最新人教版高中数学必修4第一章本章测评二

章末质量评估(一)(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求)1．在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是( )．A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④解析 160°角显然是第二象限角；480°＝360°＋120°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．答案 C2．若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )．A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．1 cm 2解析 由弧长公式得2＝2R ，即R ＝1 cm ，则S ＝12Rl ＝12×1×2＝1(cm 2)． 答案 D3．函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．[－1,1]C ．(－1,1)D ．[－1,0]∪(0,1)解析 化简得y ＝sin x ，由cos x ≠0，得sin x ≠±1.故得函数的值域(－1,1)． 答案 C4．三角函数y ＝sin x 2是( )．A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数解析 x ∈R ，f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－sin x 2＝－f (x )，是奇函数，T ＝2π12＝4π.答案 A5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为 ( )．A.13 B ．－13 C ．－223D.223解析 根据题意得：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13，故选B.答案 B6．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小值和最小正周期分别是( )．A ．－3－1，πB ．－3＋1，πC ．－3，πD ．－3－1,2π解析 f (x )min ＝－3－1，T ＝2π2＝π. 答案 A7．要得到函数y ＝f (2x ＋π)的图象，只要将函数y ＝f (x )的图象( )．A ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 D ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 解析 把y ＝f (x )的图象向左平移π个单位得到y ＝f (x ＋π)，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y ＝f (2x ＋π)．答案 C8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象( )．A ．关于原点成中心对称B ．关于y 轴成轴对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称D ．关于直线x ＝π12成轴对称解析 本题考查三角函数的图象与性质．由形如y ＝A sin(ωx ＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称．答案 C9．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则该函数的表达式为( )．A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋56πB ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56πC ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析 本题考查由图象求三角函数解析式．由图象可知，A ＝2，ω＝2ππ＝2，当x ＝π6时，y ＝2，从而有2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，故选C. 答案 C10．下列说法正确的是 ( )．A ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内sin x >cos xB ．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5的图象的一条对称轴是x ＝45πC ．函数y ＝π1＋tan 2x的最大值为πD ．函数y ＝sin 2x 的图象可以由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到解析 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4内有sin x <cos x ，所以A 错；当x ＝45π时， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5＝0，所以x ＝45π不是函数图象的一条对称轴，故B 错；函数y ＝sin 2x 的图象应该由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位得到，所以D 错；而在函数y ＝π1＋tan 2x 中，由于1＋tan 2x ≥1，所以y ≤π，即函数y ＝π1＋tan 2x的最大值等于π.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________．解析 2x －π4≠π2＋k π，即x ≠3π8＋k π2，k ∈Z . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠3π8＋k π2，k ∈Z12．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期是4π，则ω＝________.解析 T ＝2π|ω|＝4π，∴|ω|＝12，ω＝±12. 答案 ±1213.arcsin 32－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12arctan (－3)的值等于________．解析 arcsin 32＝π3，arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23π，arctan(－3)＝－π3，∴原式＝π3－2π3－π3＝1. 答案 114．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________.解析 sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ(sin 2θ＋cos 2θ)sin 3θ－cos 3θ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1＝23＋223－1＝107. 答案 107三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知tan α＝12， 求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解 原式＝1＋2sin αcos ()2π＋αsin 2α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1＝1＋1212－1＝－3.16．(10分)已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． 解 ∵sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，得(－3cos α)2＋cos 2α＝1， 即10cos 2α＝1.∴cos α＝±1010.又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴α在第二、四象限．①当α是第二象限角时，sin α＝31010，cos α＝－1010. ②当α是第四象限角时，sin α＝－31010，cos α＝1010.17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0且ω>0,0<φ<π2的部分图象，如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为 T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.法一 由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.法二 由图象知f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z .∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ， 又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)方程f (x )＝a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上的图象，当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1∪(－1,0)．18．(12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ 解 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：y ＝sin 2xy ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋π12)――→将图象上各点向上平移32个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.19.(12分)如右图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0≤θ≤π2的图象与y轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32，因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.又因为点P 在y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6，从而得4x 0－5π6＝11π6，或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3，或x 0＝3π4.。

