2020年浙江省“金兰教育合作组织”高一下学期期中联考数学试题(附带详细解析)

2020学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)1．已知等差数列{}n a的首项为1，公差为2，则a9的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．182．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．15003．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )A.－3B.1C.－1D.34.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3a4a5=29,则a3＝( )A.16B.8C.4D.25.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )A.1a2＞1a＞1abB.1a2＞1ab＞1aC.1a＞1a2＞1abD.1a＞1ab＞1a26．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk =sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当k=5时，ΔABC是直角三角形B. 当k=3时，ΔABC是锐角三角形C. 当k=2时，ΔABC是钝角三角形D. 当k=1时，ΔABC是钝角三角形7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.128.已知向量a ⃗ =(3cosθ,3sinθ)，b ⃗ =(0,−3)，θ∈(π2,π)，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. 3π2−θB. θ−π2C. π2+θD. θ9.已知实数x,y 满足xy −2=x +y ,且x >1,则y(x +11)的最小值为（ ）A.21B.24C.25D. 2710.若不等式(|x －2a |－b )×cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则2a ＋b 的最小值为( )A.1B. 56C.23D. 2二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分) 11.已知平面向量a ＝(2，－3)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.12.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则2y －x 的最小值为______.最大值为_______.13.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B ＝________，BC边上中线AM的长为________.15.若a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项公式a n＝________.16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）第Ⅱ卷三、解答题(本大题5小题，共74分)18.（本小题满分14分）.已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝ann.(1)证明：数列{b n}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式.19. （本小题满分15分）已知函数f(x)=−4x2+13x−3．(1)求不等式f(x)>0的解集；(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．x20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋2b|；(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，求△ABC的面积.21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求a＋b的取值范围.22.（本小题满分15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＝4S n－2a n－，T n为数列{b n}的前n项和．1(n∈N*).数列{b n}满足b n=1a n·a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n;(3)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题: 本大题共7个小题，共36分． 11. −32, 23 12. -4 413． 3,12 14. 12,√7 15． n 2＋n ＋2216． d ≥−117．3λ－1λ2三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．18．(本小题满分14分) （1）由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由（1）可得b n＝2n－1，ann＝2n－1所以a n＝n·2n－1.19. 本小题满分15分)解：(1)由题意得−4x2+13x−3>0，因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=14，x2=3，又二次函数f(x)=−4x2+13x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|14<x<3}；(2)由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x>0，所以y=−4x−3x +13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x ，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．(本小题满分15分)解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a ＋2b |＝2√7 (3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角B cos B =√7∴sin B =√3√7|AB →|＝2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sinB ＝12×2√7×3×√37＝3 3.21． （本小题满分15分）解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2) 法一：由(1)知2c ＝sin C ，c=34∴2a ＝sin A ，2b ＝sin B . △ABC 的a ＋b ＝12(sin A ＋sin B )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈112]∴a ＋b 的取值范围为.112]法二：c 2=a 2+b 2+ab c 2=(a +b)2−ab ≥(a +b )2−(a+b )24316≥34(a +b )2 ∴a ＋b ≤12 ∵a ＋b >c =√34∴a ＋b 的取值范围为.112]22（本小题满分15分） 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝2n－1.(2)由题意和(1)得：b n=1a n·a n+1=1(2n−1)·(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{b n}前n项和T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．(3)①当n为偶数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n+8n+17恒成立．∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ<25．②当n为奇数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n−8n−15恒成立．∵2n−8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n−8n取得最小值−6．∴此时λ需满足λ<−21．综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21．。

2019-2020学年浙江省金兰组织高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若b 2+c 2−a 2=bc ，则sin(B +C)=( ) A. −B.C. −D.2. 已知△ABC 的三内角A ，B ，C ，所对三边分别为a ，b ，c ，sin(A −π4)=√210，若△ABC 的面积S =24，b =10，则a 的值是( )A. 5B. 6C. 7D. 83. S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 3=S 7，a 2=7，则a 5=( )A. 5B. 3C. 1D. −14. 已知数列{a n }满足a n =1，a n+1−a n ≥2(n ∈N +)，且{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. a n ≥2n +1B. S n ≥n 2C. a n ≥2n−1D. S n ≥2n−15. 已知tan α=，则sin2 α−2cos 2 α−1=( )A.B.C.D. −26. 已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数且满足f(32+x)=f(−x)，f(1)=−3，数列{a n }满足a 1=−1，且S n =2a n +n(n ∈N ∗)，(其中S n 为{a n }的前n 项和).则f(a 5)+f(a 6)=( )A. −3B. −2C. 3D. 27. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinB =12,sinC =√32，则a ：b ：c 为( )A. 1：√3：2B. 1：1：√3C. 1：2：√3D. 2：1：√3或1：1：√38. 4.设，则等于A.B.C.D.9. 在等比数列{a n }中，a 1=1，q =12，a n =132，则n =( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 函数y =sin(2x +π6)+cos(2x −π3)的最小正周期和振幅分别是A. π，√2B. π，2C. 2π，1D. 2π，√2二、单空题（本大题共3小题，共12.0分） 11. 海中有一小岛，周围n mile 内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东60°，航行6n mile 以后，望见这岛在北偏东30°.如果这艘海轮不改变航向继续前行，则经过________n mile 后海轮会触礁．12. 已知sinα=35，且α为第一象限角，则tan2α的值为______． 13. 已知数列{a n }满足a n+1a n=n+2n(n ∈N +)，且a 1=1，则a n =________．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 函数f(x)=sin 2x +sinxcosx +1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． 15. 设数列{a n }满足a 1=1,a 2=180,a n+2=a n +n +(−1)n n ，则：(1)a 1+a 3+a 5+⋯+a 2019= (1) ； (2)数列{a 2n2n }中最小项对应的项数n 为 (2) ．16. 函数f(x)=sin2x +sinxcosx +1的最小正周期是 (1) ，单调递减区间是 (2) ．17. 对于n ∈N +，将n 表示n =a 0×2k +a 1×2k−1+a 2×2k−2+⋯+a k−1×21+a k ×20，当i =0时，a i =1，当1≤i ≤k 时，a 1为0或1.记I(n)为上述表示中a i 为0的个数(例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I (1)=0，I(4)=2)，则(1)I(12)= (1) ；(2)∑2I(n)127n=1= (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=sin(3x +π4).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f(α3)=45cos(α+π4)cos2α，求cosα−sinα的值．19. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ：sin B ：sinC =3：4：5．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积为32，求△ABC 的周长．20. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n >1，且6S n =(a n +1)(a n +2)，n ∈N ∗．(1)求{a n }的通项公式：(2)设数列{b n }满足b n ={a n ,n 是奇数2n ,n 是偶数，并记T n 为{b n }的前n 项和，求T 2n ．21. (12分)如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为km ，∠ ADB =∠ CDB =30°，∠ ACD =60°∠ ACB =45°，求A 、B两点间的距离．22.已知数列{a n}，满足a n+1={2a n,n为偶数a n+1,n为奇数，a1=1，若b n=a2n−1+2(b n≠0)．(Ⅰ)求a4，并证明数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)令c n=n⋅a2n−1，求数列{c n}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：B解析：b 2+c 2−a 2=bc ⇒cosA ==，sin(B +C)=sinA =．2.答案：D解析：本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及两角差的正弦公式等应用，考查化简、计算能力．属于中档题．由题意和两角差的正弦公式化简已知的式子，联立平方关系、内角的范围求出sin A 和cos A 的值，由条件和三角形的面积公式列出方程求出c ，由余弦定理求出a 的值． 