5,0.9]k ∈，所以当0.5k=时，HY 间隔最大，因此，只需：2208010++<v v ，解得：3020-<<v ，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒，合72千米/小时.【点睛】此题主要考察函数模型的应用，以及根本不等式的应用，熟记根本不等式，以及不等关系即可，属2:4y x Γ=的焦点为F ，经过x 轴正半轴上点(,0)M m 的直线l 交Γ于不同的两点A 和B .〔1〕假设||3FA =，求点A 的坐标；〔2〕假设2m =，求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部；〔3〕假设||||FA FM =，且直线1l ∥l ，1l 与Γ有且只有一个公一共点E ，问：△OAE 的面积是否存在最小值？假设存在，求出最小值，并求出M 点的坐标，假设不存在，请说明理由. 【答案】〔1〕(2,±；〔2〕证明见解析；〔3〕存在，最小值2，(3,0)M .【解析】 【分析】〔1〕由抛物线方程以及抛物线定义，根据||3FA =求出横坐标，代入24y x =，即可得出点的坐标；〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程是：2x my =+，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及向量数量积运算，得到12120OA OB x x y y ⋅=+<，推出AOB ∠恒为钝角，即可得结论成立； 〔3〕设()11,A x y ，那么110≠x y ，由||||FA FM =得1(2,0)+M x ，推出直线AB 的斜率12=-AB y k ．设直线1l 的方程为12yy x b =-+，代入抛物线方程，根据判别式等于零，得12b y =-．设(),E E Ex y ，那么14E y y=-，21141Ex y x ==，由三角形面积公式，以及根本不等式，即可求出结果.【详解】〔1〕由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x =-， 设()11,A x y ，由||3FA =及抛物线定义知，12x =，代入24y x =得y =± 所以A点的坐标(2,A或者(2,A -〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程是：2x my =+，联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2480y my --=，由韦达定理得121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<，故AOB ∠恒为钝角，故原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部． 〔3〕设()11,A x y ，那么110≠x y ，因为||||FA FM =，那么111-=+m x ，由0m >得12=+m x ，故1(2,0)+M x ．故直线AB 的斜率12=-AB y k ． 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为12y y x b =-+，代入抛物线方程 得211880b y y y y +-=，由题意21164320b y y ∆=+=，得12b y =-．设(),E E Ex y ，那么14E y y =-，21141Ex y x ==，111111110014111222141OAEy x S x y x y x y ∆==+≥-，当且仅当11114y x x y =，即22114y x =时等号成立， 由221121144y x y x ⎧=⎨=⎩得21144x x =，解得11x =或者10x =〔舍〕， 所以M 点的坐标为(3,0)M ，min()2OAE S ∆=.【点睛】此题主要考察求抛物线上的点，以及抛物线中三角形面积的最值问题，熟记抛物线的HY 方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型，但计算量较大.{}n a 满足：①n a ∈N 〔*n ∈N 〕；②当2k n =〔*k ∈N 〕时，2n na =；③当2k n ≠〔*k ∈N 〕时，1n n a a +<，记数列{}n a 的前n 项和为n S .〔1〕求1a ，3a ，9a 的值； 〔2〕假设2020nS =，求n 的最小值；〔3〕求证：242n n S S n =-+的充要条件是211n a +=〔*n ∈N 〕.【答案】〔1〕10a =，30a =或者1，90a =或者1；〔2〕115；〔3〕证明见解析.【解析】 【分析】〔1〕先根据题中条件，求出21a =，42a =，168a =，再结合题意，即可得出结果；〔2〕先由题意，得到122()kk ak N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k m a m -+=-或者m ，11,2,3,,2 1.k m -=-分别求出()64max S ，()128max S ，进而可求出结果；〔3〕先由242nn S S n =-+，根据题中条件，求出21+n a ，证明必要性；再由211()n a n N *+=∈，求出242n n S S n =-+，证明充分性即可.【详解】〔1〕因21a =，12a a <，且1a 是自然数，10a ∴=；42a =，340a a ≤<，且34,a a 都是自然数；∴30a =或者31a =； 168a =，9101608a a a ≤<<<=，且*()i a N i N ∈∈，∴90a =或者91a =．〔2〕由题意可得：122()kk ak N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k ma m -+=-或者m ，11,2,3,,2 1.k m -=-23458916173233(1232)171422222⨯⨯⨯⨯⨯++++=+++++=，()128max 646571427942S ⨯=+=，71420202794<<，64128n ∴<<，又20207141306-=， 所以min6451115n =+=〔3〕必要性：假设242n n S S n =-+，那么：122422n n n SS +=-+①122214(21)2n n n S S +++=-++②①-②得：1121222141()n n n aa a n N ++*++++=-∈③ 由于1121220,1n n a a ++++=⎧⎨=⎩或者1121221,2n n a a ++++=⎧⎨=⎩或者11212202n n a a ++++=⎧⎨=⎩，且210,n a +=或者1只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立，211()n a n N *+∴=∈；充分性：假设211()na n N *+=∈，由于1212223212n n n n n a a a a ++++=<<<<=所以2(,,2)nn kak n N k N k **+=∈∈≤，即211n a +=，222n a +=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n n a +=所以对任意的n *∈N ，都有2211n n a a -=+…〔I 〕另一方面，由2n ka k +=，1222n k a k ++=(,,2)n n N k N k **∈∈≤所以对任意的n *∈N ，都有22nn a a =…〔II 〕2422232()24()n n a a a n a a a a n =+++-=++++-，由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n ∴=+++-+=-+.【点睛】此题主要考察数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的求和公式，由递推关系求通项公式的方法，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型，难度较大.。