本章测评(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列四个命题中正确的是（ ）A.第一象限角必是锐角B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限的角 解析：361°的角是第一象限角，但它不是锐角，所以A 项错；1°与361°的角终边相同，但它们不相等，所以C 项错；91°的角是第二象限角，361°的角是第一象限角，但91°＜361°，所以D 项错；最后看B 项，因为锐角α满足0°＜α＜90°，α属于第一象限的角的集合{β|k·360°＜β＜k·360°+90°，k ∈Z }. 答案：B2.(2006高考辽宁卷，文11)函数y=sin(21x+3)的最小正周期是（ ） A.2πB.πC.2πD.4π 解析：周期Ｔ=2122πωπ==4π. 答案：D3.若角α是钝角，x ∈{θ|θ=k·180°+α，k ∈Z }，则x 是（ ） A.第二象限角 B.第三象限角C.第二象限角或第三象限角D.第二象限角或第四象限角 解析：x ∈{θ|θ=k·180°+α，k ∈Z }，当k 为偶数时，设k=2n ，n ∈Z ，则x=n·360°+α，90°＜α＜180°； 当k 为奇数时，设k=2n+1，n ∈Z ，则x=n·360°+（180°+α），270°＜α+180°＜360°. 所以x 为第二象限或第四象限角. 答案：D4.(2006河南郑州一模) sin1，cos1，tan1的大小关系是（ ）A.tan1＞sin1＞cos1B.tan1＞cos1＞sin1C.cos1＞sin1＞tan1D.sin1＞cos1＞tan1 解析：1弧度≈57.3°，结合单位圆中的三角函数线知：tan1＞sin1＞cos1. 答案：A5.如果α、β满足α－β=π，那么下列式子中一定正确的是（ ） A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ C.sinα=-sinβ D.cosα=sinβ 解析：由α-β=π，即α=π+β知 sinα=sin(π+β),∴sinα=-sinβ. 答案：C6.已知sin （π+α）=53，且α是第四象限角，那么cos （α-2π）的值是（ ） A.54 B.54- C.±54 D.53解析：由sin （π+α）=53，得sinα=53-.又α为第四象限角，cos （α-2π）=cos （2π-α）=cosα=54)53(1sin 122=--=-α.答案：A7.已知sinα·cosα=81,且4π＜α＜2π,则cosα-sinα的值是（ ） A.23 B.43 C.23- D.±23解析：1-2sinαcosα=(sinα-cosα)2=43， 又∵4π＜α＜2π,∴cosα＜sinα.∴cosα-sinα=23-. 答案：C 8.设a n =cos （42ππ+n ），则a 1+a 2+…+a 2 008的值是（ ） A.22-B.2-C.0D.2 解析：对任意正整数k ，由a 4k+1+a 4k+2+a 4k+3+a 4k+4=cos （2kπ+43π）+cos （2kπ+45π）+ cos （2kπ+47π）+cos （2kπ+49π）=cos 43π+cos 45π+cos 47π+cos 4π=0, 故a 1+a 2+…+a 2 008=（a 1+a 2+a 3+a 4）+（a 5+…+a 8）+…+（a 2 005+…+a 2 008）=0+0+…+0=0.答案：C9.满足sin （x-4π）≥21的x 的集合为（ ）A.{x|2kπ+125π≤x≤2kπ+1213π，k ∈Z }B.{x|2kπ-12π≤x≤2kπ+127π，k ∈Z }C.{x|2kπ+6π≤x≤2kπ+65π，k ∈Z }D.{x|2kπ≤x≤2kπ+6π，k ∈Z }解析：依题意，2kπ+6π≤x -4π≤2kπ+65π，k ∈Z ，∴2kπ+125π≤x≤2kπ+1213π，k ∈Z .答案：A10.(2005高考天津卷，文8)函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜2π,x ∈R )的部分图象如图1-1所示,则函数表达式为（ ）图1-1A.y=-4sin(48ππ+x ) B.y=4sin(48ππ-x ) C.y=-4sin(48ππ-x ) D.y=4sin(48ππ+x )解析：由图象得|A|=4，T=16=||2ωπ, ∴ω=8π. ∴当A=4时，y=4sin(8πx+φ). ∴-4=4sin(8π×2+φ), 即sin(4π+φ)=-1,∴4π+φ=2kπ-2π,k ∈Z .∴φ=2kπ43π-.∵φ (-2π,2π),∴与已知矛盾.当A=-4时,y=-4sin(8πx+φ),-4=-4sin(8π·2+φ),即sin(4π+φ)=1,∴4π+φ=2kπ+2π.∴φ=2kπ+4π,k ∈Z .∴k=0时,φ=4π∈(-2π,2π).∴y=-4sin(8πx+4π).故选A.答案：A11.(2005高考山东卷，理6)函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--,0,,01),sin(12x e x x x π若f （1）+f （a ）=2，则a 的所有可能值为（ ）A.1B.22-C.1，22- D.1，22解析：∵f （1）=e 1-1=e 0=1，而f （1）+f （a ）=2，∴f （a ）=1.若sin （πa 2）=1，而-1＜a ＜0，∴πa 2=2π. ∴a=22-，a=22（舍去）.若e a-1=1，∴a-1=0，a=1. 答案：C12.若函数y=f(x)的图象和y=sin(x+4π)的图象关于点M(4π,0)对称,则f(x)的表达式是（ ） A.cos(x-4π) B.-cos(x-4π)C.cos(x+4π)D.-cos(x+4π)解析：设f(x)图象上任一点（a,b ）,则（a,b ）关于点M(4π,0)的对称点(2π-a,-b)在y=sin(x+4π)的图象上，所以-b=sin(2π-a+4π)⇒b=sin(a 43π-)=-cos(a-4π)，∴ｙ=-cos(x-4π).答案：B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13.终边在第三象限的角的集合为___________________. 解析：在0°—360°间，终边在第三象限的角θ满足180°＜θ＜270°.由终边相同角的意义知，第三象限角α的范围可表示为k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k ∈Z 或2kπ+π＜α＜2kπ+23π，k ∈Z .答案：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k ∈Z }(或{α|（2k+1）π＜α＜2kπ+23π，k ∈Z }) 14.已知f （cosx ）=cos2x ，则f （sin 6π）的值等于__________________. 解析：f （sin6π）=f （cos 3π）=cos 6π=23. 答案：23 15.函数y=sinx 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位，所得图象的函数解析式为_________________. 解析：y=sinx→y=3sin 31x→y=3sin 31（x-3）=3sin （31x-1）. 答案：y=3sin （31x-1） 16.已知函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π-对称，则a 的值为________________.解析：∵x=8π-为y=sin2x+acos2x=f （x ）的一条对称轴， ∴f （0）=f （4π-）.∴0+a=-1+0.∴a=-1. 答案：-1三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（12分）化简：)25(sin 1)23sin()3cos()3sin(212αππαπααπ+-----+，其中角α在第二象限.解：原式=ααπααπαππαπππααππ22cos 1cos )cos()sin(21)]2(2[sin 1)23sin(]2)cos[()](2sin[21----+=++-------++|sin |cos )sin (cos 2αααα--=.∵α是第二象限角，∴sinα＞0，cosα-sinα＜0. 于是，原式=ααααsin cos cos sin --=-1.18.（12分）已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）.在同一周期内，当x=12π时，y 有最大值2；当x=127π时，y 有最小值-2.求此函数的解析式. 解：易知A=2，T=2（127π-12π）=π，∴ω=2.∴y=2sin （2x+φ）.将（12π，2）代入，得 sin （2×12π+φ）=1，φ=2kπ+2π6π-=2kπ+3π，k ∈Z .∴此函数的解析式为y=2sin （2x+3π）.19.（12分）若函数f （x ）=a-bcosx 的最大值为25，最小值为21-，求函数g （x ）=-4asinbx的最值和最小正周期.解：当b ＞0时，⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+,23,12125b a b a b a g （x ）=-4sin23x.最大值为4，最小值为-4，最小正周期为34π. 当b ＜0时，⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-,23,12125b a b a b a g （x ）=-4sin （x 23-）=4sin 23x.最大值为4，最小值为-4，最小正周期为34π. b=0时不符合题意.