解：由sin(A −π4)=√210得，√22(sinA −cosA)=√210，则sinA −cosA =15，联立sin 2A +cos 2A =1，且，解得{sinA =45cosA =35或{sinA =−35cosA =−45(舍去)，因为△ABC 的面积S =24，b =10， 所以12bcsinA =24，解得c =6， 由余弦定理得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =100+36−2×10×6×35=64，则a =8， 故选D ．3.答案：C解析：解：设公差为d ，由S 3=S 7，a 2=7，可得{3a 1+3d =7a 1+21d a 1+d =a 2=7，解得a 1=9，d =−2， ∴a 5=a 1+4d =8−8=1， 故选：C ．根据S3=S7，a2=7，列出方程组，求出等差数列{a n}的首项和公差，然后求出a5即可本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．4.答案：B解析：解：由题意可得a2−a1≥2，a3−a2≥2，a4−a2≥2，…+a n−a n−1≥2，∴a n−a1≥2(n−1)，∴a n≥2n−1，∴S n=a1+a2+a3+⋯+a n≥1+3+5+⋯+(2n−1)=n(1+2n−1)2=n2，故选：B．根据累加法求出a n≥2n−1，再根据放缩法和等差数列的求和公式可得S n≥n2．本题考查了累加法和等差数列的求和公式，属于中档题．5.答案：A解析：本题考查了二倍角公式，考查了同角三角函数的基本关系式，∵，tanα=，∴上式=，故选A．6.答案：C解析：解：∵函数f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，又∵f(32+x)=f(−x)，∴f(32+x)=−f(x)，∴f(x+3)=f[32+(32+x)]=−f(32+x)=f(x)，∴f(x)是以3为周期的周期函数，∵数列{a n}满足a1=−1，且S n=2a n+n(n∈N∗)，∴当n≥2时，S n−1=2a n−1+n−1，则a n =2a n −2a n−1+1，即a n =2a n−1−1， ∴a n −1=2(a n−1−1)(n ≥2)，又∵a 1−1=−2， ∴数列{a n −1}是首相为−2，公比为2的等比数列， ∴a n −1=−2×2n−1=−2n ， ∴a n =1−2n ，此式对n =1也成立， ∴数列{a n }的通项公式为a n =1−2n ， ∴a 5=−31，a 6=−63，∴f(a 5)+f(a 6)=f(−31)+f(−63)=f(2)+f(0)=f(2)=−f(−2)=−f(1)=3， 故选：C ．先求出函数的周期，再求出数列的通项，即可算出结果． 本题主要考查了函数的周期性，以及数列求通项，是中档题．7.答案：D解析：解：由sinB =12，sinC =√32得：B =π6或5π6，C =π3或2π3，当B =π6，C =π3时，求出A =π2，根据正弦定理得：a ：b ：c =sinA ：sin B ：sinC =1：12：√32=2：1：√3；当B =π6，C =2π3时，求出A =π6， 根据正弦定理得：a ：b ：c =sinA ：sin B ：sinC =12：12：√32=1：1：√3；当B =5π6，C =π3或2π3时，与三角形的内角和定理矛盾，舍去， 综上，a ：b ：c =2：：1：√3或1：1：√3． 故选：D ．先根据特殊角的三角函数值，求出B 与C 的度数，然后分情况讨论B 的度数与C 的度数，利用三角形的内角和定理求出A 的度数，根据正弦定理得到三边之比等于三个角正弦值之比，根据求出的三角形的三内角分别求出三内角的正弦值，即可得到三边之比．此题考查了正弦定理，及特殊角的三角函数值．根据sin B 和sin C 的值，得到B 与C 的度数，进而利用分类讨论的思想及三角形的内角和定理求出A 的度数是解本题的关键．学生做题时注意舍去不合题意的情况．8.答案：B解析：试题分析：，故选B．考点：两角和与差的三角函数，倍角公式．9.答案：B解析：解：a n=132=1×(12)n−1，解得n=6．故选：B．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B解析：利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和振幅，求得该函数的最小正周期和振幅．本题主要考查三角恒等变换、余弦函数的周期性和振幅，属于基础题．解：由已知可得：y=sin(2x+π6)+cos(2x−π3)=sin2x⋅√3+cos2x⋅1+cos2x⋅1+sin2x⋅√3=cos2x+√3sin2x=2cos(2x−π3 )所以函数的最小正周期为2π2=π，它的振幅是2，故选B．11.答案：解析：试题分析：由题意可知，该海轮在A 处望见岛C 在北偏东60°，航行6 n mile 到达B 处，望见岛在北偏东30°，所以，所以BC =6，如果继续航行到达D 处触角，则在中，，根据余弦定理可以求出，所以经过n mile 后海轮会触礁．考点：本小题主要考查解三角形在实际应用题中的应用，考查学生的转化能力和运算求解能力． 点评：解决实际应用题的关键是准确将实际问题转化为熟悉的数学问题，用数学知识解决问题．12.答案：247解析：解：∵已知sinα=35，α为第一象限角， ∴cosα=√1−sin 2α=45，则tanα=sinαcosα=34， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×341−916=247．故答案为：247．利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα的值，进而利用二倍角的正切函数公式即可求解．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．13.答案：n(n+1)2解析：本题考查数列的求通项公式，由已知结合累乘法即可求解．解：由已知得a nan−1=n+1n−1，所以n ≥2时，a n =a na n−1×a n−1a n−2×⋯×a 2a 1×a 1=n+1n−1×n n−2×⋯×21×1=n(n+1)2，又a 1=1也符合上式，所以a n=n(n+1)2．故答案为n(n+1)2．14.答案：π[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)解析：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．由三角函数公式化简可得f(x)=√22sin(2x−π4)+32，易得最小正周期，解不等式2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2(k∈Z)可得函数的单调递减区间．解：化简可得f(x)=sin2x+sinxcosx+1=12(1−cos2x)+12sin2x+1=√22sin(2x−π4)+32，∴原函数的最小正周期为T=2π2=π，由2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2(k∈Z)可得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8(k∈Z)，∴函数的单调递减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)故答案为π；[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)15.答案：10109或10解析：解：(1)数列{a n}满足a1=1,a2=180,a n+2=a n+n+(−1)n n，则：a3=a1+1+(−1)1⋅1=1，a5=a3+3+(−1)3⋅3=1，……，a2019=a2017+2017+(−1)2017⋅2017=1，所以a1+a3+a5+⋯+a2019=20202=1010．故答案为：1010．(2)由题意知：a2=180,a n+2=a n+n+(−1)n n，因为n为偶数，所以a n+2=a n+2n，整理得a n+2−a n=2n，a n−a n−2=2(n−2)，……，a6−a4=2×4，a4−a2=2×2，累加得：a n+2−a2=2(2+4+⋯+n)，整理得：a n+2=12n2+n+180，所以：a n=12n2−n+180(n为偶数)，从而得到a nn =n2+180n−1(n为偶数)，由于n2+180n≥6√10,当且仅当n2=180n即n=6√10时取等号，又因为n∈N∗且n为偶数，所以当n=18或20时，a nn的值最小．所以数列{a2n2n}中最小项对应的项数n为9或10．故答案为：9或10．(1)当n为奇数时，可得奇数项的值都为1，从而求出前2020项奇数项的和为1010．(2)当n为偶数时，a n+2−a n=2n，属于累加法的题型，运用累加法求出a n，从而求出a nn，再结合均值不定式求出最小项，注意n的取值．考查了由数列的递推公式求通项公式的常用方法累加法，又与均值不等式结合到一起考查最值问题．16.答案：π[kπ+π4,kπ+3π4]，k∈Z解析：本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论． 解：函数f(x)=sin2x +sinxcosx +1=32sin2x +1的最小正周期为2π2=π， 令2kπ+π2≤2x ≤2kπ+3π2，求得kπ+π4≤x ≤kπ+3π4，可得函数的单调减区间为[kπ+π4,kπ+3π4]，k ∈Z ，故答案为：π；[kπ+π4,kπ+3π4]，k ∈Z ．17.答案：21093解析：解：(1)根据题意，12=1×23+1×22+0×21+0×20，则I(12)=2； (2)127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20， 设64≤n ≤126，且n 为整数；则n =1×26+a 1×25+a 2×24+a 3×23+a 4×22+a 5×21+a 6×20， a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C 60种情况，即有C 60个I(n)=6； 其中有一个为1时，有C 61种情况，即有C 61个I(n)=5； 其中有2个为1时，有C 62种情况，即有C 62个I(n)=4；…∑2I(n)127n=64=C 6026+C 61×25+C 62×24+C 63×23+C 64×22+C 65×2+1=(2+1)n =36， 同理可得：∑2I(n)63n=32=35， …∑2I(n)3n=2=31， 2I(1)=1；则 ∑2I(n)127n=1=1+3+32+⋯+36=37−13−1=1093；故答案为：(1)2；(2)1093．(1)根据题意，分析可得，将n 表示n =a 0×2k +a 1×2k−1+a 2×2k−2+⋯+a k−1×21+a k ×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×23+1×22+0×21+0×20，由I(n)的意义，可得答案；(2)将n 分为n =127，64≤n ≤126，32≤n ≤63，…n =1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I(n)的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．解本题关键在于分析题意，透彻理解I(n)的含义 ∑2I(n)127n=1的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n 项和公式进行计算．18.答案：解：(1)∵函数f(x)=sin(3x +π4)，令2kπ−π2≤3x +π4≤2kπ+π2，k ∈Z ，求得2kπ3−π4≤x ≤2kπ3+π12，故函数的增区间为[2kπ3−π4,2kπ3+π12]，k ∈Z ．(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cos(α+π4)cos2α， ∴sin(α+π4)=45cos(α+π4)cos2α，即sin(α+π4)=45cos(α+π4)(cos 2α−sin 2α)，∴sinαcosπ4+cosαsin π4=45(cosαcos π4−sinαsin π4)(cosα−sinα)(cosα+sinα) 即(sinα+cosα)=45⋅(cosα−sinα)2(cosα+sinα)， 又∵α是第二象限角，∴cosα−sinα<0，当sinα+cosα=0时，tanα=−1，sinα=√22，cosα=−√22，此时cosα−sinα=−√2．当sinα+cosα≠0时，此时cosα−sinα=−√52．综上所述：cosα−sinα=−√2或−√52．解析：(1)令2kπ−π2≤3x +π4≤2kπ+π2，k ∈z ，求得x 的范围，可得函数的增区间．(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cos(α+π4)cos2α，可得sin(α+π4)=45cos(α+π4)cos2α，化简可得(cosα−sinα)2=54.再由α是第二象限角，cosα−sinα<0，从而求得cosα−sinα的值．本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19.答案：(本题满分为12分)解：(1)∵sinA ：sin B ：sinC =3：4：5．∴由正弦定理可得：a：b：c=3：4：5．∴a2+b2=(3c5)2+(4c5)2=c2，∴C为直角，即C=π2…6分(2)由题意及(1)可得：12ab=32，即ab=3c5×4c5=3，结合c=52，解得：a=32，b=2，可得△ABC的周长为a+b+c=6…12分解析：(1)由已知及正弦定理可得：a：b：c=3：4：5，从而可求a2+b2=(3c5)2+(4c5)2=c2，利用勾股定理可得C为直角，即可得解．(2)由题意及(1)可得：12ab=32，结合c=52，解得a，b的值，即可得解．本题主要考查了正弦定理，勾股定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.答案：解：(1)由a1=S1=16(a1+1)(a1+2)，整理可得：a12−3a1+2=0，结合a1=S1>1，解得a1=2由a n+1=S n+1−S n=16(a n+1+1)(a n+1+2)−16(a n+1)(a n+2)得(a n+1+a n)(a n+1−a n−3)=0，又a n>0，得a n+1−a n=3从而{a n}是首项为2公差为3的等差数列，故{a n}的通项公式为a n=3n−1．(2)T2n=(a1+a3+⋅⋅⋅+a2n−1)+(22+24+⋅⋅⋅+22n)=n(2+6n−4)2+4(1−4n)1−4=4n+1−43+3n2−n．解析：(1)由令递推式中n=1得a1=2，由a n+1=S n+1−S n=16(a n+1+1)(a n+1+2)−16(a n+1)(a n+2)得a n+1−a n=3，从而{a n}是首项为2公差为3的等差数列，即可求解．(2)T2n=(a1+a3+⋅⋅⋅+a2n−1)+(22+24+⋅⋅⋅+22n)，分别求和即可．本题考查了等差、等比数列的性质，考查了计算能力，属于中档题．21.答案：河对岸A、B两点间距离为km．解析：在△BCD中，∠CBD=180°—30°—105°=45°，由正弦定理，得=，则BC==(km)．在△ACD中，∠CAD=180°—60°—60°=60°，∴△ACD为正三角形．∴AC=CD=(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2—2AC·BC cos45°=+—2×××=，∴AB=(km)．∴河对岸A、B两点间距离为km．22.答案：解：(Ⅰ)∵a 1=1，a n+1={2a n ,n 为偶数a n +1,n 为奇数，∴a 2=1+1=2， ∴a 3=4， ∴a 4=4+1=5； ∵b n+1b n=a 2n+1+2a 2n−1+2=2a 2n +2a 2n −1+2=2，故数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(Ⅱ)由(I)知：b n =3⋅2n−1，且c n =n ⋅a 2n−1=3n ⋅2n−1−2n ， 令S n =1+2⋅21+⋯+n ⋅2n−1，① 2S n =2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ，②①−②得：−S n =1+21+22+⋯+2n−1−n ⋅2n =(1−n)⋅2n−1， ∴S n =(n −1)2n−1+1．故T n =3S n −(2+4+6+⋯+2n)=(3n −3)⋅2n−1+3−n 2−n ．解析：(Ⅰ)由于a 1=1，a n+1={2a n ,n 为偶数a n +1,n 为奇数，分别令n =1，2，3即可得出．由于b n+1b n =a 2n+1+2a2n−1+2=2a 2n +2a 2n −1+2=2，即可证明数列{b n }是等比数列．(Ⅱ)由(I)知：b n =3⋅2n−1，且c n =n ⋅a 2n−1=3n ⋅2n−1−2n ，利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了分段数列的性质、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