江门市2017届普通高中高三调研测试数学（理科）试题2016.12第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．错误！未找到引用源。

是虚数单位，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A ．1B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

2．已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

3．在错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

边的中点，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

4．若等差数列错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的前2016项之和错误！未找到引用源。

A ．1506B ．1508C ．1510D ．15125．若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

6．在平面直角坐标系中，“直线错误！未找到引用源。

与直线错误！未找到引用源。

平行”是“错误！未找到引用源。

”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是8．如图，空间四边形错误！未找到引用源。

中，点错误！未找到引用源。

分别错误！A B C D A B C D 1111E未找到引用源。

上，错误！未找到引用源。

深圳市示范性高中（高三）12月月考数学试题理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( D ) A ．21-B ．2C ．2-D ．21 2、在锐角△ABC 中，角A B C 、、所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于( A )A . 30oB . 45oC . 60oD . 75o3、已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014S （ D ）A ．2014-B ．1007-C ．1007D ．2014 4、若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的B 等于（ A ）A ．63B ．31C ．127D ．155、若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切， 则m ＝( C )A ．21B ．19C ．9D ．－116、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( B )A.16B.36C.13D.337、已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如下图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为（ B ）A.()sin(1)2g x x π=+ B.()sin(1)8g x x π=+C.()sin(1)2g x x π=+ D.()sin(1)8g x x π=+8、已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( C )A ．5B ．29C ．37D ．499、已知P 是以F 1，F 2若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos αsin(α+β D ）A43 B 33 C 42 10．设函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则（ D ） A 212ln 2()4f x +<-B ．212ln 2()4f x -<C ．212ln 2()4f x +>D ．212ln 2()4f x -> 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.11、已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ={}2,1,0,1-.12、已知=-+=αααααcos 3sin 2cos 4sin 3.2tan 则1013、已知向量a (2,1)=，向量)4,3(=，则a 在b 方向上的投影为__2___14、已知函数1214)(--=x x x f ，则=++++)20152014()20152013(...)20152()20151(f f f f _4028_. 15、已知下列五个命题：③直线01=++y x 与圆 ④“b a 1010≥”是“b a lg lg ≥”的充分不必要条件.⑤过M （2,0）的直线lP 1P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2其中真命题的序号是：1，3，5三、解答题：大题共6小题，共75分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤.16、（本小题满分12分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间及对称轴的方程； （Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.解：（I）因为21()cos cos 2222x x x f x =+-cos 122cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ 对称轴的方程)(3Z k k x ∈+=ππ(Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈ 所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =由正弦定理sin sin B Ab a=把1a b ==代入，得到1sin 2B =又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =17、成都市海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品中来自C 地区的样品数X 的分布列及数学期望。