综上所述，函数g （x ）的最大值为4，最小值为-4，最小正周期为34π. 20.（12分）已知sinθ、cosθ是方程x 2-（3-1）x+m=0的两根，求： (1)m 的值；(2)θθθθtan 1cos cot 1sin -+-的值.解：(1)由韦达定理，可得sinθ+cosθ=13-. ① sinθ·cosθ=m. ②①式平方得1+2sinθcosθ=324-,将②代入，得1+2m=324-，解得m=2323-. (2)θθθθθθθθθθθθθθcos sin cos sin sin cos cos cos sin sin tan 1cos cot 1sin 2222--=-+-=-+-=sinθ+cosθ=13-.21.（12分）已知α、β均为锐角，且满足关系式12sin 2（π+α）+20sin 2（23π-β）+12sin （3π+α）-202sin （2π-β）+13=0，求α与β的值. 解：化简等式，即12sin 2α+20cos 2β-12sinα-202cosβ+13=0.整理（12sin 2α-12sinα+3）+（20cos 2β-202cosβ+10）=0，得3（2sinα-1）2+5（2cosβ-2）2=0，解得sinα=21，cosβ=22.又α、β均为锐角，故α=6π，β=4π. 22.（14分）（1）已知周期函数f （x ）为奇函数，且它的一个周期为3，f （0.4）=-1，求f（11.6）的值；（2）若f （x ）=-sin 2x-acosx 的最小值为-6，求a 的值. 解：（1）∵f （x ）的一个周期为3， ∴f （11.6）=f （11.6-3×4）=f （-0.4）.∵f （x ）是奇函数且f （0.4）=-1，∴f （11.6）=f （-0.4）=-f （0.4）=1.（2）f （x ）=-sin 2x-acosx=cos 2x-acosx-1=（cosx-2a ）2-42a -1.令t=cosx ∈［-1，1］，则f （t ）=（t-2a ）2-42a -1.1°当2a ＜-1即a ＜-2时，f （x ）的最小值为（21a --）2-42a -1=a=-6∈（-∞，-2）.2°当-1≤2a ≤1即-2≤a≤2时，f （x ）的最小值为142--a . ∴142--a =-6，得a=±52∉［-2，2］（舍去）. 3°当2a ＞1即a ＞2时，f （x ）的最小值为（1-2a ）2142--a =-a=-6. ∴a=6∈（2，+∞）.。

第四章 三角函数
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考点目标定位
1.角的概念的推广.弧度制.
2.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.
3.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
4.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
5.正弦函数、余弦函数的图象和性质.周期函数.
6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.正切函数的图象和性质.已知三角函数值求角. 复习方略指南
本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占15%，一般都是二或三个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形,一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”. 本章内容公式多,三角函数作为工具,和其他知识间的联系密切,因此复习中应注意:
1.弄清每个公式成立的条件,公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背,要在灵、活、巧上下功夫.
2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中,应深刻理解数与形的内在联系,理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.
3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法,并从中体会“变换美”.
4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a
b 确定)将函数化成y=Asin(ωx+φ)+h
的形式，再求其最值或周期等.。

人教版数学必修四第一章自我检测（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）第一章 三角函数一、选择题 1．已知 为第三象限角，则2α所在的象限是( )．A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限3．sin 3π4cos 6π5tan ⎪⎭⎫⎝⎛3π4－＝( )．A ．－433B ．433C ．－43 D ．43 4．已知tan θ＋θtan 1＝2，则sin θ＋cos θ等于( )．A ．2B ．2C ．－2D ．±25．已知sin x ＋cos x ＝51(0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )．A ．－43B ．－34C ．43D ．346．已知sin ＞sin ，那么下列命题成立的是( )． A ．若，是第一象限角，则cos ＞cosB ．若，是第二象限角，则tan＞tanC ．若，是第三象限角，则cos ＞cosD ．若，是第四象限角，则tan＞tan7．已知集合A ＝{|＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{|＝4k π±3π2，k ∈Z }，C ＝{γ|γ＝k π±3π2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )．A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．C ⊆A ⊆BD ．B ⊆C ⊆A8．已知cos(＋)＝1，sin＝31，则sin的值是( )．A ．31B ．－31C ．322D ．－322 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为( )．A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ，4π∪⎪⎭⎫⎝⎛4π5 ，π B ．⎪⎭⎫⎝⎛π ，4π C ．⎪⎭⎫⎝⎛4π5 ，4πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )．A ．y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛3π － 2x ，x ∈RB ．y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛6π ＋ 2x ，x ∈RC ．y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛3π ＋ 2x ，x ∈RD ．y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛32π ＋ 2x ，x ∈R二、填空题11．函数f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4π ，上的最大值是 ．12．已知sin ＝552，2π≤≤π，则tan＝ ．13．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝53，则sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 2π＝ ．14．若将函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为 ．15．已知函数f (x )＝21(sin x ＋cos x )－21|sin x －cos x |，则f (x )的值域是 ．16．关于函数f (x )＝4sin ⎪⎭⎫⎝⎛3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos ⎪⎭⎫⎝⎛6π － 2x ；②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－6π，0)对称；④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－6π对称．其中正确的是______________．三、解答题17．求函数f (x )＝lgsin x ＋1cos 2-x 的定义域．18．化简：(1))－()＋(－)＋＋()＋()－(－)＋＋(－αααααα︒︒︒︒180cos cos 180tan 360tan sin 180sin ；(2))－()＋()－()＋＋(πcos πsin πsin πsin n n n n αααα(n ∈Z )．19．求函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛6π － 2x 的图象的对称中心和对称轴方程．20．(1)设函数f (x )＝xa x sin sin ＋(0＜x ＜π)，如果 a ＞0，函数f (x )是否存在最大值和最小值，如果存在请写出最大(小)值；(2)已知k ＜0，求函数y ＝sin 2 x ＋k (cos x －1)的最小值．参考答案一、选择题 1．D解析：2k π＋π＜＜2k π＋23π，k ∈Z ⇒k π＋2π＜2α＜k π＋43π，k ∈Z ． 2．B解析：∵ sin θcos θ＞0，∴ sin θ，cos θ同号．当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限；当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限．3．A解析：原式＝⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πtan 6πcos 3πsin ＝－433．4．