范文2020年高一数学第二学期期中试卷及答案(七)1/ 52020 年高一数学第二学期期中试卷及答案（七）时间：120 分钟分值：150 分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. sin15°cos15°=（） A. 1 B. 1 2 4 2. sin160°cos10°+cos20°sin10°=（ C. 3 2 ） D. 3 4 A. 1 B. ?1 C. 3 D. ? 32 2 2 2 3. 在矩形 ABCD 中，点 E 为CD 的中点， AB ? r a ， AD ? r b ，则 BE =（） A. ?1 r a? r b2 B. 1 r a? r b 2 C. ? 1 r a ? r b 2D. 1 r a? r b 2 4. 已知等差数列?an?的前 n 项和为 Sn ，若 a4 ? aa ? 18 ，则 S8 等于（） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 5. 设向量 a ? ?1,0? ， b ? ?? 1 , 1 ?? ，则下列结论正确的是（） ?2 2? A. a ? b B. a ? b ? 2 2 ? ? C. a ?b ? b D.a //b 6. 数列 ?xn ?中，若 x1 ?1， xn?1 ? 1 x1 ? 1 ?1 ，则 x2014 =（） A. 1 B. -1 C. 12 D. ? 1 2 7. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织 5 尺布，现在一月（按 30 天计），共织 390 尺布”，则从第 2 天起每天比前一天多织（）尺布。

A. 1B. 8C. 16 2 15 31D. 16 29 8. 已知0 ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? 0 ， cos?? ? ? ? ? ? 3 ，sin? ? 4 ，则 sin ? =（） 22 5 5 A. 7 25 B. ? 7 25 C. 24 25 D. ?24 25 9.若 a ? 3 ， b ? 1且 ?? 3 r a? r b ?? ? rb ? ?2 ，则c os ? r a ， r b ?? （） ? ? A. ?6 3 B. ? 1 3 C. ? 3 3 D. 6 3 10.设 ?ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 若 cos2 B ? a ? c ，则 ?ABC的形状为 2 2c （） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C .钝角三角形 D. 不确定 11. 在 ?ABC中， AB ? AC ? AB ? AC ， AB ? 3， AC ? 4 ，则 CB 在CA 方向上的投影是（） A. 4 B. 3 C. -4 D. 5 12. 在 ?ABC中，角 A, B,C 所对的边分别为a,b, c ，已知a ? 2 3 ，c ? 2 2 ，1? tan A ? 2c 。

高中 一 年 数学 期中试卷完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分 一、选择题（每题5分，共60分）1．已知角α终边过点)4,3(-P ，则)sin(απ+的值为（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-2．设l 为直线，βα,是两个不同的平面，则下列事件中是必然事件的是（ ） A ．若α//l ，β//l ，则βα// B ．若α⊥l ，β⊥l ，则βα// C ．若α⊥l ，β//l ，则βα// D ．若βα⊥，α//l ，则β⊥l3．从编号为01，02，…，49，50的50个个体中选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．08 B．02 C ．43D ．244．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩如甲表、乙表所示，则（ ） 甲表： 乙表： A ．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 B ．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D ．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数5．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得1551=∑=i i x ，5.1751=∑=i i y ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．5.92ˆ+-=x yB ．5.22ˆ-=x yC ．3.24.0ˆ-=x yD ．4.43.0ˆ+-=x y 6．将一枚硬币抛掷三次，则下列为互斥且不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一次正面和至多有一次正面B ．至少有一次正面和至多有两次正面C ．至多有一次正面和至少有两次正面D ．至多有一次正面和恰有两次正面7．设4sin5a π=，cos 10b π=，5tan 12c π=，则（ ） A ．c b a >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b a c >>8．袋中有大小相同的黑球，白球，蓝球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则98是下列哪个事件的概率（ ）A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π816+B ．π88+C ．π168+D ．π1616+10．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被4sin3xy π=(44)x -≤≤的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A ．361 B ．181 C ．121 D ．81 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234493582003623486969387481环数 4 5 6 7 8 频数1 1 1 1 1环数 5 6 9 频数 3 1 1 学校 班级 姓名 座号 准考号： .---------密………封…………装…………订………线----------11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 值是（ ）A ．2B ．3-C ．31D ．21-12．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（） A ．254 B ．258 C ．2516 D ．2524二、填空题（每题5分，共20分）13．)625(tan log 3π= ．14．如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧»CD、弧»DE 、弧»EF 的圆心依次是A 、B 、C ， 如果AB=3，那么曲线CDEF 的长是 ．15．在区间] 0[π，上随机取一个数x ，则事件“1)2sin(2≥+πx ”发生的概率为 ．16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD //BC ，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．给出下列四个命题：①PD ⊥平面PBC ；②异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55； ③直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55；④三棱锥P-ADC 的体积是332.其中正确命题的序号是 ．三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分） 17．某赛季，甲、乙两校篮球队进行了10场训练赛，比赛得分情况记录如下表：训练赛序号（i ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲校队得分（x i ） 55 81 84 61 54 74 82 83 69 57 乙校队得分（y i ）588486715773838568 63第10题图第11题图第9题图(1)根据得分记录表，画出茎叶图．(2)设甲校队10场比赛得分平均值为x ，将该队10场 比赛得分i x 依次输入程序框图（图1）进行运算， 求输出S 的大小，并说明S 的统计意义．18．已知2sin ()cos(2)tan()()tan(3)cos()2f παπαπααπαπα-+-+=-++．(1)若0cos 3sin =-αα，求)(αf 的值．(2)若81)(=αf ，且24παπ<<，求cos sin αα-的值．19．如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1//AA 1，AB=AC ，点E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点． (1)求证：EF //平面A 1B 1BA ．(2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1． 20．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2017年8月某日起连续n 天监测空气质量指数（AQI ），数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n ，m 的值，并完成频率分布直方图．(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数．(3)在空气质量指数分别为51﹣100和151﹣200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率． 21．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日的每天昼夜温差x （°C）与实验室每天每100颗种子中的发芽数y （颗），得到如下资料：(1)请根据12．．月．2．日至．．12．．月．5．日．的数据，求出y 关于x 的线性回归方程．(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据（选取的检验数据是12．．月．1．日与．．12．．月．6．日．的两组数据）的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠．空气质量指数（μg/m 3） 0﹣50 51﹣100 101﹣150 151﹣200 201﹣250空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染天数 20 40 m 10 5日期12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 12月6日 温差x 10 11 13 12 8 6 发芽数y22 25 29 26 16 12Y图1N Y附：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1122211()()ˆ()ˆˆnni i i ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nxay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑.22．已知函数22()44f x x ax b =-+，{|13}A x x =≤≤，{|14}B x x =≤≤．（注意:若是古典概型请列出所有基本事件）(1)若a ，b 都是从集合A 中任取的整数，求函数()y f x =有零点的概率． (2)若a ，b 都是从集合B 中任取的实数，①求函数()y f x =在区间[2，4]上为单调函数的概率．②在区间[0，4]内任取两个实数x ，y ，求事件“222()x y a b +>-”恒成立的概率．2高一数学参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分）二、填空题：（每小题 5 分，共20 分）13. 12- 14. 12π 15. 1316. ①②③④三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17. 解：（1）茎叶图……………………………………….….…4分（2）558184615474828369577010x +++++++++==……………….6分2221[(5570)(8170)...(5770)]137.810s =-+-++-=……………….8分S 表示甲队10场比赛得分的方差（或10场比赛得分的离散程度）……....…..10分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 答案 C B C A B D C B A D DC18．解：(1) 2sin cos tan ()sin cos tan (sin )f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-…………………...…3分 sin 3cos 0αα-=Q sin tan 3cos ααα∴==………………………….………...