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第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换

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第三章傅里叶变换的性质.ppt

第三章傅里叶变换的性质.ppt


0
f (t)奇函数：X ()

f (t)sin tdt 2

f (t)sin tdt

0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。

1 T

(t

T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T

F(
j )

2
2T
(1
cosT )

4
2T
sin
2 (T
2
)

TSa2 (T
2
)
第三章第1讲

12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t

1 2
(e
j0 t

e
j0 t
)
sin
0t

1 2j
(e
j0 t

信号与系统 第3章-3

信号与系统 第3章-3

解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0

第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)

第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)

X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n

x( n)e jnw
X (z)
n


x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
华北电力大学自动化系
3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n


x ( n) z n
n


x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
华北电力大学自动化系
15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
华北电力大学自动化系
6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T

时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t

时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )



T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n

x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
华北电力大学自动化系
8

信号与系统3.7.8傅里叶变换的基本性质

信号与系统3.7.8傅里叶变换的基本性质
2.若f(t)是虚函数 令f(t)＝jg(t)，则：
R()＝ g(t)sin (t)dt －
X ()＝ g(t) cos (t)dt －
在这种情况下，R()为奇函数，X()为偶函数，即满足： R()＝－R(－) X()＝X(－)
而 F() 仍是偶函数，()是奇函数。
第3章 傅里叶变换
此外，无论f(t)为实函数或复函数，都具有以下性质
所以
[F(t)]=2 f(－)
若f(t)是偶函数，式(3 50)变成
[F(t)]=2 f()
(3 50) (3 51)
第3章 傅里叶变换
第3章 傅里叶变换
（二） 线性（叠加性）
若 [fi (t)]＝Fi () （i＝1，2，...，n），则
n
n
[ aifi (t)]＝ aiFi ()
i＝1
f(at)e dt
令x=at
当a 0
[f(at)]＝ 1
f(x)e
j x a
dx=
1
F(
)
a
aa
第3章 傅里叶变换
当a 0
[f(at)]＝ 1
－
f(x)e
j
x a
dx
a ＋
＝－ 1
f(x)e
j
x
a dx＝－ 1
F(
)
a
aa
综合上述两种情况，便可得到尺度变换特性表达式为
[f(at)]＝ 1 F( )
－
－
在这种情况下，显然
R
X
()＝ －
()＝－
f(t) cos (t)dt
f(t) sin (t)dt
－
(3－54)
第3章 傅里叶变换

通信常见函数的傅里叶变换

通信常见函数的傅里叶变换

式中，n
arctan
bn an
cn
an2bn2
Opposite Hypotenuse
为n次谐波初始相位。 为n次谐波振幅。
！ 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！
f ( t ) 可展开为傅里叶级数的条件：
（1）f ( t 绝) 对可积，即： t2 f (t) dt t1
（2）f ( t 在) 区间内有有限个间断点；
第3章 傅里叶变换
重点：
1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换
3.1 傅里叶变换的产生
傅里叶1768年生于法国,1807年提 出“任何周期信号都可用正弦函数 级数表示”, 1822年在“热的分析 理论”一书中再次提出。1829年 狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。 傅里叶变换得到大规模的应用，则 是到了上世纪60年代之后。
T0 2
T0 2
(t)ejn0tdt1 T0
T0
(t)
1 T0
ejn0t
n
a0
1 T0
又
anT20 T2 T020(t)cosn0tdtT20
bn 0
T 0 ( t )
的三角傅里叶级数为：T0(t)T10 T20
cosn0t
n1
例 求下图中三角波的三角傅里叶级数。
解 （1）将周期函数 f ( t ) 在 t [0,T0]内的函数记为
第一个过零点为n =4 。 F&n 在2π/有4值1（谱线）
f (t)
1
T
2
o

信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换

信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换

t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）

033第三章 傅里叶变换


T 0
f
2(t)d t
a02
1 2 n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
第三章 傅里叶变换
3.1 引言
X
频域分析
第 2
页
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信 号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之 间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤 波、调制和频分复用等重要概念。
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
第第 2222
页页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
X
第第
1．偶函数
2233
页页
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
4
an T
T
2 0
f (t)cosn1t d t
0
F
n
F (n1 )
1 2
an
jbn
1 2
an
T
O
n 0
T
t
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
n
Fn1