D解析：tan θ＋θtan 1＝θθcos sin ＋θθsin cos ＝θθcos sin 1＝2，sin cos＝21．(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2．sin＋cos ＝±2．5．B解析：由 得25cos 2 x －5cos x －12＝0．解得cos x ＝54或－53．又 0≤x ＜π，∴ sin x ＞0．⎩⎨⎧1＝cos ＋sin51＝cos ＋sin 22x x x x若cos x ＝54，则sin x ＋cos x ≠51，∴ cos x ＝－53，sin x ＝54，∴ tan x ＝－34．6．D 解析：若，是第四象限角，且sin ＞sin ，如图，利用单位圆中的三角函数线确定，的终边，故选D ．7．B解析：这三个集合可以看作是由角±3π2的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到的角的集合．8．B解析：∵ cos(＋)＝1，∴ ＋＝2k π，k ∈Z ．∴＝2k π－．∴ sin ＝sin(2k π－)＝sin(－)＝－sin ＝－31．9．C解析：作出在(0，2π)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．10．C(第6题`)解析：第一步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx 的图象，第二步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x 的图象．二、填空题 11．415．解析：f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4π ，上是增函数，f (x )≤sin 23π＋3tan3π＝415．12．－2． 解析：由sin ＝552，2π≤≤πcos ＝－55，所以tan＝－2．13．53．解析：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝53，即cos ＝53，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 2π＝cos＝53．14．21．解析：函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x ω (ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后得到函数y ＝tan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋6π－x ω＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛ωω6π－4π＋x 的图象，则6π＝4π－6πω＋k π(k ∈Z )，ω＝6k ＋21，又ω＞0，所以当k ＝0时，ωmin ＝21．15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，－． 解析：f (x )＝21(sin x ＋cos x )－21|sin x －cos x |＝⎩⎨⎧)＜()(x x x x x x cos sin sin cos ≥sincos 即 f (x )等价于min{sin x ，cos x }，如图可知，f (x )max ＝f ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＝22，f (x )min ＝f (π) ＝－1．16．①③．解析：① f (x )＝4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛+-6π2x＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6π2x ．② T ＝22π＝π，最小正周期为π．③ 令 2x ＋3π＝k π，则当 k ＝0时，x ＝－6π，∴ 函数f (x )关于点⎪⎭⎫⎝⎛0 6π－，对称． ④ 令 2x ＋3π＝k π＋2π，当 x ＝－6π时，k ＝－21，与k ∈Z 矛盾．∴ ①③正确． 三、解答题17．{x |2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z }．解析：为使函数有意义必须且只需⎪⎩⎪⎨⎧-② 0 ≥1 cos 2① ＞0 sin x x(第15题)(第17题)先在[0，2π)内考虑x 的取值，在单位圆中，做出三角函数线．由①得x ∈(0，π)，由②得x ∈[0，4π]∪[47π，2π]．二者的公共部分为x ∈⎥⎦⎤⎝⎛4π0，．所以，函数f (x )的定义域为{x |2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z }．18．(1)－1；(2) ±αcos 2．解析：(1)原式＝αααααα cos cos tan tan sin sin －＋－－＝－ααtan tan ＝－1．(2)①当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝)－()＋()－()＋＋(π2 cos π2sin π2sin π2sin k k k k αααα＝α cos 2．②当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝])＋－([])＋＋([])＋－([]＋)＋＋([π12 cos π12sin π12sin π12sink k k k αααα＝－αcos 2．19．对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，12π ＋ 2πk ；对称轴方程为x ＝2πk ＋3π(k ∈Z )．解析：∵ y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)，k ∈Z ， ∴ 令2x －6π＝k π，得x ＝2πk ＋12π．∴ 所求的对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，12π ＋ 2πk ，k ∈Z ． 又 y ＝sin x 的图象的对称轴是x ＝k π＋2π，∴ 令2x －6π＝k π＋2π，得x ＝2πk ＋3π．∴ 所求的对称轴方程为x ＝2πk ＋3π (k ∈Z )．20．(1)有最小值无最大值，且最小值为1＋a ； (2)0． 解析：(1) f (x )＝xa x sin sin ＋＝1＋xasin ，由0＜x ＜π，得0＜sin x≤1，又a＞0，所以当sin x＝1时，f(x)取最小值1＋a；此函数没有最大值．(2)∵－1≤cos x≤1，k＜0，∴k(cos x－1)≥0，又sin2x≥0，必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}na a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（notbelong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x xx --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=；用列举法表示为{0,1,3}-. （2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ； －5 A ； 17 B . 解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈； 由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13A 组题4）（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x=-的函数值组成的集合；（3）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合.解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y xy y =-=≥-.（3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x ax +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是由 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．⑵方程有一解为，而另一解不是x =代入得a =时另一解1x =⑶方程有一解为x =代入得a时另一解为1x =，合．综上可知，9{,4A =-．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第2讲§¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作A B⊆（或B A⊇），读作“A含于B”（或“B包含A”）.2. 如果集合A是集合B的子集（A B⊆），且集合B是集合A的子集（B A⊇），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A B=.3. 如果集合A B⊆，但存在元素x B∈，且x A∉，则称集合A是集合B 的真子集（proper subset），记作A≠⊂B（或B≠⊃A）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A⊆；若A B⊆，B C⊆，则A C⊆；若A B A=，则A B⊆；若A B A=，则B A⊆.¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}；{等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅2∈+=；0 {0}；∅{0}；Nx R x{|20}{0}.解：（1），；A BBA AB A BA ．B ．C ．D ． （2）=， ∈， ，.【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M⊆，求实数a 的值.解：由26023xx x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-.