…4分 222sin cos tan 3()sin cos tan 110f ααααααα⋅∴===++……….………………………..….7分 (2) 由1()sin cos 8f ααα=⋅=．可知：22213(cos sin )cos 2sin cos sin 12sin cos 1284αααααααα-=-+=-=-⨯=……….………………………..…...9分 又因为42ππα<<，所以cos sin αα<，即cos sin 0αα-<．…………....11分所以3cos sin 2αα-=-．……………………………………………………12分19.证明：（1）连结A 1B ，在△A 1BC 中，∵点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点，∴EF ∥A 1B ，………………………...……..…3分 又∵EF ⊄平面A 1B 1BA ，A 1B ⊂平面A 1B 1BA ，∴EF ∥平面A 1B 1BA ．……………………..…5分 （2）∵AB=AC ，E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ． ……….………………………....…6分 ∵A 1A ⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，∴B 1B ⊥平面ABC ，………………………………....…7分 ∵AE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥AE ． ……………………………….......…8分 又∵B 1B ⊂平面B 1BC ，BC ⊂平面B 1BC ，B 1B ∩BC=B ，∴AE ⊥平面B 1BC ，………………………………....…10分 ∵AE ⊂平面AEA 1，∴平面AEA 1⊥平面BCB 1． ………..…..…………..…12分20. 解：解：（1）200.00450n⨯=Q ，100n ∴=…………………………...…1分 2040105100m ++++=Q ， 25m ∴=………………………………..…..…2分40251050.008;0.005;0.002;0.001.10050100501005010050∴====⨯⨯⨯⨯ 由此完成频率分布直方图，如下图：………………………………....…4分 （2）由频率分布直方图得该组数据的平均数为：250.00450750.008501250.005501750.002502250.0015095x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………………..............…6分∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为：0.008×50=0.4 ∴中位数为： 0.50.2505087.50.4-+⨯= ………………….………..…8分 （3）在空气质量指数为51﹣100和151﹣200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽収的5天中，将空气质量指数为51﹣100的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为151﹣200的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ）， （b ，c ），（b ，d ），（b ，e ）， （c ，d ），（c ，e ），（d ，e ）共10种， ……………………….……10分 其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ）共6种， 所以事件A“两天都为良”发生的概率是63()105p A ==. …………………….…12分 21. 解法1：（1）由数据求得1113128114x +++==，25292616244y +++== …………………..…1分521125132912268161092i ii x y=⨯+⨯+⨯+⨯==∑22222521113128498ii x=+++==∑ ……………...………..…3分由公式1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑求得187b =， ……………………..…5分 307a y bx =-=-……………………..…7分 ∴y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- …………………..…8分 解法2:1113128114x +++==，25292616244y +++== ………………..…1分521111)(2524)((1311)(2924)(1211)(2624)(811)(1624))()(36iii x x y y =-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯--==-∑22522221111)(1311)(1211)(811))(14(ii x x =-+-+-+-==-∑………………..…3分由公式52522()()()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑求得187b =， ………….…..…5分 307a y bx =-=-……………………..…7分 ∴y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- ……………………..…8分（2）当x=10时，1507y =，当x=6时，787y =， …………………………..…10分 150422277-=<Q ，78612277-=< ∴该小组所得线性回归方程是理想的． ……………….……………12分22. 解：（1）设函数()f x 有零点为事件A ，由于a ,b 都是从集合{1，2，3}中任取的数字， 依题意得所有的基本事件： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3） 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为9N =． 若函数22()44f x x ax b =-+有零点，则2216160a b ∆=-≥，化简可得a b ≥． 故事件A 所含的基本事件为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3） 共计6个基本事件，则62()93p A ==.……………………………………….……….4分 （2）解法一：①设a ,b 都是从区间[1，4]中任取的数字，设函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为单调函数为事件B ， 依题意得，所有的基本事件构成的区域{}14(,)14a ab b ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩，故所有基本事件构成的区域面积为9S Ω=．若函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数，其对称轴方程为2x a =，则有224a ≤≤，求得12a ≤≤．则构成事件B 的区域9136B S =-⨯=，如图（阴影部分表示事件B 的对立事件）．则62()93p B ==…………………………………………………………………………..8分 解法二：设a 是从区间[1，4]中任取的数字，依题意得，所有的基本事件构成的长度为4-1=3记函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数为事件B ，若函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数， 其对称轴方程为2x a =，则有224a ≤≤，求得12a ≤≤．则构成事件B 的长度为2-1=1，1()3p B ∴=，12()133p B ∴=-=……………..8分②设在区间[0，4]内任取两个实数x ，y ，记事件C: “222()x y a b +>-恒成立”，则事件C 等价于“229x y +>”，若 (,)x y 可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域{}(,)04,04,,x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈而事件C 所构成的区域为{}22(,)9,(,)B x y x y x y =+>∈Ω，如图（阴影部分表示事件C ）4416S Ω=⨯=，9164C S π=-， 91694()11664C S p C S ππΩ-∴===-……………12分。

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知等差数列{a n }的首项为1，公差为2，则a 9的值等于（ ） A ．15B ．16C ．17D ．182．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，则该三角形的最大内角度数是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．不等式x 2+ax +b ＜0的解集为（﹣1，2），则a +b ＝（ ） A ．﹣3B ．1C ．﹣1D ．34．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3a 4a 5＝29，则a 3＝（ ） A ．16B ．8C ．4D ．25．已知0＜a ＜1＜b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a 2＞1a ＞1ab B ．1a 2＞1ab ＞1aC ．1a＞1a＞1abD ．1a＞1ab ＞1a6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinAk=sinB 3=sinC 4（k 为非零实数），则下列结论错误的是（ ） A ．当k ＝5时，△ABC 是直角三角形 B ．当k ＝3时，△ABC 是锐角三角形 C ．当k ＝2时，△ABC 是钝角三角形 D ．当k ＝1时，△ABC 是钝角三角形 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且a 6a 5=911，当S n 取最大值时，n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．128．已知向量a →=(3cosθ，3sinθ)，b →=(0，−3)，θ∈(π2，π)，则向量a →、b →的夹角为（ ） A ．3π2−θB ．θ−π2C ．π2+θD ．θ9．已知实数x ，y 满足xy ﹣2＝x +y ，且x ＞1，则y （x +11）的最小值为（ ） A ．21B ．24C ．25D ．2710．若不等式（|x ﹣2a |﹣b ）×cos （πx −π3）≤0在x ∈[−16，56]上恒成立，则2a +b 的最小值为（ ）A．1B．56C．23D．2二、填空题（本大题7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共，36分）11．已知平面向量a→=（2，﹣3），b→=（1，x），若a→∥b→，则x＝；若a→⊥b→，则x ＝．12．若x，y满足{x≤2y≥−14x−3y+1≥0，则2y﹣x的最小值为，最大值为．13．已知正数a、b满足a+b＝1，则ba+1b的最小值等于，此时a＝．14．在△ABC中，AB＞AC，BC＝2√3，A＝60°，△ABC的面积等于2√3，则sin B＝，BC边上中线AM的长为．15．若a1＝2，a n+1＝a n+n+1，则通项公式a n＝．16．若关于x的不等式|2020﹣x|﹣|2019﹣x|≤d有解，则实数d的取值范围．17．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→=λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为．（结果用λ表示）三、解答题（本大题5小题，共74分）18．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n．设b n=a n n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求{a n}的通项公式．19．已知函数f（x）＝﹣4x2+13x﹣3．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f(x)x的最大值，以及y取得最大值时x的值．20．已知|a→|＝4，|b→|＝3，（2a→−3b→）•（2a→+b→）＝61．（1）求a→与b→的夹角θ；（2）求|a→+2b→|；（3）若AB→=a→+2b→，BC→=b→，求△ABC的面积．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B+sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc．（1）求角C；（2）求a+b的取值范围．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n2＝4S n﹣2a n﹣1（n∈N*）．数列{b n}满足b n= 1a n⋅a n+1，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）1．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，则a9的值等于（）A．15B．16C．17D．18【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．解：由题意可得，a9＝1+2×8＝17．故选：C．2．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，则该三角形的最大内角度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】直接利用余弦定理求解即可．解：∵a＝7，b＝3，c＝5，则该三角形的最大内角为A；∴cos A=b 2+c2−a22bc=32+52−722×3×5=−12；∵A∈（0°，180°），∴A＝120°；故选：C．3．不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣1，2），则a+b＝（）A．﹣3B．1C．﹣1D．3【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再求a+b的值．解：不等式x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，∴方程x2+ax+b＝0的实数根是﹣1和2，由根与系数的关系知，a＝﹣（﹣1+2）＝﹣1，b＝﹣1×2＝﹣2；∴a+b＝﹣1﹣2＝﹣3．故选：A．4．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝2，a3a4a5＝29，则a3＝（）A．16B．8C．4D．