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第3章周期信号的傅里叶变换

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第三章――傅里叶变换周期信号的傅里叶级数分析

第三章――傅里叶变换周期信号的傅里叶级数分析

第三章 傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一） 三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率112T πω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达式为()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞==++⎡⎤⎣⎦∑各谐波成分的幅度值按下式计算()0101t T t a f t dt T +=⎰()()0112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰()()01012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中1,2,n =⋅⋅⋅狄利赫里条件：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00t T t f t dt +⎰等于有限值。

（二） 指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即()()11jn tnn f t F n eωω∞=-∞=∑其中()011011t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。

（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系（1） 偶函数由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则()()01112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。

（2） 奇函数由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则()0100110t T t a f t dt T +==⎰()()010112cos 0t T n t a f t n t dt T ω+==⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3） 奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭）半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。

信号课件第三章傅里叶变换

信号课件第三章傅里叶变换
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1

奥本海姆《信号与系统》配套题库【课后习题】(周期信号的傅里叶级数表示)

奥本海姆《信号与系统》配套题库【课后习题】(周期信号的傅里叶级数表示)

第3章周期信号的傅里叶级数表示基本题3.1 有一实值连续时间周期信号x（t），其基波周期了T＝8，x（t）的非零傅里叶级数系数为a1＝a－1＝2，a3＝a－3＝4j。

试将x（t）表示成：解：3.2 有一实值离散时间周期信号x[n]，其基波周期N＝5，x[n]的非零傅里叶级数系数为，试将x[n]表示成：解：3.3 对下面连续时间周期信号求基波频率ω0和傅里叶级数系数a k，以表示成解：即非零的傅里叶级数系数为3.4 利用傅里叶级数分析式计算下连续时间周期信号（基波频率ω0＝π）的系数a k：解：因ω0＝π，故3.5 设x1（t）是一连续时间周期信号，其基波频率为叫ω1，傅里叶系数为a k，已知x2（t）＝x1（1－t）十x1（t－1），问x2（t）的基波频率ω2与ω1是什么关系？求x2（t）的傅里叶级数系数b k与系数a k之间的关系。

解：x1（1－t）和x1（t－1）的基波频率都是ω1，则它们的基波周期都是T1＝2π/π。

因为x2（t）是x1（1－t）和x1（t－1）的线性组合，所以x2（t）的基波周期，即ω2＝ω1。

又故即3.6 有三个连续时间周期信号，其傅里叶级数表示如下：利用傅里叶级数性质回答下列问题：（a）三个信号中哪些是实值的？（b）哪些又是偶函数？解：（a）与式对照可知，对于x1（t），有由共轭对称性可知，若x1（t）为实信号，则有显然故x1（t）不是实信号。

同理，对于x2（t），对于x3（t），由于故可知x2（t）和x3（t）都是实信号。

（b）由于偶函数的傅里叶级数是偶函数，由上可知，只有x2（t）的a k是偶函数，故只有x2（t）是偶信号。

3.7 假定周期信号x（t）有基波周期为T，傅里叶系数为，的傅里叶级数系数为b k。

已知，试利用傅里叶级数的性质求a k用b k和T表达的表达式。

解：当k＝0时，故3.8 现对一信号给出如下信息：（1）x（t）是实的且为奇函数；（2）x（t）是周期的，周期T＝2，傅里叶级数为a k；（3）对|k|>1，a k＝0；（4）试确定两个不同的信号都满足这些条件。