（i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；（ii ）若0a ≠时，得1{}N a=. 若N M ⊆,满足1123aa==-或，解得1123a a ==-或.故所求实数a 的值为0或12或13-.点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b axa b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1.当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0.因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-.经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 §¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.B （读作“B B （读作“B UA （读作“{|AB x ={|AB x ={|UA x =图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()UU R A x x B x x AB AB ==-≤≤=<<求.解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}AB x x =<≤，(){|1,9}U C AB x x x =<-≥或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A BC ； （2）()AABC .解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.（1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6BC =，得{}()6,5,4,3,2,1,0AC B C =------.∴()A A C BC {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m的取值范围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()UCAB ，UA-2 4 m xB AABB A()U C AB ，()()U UC A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C AB =.由{5,8}A B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C AB =由{1,3,6,7,9}UC A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U CA CB =，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()UU U CA CBC AB =，()()()U U U C A C B C AB =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn 图研究()()()UU U CA CBC AB =与()()()U U U C A C B C AB = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲 §¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()UU U CAB C A C B =,()()()U U U C AB C A C B =. 2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n AB =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9AB =，求实数a 的值.解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9AB =，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去；当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求AB , AB .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =；当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}AB =，{4}AB =； 当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}AB a =，AB =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240xx +=}， B ={x |222(1)10xa x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-；(ii )若0∈B ，代入得2a1-=0⇒a =1或a =1-，当a =1时，B =A ，符合题意； 当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意． (iii )若－4∈B ，代入得2870aa -+=⇒a =7或a =1，当a =1时，已经讨论，符合题意； 当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -=. （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}UC A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则{1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U AC B .第5讲 §¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间. 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）121y x =+-；（2）y .解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y xx =-++.解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠.所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y xx x =-++=--+.所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1x f x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式解：（1）由121x x-=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x-=+，解得11t x t-=+，所以1()1t f t t-=+，即1()1x f x x-=+.点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()()f x f x+的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x xx++=+=+==+++++.（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <.所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩(,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1)∈-∞，∴ f (0)=32.又 ∵ 32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示. 点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 §¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.解：任取12,x x ∈(0,1)，且12xx <.则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201xx <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数2()(0)f x axbx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x xR ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.若0a <，当122bxx a <≤-时，有120x x -<，12b x x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a-∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2b a-+∞上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间： （1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y xx =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.第8讲 §¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y axbx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a -=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a-；当0a <时，函数取最大值244ac b a-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲： 【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y xx x =-+-=--+. 