2【分析】由各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3a 4a 5＝29，列出方程组，求出a 1＝1，q ＝2，由此能求出a 3的值．解：∵各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3a 4a 5＝29， ∴{a 1q =2a 1q 2a 1q 3a 1q 4=29q ＞0，解得a 1＝1，q ＝2， ∴a 3＝1×22＝4． 故选：C ．5．已知0＜a ＜1＜b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a 2＞1a ＞1ab B ．1a 2＞1ab ＞1aC ．1a＞1a2＞1abD ．1a＞1ab＞1a 2【分析】直接根据不等式的性质即可求出． 解：∵0＜a ＜1＜b ， ∴0＜a 2＜a ＜ab ， ∴1a2＞1a＞1ab，故选：A ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinA k=sinB 3=sinC 4（k 为非零实数），则下列结论错误的是（ ） A ．当k ＝5时，△ABC 是直角三角形 B ．当k ＝3时，△ABC 是锐角三角形 C ．当k ＝2时，△ABC 是钝角三角形 D ．当k ＝1时，△ABC 是钝角三角形【分析】由正弦定理化简已知可得a ：b ：c ＝k ：3：4，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解． 解：∵sinA k=sinB 3=sinC 4（k 为非零实数），可得：sin A ：sin B ：sin C ＝k ：3：4，∴由正弦定理asinA=bsinB=c sinC=2R ，可得：a ：b ：c ＝k ：3：4，对于A ，k ＝5时，可得：a ：b ：c ＝5：3：4，可得a 2＝b 2+c 2，即A 为直角，可得△ABC 是直角三角形，故正确；对于B，k＝3时，可得：a：b：c＝3：3：4，可得C为最大角，由余弦定理可得cos C=a2+b2−c22ab=19＞0，可得△ABC是锐角三角形，故正确；对于C，k＝2时，可得：a：b：c＝2：3：4，可得C为最大角，由余弦定理可得cos C=a2+b2−c22ab=−14＜0，可得△ABC是钝角三角形，故正确；对于D，k＝1时，可得：a：b：c＝1：3：4，可得a+b＝c，这样的三角形不存在，故错误．故选：D．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且a6a5=911，当S n取最大值时，n的值为（）A．9B．10C．11D．12【分析】由题意，不妨设a6＝9t，a5＝11t，则公差d＝﹣2t，其中t＞0，因此a10＝t，a11＝﹣t，即可得出．解：由题意，不妨设a6＝9t，a5＝11t，则公差d＝﹣2t，其中t＞0，因此a10＝t，a11＝﹣t，即当n＝10时，S n取得最大值．故选：B．8．已知向量a→=(3cosθ，3sinθ)，b→=(0，−3)，θ∈(π2，π)，则向量a→、b→的夹角为（）A．3π2−θB．θ−π2C．π2+θD．θ【分析】根据向量a→和b→的坐标，分别求出两个向量的数量积，模长和夹角，代入向量的夹角公式，且保证θ与夹角α的范围一致，结合选项得出正确答案．解：∵a→=（3cosθ，3sinθ），b→=（0，﹣3），∴|a→|＝3，|b→|＝3，a→•b→=3cosθ×0+3sinθ×（﹣3）＝﹣9sinθ，设向量a→与b→夹角为α，则cosα=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=−sinθ＝cos（3π2−θ），又∵θ∈（π2，π），3π2−θ∈（π2，π），且α∈[0，π]，∴α=3π2−θ，故选：A．9．已知实数x，y满足xy﹣2＝x+y，且x＞1，则y（x+11）的最小值为（）A．21B．24C．25D．27【分析】根据题意，将xy﹣2＝x+y变形可得y=x+2x−1，据此可得y（x+11）=(x+2)(x+11)x−1（x＞1），设t＝x﹣1，则有y（x+11）＝t+36t+15，（t＞0），结合基本不等式性质分析可得答案．解：根据题意，实数x，y满足xy﹣2＝x+y，变形可得y（x﹣1）＝x+2，则有y=x+2 x−1，则y（x+11）=x+2x−1（x+11）=(x+2)(x+11)x−1（x＞1），设t＝x﹣1，则有y（x+11）=(t+3)(t+12)t =t2+15t+36t=t+36t+15，（t＞0），又由t+36t≥2√t×36t=12，则有y（x+11）≥12+25＝27，即y（x+11）的最小值为27，此时t＝6，即x＝7；故选：D．10．若不等式（|x﹣2a|﹣b）×cos（πx−π3）≤0在x∈[−16，56]上恒成立，则2a+b的最小值为（）A．1B．56C．23D．2【分析】x∈[−16，56]时，结合余弦函数的图象和性质可得cos（πx−π3）∈[0，1]，由题意可得|x﹣2a|﹣b≤0在x∈[−16，56]上恒成立，讨论b的正负，结合绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想，可得a，b的不等式，即可得到所求最小值．解：x∈[−16，56]时，πx−π3∈[−π2，π2]，可得cos（πx−π3）∈[0，1]，由不等式（|x﹣2a|﹣b）×cos（πx−π3）≤0在x∈[−16，56]上恒成立，可得|x﹣2a|﹣b≤0在x∈[−16，56]上恒成立，若b≤0，则|x﹣2a|﹣b≤0显然不成立；若b＞0时，可得|x﹣2a|﹣b≤0的解集为[2a﹣b，2a+b]，由题意可得[−16，56]⊆[2a﹣b，2a+b]，即为2a ﹣b ≤−16且2a +b ≥56， 则2a +b 的最小值为56．故选：B ．二、填空题（本大题7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共，36分） 11．已知平面向量a →=（2，﹣3），b →=（1，x ），若a →∥b →，则x ＝ −32 ；若a →⊥b →，则x＝23．【分析】由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出x 的值． 解：平面向量a →=（2，﹣3），b →=（1，x ），若a →∥b →， 则12=x−3，∴x =−32．若a →⊥b →，则a →⋅b →=2﹣3x ＝0，x =23，故答案为：−32；23．12．若x ，y 满足{x ≤2y ≥−14x −3y +1≥0，则2y ﹣x 的最小值为 ﹣4 ，最大值为 4 ．【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z ＝2y ﹣x 的最优解，代入坐标求得z ＝2y ﹣x 的最值．解：由x ，y 满足{x ≤2y ≥−14x −3y +1≥0作可行域如图，由图可知，可行域中点C 的坐标是使目标函数z ＝2y ﹣x 取得最大值的最优解{x =24x −3y +1=0．解得C （2，3） ∴点C 的坐标为（2，3）．则z ＝2y ﹣x 的最大值是2×3﹣2＝4．可行域中点B 的坐标是使目标函数z ＝2y ﹣x 取得最小值的最优解．{x =2y =−1解得B （2，﹣1）∴点B 的坐标为（2，﹣1）．则z ＝2y ﹣x 的最小值是﹣2×1﹣2＝﹣4． 故答案为：﹣4；4．13．已知正数a、b满足a+b＝1，则ba+1b的最小值等于3，此时a＝12．【分析】根据题意，分析可得ba+1b=ba+a+bb=ba+ab+1，由基本不等式的性质可得b a +ab+1≥2√ba×a b+1＝3，进而分析基本不等式成立的条件可得a的值，即可得答案．解：根据题意，正数a、b满足a+b＝1，则ba +1b=ba+a+bb=ba+ab+1≥2√ba×a b+1＝3，当且仅当a＝b=12时，等号成立，故ba +1b的最小值为3，此时a=12；故答案为：3，1 2．14．在△ABC中，AB＞AC，BC＝2√3，A＝60°，△ABC的面积等于2√3，则sin B＝12，BC边上中线AM的长为√7．【分析】（1）利用余弦定理和面积构造方程组，求出b，c，然后利用余弦定理求出B；（2）利用∠AMB+∠AMC＝π，则cos∠AMB+cos∠AMC＝0，求出AM．解：①由题可知：S△ABC=12bcsinA=2√3则bc＝8，由余弦定理可得：cosA=b 2+c2−a22bc，即b2+c2﹣12＝bc，所以（b+c）2＝3bc+12＝36；又AB＞AC故c＝4，b＝2．所以cosB=a2+c2−b 22ac =√32，则sinB=12；②由题可知：BM=MC=√3，且∠AMB+∠AMC＝π，则cos∠AMB+cos∠AMC＝0，即AM 2+BM 2−AB 22AM⋅BM+AM 2+CM 2−AC 22AM⋅CM=0所以，AM 2+3﹣16+AM 2+3﹣4＝0 则AM =√7． 故答案为：12；√7．15．若a 1＝2，a n +1＝a n +n +1，则通项公式a n ＝n 2+n+22．【分析】利用累加法转化求解数列的通项公式即可． 解：a 1＝2，a n +1＝a n +n +1， 可得a 2＝a 1+2， a 3＝a 2+3， a 4＝a 3+4， …a n ＝a n ﹣1+n ，累加可得：a n ＝a 1+（2+3+4+…+n ）＝2+(n+2)(n−1)2=n 2+n+22．故答案为：n 2+n+22．16．若关于x 的不等式|2020﹣x |﹣|2019﹣x |≤d 有解，则实数d 的取值范围 [﹣1，+∞） ． 【分析】利用绝对值三角不等式，求出表达式的最小值，然后由不等式|2020﹣x |﹣|2019﹣x |≤d 有解求出d 的取值范围．解：∵|2020﹣x |﹣|2019﹣x |≥﹣|（2020﹣x ）﹣（2019﹣x ）|＝﹣1， 当且仅当x ≥2020时取等号，∴关于x 的不等式|2020﹣x |﹣|2019﹣x |≤d 有解时，∴d ≥﹣1， ∴d 的取值范围为[﹣1，+∞）． 故答案为：[﹣1，+∞）．17．已知G 为△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ，若AP →=λAB →，则△ABC 与△APQ 的面积之比为3λ−1λ2．（结果用λ表示）【分析】先运用三角形的面积公式可求两面积之比，然后结合向量线性表示及共线定理即可求解． 解：设AQ →=m AC →，∵AP →=λAB →，∴S △APQS △ABC =12AP⋅AQsinA 12AB⋅ACsinA =AP⋅AQ AB⋅AC =λm ，∵G 为△ABC 的重心，∴AG →=23×12(AB →+AC →)=13(AB →+AC →)=13（AP →λ+AQ →m）=13λAP →+13m AQ →， 因为P ，G ，Q 三点共线，故13λ+13m =1， 故m =λ3λ−1， ∴λm =λ23λ−1，则△ABC 与△APQ 的面积之比3λ−1λ2． 故答案为：3λ−1λ．一、选择题18．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ．设b n =an n ． （1）证明：数列{b n }为等比数列；（2）求{a n }的通项公式．【分析】（1）利用数列的递推关系式．推出{a n n }是等比数列即可．（2）通过等比数列，求出{b n }的通项公式，然后求解{a n }的通项公式．解：（1）由条件数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ．可得a n+1n+1=2a n n ，又b n =an n ． 可得b n +1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）可得b n ＝2n ﹣1，b n =an n =2n ﹣1，所以a n ＝n •2n ﹣1． 19．已知函数f （x ）＝﹣4x 2+13x ﹣3．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f(x)x的最大值，以及y取得最大值时x的值．【分析】（1）结合二次方程与二次不等式的关系及二次不等式的求法即可求解，（2）先进行分离，然后结合基本不等式即可求解．解：（1）由题意得﹣4x2+13x﹣3＞0，因为方程﹣4x2+13x﹣3＝0有两个不等实根x1=14，x2＝3，又二次函数f（x）＝﹣4x2+13x﹣3的图象开口向下，所以不等式f（x）＞0的解集为{x|14＜x＜3}；（2）由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x＞0，所以y=−4x−3x+13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．已知|a→|＝4，|b→|＝3，（2a→−3b→）•（2a→+b→）＝61．（1）求a→与b→的夹角θ；（2）求|a→+2b→|；（3）若AB→=a→+2b→，BC→=b→，求△ABC的面积．【分析】（1）结合向量的数量积，展开转化求解两个向量的夹角即可．（2）利用向量的模的运算法则化简求解即可．（3）通过向量的数量积求出夹角的余弦函数值，然后求解正弦函数值，然后求解三角形的面积．解：（1）|a→|＝4，|b→|＝3，∵（2a→−3b→）•（2a→+b→）＝61，∴4|a→|2﹣4a→•b→−3|b→|2＝61．又|a→|＝4，|b→|＝3，∴64﹣4a→•b→−27＝61，∴a →•b →=−6．∴cos θ=a →⋅b →|a →||b →|=−64×3=−12． 又0≤θ≤π，∴θ=2π3． （2）|a →+2b →|2＝（a →+2b →）2＝|a →|2+4a →•b →+4|b →|2＝42+4×（﹣6）+4×32＝28，∴|a →+2b |＝2√7．（3）因为：∴|a →+2b |＝2√7，|b →|＝3，a →•b →=−6所以，BA →与BC →的夹角B 满足cos B =BA →⋅BC →|BA →||BC →|=−2b →2−a →⋅b →27×3=−18+667=−27， ∴sinB =√37，|AB →|=2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC =12|AB →||•BC →|sin B =12×2√7×3√3√7=3√3． 21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A +sin 2B +sin A sin B ＝2c sin C ，△ABC 的面积S ＝abc ．（1）求角C ；（2）求a +b 的取值范围．【分析】（1）由已知结合三角形的面积公式可得2c ＝sin C ，然后结合正弦定理及余弦定理可求cos C ，进而可求C ；（2）由已知结合余弦定理及基本不等式及三角形的两边之和大于第三边即可求解． 【解答】解 （1）由S ＝abc =12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A +sin 2B +sin A sin B ＝sin 2C ．由正弦定理得a 2+b 2+ab ＝c 2． 由余弦定理得cos C =a 2+b 2−c 22ab =−12， ∴C ∈（0，π），∴C =2π3． （2）由余弦定理可得，c 2＝a 2+b 2+ab ＝（a +b ）2﹣ab ≥(a +b)2−(a+b)24， ∴316≥3(a+b)24，解可得a+b≤1 2，因为a+b＞c=√34．故a+b的范围（√34，12]．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n2＝4S n﹣2a n﹣1（n∈N*）．数列{b n}满足b n= 1a n⋅a n+1，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围；【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．（3）利用函数的恒成立问题的应用和关系式的变换的应用求出参数的取值范围．解：（1）正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n2＝4S n﹣2a n﹣1（n∈N*）．当n＝1时，a1＝1．当n≥2时，由于a n＞0，所以a n−12=4S n−1−2a n−1−1，两式相减得：a n2−a n−12=4a n−2a n+2a n−1，整理得a n﹣a n﹣1＝2（常数），所以数列{a n}的是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n＝2n﹣1．（2）由题意和（1）得，数列{b n}满足b n=1a n⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1）=n2n+1．（3）①当n为偶数时，要使不等式λT n＜n+8(−1)n恒成立，即需不等式λ＜2n+8n+17恒成立，由于2n+8n≥8，当n＝2时等号成立，此时λ＜25．②当n为奇数时，要使不等式λT n＜n+8(−1)n恒成立，即需不等式λ＜2n−8n−15恒成立．由于2n−8n是随n的增大而增大，所以当n＝1时，2n−8n取得最小值﹣6．此时λ需满足λ＜﹣21．由①②得：λ＜﹣21．。

