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第七-3章 非周期信号的傅里叶变换

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非周期信号的频谱分析傅里叶变换.

非周期信号的频谱分析傅里叶变换.

X( )
1
a j
a2
a
2
j a2 2
Re( )
lim
a0
a2
a
2
0
( 0)
Re( )
lim
a0
a2
a
2
( = 0)
lim
a0
Re( )d lim
a0
d( / a) 1 ( / a)2
lim arctan
a0
a
14
Im( )
lim
a0
a2
2
1
Re() = δ()
X ( ) sgn(t )e j tdt
laim0
0 eat e j
tdt
eat e
0
j
t
dt
1
laim0 a j
a
1
j
2
j
X( ) 2
(
)
2
2
0 0
13
7、阶跃信号的频谱
u(t) 1
X()
0
t
0
不满足绝对可积的条件。看成单边指数脉冲a 0的极限。
()和X()是奇函数。
16
2、线性性质
若 F [ x1(t) ] = X1() F [ x2(t) ] = X2() 则 F [ ax1(t) + bx2(t) ] = aX1() + bX2()
（1）若信号增大a倍，则频谱亦增大a倍; （2）两个相加信号的频谱等于各个单独信号频谱的相加
3、对偶性
2
X (n1 ) 1
T1 / 2 x(t )e jn1t dt
T1 / 2
T1 ，对等式两边求极限（1 0，n1 ）

第七3章 非周期信号的傅里叶变换

第七3章 非周期信号的傅里叶变换

则
G( ) g (t )e jt dt 2 Ee jt dt
2

13
7-5典型信号的傅立叶变换
E sin 2 E Sa ( ) 2 2

表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。 n ( n 1, 2, ) Sa ( )0 。 当 时， 2 2 2 n 1 G ( ) 取 ， 的第一个零点的频率为 c ， 定义 0 ~ c （或者 0 ~ fc ）之间的频率范围称为信号宽度。
这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件， 因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函 数 ( ) 之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。
12
7-5典型信号的傅立叶变换
1 单个门函数 g (t )
g(t)
E


2
0

2
t
单个门函数
其幅度为E，宽度为

， F[ g (t )] G( )，
• 原来的离散量 n1 演变成连续量 。
• 离散求和 运算 变成连续积分
运算
，即
（ 1）
（2 ）
F ( )
1 f (t ) 2


f (t )e jt dt
F ( )e jt d



式（1）（2）是一对傅立叶变换对，式（2）称为非周 期信号 f (t ) 的傅立叶正变换或称为频谱密度函数.
2 ，用指数形式傅立 T 为周期，脉宽为 ，基频为 1 T 叶级数展开可得
1 T Fn 2T fT (t )e jn1t dt T 2
1 2 E jn1t Ee dt T 2 T

4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换

4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换



2


4.4 连续时间信号傅里叶变换
例：双边指数信号二
时域表达式：
at e f (t ) at e
t0 t0
(a>0)
et u(t ) et u(t )
其傅立叶变换：
F ( j) f (t )e


j t
dt
e e
dt
e e
t

0
j t
dt e
0

t
e
j t
dt
1 j
1 j
2 2 2
4.4 连续时间信号傅里叶变换 双边指数信号一
f (t ) e
t
(a>0)
2 F ( j ) 2 2
其振幅频谱为：
2 F ( j ) 2 2
E
T － 复系数:
o τ T τ － － 2 2 2
T 2
T
2T
t
Fn
E T 2 π 4π
n0 E Fn Sa( ) T 2

0 3 0 0


4.4 连续时间信号傅里叶变换
4.4.1 非周期信号的傅里叶变换表示 jn0t f ( t ) F e n 周期信号有： n T 1 jn0 t F 2 f ( t ) e dt T n T 2 周期信号趋于非周期信号


j t
dt
e
0

t
e
j t
e dt ( j ) 0

( j ) t

1 j

傅里叶变换 讲解

傅里叶变换 讲解

傅里叶变换讲解傅里叶变换是基于信号的频域分析方法，被广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。