第三章周期信号的傅里叶级数表示

第三章周期信号的傅里叶级数表示

1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即:
eskt e jk0t , k 0, 1, 2,L
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t) ake jk0 t k
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e jk0t , k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
0
xˆ4
a4e j 40t
a4e j 40t
0
x(t) ake jk0 t
k
k
即：x(t) a0 xˆ1(t) xˆ3(t) xˆ5(t)
xˆ1 xˆ3 xˆ5 xˆ9 xˆ19
a0 xˆ1 xˆ3 a0 xˆ1 xˆ3 xˆ5 a0 xˆ1 xˆ7 a0 xˆ1 xˆ19 a0 xˆ1 xˆ99 x(t)
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H (z就k ) 是对应的特征值。
7
4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解 为复指数信号的线性加权和：
x(t) ak e skt
因此xn可以分解为n个不同的特征函数的线性加权和其傅里叶级数只需对连续n个独立k值求和记为352傅里叶级数系数的确定两边同乘以并在n内求和范围同的取值其中周期内求和为一个周期正弦信号在以下推导供学有余力同学参考36离散时间周期信号周期为n的傅里叶级数是一个有限项级数n个不同的复指数信号求和但a本身是一个周期为n的周期信号
T x(t)e jn0tdt T
0
0
ak e e jk0t jn0t dt

第三章 傅里叶变换

第三章 傅里叶变换

P=a
2 0
1 2
n 1
an2 bn2
c02
1 2
cn2
n 1
n
Fn
2
；
3、一个特别的性质： e jn e jn
3.1.3 函数的对称性与傅里叶系数的关系
1、波形对称分类：（1）、整周期对称，例如偶函数和奇函数，其可决定级数中只可能含有余弦项或正弦项；（2）半 周期对称，例如奇谐函数，其可决定级数中只可能含有偶次项或奇次项。 2、对称条件： （1）、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足 f(t)=f(-t),此时 f(t)是偶函数，偶函数的 Fn 为实数。在偶函 数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 （2）奇函数：若波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f(t)=-f(-t),此时 f(t)是奇函数，奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数 的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含有正弦项。虽然在奇函数上加以直流成分，它不再是奇函数，但在它的 级数中仍然不会含有余弦项。 （3）寄谐函数：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，此时波形并不发生变化，即满足：
n2 1 2
) cos n1t
基波和偶次谐波频率分量。谐波幅度以 1 规律收敛。 n2
其中1
=
2 T1
；其频谱只包含直流、
3.2.5 周期全波余弦信号
1、周期全波余弦信号的傅里叶级数为：
f
(t)
2E
4E 3
cos(1t)
4E 15
cos(21t)
4E 35
cos(31t)
2E
4E
1n 1
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的；

信号与系统第3章傅里叶变换

信号与系统第3章傅里叶变换

*本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之 间进行比较提供了途径。
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导 理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广 阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换 法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.正交三角函数集
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,..., cos nx,sin nx,...
在区间[-π,π]上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函 数的乘积在区间的积分等于零，即
cosnxdx 0(n 1,2,3,...)
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号
都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析
理论”中

周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换

二、一般周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
e 一般周期信号：f (t)
F jn1t n
n
F 2 Fn n1 n
其中：
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jwtdt
2
1.单脉冲信号的傅里叶变换
单脉冲信号：从周期脉冲信号f(t)中截取一个周 期，得到单脉冲信号。
2
)
求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数：
f (t) E Sa( nw1 )e jnw1t
T1 n
2
最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换F(w)。
fT (t) FT 2 Fn (w nw1) n
F (w)
Ew1
n
Sa(
nw1
2
)
(w
nw1 )
看出：周期信号频谱是离散的； 非周期信号的频谱是连续。
2
f
(t
)e
jwt
dt
wnw1
周期信号的傅里叶级数的系数Fn等于单脉冲信号的傅里 叶变换F0()在n1频率点的值乘以1/T1。
可利用单脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里 叶级数的系数。
例3-10 单位冲激函数的间隔为T1，用符号T(t)
表示周期单位冲激序列：
T (t) (t nT1) n
思考题
1.正弦、余弦信号的傅里叶变换公式？ 2. 一般周期信号的傅里叶变换公式？
F e jnw1t n
n
Fn
T (t)
1 T1
T1
f 2
T1
1 2
(t )e e jnw1t
T1 n
jwt dt
1 T1