2022-2023学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足z ＝4+3i ，则|z |＝（ ） A ．√7B ．1C ．5D ．√52．设{e 1→，e 2→}是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．e 1→和e 1→+e 2→C ．e 1→+3e 2→和e 2→+3e 1→D ．3e 1→−2e 2→和4e 2→−6e 1→3．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（ ） A ．正三棱锥B ．正四棱锥C ．正五棱锥D ．正六棱锥4．已知向量a →=(1，2)，b →=(4，3)，则向量a →在向量b →方向上的投影向量为（ ） A ．(85，65)B ．(8√55，6√55)C ．(2√55，4√55)D ．(8√5，6√5)5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A ，B 两个观测点，并在A ，B 两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且cos ∠CAB =−√24，则此建筑物的高度为（ ）A ．45mB ．60mC ．45√2mD ．60√3m6．已知△ABC 改为测画法下的直观图是边长为2的正三角形A 'B 'C '（如图所示），则AC ＝（ ）A ．√28−2√3B ．√10−2√3C ．3√3D ．47．已知平面向量a →，b →，c →均为单位向量，且2a →+4b →=3c →，则a →⋅c →=（ ） A ．−14B ．14C ．12D ．−128．已知△ABC 中，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，直线AE ，CD 交于点P ，且满足BP →=16BA →+12BC →，则S △BPD S △BPE 的值为（ ）A ．43B ．52C ．53D ．109二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分． 9．下列结论中正确的是（ ） A ．正四面体一定是正三棱锥B ．正四棱柱一定是长方体C ．棱柱的侧面一定是平行四边形D ．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面10．已知两个单位向量e 1→、e 2→的夹角为θ(θ≠π2)，若c →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量c →的斜坐标，若a →=(x 1，y 1)，b →=(x 2，y 2)，则（ ） A ．a →−b →=(x 1−x 2，y 1−y 2) B ．|a →|=√x 12+y 12C ．λa →=(λx 1，λy 1)D ．a →⋅b →=x 1x 2+y 1y 211．下列命题中错误的命题是（ ） A ．若复数z 满足z +z ∈R ，则z ∈R B ．若复数z 满足z 2=z 2，则z ∈RC ．若复数z 1，z 2满足z 1z 2=z 2z 1，则|z 1|＝|z 2|D ．若复数z 1，z 2满足z 1⋅z 2=z 1⋅z 2，则|z 1|＝|z 2|12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A ．若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是等边三角形 B ．若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＞1，则△ABC 一定是钝角三角形 C ．若a ﹣b ＝c （cos B ﹣cos A ），则△ABC 一定是等腰三角形 D ．若a +b =a tanA +btanB ，则△ABC 一定是直角三角形 三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，一蚂蚁沿着正方体的表面从点A 爬到点C 1的最短距离是 ．14．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣2i |（i 是虚数单位）的最大值是 ．15．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，边长AB ＝1，则AC →⋅AD →= ．16．已知△ABC 中，∠A =π3，D ，E 是线段BC 上的两点，满足BD ＝DC ，∠BAE ＝∠CAE ，AD =√192，AE =6√35，则BC ＝ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数z ＝x +yi （x ＞0，y ＞0）满足|z |＝2，且z ﹣1为纯虚数． （1）求z 1−i；（2）若z 2+b •z +c ＝0，（b ，c ∈R ），求实数b ，c 的值．18．（12分）已知平面直角坐标系内存在三点：A （1，5），B （7，8），C （5，2）． （1）求cos ∠BAC 的值；（2）若平面上一点P 满足：AP ∥CB ，CP ⊥AB ，求点P 的坐标．19．（12分）如图所示，以线段AB 为直径的半圆上有一点C ，满足：BC ＝1，AC =√3，若将图中阴影部分绕直线AB 旋转180°得到一个几何体． （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积．20．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且2a cos B +√3b ＝2c ，a ＝2． （1）若c ＝2√3，求△ABC 的面积；（2）求△ABC 周长的最大值．21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ＝2，DC ＝CB ＝3，AB →=2DC →，点E 、F 是线段DC 上的两个三等分点，点G ，点H 是线段AB 上的两个三等分点，点P 是直线BC 上的一点． （1）求AB →⋅AD →的值； （2）求|FH →|的值；（3）直线AP 分别交线段EG 、FH 于M ，N 两点，若B 、N 、D 三点在同一直线上，求AM AN的值．22．（12分）法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3．（1）证明：△O 1O 2O 3为等边三角形； （2）若S △O 1O 2O 3=mS △ABC ，求m 的最小值．2022-2023学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足z ＝4+3i ，则|z |＝（ ） A ．√7B ．1C ．5D ．√5解：z ＝4+3i ，则|z |=√42+32=5． 故选：C ．2．设{e 1→，e 2→}是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．e 1→和e 1→+e 2→C ．e 1→+3e 2→和e 2→+3e 1→D ．3e 1→−2e 2→和4e 2→−6e 1→解：A ，∵不存在λ∈R ，使得e 1→+e 2→=λ（e 1→−e 2→），∴e 1→+e 2→与e 1→−e 2→不共线，∴能作为平面向量的基底，B ，∵不存在λ∈R ，使得e 1→=λ（e 1→+e 2→），∴e 1→与e 1→+e 2→不共线，∴能作为平面向量的基底，C ，∵不存在λ∈R ，使得e 1→+3e 2→=λ（e 2→+3e 1→），∴e 1→+3e 2→与e 2→+3e 1→不共线，∴能作为平面向量的基底， D ，∵3e 1→−2e 2→=−12（4e 2→−6e 1→），∴3e 1→−2e 2→与4e 2→−6e 1→共线，∴不能作为平面向量的基底． 故选：D ．3．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（ ） A ．正三棱锥B ．正四棱锥C ．正五棱锥D ．正六棱锥解：因为正六边形的顶点到中心的距离等于边长， 所以正六棱锥的棱长必定大于底面边长，故若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是六棱锥． 故选：D ．4．已知向量a →=(1，2)，b →=(4，3)，则向量a →在向量b →方向上的投影向量为（ ） A ．(85，65)B ．(8√55，6√55)C ．(2√55，4√55)D ．(8√5，6√5)解：∵a →=(1，2)，b →=(4，3)， ∴a →•b →=4+6＝10，|b →|=√42+32=5，∴向量a →在向量b →方向上的投影向量为a →⋅b→|b →|2•b →=1025（4，3）＝（85，65）．故选：A ．5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A ，B 两个观测点，并在A ，B 两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且cos ∠CAB =−√24，则此建筑物的高度为（ ）A ．45mB ．60mC ．45√2mD ．60√3m解：设OC ＝h ，由于在A ，B 两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°， 所以：AC =√2ℎ，BC ＝2h ，在△ABC 中，利用余弦定理：CB 2＝BA 2+AC 2﹣2•BA •AC •cos ∠CAB ， 整理得：h 2﹣30h ﹣1800＝0，解得h ＝﹣30或60，（负值舍去）． 故h ＝60m ． 故选：B ．6．已知△ABC 改为测画法下的直观图是边长为2的正三角形A 'B 'C '（如图所示），则AC ＝（ ）A ．√28−2√3B ．√10−2√3C ．3√3D ．4解：如图，过C ′作x ′轴的平行线，交y ′轴于E ′，过C ′作y ′轴的平行线，交x ′轴于G ， 过E ′作x ′轴的垂线，交x ′轴于F ′，过C ′作x ′轴的垂线，垂足为D ′， ∵△A 'B 'C '是边长为2的正三角形，∴|C ′D ′|=√3，则|E ′F ′|=√3，∴|A ′E ′|=|C ′G|=√6，则|CG|=2√6，|A ′G|=|C ′E ′|=|D ′F ′|=|A ′F ′|−|A ′D ′|=√3−1，∴|AC |＝|A ′C |=√(2√6)2+(√3−1)2=√28−2√3． 故选：A ．7．已知平面向量a →，b →，c →均为单位向量，且2a →+4b →=3c →，则a →⋅c →=（ ） A ．−14B ．14C ．12D ．−12解：∵2a →+4b →=3c →，∴4b →=3c →−2a →，∴16b →2=9c →2+4a →2−12a →⋅c →，又a →，b →，c →均为单位向量， ∴16＝9+4﹣12a →⋅c →， ∴a →⋅c →=−14． 故选：A ．8．已知△ABC 中，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，直线AE ，CD 交于点P ，且满足BP →=16BA →+12BC →，则S △BPD S △BPE 的值为（ ）A ．43B ．52C ．53D ．109解：如图，设BD →=kBA →，BE →=tBC →，且D ，P ，C 三点共线，A ，P ，E 三点共线，∴BP →=λBD →+(1−λ)BC →=kλBA →+(1−λ)BC →，BP →=μBA →+(1−μ)BE →=μBA →+t(1−μ)BC →，且BP →=16BA →+12BC →， ∴{kλ=161−λ=12，{μ=16t(1−μ)=12，解得k =13，t =35，∴BE =35BC ，BD =13BA ，∴S △ABE =35S △ABC ，S △BCD =13S △ABC ，设S △BPD ＝x ，S △BPE ＝y ，S △ABC ＝z ，则S △ADP =2x ，S △CEP =23y ， ∴{2x +x +y =35z 23y +y +x =13z ，解得{x =16zy =110z， ∴S △BPD S △BPE=x y=16z 110z =53．故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分． 9．下列结论中正确的是（ ） A ．正四面体一定是正三棱锥B ．正四棱柱一定是长方体C ．棱柱的侧面一定是平行四边形D ．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面解：正四面体一定是正三棱锥，A 正确；正四棱柱的底面是正方形，棱长与底面垂直，所以正四棱柱一定是长方体，所以B 正确； 棱柱的侧面一定是平行四边形，满足棱柱的定义，所以C 正确；如果棱柱的底面是正六边形，可知棱柱的侧面中，对面平行，不可能是棱柱的底面，所以D 不正确； 故选：ABC ．10．已知两个单位向量e 1→、e 2→的夹角为θ(θ≠π2)，若c →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量c →的斜坐标，若a →=(x 1，y 1)，b →=(x 2，y 2)，则（ ） A ．a →−b →=(x 1−x 2，y 1−y 2) B ．|a →|=√x 12+y 12C ．λa →=(λx 1，λy 1)D ．a →⋅b →=x 1x 2+y 1y 2 解：根据题意，a →=(x 1，y 1)=x 1e 1→+y 1e 2→，b→=(x 2，y 2)=x 2e 1→+y 2e 2→，依次分析选项：对于A ，a →−b →=（x 1e 1→+y 1e 2→）﹣（x 2e 1→+y 2e 2→）＝（x 1﹣x 2）e 1→+（y 1﹣y 2）e 2→，A 正确；对于B ，a →=x x 1e 1→+x y 1e 2→，则|a →|2＝（x 1e 1→）2+（y 1e 2→）2+2x 1y 1e 1→•e 2→=x 12+y 12+ 2x 1y 1cos θ，则有|a →|=√x 12+y 12+2x 1y 1cosθ，B 错误；对于C ，a →=x 1e 1→+y 1e 2→，则λa →=λx 1e 1→+λy 1e 2→，则有λa →=（λx 1，λy 1e 2→），C 正确；对于D ，a →=x 1e 1→+y 1e 2→，b →=x 2e 1→+y 2e 2→，则a →•b →=（x 1e 1→+y 1e 2→）•（x 2e 1→+y 2e 2→）＝x 1x 2+y 1y 2+（x 1y 2+x 2y 1）e 1→•e 2→，D 错误； 故选：AC ．