它是法国数学家傅里叶在19世纪提出的一种数学变换方法。

在介绍傅里叶变换之前，我们先来了解一下频域和时域的概念。

在时域中，信号是按照时间变化的，我们可以观察信号的振幅、相位等特性。

而在频域中，信号是按照频率变化的，我们可以观察信号的频率成分、频谱分布等特性。

傅里叶变换的核心思想是将一个时域信号分解成若干个不同频率的正弦和余弦波形成的谐波的叠加。

通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱图或频域表示。

傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt其中，F(ω)表示信号在频率ω处的频谱；f(t)表示时域信号；e^(-jωt)为复指数函数；∫表示积分运算。

傅里叶变换不仅可以将信号从时域转换到频域，还可以通过反变换将信号从频域转换回时域。

这使得我们可以对信号进行频谱分析、滤波、卷积等处理操作，进一步理解和提取信号的特征。

在实际应用中，傅里叶变换有多种形式，常见的有连续傅里叶变换（CTFT）、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。

其中，FFT是一种高效的离散傅里叶变换算法，广泛应用于数字信号处理领域。

通过FFT算法，我们可以快速计算信号的频谱，加速信号处理的速度。

傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用。

例如，在音频处理中，我们可以通过傅里叶变换将音频信号转换到频域，从而实现音频的谱分析、音频合成等功能。

在图像处理中，我们可以通过傅里叶变换进行图像滤波、图像压缩等操作。

在通信领域，傅里叶变换可以帮助我们理解信号的频率特性，优化信号的传输和接收过程。

总之，傅里叶变换是一种非常重要的信号处理方法，通过将信号从时域转换到频域，可以帮助我们对信号进行更深入的分析和处理。

掌握傅里叶变换的原理和应用，对于从事信号处理相关工作的人员具有重要的指导意义。

3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换.

3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换.

3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换3.4.1傅里叶变換期信号有：,「/(o= a F严1 n=・1 代=*6 訂12当T—Ofi旺周期信号趋于非周期信号。

谱线无限密集，Q® dco nQ® ry 幅度Fn趋于无穷小2令：F(加)二码>^ = £ f(t)e ^f dt3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换又因为，Fg =轉FJT lim F fl ?菩lim F n | 称为频谱密度函数，简称频谱函数。

0)=肝t F严C T* 二nCl® co dcoI fOO“FL3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换记为：F(jcu) = /0)=歹T[F(js)]或：/(r) o Fg一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为/⑴应满足绝对 可积，即要求口于(咖/<83.4非周期信号的连续时间傅里叶变换3.4.2非周期信号的频谱函数F(j^ = \F(jco)\e J^幅度频谱：|尸(沟)|〜q 变化的关系曲线 相位频谱：cpG ~co 变化的关系曲线•傅立叶变换对 •正变换 •逆变换F(3 =fW —co1 r°° 271 J-s3.4非粵期信芝的连芝时间譽叶变娶几)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:F(je)= [ f(t)e jOJ dt =「f{t)coscotdt-j[ f(t)s\ncotdt = /?(e)+ JX(co)J —CO J — CO J_SIRg) = /?(- jco)是少的偶函数i X(Q )= - X(- e)是e 的奇函数F(/o) = |F(M)0g )R(e) =|F(j7z>)|cos (p{co) X(e)= |F5)|sin0(Q ).3.4非粤期信芝的连线时间譽叶变轡..几个重要结论：当/⑴是实函数时：(1)若几)为啲偶函数，即fit) =f (-t )9则/⑴的频谱函数F(jc 〃)为少的实函数，且为少的偶函数。

3.3非周期信号的连续时间傅立叶变换

3.3非周期信号的连续时间傅立叶变换
t
幅度频谱：
( )

2
F ( j )
相位频谱：
1

2
2
0
2

( ) arctan( )
• 双边指数信号一
e at f (t ) at e
t0 t0
(a > 0)
e
t
其傅立叶变换：
F ( j) f (t )e