信号与系统第3章 傅里叶变换

信号与系统第3章 傅里叶变换

P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1

周期信号的傅立叶变换

周期信号的傅立叶变换

又F 1[s
()]
1
s
n
(t
nTs )
fs (t)
f
(t) * 1
s
(t
n
nTs )
1
s
n
f
(t) *
(t
nTs )
1
s n f (t nTs )
由上式可知，假如有限时间信号f (t)的频谱函数
F ( j)在频域中被间隔为s的冲激序列采样,则被取样 后频谱Fs ( j)所对应的时域信号fs (t)以Ts为周期的序列.
举例4.6.2 已知周期为T的单位冲激函数序列T (t)
T (t)= (t mT ) m
式中m为整数。求其傅里叶变换?
解：根据前面的结论
F[ fT (t)] 2 Fn ( n) n
Fn ？
1
Fn T
T
2 T
fT (t)e jnt dt，n 0，1， 2，....
2
Fn
1 T
无失真传输频率特性
设输入信号为f (t），那么经过无失真传输后，输出信号 y(t) Kf (t td )
Y ( j) Ke jtd F ( j)
系统的频率响应
H ( j) Ke jtd
其幅频特性和相频特性分别为
H ( j) | K () td
结论
为使信号无失真传输，对频率响应函数提出的要 求，即在全部频带内，系统地幅频特性应为一常 数，而相频特性应为通过原点的直线。
(
1
j 1)
Y ( j)
1
1 1
( j 2)( j 1) ( j 1) j 2
取傅立叶反变换
y(t) (et e2t ) (t)
例4.7 1某LTI系统的幅频响应|H(j)|和相频特性如图，

信号与系统3章_傅里叶变换

信号与系统3章_傅里叶变换

2A t A sin n0t f AC (t ) cos n0 d T0 n1 π n1 n
fD A / 2
故
A A sin n0t f (t ) 2 π n 1 n
（2）利用直接法求解
1 a0 T0

0 T0

A A tdt T0 2
（2）双边频谱：
1 Fn T
1 e jn1 t / 2 e dt T jn1
/2
jn1 t / 2 / 2
2 sin 21 b b 2 4ac T n1 2a
n
1 n1 sin n 2 n1 Sa( ), T T 2 2
偶谐函数
2．横轴对称性
（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。 （2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。
如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，
那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐 波分量也包含有偶次谐波分量。
！ 利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将
其直流分量去掉，以免发生误判。
an 0
2 bn T0
故
A A T0 T0 t sin n0tdt nπ
0
A A sin n0t f (t ) 2 π n 1 n
3.2.3 傅里叶级数的MATLAB仿真实现
常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。
f (t )
n N
Fe
n
N
jn1t
t
f (t ) E
2
f (t )
E 2 T1 2

T1 2
o
sin 21 t
E 2

第三章傅里叶变换(1)

第三章傅里叶变换(1)

第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 • •
• •
生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822 年法国数学家傅里叶（ J.Fourier,1768-1830 ）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱
频谱图：
cn c0
c1
cn ~ n1 信号的幅度谱
n ~ n1 信号的相位谱
c2
c3
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
nw1
0
w1
n
3w1
w
? 包络线”。
周期信号的主要特点： 具有离散性、谐波性、收敛性

T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
（2）奇函数信号
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )
当n 0时，Fn Fn 1 1 j n a jb F F e (an jbn ) e 2 n n n n 2 1 2 1 2 其中 Fn a n bn cn 2 2 n n (三角函数形式）

信号与系统第三章

信号与系统第三章
T

内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交 函数集。这里
sin x S a ( x) x
称为抽样函数。
15
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
3.2 周期信号的傅里叶级数分析

三角函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个实变函数
(信号)，若在(t1, t2)区间上有

t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称 f1(t)和f2(t) 在(t1, t2)内正交。
8
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
若f1(t)，f2(t), …, fn(t)定义在(t1, t2)区间上，并且在 (t1, t2) 内有

这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
Signals that violate the Dirichlet conditions
(b) the periodic signal of eq. x(t)=sin(2π/t) which violates the second Dirichlet condition



（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应该是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 t T t f (t ) dt 等于有限值（T1为周期）

傅里叶变换

傅里叶变换

第三章 傅里叶变换一.周期信号的傅里叶级数知 识 要 点1、 周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t （1T 为其周期）可展开为傅里叶级数。