当14x =时，max360y=.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数，所以当1x =时，min2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d=+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令1x t-=，则t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值： （1）25332,[,]22y x x x =--∈-；（2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b x a=-，即1x =-.画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max4y =； 当32x =时，min94y=-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第9讲 §¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性： （1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x xx =-.解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以为奇函数.（2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数.（3）由于23()()f x xx f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x .解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩. 两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-.教学过程。

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.－25π6的角是()A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【解析】因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角.【答案】 D2.若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是() A.4 cm2 B.2 cm2C.4π cm2D.2π cm2【解析】r＝l|α|＝42＝2(cm)，S＝12lr＝12×4×2＝4(cm2).【答案】 A3.圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是()A.π2cm 2 B.3π2cm2C.π cm2D.3π cm2【解析】15°＝π12，则S＝12|α|r2＝12×π12×62＝3π2(cm2).【答案】 B4.下列说法不正确的是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π C.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关. 【答案】 D5.集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界).故选C.【答案】 C 二、填空题6.把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π)的形式是________. 【解析】 法一：－570°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫570×π180rad＝－196πrad ， ∴－196π＝－4π＋56π.法二：－570°＝－2×360°＋150°， ∴－570°＝－4π＋56π. 【答案】 －4π＋56π7.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________.【解析】 由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ， ∴圆心角α＝l r ＝(π－2)rr ＝π－2(rad)， 扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2). 【答案】 π－2 2(π－2) 三、解答题 8.已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π)的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π). 【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9. 9.已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S 的最大值.【解】 (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎨⎧l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝20，r ＝10，则α＝l r ＝2(rad).故扇形的圆心角为2 rad. (2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ， 故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100， 故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[能力提升]1.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12B.2倍C.13D.3倍【解析】 设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为lr ，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍. 【答案】 D2.已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。

3 2 22 2232 第一章 基本初等函数(Ⅱ)的测试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1．(2016·陕西延川县期中)半径为 π cm ，中心角为 120°的弧长为 ( ) π A.3π2cm B. 32π cm C. 3 12π2 cm D. 3cm 3π2．(2016·桂林全州学段考)如果 sin(π＋A )＝－2，那么 cos ( 2－A )等于( )1 A ．－2 1 B.2C. D．－ 3．若点 P (sin2，cos2)是角 α 终边上一点，则角 α 的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4右．图是函数 f (x )＝A sin ωx (A >0ω，>0)一个周期的图象则，f (1)＋f (2)＋f (3) ＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于()A. B.C ．2＋D ．27πsin 10cosπ 5．给出下列各函数值：①sin100°；②cos(－100°)；③tan(－100°)；④ 17π .其中符号为负的是()A ．①B ．②C ．③D ．④ tan 9 π16．把函数 y ＝sin (x ＋6)图象上各点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象π向右平移3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )π A. x ＝－2 π B. x ＝－4 π C. x ＝8 1 πD. x ＝47．(2016·山西大同一中测试)若 0<α<2π，且 sin α< ，cos α> ，利用三角函数线得到角 α2 的取值范围是()π ππ5π π5πA.(－3，3)B.(0，3)2sin αcos α－cos αC.( 3 ，2π)D.(0，3)∪( 3 ，2π)8．化简 ＋ 2 － － 2 等于( )1 sin α sin α cos α11 A ．tan α B.C ．－tan αD ．－tan αtan α32 2π ππ 5π 2π 2π9. 设 a ＝sin 7 ，b ＝cos 7 ，c ＝tan 7 ，则()A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cπ10．(2016·上海高考)设 a ∈R ，b ∈[0,2π]．若对任意实数 x ，都有 sin (3x －3)＝sin(ax ＋b )，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为() A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A ＞0，ω＞0)的最大值是 4，最小值是 0，该函数的π π图象与直线 y ＝2 的两个相邻交点之间的距离为4，对任意的 x ∈R ，满足 f (x )≤|A sin (12ω＋φ)|＋m ，且 f (π)＜f (4)，则下列符合条件的函数的解析式是() π7πA ．f (x )＝2sin (4x ＋6)＋2B ．f (x )＝2sin (2x ＋ 6 )＋2π7πC ．f (x )＝2sin (4x ＋3)＋2D ．f (x )＝2sin (4x ＋ 6)＋212．(2016·山西榆社中学期中)函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ 是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：π①最小正周期为 π；②将 f (x )的图象向左平移6个单位，所得到的函数是偶函数；12π 14π 5π ③f (0)＝1； ④f ( 11 )<f ( 13)； ⑤f (x )＝－f( 3－x ).