1 1 e j 2 2
j arctan
• 单边指数信号一
1 e (t ) j
t
幅度频谱：
( )

2
F ( j )
相位频谱：
1

2
2
0

2
( ) arctan( )
• 单边指数信号二
e at t 0 ( 0) f (t ) 0 t 0
率的振幅，具有密度的意义，所以将其称为函数 f (t ) 的频谱密度函数，简称频谱函数。 另外，如果已知 F ( j ) ，则非周期信号 f (t )可如下 确定： 2 Fn jn1t 1 jn1t f (t ) lim Fn e lim e 1 T 2 T n 1 n 1 F ( j )e jt d 2
FnT
2 Fn

T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
lim
2 Fn 从量纲上来看， F j FnT 1 反映了单位频
T 2 T T 2
f (t )e
jn1t
dt


f (t )e jt dt

非周期信号的傅里叶变换

0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2.一般周期信号的傅立叶变换
x( t )
k
C
jk 0 t

k
e
jk 0 t
e
F [ x( t )]

j0t

2( 0 )
k
k
C
jk 0 t
F [e
] 2

k
c ( k
k

0
)
k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
常数
试求 X ( w ) ( w ) 的傅立叶反变换
1 x( t ) 2 1 ( w )e dw 2
jwt
1
2
(w)
1 2 ( w ) A 2A ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.8 傅立叶级数与傅立叶变换的关系



x(t ) dt
1 2




X ( w )e jwt1 dw x( t1 )
jwt 2
若x(t)在t2点不连续,则: 1
2
X ( w )e
1 dw [ x( t 2 ) x( t 2 )] 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
三、常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 信号表达式
X ( w )w0 lim C k lim T0 T0 2
X ( w )w0 jkw t 代入(1)式,得: x( t ) lim e T 2 k ~ x ( t ) x( t ) T0 时 0 d , k 0
0 0

1 x( t ) 2

信号分析3.02 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换

R ( )是的偶函数, X ( )是奇函数 R( ) ( ) arctan X( )
如果f(t)是实函数
F ( jw)


f (t )e jwt dt F ( jw)
F ( jw) F ( jw) F ( jw) 是w偶函数
F j F () ~ : 幅度频谱
提问:所有信号都可以由时域变换到频域分析吗?
三．傅里叶变换存在的充分条件
注意：



f t d t （有限值或收敛） 即f t 绝对可积
绝对可积 F(jw)存在
1）满足绝对可积，傅里叶变换一定存在（充分条件） 2）不满足绝对可积，傅里叶变换仍可能存在（不是必 1 (t ) (t ) 要条件）
第二节 非周期信号的频谱分析 －傅里叶变换
• 傅里叶变换的提出
•傅里叶变换的物理意义
•傅里叶变换的存在条件
•常用非周期信号的频谱 •非周期信号的频谱的特点
一．傅里叶变换的提出
周期信号向非周期信号过渡 fT t f (t ) T1 时域过渡
2π T1 频域过渡: 谱线间隔 `1 d T1
3）所有能量信号均满足此条件。
四.常用非周期信号的频谱
矩形脉冲（门函数）
单边指数信号
直流信号
单位阶跃信号 单位冲激信号
1．矩形脉冲信号－门函数

f (t ) Eg (t )
E
F ( j ) f (t )e j t d t Ee j t d t
E e .
简写
记做：
f t F j
F f (t ) F ( j )
F
1
F ( j )

非周期信号的傅里叶变换


0
a j a j a2 2
ℱ[sgn(t)]
2 j 2
2
j
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
4．阶跃函数
u(t) 1 1 sgn(t) 22
ℱ[u(t)] 1 2 1 2 1
2
2 j
j
F()
0
• u(t)含有直流分量，频谱中 含有冲激函数 • u(t)不是纯直流信号，频谱 中还出现其它频率分量
✓奇异信号的傅立叶变换 冲激信号、阶跃信号……
作业: 3-16(b)(c)，3-19
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
E
2 [cos(
)t cos(
)t]dt
0
0
sin( ) sin( )
E
2 E
2
cos
E[
2
cos
2
2 cos
]
E
(
)2
2
2
2E
cos
1
2
(
)
2
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
[例2]：求下列Bf
频谱第一个零点对应的频率
1
te jt
2
(
1
)2 e jt
2
2
e jt
j
0 j
0 j
1 j
1 j
Sa
2
(
)e
j
2
2
ii) B 2 , Bf 1
平移不会改变信号的频带宽度
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems

非正弦周期信号的傅里叶级数分解

非正弦周期信号的傅里叶级数分解当电路的激励源为直流或正弦交流电源时，可用所述方法对电路进行分析计算。

但是在实际电气系统中，却经常会遇到非正弦的激励源问题，例如电力系统的交流发电机所产生的电动势，其波形并非理想的正弦曲线，而是接近正弦波的周期性波形。

即使是正弦激励源电路，若电路中存在非线性器件时，也会产生非正弦的响应。

在电子通信工程中，遇到的电信号大都为非正弦量，如常见的方波、三角波、脉冲波等，有些电信号甚至是非周期性的。

对于线性电路，周期性非正弦信号可以利用傅里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦分量，然后用正弦交流电路相量分析方法，分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算，再由线性电路的叠加定理，把各分量叠加，得到非正弦周期信号激励下的响应。

这种将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法称为谐波分析法。

设周期函数的周期为T，则有：（k为任意整数）如果函数满足狄里赫利条件，那么它就可以分解成为傅里叶级数。

一般电工技术中所涉及的周期函数通常都能满足狄里赫利条件，能展开为傅里叶级数，在后面讨论中均忽略这一问题。

对于上述周期函数，可表示成傅里叶级数：（1）或（2）式中，称为基波角频率；二式中系数之间有关系式：或（3）展开式中除第一项外,每一项都是不同频率的正弦量，称为周期函数的直流分量（恒定分量），第二项称为基波分量，基波角频率，其变化周期与原函数周期相同，其余各项（的项）统称为高次谐波。

高次谐波分量的频率是基波频率的整数倍。

当时称为二次谐波，时称为三次谐波等等。

是第n次谐波的初相角。

当已知时，傅里叶级数表达式中各谐波分量的系数可由下面公式求得：（4）下面用一个具体例子来进行傅里叶分解。

例1 图1所示为对称方波电压，其表达式可写为：求此信号的傅里叶级数展开式。

图1解：根据傅里叶级数的系数推导公式，可得由此可得所求信号的傅里叶级数展开式为在实际工程计算中，由于傅里叶级数展开为无穷级数，因此要根据级数展开后的收敛情况，电路频率特性及精度要求，来确定所取的项数。