(1)三角函数形式的傅里叶级数 0111()[cos()sin()]nn n f t a an t b n t ωω∞==++∑式中112T πω=，n 为正整数。

直流分量010011()t T t a f t dt T +=⎰ 余弦分量的幅度010112()cos()t T t a f t n t dt T ω+=⎰正弦分量的幅度01112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰ 三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()nn n f t c cn t ωϕ∞==++∑频谱：离散性、谐波性、收敛性或011()sin()nn n f t d dn t ωϑ∞==++∑以上几种表示形式中各个量之间的关系为000a c d ==n n c d ==cos sin n n n n n a c d ϕϑ== sin cos n n n n n b c d ϕϑ=-=tan nn n a b ϑ=tan nn na b ϕ=-(1,2,)n =,,n n n a c d 为1n ω的偶函数，,,n n n b ϕϑ为1n ω的奇函数。

（2）指数形式的傅里叶级数11()()jn tn f t F n eωω∞=-∞=∑式中，n 为从-∞到+∞的整数。

复数频谱0110111()()t T jn tn t F F n f t e dt T ωω+-==⎰n F 与其他系数之间的关系为 0000F c d a ===1()2n j n n n n F F c a jb ϕ==-1()2n j n n n n F F c a jb ϕ---==+1122n n n n F F c d -====n n n F F a -+=n n n F F c -+=()n n n b j F F -=-n F 是1n ω的偶函数。

周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换
x( t )
1 Xn T
n T1 2 T 1 1 2 jn 1 t X e n

x( t )e jn 1t dt
4
单周期信号的傅里叶变换
X d ( ) xd ( t )e j tdt Nhomakorabeadt
1 Xn T1

T1 2 T 1 2
x( t )e jn 1t dt
x(t)
xs(t) x( t ) T xs(t)
0
t
0
T
2T
3T
t
11
调制信号x(t)
抽样
xs(t)
数字信号 量化编码 载波信号
这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念，周期 信号在各谐振点上，具有有限幅度，说明在这些谐振频 点上其频谐密度趋于无限大，所以变成冲激函数。 这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特 例。 三、周期信号与单周期信号频谱间的关系 周期信号x(t)在时域上可以看作是它的单周期信号 xd(t)的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为：
X ( )
n
0
T1
t
jn1t e
X

n
2 ( n 1 )

n 1 E 1 Sa ( n 1 ) 2 n
9
x0(t) E
E
X0() 2/
0
t E/T1 x(t) E Xn


2/
2.3.4 周期信号的傅里叶变换
前面在推导傅里叶变换时，是将非周期信号看成是 周期信号T 无穷大的周期信号的极限，从而导出了频谱 密度函数的概念。 本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数 ,即 求周期信号的傅里叶变换,从而得出傅里叶级数是傅里叶 变换的特例的结论。 周期信号是不满足绝对可积条件的,同样它也仅仅在 频谱中引入冲激函数后,傅里叶变换才存在。 因为周期信号可以展成傅里叶级数,即展成一系列不 同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先 求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换,在此基础上再 求任意周期信号的傅里叶变换。

周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换

Sa ns
2
Fs ()
E
Ts
n
Sa
ns
2
F (
ns )
上式表明:
信号在时域被抽样后,它的频谱Fs(ω)是连 续信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周 期地重复而得到的.在重复过程中,幅度被抽 样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权,加权系数 取决于抽样脉冲序列的形状.
抽样前 F(ω) 1
抽样后 Fs(ω) E ωs
2
2sin
4 (4 2e j )
f (t) f1(t) T (t) T 2
T (t) ( )
2
T
F()
4sin n 4 [2 (1)n ] ( n )
n
n
例题5 :已知f (t) F (),求下列信号的FT :
(1) d f (at b) dt
(2) f 2 (t) sin 0t
理想抽样
:
Fs ( )
1 Ts
F (
n
ns )
频域抽样信号的FT
f1 (t )
1
1
n
f
(t
nT1)
时域抽样定理
| | m
fs
2 fm或Ts
1 2 fm
频域抽样定理
|t
|
tm
Ts
2tm或f s
1 2tm
例题1:
已知周期信号f1(t)和f2 (t)如图,且
f1(t) a0 [an cos(n1t) bn sin(n1t)] n1
✓若f(t)被等间隔T取样,将等效于F(ω)以 ωs=2/T为周期重复;
✓而F(ω)被等间隔ωs取样,则等效于f(t)以T 为周期重复.
➢因此,在时域中进行抽样的过程,必然导致 频域中的周期函数;在频域中进行抽样的过 程,必然导致时域中的周期函数。