信号课件第三章傅里叶变换

• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1

傅立叶变换

第三章连续信号与系统的频域分析1、求图（a ）中所示梯形信号的傅里叶变换解：求信号的频谱有多种解法，可按定义、微分性质等求解，下面列出几种解法（1）用微分性质求解对梯形信号进行微分， 可得：所得波形如图（b ）所示，再利用微分性质和矩形脉冲信号的傅里叶变换■- 11 心厂亠行 F j •二 ESa 12sin 14 ⑷ 4此外，还可对梯形信号进行两次微分，所得波形如图（ 2）所示，再利用微分性质及冲激信号的傅里叶变换可得j F j 小=ESa14Sa'图（1）梯形信号的微分求解图（3）梯形信号的三角形分解（3）利用卷积性质求解可将梯形信号看作两个脉宽不同的矩形脉冲的卷积，如图（4）所示，即:f t = f i t f 2 t般，若两个矩形的脉宽相同，则所得结果为三角形；若脉宽不同，则所得结果为梯形。

此 时，梯形的脉宽等于两个矩形的脉宽和，而梯形的最大幅度等于两个矩形最大重叠区的面积。

2E8Esin（2）用线性性质求解可以将梯形信号看作图（3）中两个三角形信号相减，即:再利用三角形的变换式可求得:2图（2）梯形信号的二次微分这样，利用卷积性质可知F j —F i j. F2 j而两个矩形信号的频谱分别为F i j 1Sa ・2 4-■ . -F "=ESa -4因此，梯形信号的频谱为-■.一十］八「亠〕Sa4 4图（4）利用卷积性质求梯形信号的频谱小结：在计算复杂信号的频谱时，尽量利用傅立叶变换的性质，将复杂信号通过卷积、微分等基本运算转化为简单信号以后再计算这些简单信号的频谱，简化运算过程。

2、系统如下图所示。

pt 二COS st理想低通滤波器的频率特性为已J；—2飞-；—2 I八/t)系统框图⑴冲激响应定义为单位冲激信号激励下的零状态响应。

为求得该系统的冲激响应，可将输入信号设为冲激函数，而所求得的系统响应即冲激响应。

当x t 时，由系统框图可得h t - L t cos ‘0t 1 h| t=g t这里，h , t 为理想低通滤波器的冲激响应。

第三章 傅里叶变换


P=a
2 0
1 2
n 1
an2 bn2
c02
1 2
cn2
n 1
n
Fn
2
；
3、一个特别的性质： e jn e jn
3.1.3 函数的对称性与傅里叶系数的关系
1、波形对称分类：（1）、整周期对称，例如偶函数和奇函数，其可决定级数中只可能含有余弦项或正弦项；（2）半 周期对称，例如奇谐函数，其可决定级数中只可能含有偶次项或奇次项。 2、对称条件： （1）、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足 f(t)=f(-t),此时 f(t)是偶函数，偶函数的 Fn 为实数。在偶函 数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 （2）奇函数：若波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f(t)=-f(-t),此时 f(t)是奇函数，奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数 的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含有正弦项。虽然在奇函数上加以直流成分，它不再是奇函数，但在它的 级数中仍然不会含有余弦项。 （3）寄谐函数：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，此时波形并不发生变化，即满足：
n2 1 2
) cos n1t
基波和偶次谐波频率分量。谐波幅度以 1 规律收敛。 n2
其中1
=
2 T1
；其频谱只包含直流、
3.2.5 周期全波余弦信号
1、周期全波余弦信号的傅里叶级数为：
f
(t)
2E
4E 3
cos(1t)
4E 15
cos(21t)
4E 35
cos(31t)
2E
4E
1n 1
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的；
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• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1