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→ 有 界函数
∆ ( nω1 ) = ω1 → d ω
→ ( nω1 )， ω 连续
T
1 1
F ( ω ) = limT1 F ( nω1 ) = lim ∫−T2 f (t )e − j nω t d t
T →∞
1
T →∞
1
1
2
频谱密度函数 简称频谱函数
T1 → ∞
∫ −∞
∞
f ( t )e
−j
ω
R (ω ) = ∫
∞ −∞ ∞
f (t ) sin ω tdt
f (t ) cos ωtdt f (t ) sin ωtdt
X (ω ) = − ∫
则
−∞
F(ω) = R(ω) + jX (ω)
显然， 是一个复数， 的偶函数， 显然， (ω ) 是一个复数，其实部 R (ω )是频率 ω 的偶函数， F 的奇函数。 虚部 X (ω ) 是频率 ω 的奇函数。
第7-3章 非周期信号的傅里叶变换 章
1
7-4 非周期信号的频谱分析 傅立叶变换 非周期信号的频谱分析—傅立叶变换
为周期， T 为周期，脉宽为 τ ，基频为 ω1 = 叶级数展开可得 1 T Fn = ∫ 2T fT (t )e − jnω1t dt T −2
1 = T Eτ 2 Ee − jnω1t dt = ∫−τ2 T
• 也就是说随着T的增大，谱线幅度越来越小，谱线也间 也就是说随着T的增大，谱线幅度越来越小，谱线也间 隔越来越小。 隔越来越小。 • 当 T → ∞ 时，谱线幅度无穷小，离散的频谱将变成连续 谱线幅度无穷小， 谱，这时无法用傅立叶级数展开对非周期信号进行频谱分 析。 • 但是谱线幅度仍然具有相对大小的特性，为了分析非周 但是谱线幅度仍然具有相对大小的特性， 期信号的频谱，下面引入傅立叶变换。 期信号的频谱，下面引入傅立叶变换。
f (t ) = F −1[ F (ω )]
f (t ) ← F (ω ) →
1 f (t ) = 2π
∫
∞
−∞
F (ω )e jωt d ω
上式表明， 上式表明，非周期信号可以分解成无穷多个虚指数函数 e jωt F (ω )dω 之和，指数分量的谐系数振幅是一个无穷小量—— 之和，指数分量的谐系数振幅是一个无穷小量 2π 的整个频域。 它占据了从 −∞ 到 +∞ 的整个频域。
8
7-4-2 非周期信号的频谱
还可以写为： 非周期信号 f (t ) 的傅立叶变换 F (ω ) 还可以写为：
F (ω ) = ∫ =∫
定义
∞
−∞ ∞
f (t )e
− jωt
dt = ∫
∞
−∞
f (t )(cos ωt − j sin ωt )dt
∞ −∞
−∞
f (t ) cos ωtdt − j ∫
t
dt
4
X
F (ω ) = ∫
∞
−∞
f ( t )e − jω t d t = F [ f ( t ) ]
由f (t )求F ( ω ) 称为傅里叶变换. F ( ω ) 一般为复信号，故而可以表示为 一般为复信号， F (ω ) =| F (ω ) | e jφ (ω )
F ( ω ) ~ ω : 幅度频 谱
∞
F (ω ) = ∫
1 f (t ) = 2π
−∞
f (t )e− jωt dt
F (ω )e jωt d ω
（1） （2）
∫
∞
−∞
式（1）（2）是一对傅立叶变换对，式（2）称为非周 期信号 f (t ) 的傅立叶正变换或称为频谱密度函数.
7
傅里叶正变换 傅里叶反变换 傅里叶反变换 也可表示为
F (ω ) = F [ f (t )]
= 2π E lim
τ →∞
τ lim π Sa (ωτ ) = δ (ω ) τ →∞
= 2π Eδ ( ω)
22
E ↔ 2π Eδ ( ω )
f (t )
E t
F (ω )
(2πE )
13
7-5典型信号的傅立叶变换 典型信号的傅立叶变换
1 单个门函数 g(t)
−
τ
2
τ
2
单个门函数
其幅度为E， 其幅度为 ，宽度为 则
∞
τ ， [ g (t )] = G(ω )， F
τ
− 2
G (ω ) = ∫ g (t )e − jωt dt = ∫ 2τ Ee − jωt dt
−∞
14
7-5典型信号的傅立叶变换 典型信号的傅立叶变换
是一个偶函数， 非周期信号 g (t ) 是一个偶函数，其傅立叶变换 G (ω ) 是ω 的 实函数， 实函数，所以频谱函数 G (ω ) 的幅度频谱 G (ω ) 和相位频 谱ϕ (ω ) 可以画在同一个图上，如下图所示。 可以画在同一个图上，如下图所示。