3.2 周期信号的傅里叶级数分析

3.2 周期信号的傅里叶级数分析
n=1
1
∞
f (t) = a0 + ∑(an cos nω1t + bn sin nω1t), n为正整数
n=1
∞
1 直流分量： a 0 = T1
∫
t 0 + T1
t0
f ( t ) dt
2 t0 +T1 余弦分量的幅度：n = ∫ a f (t ) cos(nω1t )dt T1 t0
2 正弦分量的幅度： bn = T1
sin(ω1t )
4 T1 a1 = ∫ 2 f (t) cos(ω1t)dt T 0 1
4 T1 b = ∫ 2 f (t) sin( ω1t)dt 1 T 0 1
cos(2ω1t )
sin(2ω1t )
∞
令：Fn = Fn e
∞
jϕn
1 − jϕn 1 = (an − jbn ) F−n = F−n e = (an + jbn ) 2 2
jnwt 1
f (t) = F0 + ∑Fne
n=1
+ ∑F−ne
n=1
∞
− jnwt 1
= ∑Fne
n=0
∞
jnwt 1
+ ∑Fne jnw1t
n=−∞
−1
周期函数: f (t) =
7
周期信号的复数频谱 F0
complex frequency spectrum
F = Fn n − F = c0 0
1 = cn 2
8
周期信号的功率特性
1 t0 +T1 2 周期信号f (t )的平均功率 : P = f (t ) = ∫ f (t )dt T1 t0
2

第三章 傅里叶变换

第三章 傅里叶变换

τ τ
2 2
其傅里叶变换为 ：
F (Ω ) =
∫
∞
2E Ωτ = ∫ τ Ee dt = sin( ) −2 Ω 2 Ωτ sin( ) 2 = E τ Sa Ω τ = Eτ Ωτ 2 2
τ
2
−∞
f ( t ) e − j Ω t dt
− jΩ t
可以看出傅里叶变换与傅里叶系数有如下关系： 可以看出傅里叶变换与傅里叶系数有如下关系：
傅里叶的两个最主要的贡献—— 傅里叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可以表示为成谐波关 系的正弦信号的加权和” 系的正弦信号的加权和”——傅里 傅里 叶的第一个主要论点 “非周期信号都可以用正弦信号的 加权积分来表示” 加权积分来表示”——傅里叶的第 傅里叶的第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号的傅里叶变换 信号的傅里叶变换
E f (t) = 0 | t |<
f(t) E
τ
2 T 2
-T -τ
2
τ
< | t |<
0
τ
2
T
t
τ：脉冲宽度， E：幅度， T：重复周期。 ：脉冲宽度， ：幅度， ： 这个周期性脉冲函数可以展开成傅里叶级数： 这个周期性脉冲函数可以展开成傅里叶级数：
f (t ) =
n = −∞
π ϕ (Ω ) = 2 π − 2 Ω < 0 Ω > 0
-
-α
0
α
Ω
ϕ(Ω) π
2
π
2
Ω
４ 单位冲激函数
其傅里叶变换为： 其傅里叶变换为： ∞ F (Ω ) = ∫ δ (t )e − ∞ 根据冲激函数的定义， 根据冲激函数的定义，有