11．下列命题中错误的命题是（ ） A ．若复数z 满足z +z ∈R ，则z ∈R B ．若复数z 满足z 2=z 2，则z ∈RC ．若复数z 1，z 2满足z 1z 2=z 2z 1，则|z 1|＝|z 2|D ．若复数z 1，z 2满足z 1⋅z 2=z 1⋅z 2，则|z 1|＝|z 2|解：当复数z ＝1+i 时，有z =1−i ，满足z +z =2∈R ，但z ∉R ，A 选项错误； 当复数z ＝i 时，有z =−i ，满足z 2=z 2，但z ∉R ，B 选项错误；设z 1＝a +bi ，z 2＝c +di ，a ，b ，c ，d 是实数，则z 1=a −bi ，z 2=c −di ，由z 1z 2=z 2z 1，得a 2+b 2＝c 2+d 2，即|z 1|＝|z 2|，C 选项正确；设z 1＝1+2i ，z 2＝2+4i ，满足z 1⋅z 2=z 1⋅z 2，但||z 1|≠|z 2|，D 选项错误． 故选：ABD ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A ．若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是等边三角形 B ．若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＞1，则△ABC 一定是钝角三角形 C ．若a ﹣b ＝c （cos B ﹣cos A ），则△ABC 一定是等腰三角形D ．若a +b =a tanA +btanB ，则△ABC 一定是直角三角形解：对于A ：由于b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，整理得a 2+c 2﹣2ac ＝（a ﹣c ）2＝0，所以a ＝c ，由于B ＝60°，所以：a ＝b ＝c ，故ΔABC 为等边三角形，故A 正确；对于B ：由于cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＞1，整理得1﹣sin 2A +1﹣sin 2B ﹣（1﹣sin 2C ）＞1，故sin 2C ﹣sin 2A ﹣sin 2B ＞0，利用正弦定理：c 2﹣a 2﹣b 2＞0，故cosC =a 2+b 2−c 22ab＜0，由于C ∈（0，π），故C ∈(π2，π)，故该三角形△ABC 一定是钝角三角形，故B 正确；对于C ：由于a ﹣b ＝c （cos B ﹣cos A ），利用余弦定理a −b =c ⋅(a 2+c 2−b 22ac −b 2+c 2−a 22bc)， 整理得ab （a ﹣b ）+c 2（a ﹣b ）﹣（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝0， 化简得：（a ﹣b ）（c 2﹣a 2﹣b 2）＝0，即a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故△ABC 为等腰三角形和直角三角形，故C 错误． 对于D ：由于a +b =atanA +btanB ，利用正弦定理sinA +sinB =sinAsinAcosA+sinBsinB cosB=cos A +cos B ，所以sin A﹣cos A ＝cos B ﹣sin B ，化简得：√2sin(A −π4)=√2cos(B +π4)=√2sin(π2+B +π4)，由于A 、B ∈（0，π），整理得A +B =π2，故C =π2，故△ABC 一定是直角三角形，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，一蚂蚁沿着正方体的表面从点A 爬到点C 1的最短距离是 √5 ．解：根据题意，作出正方体展开图的一部分，沿着正方体的表面从点A 爬到点C 1的最短距离即线段AC 1的长度， 则要求最短距离d =√1+4=√5． 故答案为：√5．14．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣2i |（i 是虚数单位）的最大值是 3 ． 解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），∵|z |＝1，∴√a 2+b 2=1，即a 2+b 2＝1，表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆，∵|z ﹣2i |=√a 2+(b −2)2，表示圆上的点到点（0，2）之间的距离， ∴|z ﹣2i |（i 是虚数单位）的最大值是√02+(0−2)2+1=3． 故答案为：3．15．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，边长AB ＝1，则AC →⋅AD →=32√2+2．解：如图所示，连接AC ，AD ，由ABCDEFGH 为正八边形可知∠AOB =∠BOC =π4，且OD ∥AC ， 则∠AOC =π2，所以|OA →+OC →|=√2|OA →|=√2|OB →|，即OB →=√22(OA →+OC →)AC →=OC →−OA →， 且OD →=√22AC →=√22(OC →−OA →)，所以AD →=OD →−OA →=√22OC →−(√22+1)OA →，则AC →⋅AD →=（OC →−OA →）•[√22OC →−(√22+1)OA →]=√22|OC →|2−√22OA →⋅OC →−（√22+1）OA →⋅OC →+（√22+1）|OA →|2＝（√2+1）|OA →|2，在△AOB 中，由余弦定理cos ∠AOB =|OA →|2+|OB →|2−|AB →|22|OA →||OB →|=2|OA →|2−12|OA →|2=√22，解得|OA →|2=2+√22，所以AC →⋅AD →=(√2+1)|OA →|2=3√22+2'， 故答案为：32√2+2．16．已知△ABC 中，∠A =π3，D ，E 是线段BC 上的两点，满足BD ＝DC ，∠BAE ＝∠CAE ，AD =√192，AE =6√35，则BC ＝ √7 ． 解：∵12×c ×6√35sin π6+12b •6√35•sin π6=12bc sin π3， ∴3√310（b +c ）=√34bc ，又AD →=12（AB →+AC →），∴AD →2=14（AB →2+2AB →•AC →+AC →2）=14（b 2+c 2+bc ）=14（b +c ）2−14bc =14×2536（bc ）2−14bc ，∴bc ＝6，∴b +c ＝5，∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos π3=b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝25﹣18＝7，∴BC ＝a =√7．故答案为：√7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数z ＝x +yi （x ＞0，y ＞0）满足|z |＝2，且z ﹣1为纯虚数． （1）求z 1−i；（2）若z 2+b •z +c ＝0，（b ，c ∈R ），求实数b ，c 的值． 解：（1）z ＝x +yi ，即x ﹣1+yi 为纯虚数， 则x ﹣1＝0，解得x ＝1， |z |＝2，则x 2+y 2＝1，解得y =√3（负值舍去）， z ＝1+√3i ， 故z 1−i=1+√3i 1−i =(1+√3i)(1+i)(1+i)(1−i)=1−√32+√3+12i ； （2）z 2+b •z +c ＝0，则(1+√3i)2+b(1+√3i)+c =−2+2√3i +b +√3bi +c =0，故{2√3+√3b =0−2+b +c =0，解得{b =−2c =4．18．（12分）已知平面直角坐标系内存在三点：A （1，5），B （7，8），C （5，2）． （1）求cos ∠BAC 的值；（2）若平面上一点P 满足：AP ∥CB ，CP ⊥AB ，求点P 的坐标．解：（1）A （1，5），B （7，8），C （5，2），则AB →=(6，3)，AC →=(4，−3)， 故AB →⋅AC →=24−3×3=15，|AB →|=√62+32=3√5，|AC →|=√42+(−3)2=5，故cos ∠BAC =AB →⋅AC →|AB →||AC →|=153√5×5=√55； （2）CB →=(2，6)，∵AP →∥CB →， ∴可设AP →=tCB →=（2t ，6t ）（t ∈R ）， ∴CP →=AP →−AC →=（2t ﹣4，6t +3）， ∵CP ⊥AB ，∴CP →⋅AB →=6（2t ﹣4）+3（6t +3）＝0，解得t =12， ∴CP →=(−3，6)， 设P （x ，y ），则CP →=(x −5，y −2)，即{x −5=−3y −2=6，解得{x =2y =8，故P （2，8）．19．（12分）如图所示，以线段AB 为直径的半圆上有一点C ，满足：BC ＝1，AC =√3，若将图中阴影部分绕直线AB 旋转180°得到一个几何体． （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积．解：（1）Rt △ABC 中，BC ＝1，AC =√3，所以AB ＝2，将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个半球，去掉两个半圆锥的组合体；所以该几何体的体积为V=12（V球﹣V圆锥组合体）=12×[4π3×13−13π×(√32)2×2]=5π12；（2）Rt△AO1C以直线AB为轴旋转得一个半圆锥，侧面积为S1=12×π×√32×√3=3π4，Rt△BO1C以AB为轴旋转得一个半圆锥，侧面积为S2=12×π×√32×1=√34π，半圆弧以AB为轴旋转得一个半球，表面积为S3=12×4π×12＝2π，正面为一个圆，去掉两个三角形，面积为S4＝π×12﹣2×12×1×√3=π−√3，所以阴影部分形成的几何体的表面积为S＝S1+S2+S3+S4=3π4+√3π4+2π+π−√3=15+√34π−√3．20．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2a cos B+√3b＝2c，a＝2．（1）若c＝2√3，求△ABC的面积；（2）求△ABC周长的最大值．解：（1）因为2a cos B+√3b＝2c，所以由正弦定理可得2sin A cos B+√3sin B＝2sin C，又sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，所以√3sin B＝2cos A sin B，又因为B为三角形内角，sin B≠0，所以√3sin B＝2cos A sin B，可得cos A=√32，sin A=√1−cos2A=12，因为a＝2，c＝2√3，由余弦定理可得22＝b2+（2√3）2﹣2×b×2√3×√32，整理可得b2﹣6b+8＝0，解得b＝4或2，所以△ABC的面积S=12bc sin A＝2√3或√3；（2）由（1）可得cos A =√32，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，又a ＝2，即4＝b 2+c 2−√3bc ＝（b +c ）2﹣（2+√3）bc ≥（b +c ）2﹣（2+√3）×（b+c 2）2=2−√34（b +c ）2，解得b +c ≤4√2+√3=2（√6+√2），当且仅当b ＝c 时取等号， 所以a +b +c ≤2+2（√6+√2），当且仅当b ＝c 时取等号， 所以△ABC 周长的最大值为2+2（√6+√2）．21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ＝2，DC ＝CB ＝3，AB →=2DC →，点E 、F 是线段DC 上的两个三等分点，点G ，点H 是线段AB 上的两个三等分点，点P 是直线BC 上的一点． （1）求AB →⋅AD →的值； （2）求|FH →|的值；（3）直线AP 分别交线段EG 、FH 于M ，N 两点，若B 、N 、D 三点在同一直线上，求AM AN的值．解：（1）设AB →=a →，AD →=b →，∵CB →=CD →+DA →+AB →=−12a →−b →+a →=12a →−b →，∴CB →2=14a →2−a →⋅b →+b →2=13−a →⋅b →=9，即AB →⋅AD →=a →⋅b →=4； （2）AF →=AD →+23DC →=b →+23×12a →=13a →+b →，FH →=AH →−AF →=13a →−b →，|FH →|=√(13a →−b →)2=√19a →2−23a →⋅b →+b →2=43√3；（3）设AN →=xAF →+yAH →，即x(AF →−AN →)+y(AE →−AN →)=AN →−(x +y)AN →，xNF →+yNH →=(1−x −y)AN →，因为N 在FH 上，所以1﹣x ﹣y ＝0，即y ＝1﹣x ，∴AN →=xAF →+(1−x)AH →=x(13a →+b →)+(1−x)⋅23a →=(23−13x)a →+xb →，即AN →=(23−13x)AB →+xAD →，即(23−13x)(AB →−AN →)+x(AD →−AN →)=AN →−(23−13x)AN →−xAN →=(1−23−23x)AN →， 即(23−13x)NB →+xND →=(1−23−23x)AN →，由于D ，N ，B 三点共线，所以1−23−23x =0， ∴x =12，AN →=12a →+12b →，设AM →=λAE →+μAG →，则λ(AE →−AM →)+μ(AG →−AM →)=(1−λ−μ)AM →， 即λME →+μMG →=(1−λ−μ)AM →，又M 在EG 上，则1﹣λ﹣μ＝0，即μ＝1﹣λ，AM →=λAE →+(1−λ)AE →=λAD →+λ⋅13⋅12AB →+(1−λ)⋅13AB →=(13−16λ)AB →+λAD → 由于A ，M ，N 三点共线，所以13−16λλ=1212=1，即λ=27，所以AM →=27b →+27a →=47AN →，AM AN =47． 22．（12分）法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3．（1）证明：△O 1O 2O 3为等边三角形； （2）若S △O 1O 2O 3=mS △ABC ，求m 的最小值．解：（1）证明：如图，连接AO 1，AO 3，则|AO 1|=√33c ，|AO 3|=√33b ，∠O 1AO 3＝A +π3， 在△O 1AO 3中，由余弦定理可求出|O 1O 3|2＝|AO 1|2+|AO 3|2﹣2|AO 1|•|AO 3|cos ∠O 1AO 3=b 2+c 2−2bccos(A+π3)3=b 2+c 2−bccosA+√3bcsinA 3=b 2+c 2−bc⋅b 2+c 2−a22bc +√3bcsinA 3=a 2+b 2+c 26+√33bcsinA ， 同理可得|O 1O 2|2=a 2+b 2+c 26+√33ac sin B ， 由正弦定理可得a sin B ＝b cos A ，即|O 1O 2|＝|O 1O 3|， 同理可证|O 1O 2|＝|O 2O 3|， 故△O 1O 2O 3为等边三角形； （2）∵S △O 1O 2O 3=mS △ABC ，∴√34|O 1O 3|2=√34•b 2+c 2−bccosA+√3bcsinA 3=m 2bcsinA ，则b c +c b =√3(2m −1)sinA +cosA =√3(2m −1)2+1sin （A +φ），∵bc+c b≥2，[√3(2m −1)2+1sin （A +φ）]max ＝，√3(2m −1)2+1，∴√3(2m −1)2+1≥2，解得m ≥1，当且仅当b ＝c ，A =π3时，m 取得最小值，m 的最小值为1．。