海口市数学高三上学期理数一轮摸底考试（12月)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={﹣2，2，3，4，5，9}，则集合A∩B=（）A . {2，3，4}B . {2，3，4，5}C . {1，2，3，4，5}D . {﹣2，1，2，3，4，5}2. （2分） a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是（）．A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·宁夏期末) 双曲线的焦距为（）A .B .C .D .5. （2分）若对所有实数x，均有，则k= （）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分）偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，当时, f(x)=1-x，则关于x的方程在上解的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）(2018·山东模拟) 已知，在的展开式中，记的系数为，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·滨州期中) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为（）A . 1B . 2C . 3D . 69. （2分）(2017·陆川模拟) 在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）A . m（1+q）4元B . m（1+q）5元C . 元D . 元10. （2分）已知双曲线的离心率为.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一上·河北期末) 函数y=sin （2x+ ）的图象可由函数y=cosx的图象（）A . 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B . 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C . 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D . 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位12. （2分）若关于的两个方程，的解分别为、（其中是大于1的常数）,则的值（）A . 大于0B . 小于0C . 等于0D . 以上都不对，与的值有关二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·广安模拟) 在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则 =________．14. （1分） (2018高二上·黑龙江期中) 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为________15. （1分）＋＝________．16. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC= ，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2016高二上·九江期中) 已知等差数列{an}满足：a4=7，a10=19，其前n项和为Sn ．（1）求数列{an}的通项公式an及Sn；（2）若bn= ，求数列{bn}的前n项和为Tn．18. （10分） (2020高三上·泸县期末) 如图所示，四边形为菱形，且，，，且，平面 .（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值.19. （15分） (2018高二下·辽源月考) 为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：组别频数频率[145.5，149.5）10.02[149.5，153.5）40.08[153.5，157.5）200.40[157.5，161.5）150.30[161.5，165.5）80.16[165.5，169.5）m n合计M N（1）求出表中所表示的数；（2）画出频率分布直方图；20. （10分）(2017·武邑模拟) 已知椭圆G： +y2=1，与x轴不重合的直线l经过左焦点F1 ，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．（1）若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；（2）是否存在直线l，使得|AM|2=|CM|•|DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21. （10分）(2019·天津模拟) 己知函数。

2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。

2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。

考试结束后，只收答题卷.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={∣x 2x 2-x -15≤0}，B ={-3,-1,1,3,5}，则A B =（）A ．{1,3}B ．{-3,-1,1}C ．{-1,1}D ．{-1,1,3}2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A ．172B ．183C ．191D ．2113．已知sin π2123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．59C ．59-D ．794．已知平面向量a ，b 满足3a= ，()13b = ，，211a b -= ，则a 在b上的投影为（）A ．3B ．1C ．2D ．65．若函数()()()log 20,1a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A ．269B ．66C ．579D ．3067．已知函数()e 2e ln e xf x x x -=-+，若e 2e 2021e 2022e 2023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（）A ．34B ．32C ．54D ．228．在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+9．已知抛物线22x py =()0p >的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，且AF 的最小值为1，M 是线段AB 的中点，()2,3P 是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A ．2p =B ．若8AF BF +=，则M 到x 轴的距离为3C ．若2AF FB =，则3AB = D ．AP AF +的最小值为410．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．511．已知0x 是函数()22e e x x f x -=-的图象与函数()1ln g x x x x=++的图象交点的横坐标，则020e ln xx =（）A ．2-B ．ln 2-C ．ln 2D ．212．已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．()22204x x dx +-=⎰______________．14．在三棱锥P －ABC 中，23PA AB PB AC ====，AC ⊥平面PAB ，则三棱锥P －ABC 的外接球O 的体积为______．15．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，当4x π=-时函数()f x 能取得最小值，当4x π=时函数()y f x =能取得最大值，且()f x 在区间5,1826ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则当ω取最大值时ϕ的值为__________.16．已知函数ln (),()e x xf xg x x x-==，若存在12(0,),∈+∞∈R x x ，使得()()12==f x g x k 成立，则下列命题正确的有___________．①当0k >时，121x x +>②当0k >时，212e 2exx <+<③当0k <时，121+<x x ④当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求n S ，n T ．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求A ；(2)若ABC 的面积为63，27a =，求ABC 的周长．19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足024t <≤，t ∈N .经测算，当1624t ≤≤时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当016t <<时，候车人数会减少，减少人数与(16)t t -成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为()f t .(1)求()f t 的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320f t P t-=+，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20．如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为正方形，二面角S-AB-D 为直二面角，∠SAB =∠SBA ，点M 为线段AD 的中点.(1)证明：SD ⊥MC ；(2)若SA =AB ，点N 是线段BD 上靠近点B 的三等分点，求直线SA 与平面SMN 所成角的正弦值.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点()0,2G 与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由.22．已知函数()ln ln f x x a x =-，其中0a >且1a ≠．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()1e lnf x a a≥在()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．全科免费下载公众号《高中僧课堂》2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。