第三章傅里叶变换90页PPT

第三章傅里叶变换90页PPT

• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解：
f(t)1(ej10t0ej10t0)
所以
2 F1
F1
1 2
,
其F余 n0， n1
-w1
w1
nw1
• 例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。
解： F 0 2 ,F 1 F 1 2 ,F 2 F 2 1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f(t)c0 cncos(n1tn)
其中 c n 2 a n 2 b n 2
n1n a rc ta n ( a b n n)
（2）
c 0 a 0
an为 n 1 的偶函数， b n 为 n 1 的奇函数
cn为 n 1 的偶函数， n为 n 1 的奇函数
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
推导
2
bn
T1
t0T1 t0
f(t)s
in1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t) n1
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（1）
n 1
f(t)c0 cncon s1(tn)
（2）
n1
f (t)
Fnejn1t
n
f(t) →Fn建立一一对应关系。
（3）
不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究 信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅 度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对 大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。
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) 若令响应 y(t ) 的频谱函数为 Y ( j，则由上式得
Y ( j ) H ( j ) F ( j )
3、频率响应的定义
频率响应（函数）（有时也称为系统函数）可定义 为系统响应（零状态响应）的傅里叶变换 Y ( j ) 与激励的傅里叶变换F ( j ) 之比，即
Y ( j ) H ( j )def F ( j )
, ,
n 0 , 1 , 2 ,...... n 1 , 2 , .....
fT ( t )
n
F e
n

jnt
1 Fn T

T 2 T 2
2 , (基 波 角 频 率 ) T
fT (t )e
jn t
dt
有没有办法利用非周期典型信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质去求周期信号的傅里叶级数呢？

H ( j0 ) e
j ω0 t ω0
H(jω0 ) e 2
j ω0 t ω0
H ( j0 ) cos0t 0
cos0 t作用于频率响应为 j 的系统所产生 H 的响应为
H ( j0 ) cos0t 0
本题
H( j0 ) sin0t 0
f (t ) 2 4 cos(5t ) 4 cos( t ) 10 yt 2 H j 0 cos0 0 4 H j 5 cos5t 5
4 H j10 cos10t 10


h( )e
j t
j ( t )
d
h( )e

j
j
d e
H ( j ) e j t
H ( j ) h( )e

d为 频 率 响 应 函 数
h(t ) H ( j )
虚指数函数作用于 LTI系统所引起 的响应（零状态） 是系数为 H j 的同频率的虚指数函数，仅是幅度及相 位发生变化，但频率不变。 。
j
0
t
-0 -j
0 0

(b) 正弦脉冲及其频谱
图 3.3-10正、余弦函数及其频谱
二、一般周期函数的傅里叶变换 一周期为 T 的周期函数 fT (t )
fT ( t )
n
F e
n

jnt
1 Fn T

ℱ fT (t )] ℱ Fne jn t ] Fn ℱ[e jn t ] [ [
cos0 t作用于频率响应为 j 的系统所产生 H 的响应为 H ( j ) cos t 0 0

0
同理 sin t作用于频率响应为H j 的系统 0 所产生的响应为 H ( j0 ) sin 0t 0


H ( j0 ) cos0t 0

T (t ) ( )
1
n
T(t )
(t )



-3 -2 - 0 2 3

周期冲激序列的傅立叶变换
-3T -2T -T 0 T 2T3T t
图 3.3-13 周期冲激序列
可见：时域中周期为 T 的单位冲激序列，在频域中是
周期为 ，强度为
1 j0t sin( 0 t ) (e e j0t ) j [ ( 0 ) ( 0 )] 2j
正、余弦信号的波形及频谱如下图所示:
1
f (t)=cos0t

0
F(j)
t
-0
0
0

(a) 余弦脉冲及其频谱
1
f (t)= sin0t
X()
H ( j ) H ( j ) e
令 则有
j y ( )
j ( )
j f ( )
Y ( j ) Y ( j ) e , F ( j ) F ( j ) e Y ( j ) H ( j ) , ( ) y ( ) f ( ) F ( j )