0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t

0
E 2
T1 2
t
cos( w1t )
sin( 2w1t )
四、傅里叶有限级数与最小方均误差
实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。 显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有 限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。
有限项傅里叶级数： S N (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn c0
c1
n ~ n1 信号的相位谱
c2
c3
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
nw1
0
w1
n
3w1
w
包络线”。
周期信号的主要特点： 具有离散性、谐波性、收敛性
T1 f (t ) f (t ) 2
2 n 2 n
a0 0
n为偶，an bn 0
1 4 T n为奇，an 2 f (t ) cos(n1t )dt T1 0 1 4 T bn 2 f (t ) sin(n1t )dt T1 0
1 c0 a0 0, cn a ＋b , Fn cn 2 b n arctg n an
例如：周期锯齿波信号
f (t )
E 2
T1 2 T1 2
1 4 T bn 2 f (t ) sin(n1t )dt T1 0 1 c0 a0 0, cn bn , Fn F n bn 2j
n 90
其傅里叶级数三角展开式中 仅含正弦项，
0
E 2
t
其傅里叶级数指数展开式中 F ( n1 )为纯虚函数。
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值； t0 T1 f (t ) dt 一周期内绝对可积， t 0
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
4、基波、谐波
2 通常把频率为： f1 T1 称为基波。 w1 2 频率为：2 f1 2T1 2 称为二次谐波。 w1 2 称为三次谐波。 频率为： 3 f1 3T1 3 w1
0
E 2
2E
t
cos( w1t )

从上面例子看出： （1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。 (2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿； 低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量 愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波 形一般要发生失真。

T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
（2）奇函数信号
2)奇函数信号： a0 0，an 0

f (t ) －f (t )
Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
双边频谱图：Fn ~ n1 复函数幅度谱，
Fn
c0 1 c 1 21 c2 2
nw1
n ~ n1 复函数相位谱
具有离散性、谐波性、收敛性 （负频率的结果仅是数学处理）
Fn
nw1
w1 0 w1
n
w
幅度谱与相位谱合并
c0 1 c 1 21 c2 2
五、吉布斯（Gibbs）现象
第二节 周期信号的傅里 叶级数分析
一、三角函数形式的傅里叶级数 1、一种三角函数形式的傅里叶级数
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 T1 , 角频率1 ） T1
则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
T1 T1 为了积分方便，通常取积分区间为： 0 ~ T1或 ~ 2 2
三角函数集是一组完备函数集。
2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t) 展开为常用形式
f (t ) c0 cn cos(n1t n ) 或
n 1
f (t ) d 0 d n sin(n1t n )
2

n
F

2
n
帕塞瓦尔定理
时域与频域的能量守恒： 任意周期信号f(t)的平均功率 P 等于其傅里叶级数展开式中 各谐波分量有效值的平方和
三、函数的对称性与傅里叶系数的关系
1.函数的对称性
要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实 函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶 级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比 较简单。 波形对称性有两类： （1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。 （2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。
当n 0时，Fn Fn 1 1 j n a jb F F e (an jbn ) e 2 n n n n 2 1 2 1 2 其中 Fn a n bn cn 2 2 n n (三角函数形式）
jn

3.指数形式表示的信号频谱--复数频谱
2.傅里叶级数的系数求解
(1)偶函数信号
1 4 T 1)偶函数信号：an 2 f (t ) cos(n1t )dt T1 0
f (t )
f ( t ) bn 0
例如：周期三角波信号
an cn an , Fn F n 2 n 0
f (t )
E
其傅里叶级数三角展开式中 仅含直流项和余弦项， 其傅里叶级数指数展开式中 F ( n1 )为实函数。
是一奇函数
其傅里叶级数表达式为：
E 1 1 f (t ) sin(w1t ) sin(2w1t ) sin(3w1t ) 2 3
（3）奇谐函数信号（半波对称函数 ）
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于 该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：
t
只取基 波分量 一项
0
E 2
t
2E cos( w1t )
T1 4
f (t )
T1 4
取基波分量和 三次谐波分量
2E
f (t )
cos( w1t )
T1 4 T1 4

取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
0
E 2
t
2E cos(5w1t ) 5
2E cos(3w1t ) 3
第三章
连续信号的频谱——傅里叶变换
本章的主要内容：
1、周期信号的傅里叶级数分析 2、典型周期信号的傅里叶级数 3、傅里叶变换 4、典型非周期信号的傅里叶变换 5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 6、傅里叶变换的基本性质 7、卷积特性（卷积定理） 8、周期信号的傅里叶变换 9、抽样信号的傅里叶变换 10、抽样定理
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 • •
• •
生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822 年法国数学家傅里叶（ J.Fourier,1768-1830 ）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
n 1 N
1 t0 T1 2 方均误差：En (t ) N (t )dt T1 t0
2 N
其中 N (t ) f (t ) S N (t ) (为逼近f(t)的误差函数）
例子