2020学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)1．已知等差数列{}n a的首项为1，公差为2，则a9的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．182．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．15003．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )A.－3B.1C.－1D.34.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3a4a5=29,则a3＝( )A.16B.8C.4D.25.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )A.1a2＞1a＞1abB.1a2＞1ab＞1aC.1a＞1a2＞1abD.1a＞1ab＞1a26．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk =sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当k=5时，ΔABC是直角三角形B. 当k=3时，ΔABC是锐角三角形C. 当k=2时，ΔABC是钝角三角形D. 当k=1时，ΔABC是钝角三角形7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.128.已知向量a ⃗ =(3cosθ,3sinθ)，b ⃗ =(0,−3)，θ∈(π2,π)，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. 3π2−θB. θ−π2C. π2+θD. θ9.已知实数x,y 满足xy −2=x +y ,且x >1,则y(x +11)的最小值为（ ）A.21B.24C.25D. 2710.若不等式(|x －2a |－b )×cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则2a ＋b 的最小值为( )A.1B. 56C.23D. 2二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分) 11.已知平面向量a ＝(2，－3)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.12.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则2y －x 的最小值为______.最大值为_______.13.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B ＝________，BC边上中线AM的长为________.15.若a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项公式a n＝________.16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）第Ⅱ卷三、解答题(本大题5小题，共74分)18.（本小题满分14分）.已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝ann.(1)证明：数列{b n}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式.19. （本小题满分15分）已知函数f(x)=−4x2+13x−3．(1)求不等式f(x)>0的解集；(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．x20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋2b|；(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，求△ABC的面积.21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求a＋b的取值范围.22.（本小题满分15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＝4S n－2a n－，T n为数列{b n}的前n项和．1(n∈N*).数列{b n}满足b n=1a n·a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n;(3)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题: 本大题共7个小题，共36分． 11. −32, 23 12. -4 413． 3,12 14. 12,√7 15． n 2＋n ＋2216． d ≥−117．3λ－1λ2三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．18．(本小题满分14分) （1）由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由（1）可得b n＝2n－1，ann＝2n－1所以a n＝n·2n－1.19. 本小题满分15分)解：(1)由题意得−4x2+13x−3>0，因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=14，x2=3，又二次函数f(x)=−4x2+13x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|14<x<3}；(2)由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x>0，所以y=−4x−3x +13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x ，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．(本小题满分15分)解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a ＋2b |＝2√7 (3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角B cos B =√7∴sin B =√3√7|AB →|＝2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sinB ＝12×2√7×3×√37＝3 3.21． （本小题满分15分）解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2) 法一：由(1)知2c ＝sin C ，c=34∴2a ＝sin A ，2b ＝sin B . △ABC 的a ＋b ＝12(sin A ＋sin B )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈112]∴a ＋b 的取值范围为.112]法二：c 2=a 2+b 2+ab c 2=(a +b)2−ab ≥(a +b )2−(a+b )24316≥34(a +b )2 ∴a ＋b ≤12 ∵a ＋b >c =√34∴a ＋b 的取值范围为.112]22（本小题满分15分） 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝2n－1.(2)由题意和(1)得：b n=1a n·a n+1=1(2n−1)·(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{b n}前n项和T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．(3)①当n为偶数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n+8n+17恒成立．∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ<25．②当n为奇数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n−8n−15恒成立．∵2n−8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n−8n取得最小值−6．∴此时λ需满足λ<−21．综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21．。

2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（共五套）2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（一）（考试时间：120分钟总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。

一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标系中，A(0,2,4)，B(1,4,6)，则|AB|等于 ( ) A．2 B．2 2 C.7 D．3 2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为135°，则直线l的方程为 ( ) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝03. 下列命题正确的是（）A．若两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行B．若有两条直线与两个平面都平行，则这两个平面平行C. 若有一条直线与两个平面都垂直，则这两个平面平行D. 若有一条直线与这两个平面所成的角相等，则这两个平面平行4.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形 B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．24π cm 2D ．30π cm 26.若三棱锥Ｐ-ABC 的三个侧面与底面ABC 所成角都相等，则顶点Ｐ在底面的射影为ABC △的( )A ．外心B ．重心 C. 内心 D ．垂心7. 圆1C ：224210x y x y +--+=与圆2C ：2248110x y x y ++-+=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切8. 若P (2，－1)为圆222240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝09．已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上动点，定点Q (6,0)，点Ｍ是线段PQ 靠近Q 点的三等分点，则点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －4)2＋y 2＝19C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝110.若圆2240x y x +-=上恰有四个点到直线20x y m -+=的距离等于1，则实数m 的取值范围是方程是( )A ． ()25,25---+B ． ()45,45---+C ． ()435,45----D ．()45,435-+-+11. 已知实数x ，y 满足方程2x ＋y ＋5＝0，那么22425x y x y +--+的最小值为( )A. 210 B.10 C ．2 5 D ． 512.函数sin 3,,cos 222y θππθθ-⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦的值域为( ) A ．23232,233⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦ B ．432,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,1-- D ．232,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于14. 已知直线43:1-=x y l 和直线:2l 关于点Ｍ(2，1)对称，则2l 的方程为15. 如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么a b +=16. 已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为三、解答题。

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π2．已知042a ππβ<<<<，且sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ）A ．B ．CD 3．函数y=tan （π4–2x ）的定义域是( ) A ．{x|x≠π2k +3π8，k ∈Z} B ．{x|x≠kπ+3π4，k ∈Z} C ．{x|x≠π2k +π4，k ∈Z}D ．{x|x≠kπ+π4，k ∈Z}4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．13B ．26C ．13D ．265．已知{}n a 为递增等比数列47565,6a a a a +==，则110a a +=（） A ．152B ．5C ．6D ．3566．已知数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（n *∈N 且2n ≥），且数列21{}n a -是递增数列，数列2{}n a 是递减数列，又12a a >，则100a = A ．5050-B ．5050C ．4950-D ．49507．设0x >，0y >，24x y +=，则()()121x y xy++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．72D ．928．三角形的一个角为60°，夹这个角的两边之比为8:5，则这个三角形的最大角的正弦值为（ ） A ．32B ．437C ．5314D ．879．已知21tan1cos1sin1,22cos 22.52,1tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．b a c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。