其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．sin(－120°)cos1 290°＋ cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝.14．(2016·河南灵宝高级中学期中)已知函数 f (x )＝3sin (ωx －6)(ω>0)和 g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1 的图象的对称轴完全相同，若 x ∈[0，2]，则 f (x )的取值范围是．221＋2sin(3π－α)cos(α－3π)sin(α－2 )－1－sin2(2 ＋α)3π5π32ππ2π15．(2016·河南洛阳八中月考)函数y＝f(cos x)的定义域为[2kπ－6，2kπ＋3 ](k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为．sin x＋cos x＋|sin x－cos x|16.已知函数f(x)＝2，则下列结论正确的是．π①f(x)是奇函数；②f(x)的值域是[－，1]；③f(x)是周期函数；④f(x)在[0，2]上递增．三、解答题(本大题共6 小题，共70 分)17．(10 分)化简，其中角α 的终边在第二象限．18．(12 分)已知函数y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示(ω>0)，试求它的表达式．1 19．(12 分)(2016·山西大同一中期中)已知α 是一个三角形的内角，且sinα＋cosα＝.5(1)求tanα 的值；1(2)用tanα 表示2 －并求其值．2sin αcos αx π20．(12 分)(2016·银川九中期中)已知函数f(x)＝3sin(2＋6)＋3.(1)用五点法画出这个函数在一个周期内的图象；(必须列表)(2)求它的振幅、周期、初相、对称轴方程；(3)说明此函数图象可由y＝sin x 在[0,2π]上的图象经怎样的变换得到．21．(12 分)设函数f(x)＝sin(2ωx＋3)＋＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y 轴右[ ]ππ3 66．A 依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是 y ＝sin [2(x －π)＋π]＝sin 7π侧的第一个最低点的横坐标为 6.(1) 求 ω 的值；π 5π(2) 如果 f (x )在区间 － ， 上的最小值为3，求 a 的值．22．(12 分)已知函数 f (x )＝log a cos (2x －3)(其中 a >0，且 a ≠1)．(1) 求它的定义域；(2) 求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．2π 2π2详解答案1．D 120°＝ 3 ，∴弧长为 3，故选 D.1 1 3π12．A sin(π＋A )＝－2，∴sin A ＝2，cos ( 2 －A )＝－sin A ＝－2，故选 A. 3．D ∵2 弧度是第二象限角∴sin2＞0，cos2＜0. ∴点 P 在第四象限，∴角 α 的终边在第四象限，故选 D.2π π πx4．A 易知 A ＝2，由ω ＝8，得 ω＝4，∴f (x )＝2sin 4，又由对称性知，原式＝f (1)＝ π ＝ 2，故选 A.2sin 45．B ①sin100°>0；②cos(－100°)＝cos100°<0；③tan(－100°)＝－tan100°>0；④∵sin7π7π 17π sin 10cosπ 10>0，cosπ＝－1，tan 9<0，∴ 17π >0.其中符号为负的是②，故选 B. tan 93 6(2x －2)＝π－cos2x ，注意到当 x ＝－2时，y ＝－cos(－π)＝1，此时 y ＝－cos2x 取得最大值，因此π直线 x ＝－2是该图象的一条对称轴，故选 A .32 3 4π ( )( 33 3 π 2π7．D 如图示，满足 sin α< 的角 α 为(0，3)∪( 3 ，2π)，满足1 π 5π cos α>2的角 α 为(0，3)∪( 3 ，2π)，所以符π 5π合条件的角 α 为(0，3)∪( 3 ，2π)，故选 D.8．B 原式＝ cos α(2sin α－1) 1－cos 2α＋sin 2α－sin αcos α(2sin α－1) cos α(2sin α－1) ＝ ＝2sin 2α－sin α 1＝ .故选 B. tan αsin α(2sin α－1) 5π 2π 2π9．D a ＝sin 7 ＝sin 7 ＜tan 7＝c .2π π 2π 3π cos 7 ＝sin (2－ 7 )＝sin 14， 3π 2π 3π 2π∵14＜ 7 ，∴sin 14＜sin 7.故 b ＜a ＜c . π π10．B sin (3x －3)＝sin (3x －3＋2π)＝5π 5π ππ 4π sin (3x ＋ 3 )，(a ，b )＝(3， 3 )，又 sin (3x －3)＝sin [π－(3x －3)]＝sin (－3x ＋ 3 )，(a ，b )＝ (－3， 3 )，因为 b ∈[0,2π]，所以只有这两组．故选 B.π 2π π 11．D 由题意得Error!解得Error!由题可知周期 T ＝2，由T ＝ ω ＝2得 ω＝4，于是函π π π数 f (x )＝2sin(4x ＋φ)＋2.又由题可知 x ＝ 是函数的对称轴，故 4× ＋φ＝k π＋ ， 则 φ＝k π＋12 12 2π π 6(k ∈Z )，又因为 f (π)＜f(4)，验证选项 A 、D ，可得选项 D 正确．7π π 7π7π 3π12．C 由图象可知，A ＝2，T ＝(12－3)×4＝π，∴ω＝2，当 x ＝12时，2×12＋φ＝ 2，∴φ＝ π π π，∴f (x )＝2sin 2x ＋ 故①正确；f (0)＝2sin ＝ 3，故③不正确，故选 C.13.1解析：原式＝－sin120°cos210°＋cos60°sin30°＝ 3 1 1 － 2× － )＋ × ＝1.2 2 2331 23π π 3π 3 2π π解析：由题可知，f (x )与 g (x )的周期相同，∴T ＝ 2 ＝π，∴ω＝2，则 f (x )＝3sin (2x －6)， 当 0≤x ππ π 5π≤2x － 3 f (x )≤3. ≤2时，－6 6≤ 6 ，∴－ ≤ 15.[－2，1]π 2π 1 1解析：∵2k π－6≤x ≤2k π＋ 3 ，k ∈Z .∴－2≤cos x ≤1.∴f (x )的定义域为[－2，1].16．②③解析：f (x )＝Error!∴f (x )的图象如图所示．依据图象可知②③正确．17. 解 ： 原 式 ＝ 1＋2sin[2π＋(π－α)]cos[(α－π)－2π] －sin( 2 －α)－ 1－sin 2[2π＋(2＋α)]1＋2sin (π－α)cos (α－π) (cos α－sin α)2 ＝ ＝ .cos α－ 1－cos 2α∵α 是第二象限角，∴sin α>0，cos α－sin α<0. sin α－cos αcos α－|sin α| 于是，原式＝ － ＝－1.cos α sin αT 5π π π 2π18．解：∵2＝ 6 － ＝ ，ω>0，∴T ＝π，ω＝ T ＝2.3 2 π π 2π ∵图象过点(3，0)，∴f (3)＝A sin ( 3 ＋φ)＝0， 2π∴ 3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ， π令 k ＝0，得 φ＝3.又图象过点(0， )，由 A sin (2 × 0＋ )＝ 得，A ＝ 3. 2 3 2π∴所求表达式为 y ＝ sin (2x ＋3).19．解：(1)已知 α 是一个三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0.3 24 2 － 2 22 2－ 4 7 2 －2 π2 π1 1 24由sin α＋cos α＝ ，得 1＋2sin αcos α＝ ，∴2sin αcos α＝－ ，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－5 25 2549 7 4 32sin αcos α＝ ，∴sin α－cos α＝ .∴sin α＝ ，cos α＝－ ，25 5 5 54∴tan α＝－ . 31 sin 2α＋cos 2αtan 2α＋1(－3)2＋1 251 25 (2) ＝ ＝ ＝ sin α cos α sin α cos α tan α 120．解：(1)列表(－3)2－1 ＝ .∴ ＝ .sin α cos α 7x π － 3 2π 3 5π 3 8π 3 11π 3 x π＋ 2 6 0 π 2π 3π 2 2π y3633π x π π 2π (2) 周期 T ＝4π，振幅 A ＝3，初相 φ＝6，由 ＋ ＝k π＋ ，得 x ＝2k π＋ (k ∈Z )即为对称轴方程；2 6 23π π(3) ①由 y ＝sin x 的图象上各点向左平移 φ＝6个长度单位，得 y ＝sin (x ＋6)的图象；②由 y ＝sin (x ＋6)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得 y ＝sinx π(2＋6)的图象；x π③由 y ＝sin (2＋6)的图象上各点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐标不变)，得 y ＝3sinx π(2＋6)的图象；x πx π④由 y ＝3sin (2＋6)的图象上各点向上平移 3 个长度单位，得 y ＝3sin (2＋6)＋3 的图象．7π π 3π 121．解：(1)依题意知，2× 6 ω＋3＝ 2 ⇒ω＝ .(2)由(1)知 f (x )＝sin (x ＋3)＋ ＋a ，32 3＋1 π π π 5π π 7π又当 x ∈[－3， 6 ]时，x ＋3∈[0， 6 ]，1 π故－2≤sin (x ＋3)≤1，π 5π 1 从而 f (x )在[－3， 6 ]上取最小值－2＋＋a . 1 3 因此－ ＋ ＋a ＝ 3，解得 a ＝ .222πππππ22．