的冲激序列。其中
2 T
§3.4 LTI系统的频域分析
前面我们讨论了信号的频域分析，本节将研究系统 的激励与响应在频域中的关系，即系统的频域分析。
一、频率响应
傅里叶分析是将信号分解为众多不同频率 的虚 指数函数之和（积分），因此：
•首先讨论虚指数函数作用于LTI系统引起的响应(零状态）；
yt 2 2 cos 5t 90

o

- 10
H j

1
-5 0
5
10


例3.4-2 描述某系统的微分方程为 y' (t ) 2 y(t ) f (t )
t 求输入 f (t ) e (t )时系统的零状态响应。
解: 令
f (t ) F ( j ), y(t ) Y ( j )
4、频域分析
利用频域函数分析系统问题的方法，常称为频域 分析法或傅里叶变换法。 时域分析与频域分析的关系如下图所示。
f t
LTI系统
y f t
f t ht yt
F j H j Y j
图3.4-1 频域分析示意图
5、例题
例3.4-1 某LTI系统的幅频响应 H ( j )和相频响应 ( ) 如 下图所示。若系统的激励 f (t ) 2 4 cos(5t ) 4 cos( t ) ， 10 求系统的响应。 书上介绍了两种方法,一种 是傅里叶级数法;一种是傅里叶 变换法;但对于周期信号还有一 种方法----正、余弦函数响应法。
取傅里叶逆变换得
y(t ) (e e
t
2 t
) (t )
例3.4-3 如下图所示的 RC 电路，若激励电压源 us (t ) 为 单位阶跃函数 (t ) ，求电容电压 uc (t )的零状态响应。
us(t )=U(t) 1 R
例:
求周期性单位冲激函数序列 T (t ) 的频谱。
n
T (t )

(t mT )
T(t )

( m为 整 数 )

-3T -2T -T 0 T 2T3T t
图 3.3-12 周期冲激序列
解: Fn 1 T

1 [ T ( t )] 2 ( n ) ( n ) ℱ n T n
n
T 2 T 2
2 , (基 波 角 频 率 ) T
jn t
fT (t )e
dt


n
2
n
Fn ( n)
ℱ[ f
T
( t )]
ℱ[ F e
n n n n

jn t
]
n
F ℱ[e
第三章 连续信号与系统的实频域分析
主讲人：史洪宇
复习
傅里叶变换的性质
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
2 T 2 a n T f ( t ) cos(nt )dt T 2 2 T b n 2T2 f (t ) sin (nt )dt T
H j

1
- 10
-5 0
5
10


解法三：正、余弦函数响应法
f (t ) e
j t
y
j0 t
f (t ) e
y f (t ) H ( j0 ) e
H ( j 0 ) e
j 0
f
(t ) H ( j ) e
j t
j 0 t j 0 t
3.3 §周期信号的傅里叶变换
一、 正、余弦函数的傅里叶变换
1 2 ( )
根据频移特性得
e e
j 0 t j 0 t
2 ( 0 ) 2 ( 0 )
所以，正、余弦函数的傅里叶变换为
1 j 0t cos( 0 t ) (e e j0t ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2
此处，
Fn 代表虚指数分量的幅度和相位。
n ) 2 sin ( n 2 ( n ) PT ( t ) 2 Sa( ) ( n ) 2 n n T n [pT(t)]
ℱ
-Ω 0 Ω

图 3.3-11 周期矩形脉冲的傅立叶变换T 4
T 2 T 2
1 jnt T (t )e dt T


T 2 T 2
(t )e
jnt
1 dt T
1 [ T ( t )] 2 ( n ) ( n ) ℱ n T n 令 ( ) ( n )
，
对方程取傅里叶变换，得
jY ( j ) 2Y ( j ) F ( j )
由上式可得该系统的频率响应函数 Y ( j ) 1 H ( j ) F ( j ) j 2
1 f ( t ) e ( t ) F ( j ) j 1
t
1 Y ( j ) H ( j )F ( j ) ( j 2)( j 1) 1 1 j 1 j 2
•再讨论任意信号作用系统所引起的响应，得出响应的频域求解 方法；从而引出频域中反映系统特性的函数-----频率响应（函 数）。
1、 虚指数函数 零状态响应 设
f (t ) e
jt
作用于LTI系统所引起的
f (t ) e
j t
系统的冲激响应是 h(t )

y f (t ) f (t ) h(t )