16
7-5典型信号的傅立叶变换 典型信号的傅立叶变换
− at
F (ω ) =
A a +ω
2 2
∠ − arctan
ω
a
= F (ω ) ∠ϕ (ω )
18
其中幅度频谱 相位频谱
F (ω )
F (ω ) =
A a2 + ω 2
ϕ (ω ) = − arctan
ω
a
φ (ω )
A
α
π 2
0
0
ω
ω
−π 2
19
7-5典型信号的傅立叶变换 典型信号的傅立叶变换
F ( ω ) = lim ∫ E ×e − jω t d t
τ →∞
−τ
τ
e − jω t = E lim τ →∞ − j ω
τ −τ
e − jωτ − e jωτ = E lim − jω τ →∞
= E lim
τ →∞
2sin ωτ
ω τ sin ωτ π ωτ
= Eτ sin 2 = Eτ Sa( ωτ ) ωτ 2 2
ωτ
表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。 表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。
)=0 。 2 2 n = 1 ， (ω ) 的第一个零点的频率为 ωc = 2π ， G 取
当 之间的频率范围称为信号宽度。 定义 0 ~ ωc 或者 0 ~ f c ）之间的频率范围称为信号宽度。 （
4 直流信号
f (t ) = E
– 直流信号不满足绝对可积条件，所以不能用傅立叶积分式求其 直流信号不满足绝对可积条件， 傅立叶变换。 之后， 傅立叶变换。但是频谱函数引入冲激信号δ (ω) 之后，这些信号 的频谱存在。 的频谱存在。
f 1 (t )
E
τ →∞
f (t )
E
τ τ−→∞ O
τ
t
0
t
21
Eτ
F (ω )
φ (ω )
π − 2π τ
0
− 2π τ
0
2π τ
4π τ
ω
2π τ
4π τ
ω
−π
(a)
(b)
10
的奇偶性， 根据信号 f (t ) 的奇偶性，还可以写出频谱函数 F (ω ) 的特 殊形式。 殊形式。 – 若 f (t ) 是偶函数，则 F (ω ) 只含有实部 R(ω ) ， 是偶函数， – 若 f (t ) 是奇函数，则 F (ω ) 只含有虚部 X (ω ) 是奇函数， 另外， 的关系， 另外，利用 f (t ) 与 F (ω ) 的关系，还可以把 f (t ) 写成
π∫
1
∞
0
F (ω ) d ω cos[ωt + ϕ (ω )]
π
它占据了从0到 ∞ 的频率范围，从各分量的振幅总可以 看 它占据了从 到 的频率范围， 是单位频率上的幅度， 出 F (ω ) 是单位频率上的幅度，所以频谱函数 F (ω ) 又称为 频谱密度函数。 频谱密度函数。
12
7-4-3 傅立叶变换存在的条件
3 单位冲激信号 单位冲激信号 δ (t ) 的傅立叶变换
∞
F [δ (t )] = ∫ δ (t )e − jωt dt = 1
−∞
→ 即 δ ( t ) ← 1
F [δ (t )]
δ (t )
∞
(1)
0
t
δ (t ) 信号
1 0
δ (t )的频谱函数
ω
20
7-5典型信号的傅立叶变换 典型信号的傅立叶变换
9
幅度频谱 相位频谱
F (ω ) = R 2 (ω ) + X 2 (ω )
X (ω ) ϕ (ω ) = arctan R(ω )
的各频率分量的比例关系， 幅模 F (ω ) 表示了信号 f (t ) 的各频率分量的比例关系， 的关系为幅度频谱， 所示。 称 F (ω ) ~ ω 的关系为幅度频谱，如图 (a)所示。 所示 的各频率分量的初相角， 幅角 ϕ (ω ) 表示了信号 f (t ) 的各频率分量的初相角，称 ϕ (ω ) ~ ω 的关系为相位频谱，如图（b）所示。 的关系为相位频谱，如图（ ）所示。
1 ∞ f (t ) = F (ω ) e jϕ (ω ) e jωt dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 1 = F (ω ) cos[ωt + ϕ (ω )]dω + j 2π ∫−∞ 2π 1 ∞ = ∫−∞ F (ω ) cos[ωt + ϕ (ω )]dω 2π 1 ∞ = ∫ F (ω ) cos[ωt + ϕ (ω )]d ω
1
= lim
T1 →∞
F (nω1 )
ω1
2π
当T1 → ∞时, nω1 → ω