解：(1)由题意知 cos (2x －3)>0，∴2k π－2<2x －3<2k π＋2(k ∈Z )．即 k π－12<x <k π＋5ππ5π 12(k ∈Z )．故定义域为(k π－12，k π＋12)(k ∈Z )．π π2π π(2)由 2k π≤2x －3≤(2k ＋1)π(k ∈Z )，得 k π＋6≤x ≤k π＋ 3 (k ∈Z )．即 cos (2x －3)的单调π 2π 减区间为[k π＋6，k π＋ 3]ππ π π(k ∈Z )．由 2k π－π≤2x －3≤2k π(k ∈Z )，得 k π－3≤x ≤k π＋6(k ∈Z )．即 cos (2x －3)的单π π调增区间为[k π－3，k π＋6](k ∈Z )．π πππ5π∴函数 u ＝cos (2x －3)在(k π－12，k π＋6](k ∈Z )上是增函数，在[k π＋6，k π＋12)(k ∈Z )上 是减函数． ∴当 a >1 时，f (x )的单调增区间为 π π(k π－12，k π＋6](k ∈Z )． π 5π单调减区间为[k π＋6，k π＋12)(k ∈Z )．当 0<a <1 时，f (x )的单调增区间为π 5π[k π＋6，k π＋12)(k ∈Z )，单调减区间为π π(k π－12，k π＋6](k ∈Z )．(3)∵f (x )的定义域不关于原点对称， ∴函数 f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(4)∵f (x ＋π)＝log a cos [2(x ＋π)－3]＝log a cos (2x －3)＝f (x )．∴函数 f (x )的周期为 T ＝π.。

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列叙述错误的是( ) A.arctan y 表示一个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的角B.若x ＝arcsin y ，|y |≤1，则sin x ＝yC.若tan x2＝y ，则x ＝2arctan y D.arcsin y ，arccos y 中的y ∈[－1,1]【解析】 ∵tan π2＝y ，∴x2＝k π＋arctan y ，∴x ＝2k π＋2arctan y ，故C 错. 【答案】 C2.已知sin α＝－13，－π2＜α＜0，则α等于( ) A.π－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13B.π＋arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13D.－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13【解析】 －π2＜α＜0，sin α＝－13，所以α＝ arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13.【答案】 C3.若π2＜x ＜π且cos x ＝－56，则x 等于( ) A.arccos 56 B.－arccos 56 C.π－arccos 56 D.π＋arccos 56【解析】 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝π－arccos 56.【答案】 C4.(2016·大连高一检测)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，则在区间[0,2π]上解的个数为( )A.5B.4C.3D.2【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，∴2x ＋π3＝k π＋π6(k ∈Z ).即x ＝k π2－π12(k ∈Z ).∵x ∈[0,2π]，∴k ＝1,2,3,4时，x 分别为5π12，1112π，17π12，2312π.故选B. 【答案】 B5.直线x ＋2y ＋1＝0的倾斜角为( )【导学号：72010035】A.arctan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12B.－arctan 12 C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55D.arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－255 【解析】 直线x ＋2y ＋1＝0可化为y ＝－12x －12，∴直线斜率k ＝－12，设直线倾斜角为α，则tan α＝－12，故α为钝角，∴cos α＝－255，∴α＝arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－255. 【答案】 D 二、填空题6.(2016·威海高一检测)函数y ＝arccos(sin x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域为________.【解析】 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1， ∴0≤arccos(sin x )≤5π6. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π67.(2016·东营高一检测)若x ＝π3是方程2cos(x ＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.【解析】 由条件可知2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12，∴α＋π3＝2k π±π3(k ∈Z ).∵α∈(0,2π)，∴α＝4π3. 【答案】 4π38.(2016·日照高一检测)已知cos α＝13，α∈[0,2π)，则角α＝________. 【解析】 因为cos α＝13，所以α是第一或第四象限角.又因为α∈[0,2π)， 所以α＝arccos 13或α＝2π－arccos 13. 【答案】 arccos 13或2π－arccos 13 三、解答题9.已知sin α2＝－32，且α是第二象限的角，求角α.【解】 ∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限的角. 又∵sin α2＝－32＜0，∴α2是第三象限角. 又sin 4π3＝－32，∴α2＝2k π＋43π(k ∈Z )， ∴α＝4k π＋83π(k ∈Z ).10.(2016·四川高一检测)已知tan α＝－2，根据下列条件求角α. (1)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2；(2)α∈[0,2π]；(3)α∈R .【解】 (1)由正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2).(2)∵tan α＝－2＜0，∴α是第二或第四象限角.又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π、⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π上是增函数知，符合tan α＝－2的角有两个.∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2， 且arctan(－2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2). (3)α＝k π＋arctan(－2)(k ∈Z ).[能力提升]1.给出下列等式：①arcsin π2＝1；②arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π6；③arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＝π3；④sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫arcsin 12＝12.其中正确等式的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4【解析】 ①arcsin π2无意义；②③④正确. 【答案】 C2.若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( )A.14 B.－34 C.14或－34D.－14或34【解析】 要使函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4有意义则2x ＋π4≠m π＋π2，m ∈Z∵直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，∴x ＝k π2时正切函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4无意义，即2×k π2＋π4＝π2＋m π， ∴4k ＝4m ＋1.当m ＝0时，k ＝14，满足要求； 当m ＝－1时，k ＝－34满足要求； 当m ＝1时，k ＝54不满足要求， 故满足条件的k ＝14或－34. 【答案】 C3.函数y ＝3－2x ＋π－arccos(2x －3)的定义域是________. 【解析】 要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ≥0，－1≤2x －3≤1，解得：1≤x ≤32. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，324.若f (arcsin x )＝x 2＋4x ，求f (x )的最小值，并求f (x )取得最小值时的x 的值. 【解】 令t ＝arcsin x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即sin t ＝x ，sin t ∈[－1,1]，于是f (t )＝sin 2t ＋4sin t ，即f (x )＝(sin x ＋2)2－4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝－π2时，f (x )取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.。